Normál eloszlás meghatározása. Valószínűségi változó normális eloszlása. Normál eloszlás százalékpontjainak kiszámítása a STATISTICA valószínűségi kalkulátor segítségével

1. definíció

Egy $X$ valószínűségi változó normális eloszlású (Gauss-eloszlás), ha eloszlássűrűségét a következő képlet határozza meg:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Itt $aϵR$ a matematikai elvárás, és $\sigma >0$ a szórás.

A normál eloszlás sűrűsége.

Mutassuk meg, hogy ez a függvény valóban eloszlássűrűség. Ehhez ellenőrizze a következő feltételt:

Tekintsük a helytelen $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))) integrált ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

Végezzük el a cserét: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Mivel a $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ páros függvény, akkor

Az egyenlőség teljesül, ami a $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2 függvényt jelenti )(2 (\sigma )^2))$ valóban valamely valószínűségi változó eloszlássűrűsége.

Tekintsük a $\varphi \left(x\right)$ normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének néhány egyszerű tulajdonságát:

1. A normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének grafikonja szimmetrikus az $x=a$ egyeneshez képest.
2. A $\varphi \left(x\right)$ függvény eléri maximumát a következőnél: $x=a$, és $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. A $\varphi \left(x\right)$ függvény $x>a$-ként csökken és $x-ként nő
4. A $\varphi \left(x\right)$ függvény inflexiós pontjai $x=a+\sigma $ és $x=a-\sigma $ helyen vannak.
5. A $\varphi \left(x\right)$ függvény aszimptotikusan megközelíti az $Ox$ tengelyt: $x\to \pm \infty $.
6. A sematikus grafikon így néz ki (1. ábra).

1. ábra. 1. Normál eloszlási sűrűséggráf

Figyeljük meg, hogy ha $a=0$, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus az $Oy$ tengelyre. Ezért a $\varphi \left(x\right)$ függvény páros.

Normál valószínűségi eloszlási függvény.

A normális eloszlás valószínűségi eloszlásfüggvényének meghatározásához a következő képletet használjuk:

Ennélfogva,

2. definíció

A $F(x)$ függvényt szabványos normál eloszlásnak nevezzük, ha $a=0,\ \sigma =1$, azaz:

Itt $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - Laplace funkció.

3. definíció

$Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ függvény valószínűségi integrálnak nevezzük.

A normál eloszlás numerikus jellemzői.

Matematikai elvárás: $M\left(X\right)=a$.

Variancia: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

Átlagos négyzetes eloszlás: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

1. példa

Példa egy probléma megoldására a normális eloszlás fogalmán.

1. probléma: Az $X$ útvonal hossza véletlenszerű folytonos változó. $X$ eloszlása ​​a normál eloszlási törvény szerint történik, melynek átlagértéke 4$$ kilométer, a szórása pedig 100$ méter.

1. Keresse meg a $X$ eloszlási sűrűségfüggvényt.
2. Rajzolja fel az eloszlássűrűség sematikus grafikonját!
3. Keresse meg az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!
4. Keresse meg a szórást.

1. Kezdésként képzeljük el az összes mennyiséget egy dimenzióban: 100m=0,1km

Az 1. definícióból a következőket kapjuk:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0.1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0.02 ))\]

(mivel $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

1. Az eloszlási sűrűségfüggvény tulajdonságait felhasználva azt kaptuk, hogy a $\varphi \left(x\right)$ függvény grafikonja szimmetrikus az $x=4$ egyenesre.

A függvény maximumát a $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt() pontban éri el 2\pi )))$

A sematikus grafikon így néz ki:

2. ábra.

1. A $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac() eloszlásfüggvény definíciója szerint -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, van:

1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.

(igazi, szigorúan pozitív)

Normális eloszlás, más néven Gauss-eloszlás vagy Gauss – Laplace- valószínűségi eloszlás, amelyet egydimenziós esetben a Gauss-függvénnyel egybeeső valószínűségi sűrűségfüggvény határoz meg:

ahol a μ paraméter az eloszlás várható (átlagértéke), mediánja és módja, a σ paraméter pedig az eloszlás szórása (σ² a diszperzió).

Így az egydimenziós normális eloszlás egy kétparaméteres eloszláscsalád. A többváltozós esetet a „Többváltozós normál eloszlás” című cikk ismerteti.

Szabványos normál eloszlás normális eloszlásnak nevezzük, amelynek matematikai elvárása μ = 0 és szórása σ = 1.

Enciklopédiai YouTube

• 1 / 5

  A normális eloszlás fontossága számos tudományterületen (például a matematikai statisztikában és a statisztikai fizikában) a valószínűségszámítás központi határérték-tételéből következik. Ha egy megfigyelés eredménye sok véletlenszerű, gyengén függő mennyiség összege, amelyek mindegyike kis mértékben járul hozzá a teljes összeghez, akkor a tagok számának növekedésével a központosított és normalizált eredmény eloszlása ​​normális. Ez a valószínűségszámítási törvény a normális eloszlás széleskörű elterjedését eredményezi, ami az elnevezésének egyik oka is volt.

  Tulajdonságok

  Pillanatok

  Ha a valószínűségi változók X 1 (\displaystyle X_(1))És X 2 (\displaystyle X_(2)) függetlenek és normális eloszlásúak matematikai elvárásokkal μ 1 (\displaystyle \mu _(1))És μ 2 (\displaystyle \mu _(2))és eltérések σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))És σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) ennek megfelelően akkor X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) is normális eloszlású matematikai elvárással μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))és variancia σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Ebből következik, hogy egy normális valószínűségi változó tetszőleges számú független normális valószínűségi változó összegeként ábrázolható.

  Maximális entrópia

  A normál eloszlásnak van maximális differenciális entrópiája minden olyan folytonos eloszlás között, amelyek varianciája nem haladja meg az adott értéket.

  Normál pszeudovéletlen változók modellezése

  A legegyszerűbb közelítő modellezési módszerek a centrális határérték tételen alapulnak. Ha ugyanis több független azonos eloszlású mennyiséget adunk össze véges szórással, akkor az összeg eloszlik hozzávetőlegesen, körülbelül Bírság. Például, ha 100 függetlent ad hozzá standardként egyenletesen elosztott valószínűségi változókat, akkor az összeg eloszlása ​​megközelítőleg lesz Normál.

  Normális eloszlású pszeudovéletlen változók programozott generálásához célszerű a Box-Muller transzformációt használni. Lehetővé teszi egy normál eloszlású érték létrehozását egy egyenletes eloszlású érték alapján.

  Normál eloszlás a természetben és alkalmazásokban

  A normál eloszlás gyakran megtalálható a természetben. Például a következő valószínűségi változókat jól modellezi a normál eloszlás:

  • eltérés lövéskor.
  • mérési hibák (egyes mérőműszerek hibáinak azonban nincs normális eloszlása).
  • a populáció élő szervezeteinek néhány jellemzője.

  Ez az eloszlás annyira elterjedt, mert ez egy korlátlanul osztható folytonos eloszlás véges varianciával. Ezért néhányan a határértékben közelítik meg, például a binomiális és a Poisson. Ez az eloszlás számos nem determinisztikus fizikai folyamatot modellez.

  Kapcsolat más disztribúciókkal

  • A normál eloszlás Pearson XI típusú eloszlás.
  • Egy független standard normális eloszlású valószínűségi változó párjának aránya Cauchy-eloszlású. Vagyis ha a valószínűségi változó X (\displaystyle X) viszonyt képviseli X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Ahol Y (\displaystyle Y)És Z (\displaystyle Z)- független standard normál valószínűségi változók), akkor Cauchy-eloszlású lesz.
  • Ha z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- közösen független standard normál valószínűségi változók, azaz z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), majd a valószínűségi változó x = z 1 2 + … + z k 2 (\megjelenítési stílus x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) Khi-négyzet eloszlású, k szabadságfokkal.
  • Ha a valószínűségi változó X (\displaystyle X) lognormális eloszlásnak van kitéve, akkor természetes logaritmusa normális eloszlású. Vagyis ha X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Azt Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\jobb )). És fordítva, ha Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Azt X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \jobb)).
  • Két standard normál valószínűségi változó négyzetének aránya van

  A folytonos valószínűségi változó normális valószínűségi eloszlásának törvénye különleges helyet foglal el a különféle elméleti törvények között, mivel számos gyakorlati tanulmányban alapvető. Leírja a termelési folyamatokhoz kapcsolódó legtöbb véletlenszerű jelenséget.

  A normális eloszlási törvénynek engedelmeskedő véletlenszerű jelenségek közé tartoznak a gyártási paraméterek mérési hibái, a technológiai gyártási hibák eloszlása, a legtöbb biológiai tárgy magassága és súlya stb.

  Normál egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye, amelyet egy differenciálfüggvény ír le

  a - egy valószínűségi változó matematikai elvárása;

  Normális eloszlás szórása.

  A normális eloszlás differenciálfüggvényének grafikonját normálgörbének (Gauss-görbének) nevezzük (7. ábra).

  

  Rizs. 7 Gauss-görbe

  Normálgörbe (Gauss-görbe) tulajdonságai:

  1. a görbe szimmetrikus az x = a egyenesre;

  2. a normálgörbe az X tengely felett helyezkedik el, azaz X minden értékénél az f(x) függvény mindig pozitív;

  3. Az ökör tengelye a gráf vízszintes aszimptotája, mert

  4. x = a esetén az f(x) függvény maximuma egyenlő

  ,

  az A és B pontokban és a görbének vannak inflexiós pontjai, amelyek ordinátái egyenlők.

  

  Ugyanakkor annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg a szórást, 0,6826.

  az E és G pontokban és esetén az f(x) függvény értéke egyenlő

  

  és annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg a szórás kétszeresét, 0,9544.

  Aszimptotikusan közelítve az x tengelyhez, a Gauss-görbe a C és D pontokban, a és pontokban nagyon közel áll az x tengelyhez. Ezeken a pontokon az f(x) függvény értéke nagyon kicsi

  

  és annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg a szórás háromszorosát, 0,9973. A Gauss-görbe ezen tulajdonságát " három szigma szabály".

  
  
  

  Ha egy valószínűségi változó normális eloszlású, akkor a matematikai elvárástól való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg a szórás háromszorosát.

  Az a paraméter (egy valószínűségi változó matematikai elvárása) értékének megváltoztatása nem változtatja meg a normálgörbe alakját, hanem csak az X tengely mentén történő elmozdulásához vezet: jobbra, ha a nő, balra, ha a csökken.

  Ha a=0, a normálgörbe szimmetrikus az ordinátára.

  A paraméter értékének megváltoztatása (szórás) megváltoztatja a normálgörbe alakját: a normálgörbe növekvő ordinátáival csökkennek, a görbe az X tengely mentén húzódik és rányomódik. Ahogy csökken, a normálgörbe ordinátái nőnek, a görbe az X tengely mentén zsugorodik, és „hegyesebb” lesz.

  Ugyanakkor bármely érték és a normálgörbe és az X tengely által határolt terület egyenlő marad eggyel (azaz annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó a normálgörbe X tengelyére határolt értéket vesz fel egyenlő 1).

  Normál eloszlás tetszőleges paraméterekkel és , azaz differenciálfüggvénnyel leírva

  

  hívott általános normális eloszlás.

  A normális eloszlást paraméterekkel hívjuk normalizált eloszlás(8. ábra). Normalizált eloszlásban a differenciális eloszlásfüggvény egyenlő:

  

  Rizs. 8 Normalizált görbe

  Az általános normális eloszlás kumulatív függvénye a következőképpen alakul:

  Legyen az X valószínűségi változó eloszlása ​​a normál törvény szerint a (c, d) intervallumban. Ekkor annak a valószínűsége, hogy X a (c, d) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel, egyenlő

  

  Példa. Az X valószínűségi változó a normál törvény szerint oszlik el. Ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása és szórása egyenlő a=30 és . Határozza meg annak valószínűségét, hogy X értéket vesz fel a (10, 50) intervallumban.

  Feltétel szerint:. Akkor

  Kész Laplace-táblázatok felhasználásával (lásd a 3. mellékletet) megvan.

  A gyakorlatban leggyakrabban a normál eloszlás törvényével találkozhatunk. A fő jellemzője, ami megkülönbözteti a többi törvénytől, hogy korlátozó törvény, amelyhez más eloszlási törvények nagyon gyakori tipikus feltételek mellett közelednek.

  Meghatározás. Egy X folytonos valószínűségi változó rendelkezik normális törvény terjesztés(Gauss törvénye )a és σ 2 paraméterekkel, ha annak valószínűségi sűrűsége f(x) úgy néz ki, mint a:

  .

  (6.19)

  A normál eloszlási görbét ún Normál vagy Gauss-görbe. ábrán. 6.5 a), b) normál görbét mutat paraméterekkel AÉs σ 2és eloszlási függvény grafikonja.

  Figyeljünk arra, hogy a normálgörbe az egyeneshez képest szimmetrikus x = A, maximum a ponton van x = A, egyenlő , és két inflexiós pont x = A σ ordinátákkal.

  Megjegyezhető, hogy a normál törvény sűrűségkifejezésében az eloszlási paramétereket betűk jelölik AÉs σ 2, amelyet a matematikai elvárás és diszperzió jelölésére használtunk. Ez az egybeesés nem véletlen. Tekintsünk egy tételt, amely megállapítja a normáltörvény paramétereinek valószínűségi elméleti jelentését.

  Tétel. Egy X valószínűségi változó matematikai elvárása normális törvény szerint eloszolva egyenlő ennek az eloszlásnak a paraméterével, azaz

  M(x) = A,

  (6.20)

  és diszperziója – a σ 2 paraméterre, azaz

  D(x) = σ 2.

  (6.21)

  Nézzük meg, hogyan változik a normál görbe, ha a paraméterek változnak AÉs σ .

  Ha σ = const, és a paraméter megváltozik a (A 1 < A 2 < A 3), azaz az eloszlás szimmetriaközéppontja, akkor a normálgörbe az abszcissza tengelye mentén eltolódik anélkül, hogy alakja megváltozna (6.6. ábra).

  

  Rizs. 6.6

  

  Rizs. 6.7

  Ha A= const és a paraméter megváltozik σ , akkor a görbe maximumának ordinátája megváltozik f max(a) = . Amikor növeli σ a maximum ordinátája csökken, de mivel bármely eloszlási görbe alatti területnek egyenlőnek kell maradnia egységgel, a görbe laposabbá válik, az x tengely mentén nyúlik. Amikor csökken σ Éppen ellenkezőleg, a normál görbe felfelé nyúlik, miközben oldalról összenyomódik (6.7. ábra).

  Tehát a paraméter a jellemzi a pozíciót és a paramétert σ – normál görbe alakja.

  Paraméterekkel rendelkező valószínűségi változó normális eloszlási törvénye a= 0 és σ = 1-et hívunk alapértelmezett vagy normalizálva, és a megfelelő normálgörbe az alapértelmezett vagy normalizálva.

  A normális törvény szerinti eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének közvetlen megtalálásának nehézsége abból adódik, hogy a normális eloszlásfüggvény integrálja nem elemi függvényeken keresztül fejeződik ki. Kiszámítható azonban egy speciális függvényen keresztül, amely a vagy kifejezés meghatározott integrálját fejezi ki. Ezt a függvényt hívják Laplace függvény, táblázatokat állítottak össze hozzá. Ennek a funkciónak számos változata létezik, például:

  , .

  A függvényt fogjuk használni

  Tekintsük egy normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó tulajdonságait.

  1. Annak a valószínűsége, hogy egy normális törvény szerint eloszló X valószínűségi változó az intervallumba esik [α , β ] egyenlő

  Ezzel a képlettel kiszámítjuk a különböző értékek valószínűségét δ (a Laplace-függvényértékek táblázatát használva):

  nál nél δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;

  nál nél δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;

  nál nél δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.

  Ez oda vezet, hogy az ún. három szigma szabály»:

  Ha egy X valószínűségi változónak normális eloszlási törvénye van a és σ paraméterekkel, akkor szinte biztos, hogy értékei az intervallumban vannak(a – 3σ ; a + 3σ ).

  6.3. példa. Feltételezve, hogy egy bizonyos korcsoportba tartozó férfiak magassága normális eloszlású valószínűségi változó x paraméterekkel A= 173 és σ 2 = 36, keresse meg:

  1. Valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének és eloszlásfüggvényének kifejezése x;

  2. A 4. magasságú öltönyök (176 - 183 cm) és a 3. magasságú öltönyök részesedése (170 - 176 cm), amelyeket bele kell számítani az adott korcsoport teljes gyártási mennyiségébe;

  3. Fogalmazzuk meg a „három szigma szabályt” egy valószínűségi változóhoz x.

  1. A valószínűségi sűrűség megállapítása

  

  és az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

  = .

  2. Valószínűségként a 4-es (176 – 182 cm) öltönyök arányát találjuk

  R(176 ≤ x ≤ 182) = = Ф(1,5) – Ф(0,5).

  A Laplace-függvény értéktáblázata szerint ( 2. függelék) találunk:

  F(1,5) = 0,4332, F(0,5) = 0,1915.

  Végre megkapjuk

  R(176 ≤ x ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

  Hasonlóan megtalálható a 3. magasságú (170 – 176 cm) öltönyök aránya is. Ezt azonban könnyebb megtenni, ha figyelembe vesszük, hogy ez az intervallum szimmetrikus a matematikai elvárásokhoz képest. A= 173, azaz egyenlőtlenség 170 ≤ x≤ 176 egyenlő a │ egyenlőtlenséggel x– 173│≤ 3. Akkor

  R(170 ≤x ≤176) = R(│x– 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.

  3. Fogalmazzuk meg a „három szigma szabályt” az X valószínűségi változóra:

  Szinte biztos, hogy ebben a korosztályban a férfiak magassága től A – 3σ = 173 – 3 6 = 155 to A + 3σ = 173 + 3·6 = 191, azaz. 155 ≤ x ≤ 191. ◄

  
  

  7. A VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET HATÁRÉRTÉKELÉSE

  Amint azt a valószínűségi változók tanulmányozása során már említettük, lehetetlen előre megjósolni, hogy egy valószínűségi változó milyen értéket vesz fel egyetlen teszt eredményeként - ez sok okból függ, amelyeket nem lehet figyelembe venni.

  A tesztek többszöri megismétlésekor azonban a valószínűségi változók összegének viselkedése szinte elveszti véletlenszerű jellegét, és természetessé válik. A minták jelenléte éppen a jelenségek tömeges természetével függ össze, amelyek összességükben olyan valószínűségi változót generálnak, amelyre egy jól meghatározott törvény vonatkozik. A tömegjelenségek stabilitásának lényege a következőkben rejlik: az egyes véletlenszerű jelenségek sajátosságai szinte semmilyen hatást nem gyakorolnak az ilyen jelenségek tömegének átlagos eredményére; az átlagtól való véletlenszerű eltérések, amelyek minden egyes jelenségnél elkerülhetetlenek, kölcsönösen kioltják, kiegyenlítik, kiegyenlítik a tömegben.

  Az átlagoknak ez a stabilitása jelenti a „nagy számok törvényének” fizikai tartalmát, a szó tágabb értelmében: nagyon sok véletlenszerű jelenség esetén ezek eredménye gyakorlatilag megszűnik véletlenszerű lenni, és előre jelezhető. nagyfokú bizonyosság.

  A szó szűk értelmében a „nagy számok törvénye” a valószínűségszámításban matematikai tételek sorozatát jelenti, amelyek mindegyike bizonyos feltételek mellett azt a tényt állapítja meg, hogy nagyszámú kísérlet átlagos jellemzői megközelítik bizonyos bizonyos állandók.

  A nagy számok törvénye fontos szerepet játszik a valószínűségszámítás gyakorlati alkalmazásaiban. A valószínűségi változók azon tulajdonsága, hogy bizonyos feltételek mellett gyakorlatilag nem véletlenszerűekként viselkednek, lehetővé teszi, hogy ezekkel a mennyiségekkel magabiztosan operáljunk, és szinte teljes bizonyossággal megjósoljuk a tömeges véletlenszerű jelenségek eredményeit.

  Az ilyen előrejelzések lehetőségeit a tömeges véletlenszerű jelenségek területén tovább bővíti egy másik határtétel-csoport jelenléte, amelyek nem a valószínűségi változók határértékeire, hanem az eloszlás korlátozó törvényeire vonatkoznak. A tételek egy csoportjáról beszélünk, amelyet „központi határtételnek” neveznek. A centrális határeloszlás tételének különböző formái abban különböznek egymástól, hogy a valószínűségi változók összegének ez a korlátozó tulajdonsága milyen feltételek mellett áll fenn.

  A nagy számok törvényének különböző formái a központi határtétel különböző formáival egy halmazt alkotnak ún. határtételek Valószínűségi elmélet. A határtételek nemcsak tudományos előrejelzések készítését teszik lehetővé véletlenszerű jelenségek területén, hanem ezen előrejelzések pontosságának értékelését is.

  Meghatározás. Normál egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amelyet a valószínűségi sűrűség ír le

  A normál eloszlás törvényét is nevezik Gauss törvénye.

  A normális eloszlás törvénye központi helyet foglal el a valószínűségszámításban. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ez a törvény minden olyan esetben megnyilvánul, amikor egy valószínűségi változó nagyszámú különböző tényező hatásának eredménye. Az összes többi elosztási törvény megközelíti a normál törvényt.

  Könnyen kimutatható, hogy az eloszlássűrűségben szereplő paraméterek rendre az X valószínűségi változó matematikai elvárása, illetve szórása.

  Keressük az eloszlásfüggvényt F(x).

  

  A normál eloszlás sűrűséggráfját ún normál görbe vagy Gauss-görbe.

  Egy normál görbe a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1) A függvény a teljes számegyenesen van definiálva.

  2) Mindenki előtt x az eloszlásfüggvény csak pozitív értékeket vesz fel.

  3) Az OX tengely a valószínűségi sűrűséggráf vízszintes aszimptotája, mert az argumentum abszolút értékének korlátlan növelésével x, a függvény értéke nullára hajlik.

  4) Keresse meg a függvény szélsőértékét!

  

  Mert nál nél y’ > 0 nál nél x< m És y'< 0 nál nél x > m, majd a ponton x = t a függvény maximuma egyenlő .

  5) A függvény szimmetrikus egy egyeneshez képest x = a, mert különbség

  (x – a) szerepel a négyzetes eloszlássűrűség függvényben.

  6) A gráf inflexiós pontjainak megtalálásához megkeressük a sűrűségfüggvény második deriváltját.

  

  Nál nél x = m+s és x = m- s a második derivált nullával egyenlő, és ezeken a pontokon áthaladva előjelet vált, azaz. ezeken a pontokon a függvénynek van egy inflexiós pontja.

  Ezeken a pontokon a függvény értéke .

  Ábrázoljuk az eloszlássűrűség függvényt.

  

  Grafikonok készültek T=0 és a szórás három lehetséges értéke s = 1, s = 2 és s = 7. Mint látható, a szórás értékének növekedésével a grafikon laposabb lesz, a maximális érték pedig csökken.

  Ha A> 0, akkor a grafikon pozitív irányba tolódik el, ha A < 0 – в отрицательном.

  Nál nél A= 0 és s = 1 görbét nevezzük normalizálva. Normalizált görbe egyenlet:

  A rövidség kedvéért azt mondják, hogy a CB X betartja az N(m, s) törvényt, azaz. X ~ N(m, s). Az m és s paraméterek egybeesnek az eloszlás fő jellemzőivel: m = m X, s = s X =. Ha CB X ~ N(0, 1), akkor meg van hívva szabványosított normál érték. DF standardizált normálértéket nevezünk Laplace függvényés úgy jelöljük Ф(x). Segítségével az N(m, s) normál eloszlás intervallumvalószínűségeit számíthatjuk ki:

  P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

  A normál eloszlási problémák megoldása során gyakran szükséges a Laplace-függvény táblázatos értékei használata. Mivel a Laplace-függvény tartja fenn a relációt F(-x) = 1 - F(x), akkor elegendő, ha a függvény táblázatértékei vannak F(x) csak pozitív érvértékekre.

  A matematikai elvárásokhoz képest szimmetrikus intervallumba esés valószínűségére a következő képlet érvényes: P(|X - m X |< e) = 2×Ф(e/s) - 1.

  Egy normális eloszlás centrális momentumai kielégítik az ismétlődési összefüggést: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Ebből következik, hogy minden páratlan rendű központi momentum egyenlő nullával (mivel m 1 = 0).

  Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy normális törvény szerint eloszlású valószínűségi változó egy adott intervallumba esik.

  

  Jelöljük

  Mert az integrált nem elemi függvényekkel fejezzük ki, akkor a függvényt figyelembe veszik

  ,

  amelyet úgy hívnak Laplace függvény vagy valószínűségi integrál.

  Ennek a függvénynek az értékei különböző értékekhez x kiszámítva és speciális táblázatokban bemutatva.

  Az alábbiakban a Laplace-függvény grafikonja látható.

  

  A Laplace függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  2) F(- x) = - Ф( x);

  A Laplace-függvényt is hívják hiba funkcióés jelölje erf x.

  Még mindig használatban normalizálva Laplace-függvény, amely a Laplace-függvényhez kapcsolódik a következő összefüggéssel:

  

  Az alábbiakban a normalizált Laplace-függvény grafikonja látható.

  

  A normál eloszlási törvény figyelembevételével kiemelkedik egy fontos speciális eset, az ún három szigma szabály.

  Írjuk fel annak a valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó eltérése a matematikai elvárástól kisebb, mint egy adott D érték:

  Ha D = 3s-t veszünk, akkor a Laplace-függvény értéktáblázatait használva a következőket kapjuk:

  Azok. annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó a szórás háromszorosánál nagyobb mértékben tér el a matematikai elvárásától, gyakorlatilag nulla.

  Ezt a szabályt úgy hívják három szigma szabály.

  A gyakorlatban úgy gondolják, hogy ha bármelyik valószínűségi változóra teljesül a három szigma szabály, akkor ennek a valószínűségi változónak normális eloszlása ​​van.

  Példa. A vonat 100 kocsiból áll. Az egyes autók tömege egy valószínűségi változó, amely a normál törvény szerint eloszlik, matematikai elvárásokkal A= 65 t és szórása s = 0,9 t. A mozdony legfeljebb 6600 t tömegű vonatot szállíthat, ellenkező esetben egy második mozdonyt kell csatolni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második mozdonyra nem lesz szükség.

  Második mozdonyra nincs szükség, ha a vonat tömegének eltérése a várttól (100 × 65 = 6500) nem haladja meg a 6600 – 6500 = 100 tonnát.

  Mert Mivel az egyes kocsik tömege normális eloszlású, akkor az egész vonat tömege is normálisan eloszlik.

  Kapunk:

  Példa. Egy normális eloszlású X valószínűségi változót a paraméterei határoznak meg – a =2 – matematikai elvárás és s = 1 – szórás. Meg kell írni a valószínűségi sűrűséget és ábrázolni, meg kell keresni annak valószínűségét, hogy X értéket vesz fel az (1; 3) intervallumból, meg kell keresni annak valószínűségét, hogy X nem tér el (abszolút értékben) a matematikai elvárástól legfeljebb 2-vel. .

  Az eloszlási sűrűség a következőképpen alakul:

  

  Készítsünk grafikont:

  

  Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó az (1; 3) intervallumba esik.

  Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó 2-nél nem nagyobb mértékben tér el a matematikai elvárástól.

  Ugyanez az eredmény érhető el a normalizált Laplace-függvény használatával.

  8. előadás A nagy számok törvénye(2. szakasz)

  Előadás vázlata

  Központi határtétel (általános megfogalmazás és egyedi megfogalmazás független azonos eloszlású valószínűségi változókhoz).

  Csebisev egyenlőtlensége.

  A nagy számok törvénye Csebisev formában.

  Az eseménygyakoriság fogalma.

  A valószínűség statisztikai megértése.

  A nagy számok törvénye Bernoulli formában.

  A statisztikai minták tanulmányozása lehetővé tette annak megállapítását, hogy bizonyos feltételek mellett nagyszámú valószínűségi változó összesített viselkedése szinte elveszti véletlenszerű jellegét és természetessé válik (más szóval, az átlagos viselkedéstől való véletlen eltérések kioltják egymást ). Különösen, ha az egyes tagok összegére gyakorolt ​​befolyás egyenletesen kicsi, az összeg eloszlási törvénye megközelíti a normált. Ennek az állításnak a matematikai megfogalmazását az ún. tételcsoport adja meg nagy számok törvénye.

  NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- általános elv, amelynek értelmében a véletlenszerű tényezők együttes hatása bizonyos nagyon általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezet. Ennek az elvnek az első példája egy véletlen esemény előfordulási gyakoriságának és annak valószínűségének konvergenciája a kísérletek számának növekedésével (gyakran használják a gyakorlatban, például amikor a válaszadó bármely tulajdonságának előfordulási gyakoriságát használjuk minta a megfelelő valószínűség mintabecsléseként).

  Lényeg nagy számok törvénye az, hogy nagyszámú független kísérlet mellett egy esemény előfordulási gyakorisága közel van annak valószínűségéhez.

  Központi határtétel (CLT) (Ljapunov A.M. megfogalmazásában azonos eloszlású SV-kre). Ha az X 1 , X 2 , ..., X n , ... páronkénti független SV-k azonos eloszlási törvényűek véges M = m és D = s 2 karakterisztikával, akkor n ® ¥ esetén az SV-k eloszlási törvénye korlátlanul közelít az N(n×m, ) normáltörvény.

  Következmény. Ha az SV-tétel feltételei között , akkor n ® ¥ként az SV Y eloszlási törvénye korlátlanul megközelíti az N(m, s/ ) normáltörvényt.

  De Moivre-Laplace tétel. Legyen SV K a „sikerek” száma n kísérletben a Bernoulli-séma szerint. Ekkor n ® ¥ és egy p próba „siker” valószínűségének fix értékével az SV K eloszlási törvénye korlátlanul megközelíti az N(n×p, ) normáltörvényt.

  Következmény. Ha a tétel feltételei között az SV K helyett az SV K/n-t vesszük figyelembe - a „sikerek” gyakoriságát n kísérletben a Bernoulli-séma szerint, akkor ennek eloszlási törvénye n ® ¥-re és p fix értéke korlátlanul. megközelíti az N(p, ) normáltörvényt.

  Megjegyzés. Legyen SV K a „sikerek” száma n kísérletben a Bernoulli-séma szerint. Az ilyen SV eloszlási törvénye a binomiális törvény. Ekkor n ® ¥ esetén a binomiális törvénynek két határeloszlása ​​van:

  n elosztás Poisson(n ® ¥ és l = n×p = const esetén);

  n elosztás Gauss N(n×p, ) (n ® ¥ és p = const esetén).

  Példa. A „siker” valószínűsége egy kísérletben csak p = 0,8. Hány tesztet kell elvégezni ahhoz, hogy legalább 0,9-es valószínűséggel számíthassunk arra, hogy a Bernoulli-séma szerinti teszteknél a megfigyelt „siker” gyakoriság legfeljebb e = 0,01-el tér el a p valószínűségtől?

  Megoldás.Összehasonlításképpen oldjuk meg a problémát kétféleképpen.

  Facebook

  Twitter

  Kapcsolatban áll

  osztálytársak

  Google+