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分散分析を使用すると何が明らかになりますか。分散分析。 ANOVA とスチューデント検定とフィッシャー検定: どちらが優れていますか?

分散分析

1. 分散分析の概念

分散分析制御された変数要因の影響下での形質の変動性の分析です。外国の文献では、分散分析は ANOVA と呼ばれることが多く、分散分析（分散分析）と訳されます。

分散分析問題形質の一般的な変動性から異なる種類の変動性を分離することにあります。

a) 研究対象の各独立変数の作用による変動。

b) 研究対象の独立変数の相互作用による変動。

c) 他のすべての未知の変数によるランダムな変動。

研究中の変数の作用およびそれらの相互作用による変動は、ランダム変動と相関しています。この関係を示す指標はフィッシャーの F 検定です。

F 基準を計算する式には分散の推定値、つまり属性の分布パラメータが含まれるため、F 基準はパラメトリック基準となります。

研究中の変数（因子）またはそれらの相互作用による形質の変動性が大きければ大きいほど、 経験的基準値.

ゼロ分散分析の仮説は、調査された有効特性の平均値がすべての階調で同じであると述べます。

代替この仮説では、研究対象の因子のさまざまな段階で得られる特性の平均値が異なると述べられます。

分散分析により特性の変化を述べることができますが、それを示すものではありません。方向これらの変化。

の作用のみを研究する最も単純なケースから分散分析の検討を始めましょう。 1つ変数 (1 つの要素)。

2. 無関係なサンプルの一元配置分散分析

2.1. この方法の目的

一因子分散分析の手法は、条件の変化や因子の階調の影響による実効特性の変化を調べる場合に使用されます。このバージョンの方法では、因子の各段階の影響は次のようになります。違う被験者のサンプル。因子には少なくとも 3 つの段階が必要です。 (2 つの段階がある可能性がありますが、この場合、非線形の依存関係を確立できないため、より単純なものを使用する方が合理的と思われます)。

このタイプの分析のノンパラメトリックバージョンは、クラスカル-ウォリス H 検定です。

仮説

H 0: 因子グレード間の差異 (異なる条件) は、各グループ内のランダムな差異よりも大きくありません。

H 1: 因子グレード間の差異 (異なる条件) は、各グループ内のランダムな差異よりも大きくなります。

2.2. 無関係なサンプルに対する一元配置分散分析の限界

1. 一元配置分散分析には、因子の少なくとも 3 つの階調と、各階調に少なくとも 2 つの被験者が必要です。

2. 結果として得られる特性は、研究対象のサンプル内に正規分布する必要があります。

確かに、調査対象のサンプル全体における特性の分布について話しているのか、それとも分散複合体を構成する部分における特性の分布について話しているのかは、通常は示されていません。

3. 無関係なサンプルに対する一元配置分散分析の方法を使用して問題を解決する例を次に示します。

6 人の被験者からなる 3 つの異なるグループに、10 個の単語のリストが与えられました。単語は、最初のグループには低速 - 5 秒あたり 1 単語、第 2 グループには平均速度 - 2 秒あたり 1 単語、そして 3 番目のグループには高速 - 1 秒あたり 1 単語で提示されました。再現パフォーマンスは単語の提示速度に依存すると予測されました。結果を表に示す。 1.

再生された単語の数表1

件名番号	低速	平均速度	高速








合計金額

H 0: 単語生成スパンの違い間グループはランダムな差異と同じように顕著ではありません内部各グループ。

H1: 言葉の生産量の違い間グループはランダムな差異よりも顕著です内部各グループ。表に示す実験値を使用します。 1、F 基準を計算するために必要ないくつかの値を確立します。

一元配置分散分析の主な量の計算を表に示します。

表2

表3

無関係なサンプルに対する一元配置分散分析の一連の操作

この表および後続の表でよく見られる SS という記号は、「平方和」の略語です。この略語は、翻訳されたソースで最もよく使用されます。

SS 事実研究対象の因子の作用による特性の変動性を意味します。

SS 一般的に- 形質の一般的な変動性。

S C.A.- 説明されていない要因による変動、「ランダム」または「残留」変動。

MS- 「平均二乗」、または二乗和の数学的期待値、対応する SS の平均値。

DF - 自由度の数。ノンパラメトリック基準を考慮する場合、ギリシャ文字で表します。 v.

結論: H 0 は拒否されます。 H1は受け入れられます。グループ間の単語想起の差は、各グループ内のランダムな差よりも大きかった (α=0.05)。したがって、言葉の提示の速度は、その再生産の量に影響を与えます。

Excel での問題を解決する例を以下に示します。

初期データ:

コマンド: [ツール] -> [データ分析] -> [一元配置分散分析] を使用すると、次の結果が得られます。

分散分析は、制御された変動要因の影響下での有効特性の変動性を分析することです。 (海外の文献では、ANOVA (「分散分析」) と呼ばれています。)

結果として生じる特性は従属特性とも呼ばれ、影響を与える要因は独立特性と呼ばれます。

この方法の制限: 独立した特性は名目、順序、またはメートルスケールで測定できますが、依存特性はメートルスケールでのみ測定できます。分散分析を実行するには、因子特性のいくつかの段階が特定され、すべてのサンプル要素がこれらの段階に従ってグループ化されます。

分散分析における仮説の定式化。

帰無仮説: 「因子 (または因子のグラデーション) のすべての条件で得られる特性の平均値は同じである。」

対立仮説: 「因子の異なる条件下での有効な形質の平均値は異なる。」

分散分析は、以下に応じていくつかのカテゴリに分類できます。

考慮される独立因子の数について。

要因にさらされる結果変数の数について。

性質、取得の性質、および比較された値のサンプル間の関係の存在について。

要因が 1 つあり、その影響を研究する場合、分散分析は 1 要因分析と呼ばれ、次の 2 つのタイプに分類されます。

- 無関係な (つまり、異なる) サンプルの分析 。たとえば、ある回答者グループは静かな環境で問題を解決し、もう 1 つの回答者グループは騒がしい部屋で問題を解決します。 (ちなみに、この場合、帰無仮説は次のようになります。「この種の問題を解くのにかかる平均時間は、静かな部屋でも騒がしい部屋でも同じです。」つまり、騒音には依存しません。要素。）

- リンクされたサンプル分析 つまり、同じ回答者グループに対して異なる条件下で 2 つの測定が実行されました。同じ例です。最初は沈黙の中で問題が解決されましたが、2 回目は同様の問題が騒音の干渉下で解決されました。（実際には、このような実験には注意して取り組む必要があります。なぜなら、説明のつかない要素「学習能力」が作用する可能性があり、研究者はその影響を条件の変化、つまりノイズに帰する危険性があるからです。）

2 つ以上の要因の同時影響を研究する場合、次のように対処します。 多変量分散分析、 サンプルの種類ごとに細分化することもできます。

いくつかの変数が要因の影響を受ける場合、次のことについて話します。 多変量解析 。従属変数が互いに独立しておらず、相互に相関がある場合にのみ、単変量分析よりも多変量分散分析を実行することが望ましいとされます。

一般に、分散分析のタスクは、形質の一般的な変動性から 3 つの特定の変動を特定することです。

研究対象の各独立変数 (因子) の作用によって引き起こされる変動。

研究中の独立変数の相互作用による変動。

すべての説明不能な状況によるランダムな変動。

研究対象の変数の作用とそれらの相互作用によって引き起こされる変動を評価するために、対応する変動指標とランダム変動の比率が計算されます。この関係を示す指標はフィッシャー F 検定です。

影響を与える要因の作用またはそれらの相互作用による特性の変動が大きいほど、基準の経験値は高くなります。 .

基準の計算式では分散の推定値が含まれるため、この方法はパラメトリック法のカテゴリに属します。

独立したサンプルに対する一元配置分散分析のノンパラメトリックな類似物は、クラスカル-ウォレス検定です。これは、2 つの独立したサンプルに対するマン-ホイットニー検定に似ていますが、各サンプルのランクを合計する点が異なります。グループ。

さらに、中央値基準は分散分析にも使用できます。これを使用する場合、グループごとに、すべてのグループに対して計算された中央値を超える観測値の数と中央値未満の観測値の数が決定され、その後 2 次元分割表が構築されます。

フリードマン検定は、比較される変数の数が 2 つ以上である場合に、繰り返し測定が行われたサンプルの場合に対する対応のある t 検定をノンパラメトリックに一般化したものです。

相関分析とは異なり、分散分析では、一部の変数が影響を与える変数 (因子または独立変数と呼ばれる) として機能し、他の変数 (結果特性または従属変数) はこれらの因子の影響を受けるという仮定に基づいて研究が進められます。この仮定は数学的計算手順の基礎となっていますが、それでも原因と結果について結論を導く際には注意が必要です。

たとえば、役人の仕事の成功が要因 H (キャッテルによれば社会的勇気) に依存しているという仮説を立てた場合、その逆も排除されません。つまり、回答者の社会的勇気は、次のような要因によって生じる (増加する) 可能性があります。これは彼の仕事の成功の結果です。一方で、「成功」がどのように正確に測定されたのかを認識する必要があります。それが客観的な特性（今流行の「売上高」など）ではなく、同僚の専門家による評価に基づいている場合、「成功」は行動的または個人的な特性（意欲的、コミュニケーション的、攻撃性の外面的発現など）。

考慮された分散分析スキームは、a) 母集団をグループ (サンプル) に分割する特徴の性質、b) 母集団をグループ (サンプル) に分割する特徴の数、および b) 母集団をグループ (サンプル) に分割する特徴の数に応じて区別されます。 c) サンプリング方法に関する。

特徴値。集団をグループに分けると、一般集団またはそれに近い規模の集団を表すことができます。この場合、分散分析を実行するためのスキームは上で説明したスキームに対応します。異なるグループを形成する特性の値が一般母集団からのサンプルを表す場合、帰無仮説と対立仮説の定式化が変わります。帰無仮説は、グループ間に差がある、つまりグループの平均値にはある程度のばらつきがあるということです。対立仮説は、変動はないというものです。明らかに、このような仮説の定式化では、分散の比較の結果を特定する理由はありません。

グループ化特性の数がたとえば 2 に増加すると、まず帰無仮説の数が増加し、それに応じて対立仮説の数も増加します。この場合、最初の帰無仮説は、最初のグループ化特性のグループの平均値間に差がないことを示し、2 番目の帰無仮説は、2 番目のグループ化特性のグループの平均値に差がないことを示し、最後に3 番目の帰無仮説は、いわゆる因子の相互作用の効果 (グループ化特性) が存在しないことを示しています。

相互作用効果は、2 つの要因の合計効果では説明できない、結果として生じる特性の値の変化として理解されます。提示された 3 つの仮説のペアをテストするには、フィッシャー F テストの 3 つの実際の値を計算する必要があります。これは、変動の総量の分解の次のバージョンを仮定します。

F 基準を取得するために必要な分散は、変動量を自由度の数で割ることによって既知の方法で取得されます。

ご存知のとおり、サンプルは依存する場合と独立する場合があります。サンプルが依存している場合、変動の総量において、いわゆる反復による変動を区別する必要があります。
。孤立していない場合、この変動によりグループ内の変動が大幅に増加する可能性があります (
)、分散分析の結果が歪む可能性があります。

レビュー質問

17-1.分散分析結果の仕様は何ですか?

17-2． Tukey の Q テストはどのような場合に仕様に使用されますか?

17-3.1次、2次などの違いは何ですか？

17-4． Tukey の Q テストの実際の値を見つけるにはどうすればよいですか?

17-5.それぞれの違いに関してどのような仮説が立てられますか?

17-6． Tukey の Q テストのテーブル値は何に依存しますか?

17-7. グループ化特性のレベルがサンプルを表す場合、帰無仮説は何になるでしょうか?

17-8. 2 つの特性に従ってデータをグループ化する場合、変動の総量はどのように計算されますか?

17-9. 繰り返しによる変動はどのような場合に特定されるのか (
) ?

まとめ

分散分析の結果を具体化するためのメカニズムを検討することで、分散分析を完成形にすることができます。 Tukey の Q テストを使用する場合は、制限事項に注意してください。この資料では、分散分析モデルの分類の基本原則についても概説しました。これらは単なる原則であることを強調しなければなりません。各モデルの機能を詳細に調査するには、個別の詳細な調査が必要です。

講義のテスト課題

ANOVA ではどのような統計的特性が仮定されますか?

2つの差異について

1 つの平均との比較

いくつかの平均との比較

1 つの分散との比較

分散分析における対立仮説の内容は何ですか?

比較された分散は互いに等しくない

比較されたすべての平均は互いに等しくありません

少なくとも 2 つの一般平均が互いに等しくない

グループ間の分散がグループ内の分散よりも大きい

分散分析ではどのような有意水準が最もよく使用されますか?

グループ内の変動がグループ間の変動より大きい場合、分散分析を続行するか、それともすぐに H0 または NA を受け入れる必要がありますか?

1. 必要な分散を決定して続行する必要がありますか?

2. 私たちは H0 に同意する必要があります

3. NA に同意する必要があります

グループ内分散がグループ間分散と等しいことが判明した場合、分散分析を行う人はどのようなアクションをとるべきでしょうか?

一般平均は等しいという帰無仮説に同意する

互いに等しくない平均値のペアが少なくとも 1 つ存在するという対立仮説に同意する

フィッシャーの F 検定を計算するとき、分子には常にどのような分散があるべきですか?

グループ内のみ

いずれにせよ、グループ間では、

グループ間がグループ内より大きい場合

フィッシャーの F 検定の実際の値はどうあるべきですか?

常に 1 未満

常に 1 より大きい

1 以上

フィッシャーの F 検定のテーブル値は何に依存しますか?

1. 受け入れられた有意水準から

2. 全体の変動の自由度について

3. 群間変動の自由度について

4. 集団内変動の自由度について

5. フィッシャーの F テストの実際の値から?

分散が等しい各グループの観測値の数を増やすと、受け入れられる可能性が高くなります...

1.帰無仮説

2.対立仮説

3.帰無仮説と対立仮説の両方の受け入れには影響しません

分散分析の結果を指定する意味は何でしょうか?

分散計算が正しく行われたかどうかを確認する

一般的な平均のうちどれが互いに等しいことが判明したかを判断します

一般的な平均のうちどれが互いに等しくないかを判断する

「分散分析の結果を特定すると、すべての一般平均が互いに等しいことが判明した」という記述は本当ですか?

真でも偽でも構いません

これは正しくありません。計算上のエラーが原因である可能性があります

分散分析を指定するときに、すべての一般平均が互いに等しくないという結論に達することは可能ですか?

1. かなりの可能性があります

2. 例外的にあり得る

3.原理的に不可能。

4. 計算に誤りがあった場合のみ可能

フィッシャーの F 検定に従って帰無仮説が受け入れられた場合、分散分析は必要ですか?

1.必須

2.不要

3. 分散分析を行う者の裁量による

Tukey の検定は分散分析の結果を特定するためにどのような場合に使用されますか?

1. グループ（サンプル）内の観測値の数が同じ場合

2. グループ（サンプル）内の観測値の数が異なる場合

3. 等しい数と等しくない数の両方のサンプルがある場合、

怠惰

Tukey 基準に基づく分散分析の結果を指定する場合、NSR は何を表しますか?

1. 平均誤差と基準の実際の値の積

2. 平均誤差と基準の表の値の積

3. サンプル平均間の各差の比率

平均誤差

4. サンプル平均値間の差異

サンプル母集団が 2 つの特性に従ってグループに分割される場合、特性の変動全体を少なくともいくつのソースに分割する必要がありますか?

サンプル (グループ) からの観測値が依存している場合、変動全体をいくつのソース (1 つのグループ化特性) に分割する必要がありますか?

グループ間変動の原因（原因）は何ですか?

チャンスのゲーム

偶然と要素のゲームの複合効果

要因の影響

ANOVA後に判明します

グループ内変動の原因（原因）は何ですか?

1.運のゲーム

2. 偶然と要素のゲームを組み合わせたアクション

3. 要因の作用

4. 分散分析を実行すると明らかになる

特性値がシェアで表されている場合、ソースデータの変換方法はどのような方法が使用されますか?

対数

根の抽出

ファイ変換

講義 8 相関関係

注釈

特性間の関係を研究するための最も重要な方法は相関法です。この講義では、この方法の内容を明らかにし、この関係の分析的表現にアプローチします。コミュニケーションの親密さの指標などの特定の指標に特に注意が払われます

キーワード

相関。最小二乗法。回帰係数。決定係数と相関係数。

対象となる問題

機能的および相関的接続

相関通信方程式を構築する段階。方程式係数の解釈

接続の近さの指標

選択した接続インジケーターの評価

モジュラーユニット 1 相関関係の本質。相関通信方程式を構築する段階、方程式係数の解釈。

モジュラーユニット1の学習の目的と目的相関関係の特徴を理解することにあります。通信方程式を構築するアルゴリズムを習得し、方程式の係数の内容を理解する。

相関関係の本質

自然現象や社会現象には、機能的つながりと相関的つながりという 2 種類のつながりがあります。関数接続では、各引数値は厳密に定義された (1 つまたは複数の) 関数値に対応します。関数関係の例としては、円周と半径の関係があり、これは次の方程式で表されます。
。各半径値 r円周の単一の値に対応します L . 相関関係では、因子特性の各値は、結果として得られる特性の完全には定義されていないいくつかの値に対応します。相関関係の例としては、人の体重（結果的形質）と身長（要因的形質）の関係、施肥量と生産性の関係、価格と提供される商品の量の関係などが挙げられます。相関関係が現れる原因は、原則として、実生活では、有効な属性の値が、ランダムに変化する要素を含む多くの要素に依存するという事実です。たとえば、同じ体重であっても、年齢、性別、栄養、職業、その他多くの要因によって異なります。しかし同時に、一般的に成長が決定的な要因であることは明らかです。これらの状況を考慮すると、相関リンクは、平均して多数の観測値がある場合にのみ確立および評価できる不完全なリンクとして定義される必要があります。

1.2 相関通信方程式を構築する段階.

関数接続と同様に、相関接続も接続方程式で表されます。構築するには、次の手順 (ステージ) を順番に実行する必要があります。

まず、因果関係を理解し、記号の従属関係、つまりどれが原因（要因記号）でどれが結果（結果記号）であるかを見つけなければなりません。特性間の因果関係は、相関法が使用される主題の理論によって確立されます。たとえば、「人体解剖学」の科学では、体重と身長の関係の原因は何か、これらの兆候のどれが要因であるか、その結果を明らかにすることができ、「経済学」の科学では、その論理が明らかになります。価格と供給の関係は、何がどの段階で原因であり、結果が何であるかを確立します。このような予備的な理論的根拠がなければ、さらなる結果の解釈は難しく、場合によっては不合理な結論につながる可能性があります。

因果関係の存在を確立したら、これらの関係を形式化する、つまり通信方程式を使用して表現する必要があり、最初に方程式の種類を選択する必要があります。方程式のタイプを選択するには、いくつかの手法が推奨されます。相関法が使用される主題の理論に目を向けることができます。たとえば、「農業化学」の科学では、収量 - 肥料という関係を表現するためにどの方程式を使用すべきかという問題に対する答えがすでに得られている可能性があります。そのような答えがない場合は、方程式を選択するために、経験的なデータを使用し、それに応じて処理する必要があります。経験的データに基づいて方程式の種類を選択した場合、この種類の方程式を使用して使用されるデータの関係を記述することができることを明確に理解する必要があることをすぐに述べておく必要があります。このデータを処理する主な方法は、因子特性の値が横軸にプロットされ、結果として得られる特性の取り得る値が縦軸にプロットされるグラフを作成することです。定義上、因子属性の同じ値は結果の属性の多くの不確実な値に対応するため、上記のアクションの結果として、相関フィールドと呼ばれる特定の点のセットが得られます。相関フィールドの一般的な外観により、多くの場合、方程式の可能な形式についての仮定が可能になります。現代のコンピューター技術の発展により、方程式を選択する主な方法の 1 つは、さまざまなタイプの方程式を列挙することです。そして、最良のものが、最高の決定係数を提供するものとして選択され、これについては後述する。計算に進む前に、方程式を構築するために使用された経験データが特定の要件をどの程度満たしているかを確認する必要があります。要件は、因子の特性とデータの全体性に関連します。因子特性が複数ある場合、それらは互いに独立している必要があります。全体としては、まず均質でなければならない

（均質性の概念については前述しました）、そして第二に、それは非常に大きいです。各因子特性には少なくとも 8 ～ 10 個の観測値が必要です。

方程式を選択した後の次のステップは、方程式の係数を計算することです。方程式係数の計算は、ほとんどの場合、最小二乗法を使用して実行されます。相関の観点から見ると、最小二乗法の使用は、次のような方程式の係数を取得することから構成されます。
=min、つまり、結果として得られる特性の実際の値の偏差の二乗の合計 ( ) 式( ）が最小値でした。この要件は、いわゆる正規方程式のよく知られた系を構築して解くことによって実現されます。以下の相関関係式として、 yそしてバツ直線の方程式が選択されます
ここで、既知の正規方程式系は次のようになります。

このシステムを解決するにはあるそして b , 必要な係数の値を取得します。係数の計算の正しさは等式によってチェックされます。

分散分析は何に使用されますか? 分散分析の目的は、研究対象の結果として得られる特性の変化に対する定性的または定量的要因の重大な影響の有無を研究することです。そのためには、有意な影響があると考えられる要因とそうでないと考えられる要因を階調クラス（つまりグループ）に分け、平均間の有意性を調べることでその要因の影響が同じかどうかを判断します。因子の段階に対応するデータセット内。例: 企業の利益が使用される原材料の種類に依存すること (この場合、段階クラスは原材料の種類になります)、生産単位あたりの生産コストの企業の部門の規模 (その後、グラデーションクラスは、部門のサイズの特徴です (大、中、小)。

階調クラス（グループ）の最小数は 2 です。卒業クラスは定性的なものと定量的なものがあります。

分散分析はなぜ分散分析と呼ばれるのでしょうか? 分散分析では、2 つの分散間の関係を調べます。ご存知のとおり、分散は平均値を中心としたデータの分散の特性です。 1 つ目は、因子の影響によって説明される分散で、すべてのデータの平均を中心とした因子 (グループ) の階調間の値の分散を特徴付けます。 2 つ目は説明のつかない分散で、グループ自体の平均値を中心としたグラデーション (グループ) 内のデータの分散を特徴付けます。最初の分散はグループ間と呼ばれ、2 番目の分散はグループ内と呼ばれます。これらの分散の比は実際のフィッシャー比と呼ばれ、フィッシャー比の臨界値と比較されます。実際のフィッシャー比が臨界値よりも大きい場合、階調クラスの平均は互いに異なり、調査対象の要因がデータの変化に大きな影響を与えます。これより小さい場合には、平均階調クラスに差異はなく、その要因は大きな影響を及ぼさない。

ANOVA では仮説がどのように定式化され、受け入れられ、拒否されるのでしょうか? 分散分析では、1 つ以上の要因の影響全体の特定の重みが決定されます。因子の影響の重要性は、仮説を検証することによって決定されます。

H0 : μ 1 = μ 2 = ... = μ ある、どこある- 階調クラスの数 - すべての階調クラスが同じ平均値を持ち、
H1 ：すべてではない μ 私等しい - すべての階調クラスが同じ平均値を持つわけではありません。

因子の影響が有意でない場合、この因子の階調クラス間の差異も有意ではなく、分散分析の過程で帰無仮説が立てられます。 H0 拒否されません。因子の影響が大きい場合、帰無仮説は次のようになります。 H0 拒否: すべての階調クラスが同じ平均値を持つわけではありません。つまり、階調クラス間の考えられる差異のうち 1 つ以上が有意です。

分散分析の概念をさらにいくつか説明します。 統計的複素分散分析は、経験的データの表です。グラデーションのすべてのクラスのオプションの数が同じである場合、統計的複素数は均質 (均質) と呼ばれ、オプションの数が異なる場合、不均質 (異質) と呼ばれます。

評価される因子の数に応じて、1 因子分散分析、2 因子分散分析、および多因子分散分析が区別されます。

一因子分散分析: 手法の本質、公式、例

メソッドの本質、公式

これは、統計的複素数の二乗偏差の合計が次のコンポーネントに分割できるという事実に基づいています。

SS = SSα+ SS e,

SSあるある偏差の二乗和、

SSe- 説明のつかない偏差二乗和または誤差偏差二乗和。

スルーした場合 n私各階調クラス (グループ) のオプションの数を示し、あるは因子 (グループ) の階調の総数、は観測値の総数であり、次の式が得られます。

偏差の二乗の合計数: ,

要因の影響で説明されるある偏差の二乗和: ,

説明のつかない偏差二乗和または誤差偏差二乗和: ,

- 観察値の一般的な平均、

（グループ）。

その上、

ここで、は因子（グループ）のグラデーションの分散です。

統計的複合体からのデータの分散の一元配置分析を実行するには、実際のフィッシャー比、つまり因子の影響によって説明される分散 (グループ間) と説明のない分散 (グループ内) の比を見つける必要があります。

それをフィッシャー臨界値と比較します。

分散は次のように計算されます。

説明された分散、

説明できない差異

va = ある − 1 - 説明された分散の自由度の数、

ve = n − ある - 説明のつかない分散の自由度の数、

v = n

有意水準と自由度の特定の値を使用したフィッシャー比の臨界値は、統計表で見つけるか、MS Excel 関数 F.OBR を使用して計算できます (下の図。拡大するには、マウスの左ボタン)。

この機能では、次のデータを入力する必要があります。

確率 - 重要度 α ,

Degrees_freedom1 - 説明された分散の自由度の数 vある,

Degrees_freedom2 - 説明のつかない分散の自由度の数 ve.

フィッシャー比の実際の値が臨界値 () より大きい場合、帰無仮説は有意水準で棄却されます。 α 。これは、要因がデータの変化に大きな影響を及ぼし、データが要因に確率的に依存することを意味します。 P = 1 − α .

フィッシャー比の実際の値が臨界値 () より小さい場合、帰無仮説は有意水準で棄却できません。 α 。これは、その要因が確率的にデータに大きな影響を与えないことを意味します。 P = 1 − α .

一元配置分散分析: 例

例1.使用される原材料の種類が企業の利益に影響を与えるかどうかを調べる必要があります。要因の 6 段階のクラス (グループ) (第 1 タイプ、第 2 タイプなど) で、4 年間にわたる数百万ルーブルの製品 1000 個の生産からの利益に関するデータが収集されます。

原料の種類	2014	2015	2016	2017
1位	7,21	7,55	7,29	7,6
2番目	7,89	8,27	7,39	8,18
3位	7,25	7,01	7,37	7,53
4位	7,75	7,41	7,27	7,42
5位	7,7	8,28	8,55	8,6
6位	7,56	8,05	8,07	7,84

平均	分散
7,413	0,0367
7,933	0,1571
7,290	0,0480
7,463	0,0414
8,283	0,1706
7,880	0,0563

ある= 6 と各クラス (グループ) ni=4観察。観測値の合計数 n = 24 .

自由度の数:

va = ある − 1 = 6 − 1 = 5 ,

ve = n − ある = 24 − 6 = 18 ,

v = n − 1 = 24 − 1 = 23 .

分散を計算してみましょう。

実際のフィッシャー比は臨界値よりも大きいため、次のようになります。

有意水準あり α = 0.05 企業の利益は、生産に使用される原材料の種類に応じて大きく異なると結論付けられます。

あるいは、同じことですが、すべての因子階調クラス (グループ) の平均が等しいという主な仮説を拒否します。

先ほど検討した例では、各因子段階クラスに同じ数のオプションがありました。ただし、導入部分で述べたように、オプションの数は異なる場合があります。そして、これは分散分析の手順を決して複雑にするものではありません。これは次の例です。

例2。生産単位あたりの生産コストが企業部門の規模に依存するかどうかを調べる必要があります。係数（単位サイズ）は、小、中、大の 3 つの段階クラス（グループ）に分けられます。一定期間の同じタイプの製品のユニットの生産コストに関するこれらのグループに対応するデータが要約されます。

	小さい	平均	大きい
	48	47	46
	50	61	57
	63	63	57
	72	47	55
		43	32
		59	59
		58
平均	58,6	54,0	51,0
分散	128,25	65,00	107,60

因子階調クラス（グループ）の数ある= 3、クラス (グループ) 内の観測値の数 n1 = 4 , n2 = 7 , n3 = 6 。観測値の合計数 n = 17 .

自由度の数:

va = ある − 1 = 2 ,

ve = n − ある = 17 − 3 = 14 ,

v = n − 1 = 16 .

偏差の二乗和を計算してみましょう。

分散を計算してみましょう。

実際のフィッシャー比を計算してみましょう。

フィッシャー比の臨界値:

フィッシャー比の実際の値は臨界値より小さいため、企業部門の規模は生産コストに重大な影響を及ぼさないと結論付けます。

あるいは、同じことですが、企業の中小規模、大規模部門の同じ製品の 1 単位を生産する平均コストはそれほど変わらないという主な仮説を 95% の確率で受け入れます。

MS Excel での一元配置分散分析

一元配置分散分析は MS Excel 手順を使用して実行できます。 一元配置分散分析。これを使用して、例 1 から使用される原材料の種類と企業の利益の関係に関するデータを分析します。

サービス/データ分析分析ツールを選択します 一元配置分散分析.

窓の中で 入力間隔データ領域を示します (この例では $A$2:$E$7 です)。因子がどのようにグループ化されるかを列ごとまたは行ごと (この場合は行ごと) に示します。最初の列に因子クラスの名前が含まれている場合は、ボックスにマークを付けます 最初の列のラベル。窓の中で アルファ重要性のレベルを示す α = 0,05 .

2 番目の表 - 分散分析 - には、グループ間およびグループ内の因子の値と合計に関するデータが含まれています。これは、偏差の二乗和 (SS)、自由度の数 (df)、分散 (MS) です。最後の 3 つの列には、フィッシャー比の実際の値 (F)、p レベル (P 値)、およびフィッシャー比の臨界値 (F crit) が含まれています。


MS	F	P値	Fクリティカル
0,58585	6,891119	0,000936	2,77285
0,085017

フィッシャー比の実際の値 (6.89) は臨界値 (2.77) より大きいため、95% の確率で、すべての種類の原材料を使用した場合の平均生産性の等しいという帰無仮説を棄却します。使用される原材料の種類が営利企業に影響を与えると結論付けています。

反復なしの二因子分散分析: 方法の本質、計算式、例

2 因子分散分析は、結果の特性が 2 つの因子に依存する可能性をチェックするために使用されます。あそして B。それからある- 因子階調数あそして b- 因子階調数 B。統計的複素数では、残差二乗和は 3 つの成分に分割されます。

SS = SSα+ SS b+ SS e,

- 偏差の二乗合計、

- 要因の影響によって説明されるあ偏差の二乗和、

- 要因の影響によって説明される B偏差の二乗和、

- 観察値の一般的な平均、

各因子段階における観測値の平均あ ,

B .

あ ,

因子の影響によって説明される分散 B ,

va = ある − 1 あ ,

vb = b − 1 - 因子の影響によって説明される分散の自由度の数 B ,

ve = ( ある − 1)(b − 1)

v = 腹筋− 1 - 自由度の総数。

因子が互いに依存していない場合、因子の重要性を判断するために、2 つの帰無仮説と対応する対立仮説が提案されます。

因子についてあ :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ ああ,

H1 ：すべてではない μ iA等しい;

因子について B :

H0 : μ 1B = μ 2B = ... = μ aB,

H1 ：すべてではない μ iBは同じ。

あ

要因の影響を判断するには B、実際のフィッシャーの態度と批判的なフィッシャーの態度を比較する必要があります。

α P = 1 − α .

反復なしの二元配置分散分析: 例

例 3.情報は、エンジンのサイズと燃料の種類に応じて、100 キロメートルあたりの平均燃料消費量をリットルで示します。

燃料消費量がエンジンのサイズや燃料の種類に依存するかどうかを確認する必要があります。

解決。因子についてあ階調クラス数ある= 3、係数の場合 B階調クラス数 b = 3 .

偏差の二乗和を計算します。

対応する差異:

あ。実際のフィッシャー比は臨界値より小さいため、95% の確率で、エンジンのサイズは燃料消費量に影響を与えないという仮説を受け入れます。ただし、有意水準を選択すると、 α = 0.1、次にフィッシャー比の実際の値、そして 95% の確率で、エンジン容積が燃料消費量に影響を与えることを受け入れることができます。

因子に対するフィッシャーの実際の比率 B 、フィッシャー比の臨界値: 。実際のフィッシャー比はフィッシャー比の臨界値よりも大きいため、燃料の種類がその消費量に影響を与えることを 95% の確率で受け入れます。

MS Excel での反復なしの二元配置分散分析

反復なしの 2 因子分散分析は、MS Excel 手順を使用して実行できます。これを使用して、例 3 の燃料の種類とその消費量の関係に関するデータを分析します。

MS Excel メニューで、次のコマンドを実行します。 サービス/データ分析分析ツールを選択します 反復なしの二元配置分散分析.

一元配置分散分析の場合と同じ方法でデータを入力します。

この手順の結果、2 つのテーブルが表示されます。最初のテーブルは合計です。これには、因子グラデーションのすべてのクラスに関するデータ (観測値の数、合計値、平均値、分散) が含まれています。

2 番目の表 - 分散分析 - には、行間の分散、列間の分散、誤差分散、総分散、偏差二乗和 (SS)、自由度 (df)、分散 (MS) といった変動の原因に関するデータが含まれています。最後の 3 つの列には、フィッシャー比の実際の値 (F)、p レベル (P 値)、およびフィッシャー比の臨界値 (F crit) が含まれています。


MS	F	P値	Fクリティカル
3,13	5,275281	0,075572	6,94476
8,043333	13,55618	0,016529	6,944276
0,593333

要素あ（エンジン排気量）が行にグループ化されています。実際のフィッシャー比 5.28 は臨界値の 6.94 より小さいため、95% の確率で燃料消費量がエンジンサイズに依存しないことを受け入れます。

要素 B(燃料の種類) が列にグループ化されています。実際のフィッシャー比 13.56 は臨界比 6.94 より大きいため、95% の確率で燃料消費量がそのタイプに依存することを受け入れます。

反復による二因子分散分析: 方法の本質、計算式、例

反復による 2 因子分散分析は、結果の特性が 2 つの因子に依存する可能性をチェックするだけでなく、あそして Bだけでなく、要因の相互作用の可能性も考えられます。あそして B。それからある- 因子階調数あそして b- 因子階調数 B, r- 繰り返しの数。統計的複素数では、残差二乗和は 4 つの成分に分割されます。

SS = SSα+ SS b+ SS腹筋+ SS e,

- 偏差の二乗合計、

- 要因の影響によって説明されるあ偏差の二乗和、

- 要因の影響によって説明される B偏差の二乗和、

- 要因の相互作用の影響によって説明されるあそして B偏差の二乗和、

- 説明のつかない偏差二乗和または誤差偏差二乗和、

- 観察値の一般的な平均、

- 各因子段階における観測値の平均あ ,

- 各因子段階における観測値の平均数 B ,

因子グラデーションの各組み合わせにおける観測値の平均数あそして B ,

n = アブ- 観測の総数。

分散は次のように計算されます。

因子の影響によって説明される分散あ ,

因子の影響によって説明される分散 B ,

- 要因の相互作用によって説明される分散あそして B ,

- 説明できない分散またはエラー分散、

va = ある − 1 - 因子の影響によって説明される分散の自由度の数あ ,

vb = b − 1 - 因子の影響によって説明される分散の自由度の数 B ,

vab = ( ある − 1)(b − 1) - 因子の相互作用によって説明される分散の自由度の数あそして B ,

ve = 腹筋(r − 1) - 説明のつかない分散または誤差分散の自由度の数、

v = アブ− 1 - 自由度の総数。

因子が互いに依存しない場合、因子の重要性を判断するために、3 つの帰無仮説と対応する対立仮説が提案されます。

因子についてあ :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ ああ,

H1 ：すべてではない μ iA等しい;

因子について B :

要因の相互作用の影響を判断するにはあそして B、実際のフィッシャーの態度と批判的なフィッシャーの態度を比較する必要があります。

実際のフィッシャー比が臨界フィッシャー比より大きい場合、帰無仮説は有意水準で棄却される必要があります。 α 。これは、要因がデータに大きな影響を与えることを意味します。データは確率で要因に依存します。 P = 1 − α .

実際のフィッシャー比が臨界フィッシャー比より小さい場合、帰無仮説は有意水準で受け入れられる必要があります。 α 。これは、その要因が確率的にデータに大きな影響を与えないことを意味します。 P = 1 − α .

反復を伴う二元配置分散分析: 例

要因の相互作用についてあそして B: フィッシャーの実際の比率はそれほど重要ではないため、広告キャンペーンと特定の店舗の相互作用は重要ではありません。

MS Excel での反復による二元配置分散分析

反復を使用した二元配置分散分析は、MS Excel 手順を使用して実行できます。これを使用して、店舗の収入と、例 4 の特定の店舗および広告キャンペーンの選択との関係に関するデータを分析します。

MS Excel メニューで、次のコマンドを実行します。 サービス/データ分析分析ツールを選択します 反復を伴う二元配置分散分析.

反復なしの 2 因子分散分析の場合と同じ方法でデータを入力します。さらに、サンプルウィンドウの行数に反復数を入力する必要があります。

この手順の結果、2 つのテーブルが表示されます。最初のテーブルは 3 つの部分で構成されます。最初の 2 つは 2 つの広告キャンペーンのそれぞれに対応し、3 番目のテーブルには両方の広告キャンペーンに関するデータが含まれます。テーブルの列には、2 番目の因子のすべての階調クラスに関する情報 (観測値の数、合計値、平均値、分散) が含まれています。

2 番目のテーブルには、偏差二乗和 (SS)、自由度 (df)、分散 (MS)、フィッシャー比の実際の値 (F)、p レベル (P 値)、およびさまざまな変動要因に対するフィッシャー比の臨界値 (F crit): 行 (サンプル) と列で示される 2 つの因子、因子の相互作用、誤差 (内) および合計指標 (合計)。


MS	F	P値	Fクリティカル
8,013339	0,500252	0,492897	4,747221
189,1904	11,81066	0,001462	3,88529
6,925272	0,432327	0,658717	3,88529
16,01861

因子について B実際のフィッシャー比率は臨界比率よりも大きいため、店舗間で収益が大きく異なる可能性が 95% あります。

要因の相互作用についてあそして Bフィッシャーの実際の比率はそれほど重要ではないため、95% の確率で、広告キャンペーンと特定の店舗の相互作用は重要ではありません。

「数学統計」に関するすべてのトピック

この記事では分散分析について説明します。そのアプリケーションの特徴が分析され、分散分析の方法と分散分析を使用するための条件が提供されます。この方法を使用する必要性は認識されており、正当化されています。実施された調査に基づいて、古典的な分散分析の段階が提供されます。

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分散分析の主な目的は、平均間の差異の重要性を調べることです。 2 つのサンプルの平均を単純に比較する場合、分散分析では通常の分析と同じ結果が得られます。そ、独立サンプルの検定 (オブジェクトまたは観測値の 2 つの独立したグループを比較する場合)、または依存サンプルの t 検定 (オブジェクトまたは観測値の同じセット上の 2 つの変数を比較する場合)。

分散分析は、特定の要因によりこの名前が付けられています。平均を比較する手順が分散分析と呼ばれるのは奇妙に思えるかもしれません。実際には、これは、2 つ (またはそれ以上) のグループの平均間の差の統計的有意性を調べるとき、実際にはサンプルの分散を比較 (つまり、分析) しているためです。分散分析の基本的な概念は 1920 年にフィッシャーによって提案されました。おそらく、二乗和分析または変動分析という用語がより自然ですが、伝統により、分散分析という用語が使用されます。

分散分析は、平均値の差の重要性を調べることによって実験データの依存関係を検索することを目的とした数理統計の手法です。 t 検定とは異なり、3 つ以上のグループの平均値を比較できます。実験研究の結果を分析するために R. Fischer によって開発されました。文献では、ANOVA という名称も見られます。 分散分析).

市場調査を行う場合、結果の比較可能性の問題がよく起こります。たとえば、国内のさまざまな地域で製品の消費に関する調査を実施する場合、調査データが互いにどの程度異なるか、または差異がないかを結論付ける必要があります。個々の指標を比較することは意味がないため、比較とその後の評価手順は、いくつかの平均値とこの平均評価からの偏差を使用して実行されます。形質の変異が研究されています。分散は変動の尺度として捉えることができます。分散 σ 2 は変動の尺度であり、特性の偏差の 2 乗の平均として定義されます。

実際には、より一般的な性質の問題、つまりいくつかのサンプル母集団の平均における差異の有意性をチェックする問題が頻繁に発生します。例えば、肥料の量が農作物の収量に与える影響の問題を解決するには、さまざまな原材料が製品の品質に与える影響を評価する必要があります。製品。

分散分析は、いくつかの母集団の均一性を確立するために使用されることがあります（これらの母集団の分散は仮定により同じです。分散分析によって数学的期待が同じであることが示された場合、この意味で母集団は均一です）。同種の集団を 1 つに結合することで、その集団に関するより完全な情報が得られ、より信頼性の高い結論が得られます。

分散分析法

フィッシャー法 - F 検定。この方法は一元配置分散分析で使用され、すべての観察値の合計分散が個々のグループ内の分散とグループ間の分散に分解されます。
「一般線形モデル」方式。これは、多変量解析で使用される相関分析または回帰分析に基づいています。

1 因子分散モデルの形式は次のとおりです: x ij = μ + F j + ε ij 、
ここで、x ij は、j 番目のシリアル番号 (j=1,2,..) を持つ因子の i 番目のレベル (i=1,2,...,t) で取得された調査対象の変数の値です。 .,n); F i – 因子の i 番目のレベルの影響によって引き起こされる効果。 ε ij – ランダム成分、または制御不可能な要因の影響によって引き起こされる外乱。特定のレベル内の変化。

分散分析の最も単純なケースは、すべてのグループが 1 つの特性に従って結合される場合の、2 つ以上の独立したグループに対する一変量一元配置分析です。分析中に、平均値が等しいという帰無仮説がテストされます。 2 つのグループを分析する場合、分散分析は 2 サンプル分析と同じです。 t-独立したサンプルに対する学生のテストとその値 F-統計は対応する値の二乗に等しい t-統計。

分散が等しいことを確認するには、通常、リーベン基準が使用されます ( レヴーンのテスト）。分散が等しいという仮説が拒否された場合、メインの分析は適用できません。分散が等しい場合、グループ間変動とグループ内変動の比率を推定するには、次の式を使用します。 F- フィッシャー基準。 F- 統計量が臨界値を超えると、帰無仮説は棄却され、平均の不平等について結論が下されます。 2 つのグループの平均を分析する場合、結果はフィッシャーテストの適用後に直接解釈できます。

多くの要因。世界は本質的に複雑かつ多次元です。特定の現象が 1 つの変数で完全に記述される状況は、非常にまれです。たとえば、大きなトマトの栽培方法を学ぼうとしている場合、植物の遺伝的構造、土壌の種類、光、温度などに関連する要因を考慮する必要があります。したがって、典型的な実験を行う場合には、多数の要因に対処する必要があります。系列を使用して異なる因子レベルで 2 つのサンプルを繰り返し比較するよりも、ANOVA を使用する方が好ましい主な理由そ、基準は、分散分析が大幅に高いことです。 効果的サンプルが小さい場合は、より多くの情報が得られます。 STATISTICA に実装されている ANOVA 手法を習得し、特定の研究でその利点を最大限に体験するには、ある程度の努力が必要です。

2 因子分散モデルの形式は次のとおりです。

x ijk =μ+F i +G j +I ij +ε ijk 、

ここで、x ijk は番号 k のセル ij の観測値です。 μ - 全体の平均。 F i - 因子 A の i 番目のレベルの影響によって引き起こされる効果。 G j - 因子 B の j 番目のレベルの影響によって引き起こされる効果。 I ij - 2 つの要素の相互作用によって引き起こされる効果、つまりモデルの最初の 3 つの項の合計からのセル ij の観測平均からの偏差。 ε ijk は、単一セル内の変数の変動によって引き起こされる外乱です。 ε ijk には正規分布則 N(0; c 2) があり、すべての数学的期待値 F *、G *、I i *、I * j はゼロに等しいと仮定します。

分散分析を使用するには次の条件があります。

研究の目的は、結果に対する 1 つ（最大 3 つ）の要因の影響の強さを判断すること、またはさまざまな要因（性別と年齢、身体活動と栄養など）の組み合わせた影響の強さを判断することです。
研究対象の要因は、互いに独立している (関連していない) 必要があります。たとえば、職歴と年齢、子供の身長と体重などの共同影響を研究することは不可能です。人口の罹患率について。
研究のグループの選択はランダムに行われます (ランダム選択)。オプションの選択におけるランダム性の原則を実装した分散複合体の組織化は、ランダム化（英語から翻訳されたもの - ランダム）と呼ばれます。ランダムに選ばれます。
定量的特性と定性的 (属性的) 特性の両方を使用できます。

一元配置分散分析を実行する場合は、次のことが推奨されます (使用の必要条件)。

分析されたグループの分布の正規性、または正規分布をもつ一般母集団に対するサンプルグループの対応。
グループ内の観測値の分布の独立性 (関連性ではない)。
観測の頻度 (繰り返し) の利用可能性。

分布の正規性は、関数 y=f(x) で記述できるガウス曲線 (De Mavoor) によって決まります。これは、ランダムで確率的な現象の記述を近似するために使用される分布則の 1 つであるためです。本来は。生物医学研究の主題は確率論的現象であり、そのような研究では正規分布がよく見られます。

古典的な分散分析は次の段階で実行されます。

分散複合体の構築。
平均二乗偏差の計算。
分散の計算。
因子分散と残差分散の比較。
Fisher-Snedecor 分布の理論値を使用した結果の評価
分散分析の現代の応用は、経済学、生物学、テクノロジーの幅広い問題をカバーしており、通常は、特定の変化する条件下で行われた直接測定の結果間の系統的な差異を特定する統計理論の観点から解釈されます。
分散分析の自動化のおかげで、研究者はデータ計算に費やす時間と労力を節約しながら、コンピュータを使用してさまざまな統計研究を行うことができます。現在、分散解析装置を実装したアプリケーションソフトウェアは数多く存在する。最も一般的なソフトウェア製品は次のとおりです。MS Excel、Statistica。スタジアム; SPSS。

ほとんどの統計手法は、最新の統計ソフトウェア製品に実装されています。アルゴリズムプログラミング言語の開発により、統計データを処理するための追加のブロックを作成できるようになりました。

分散分析は、心理学、生物学、医学、その他の科学における実験データを処理および分析するための強力な最新の統計手法です。これは、実験研究を設計および実施するための具体的な方法論と非常に密接に関係しています。

分散分析は、研究対象の変数に対するさまざまな要因の影響を分析する必要がある科学研究のすべての分野で使用されます。

参考文献

Ableeva, A.M. 連邦州教育基準の条件における評価ツール基金の形成 [本文] / A. M. Ableeva, G. A. Salimova // 高等教育の近代化の文脈における社会、人道、自然科学および技術分野の教育における現在の問題教育: 材料国際科学および方法論会議、2014 年 4 月 4 ～ 5 日 / バシキール国立農業大学、情報技術および管理学部。 - ウファ、2014年。 - ページ11-14。
ガニエバ、A.M. 雇用・失業の統計分析［文］／A.M. ガニエバ、T.N. Lubova // 経済統計研究と情報技術の現在の問題: 論文集。科学的芸術：バシキール国立農業大学「経済統計と情報システム」学部創設40周年を記念して。 - ウファ、2011年。 - pp. 315-316。
イスマジロフ、R. R. クリエイティブグループ - 高等教育における科学研究を組織する効果的な形態 [本文] / R. R. イスマジロフ、M. Kh. ウラズリン、D. R. イスラムグロフ // 地域の科学的、技術的および科学教育複合体: 問題と発展の見通し:科学実践会議の資料 / ベラルーシ共和国科学アカデミー、UGATU。 - ウファ、1999 - ページ 105-106。
イスラムグロフ、DR 教育に対する能力に基づくアプローチ: 教育の質の評価 [本文] / D.R. イスラムグロフ、T.N. ルボバ、I.R. Islamgulova // 現代科学速報。 – 2015. – T. 7. – No. 1. – P. 62-69。
Islamgulov, D. R. 学生の研究活動は、農業大学における専門家養成の最も重要な要素である [本文] / D. R. Islamgulov // 現段階における大学における学生実習の問題点とその解決方法：コレクション。材料科学的手法。会議、2007年4月24日 / バシキール国立農業大学。 - ウファ、2007 - ページ 20-22。
ルボバ、T.N. 連邦州の教育基準の実施の基礎は、コンピテンシーベースのアプローチです [本文] / T.N. ルボバ、DR I.R.イスラムグロフ Islamgulova // BODEST RESEARCH - 2016: 2016 年 2 月 15 ～ 22 日開催の XII 国際科学実践会議の資料。 - ソフィア: Byal GRAD-BG OOD、2016。 - 第 4 巻教育科学。 – ページ 80-85。
ルボバ、T.N. 新しい教育基準: 実装の特徴 [文] / T.N. ルボバ、DR イスラムグロフ // 現代科学速報。 – 2015. – T. 7. – No. 1. – P. 79-84。
ルボバ、T.N. 学生の自主制作活動の組織化 [文] / T.N. ルボバ、DR イスラムグロフ // 高等教育の連邦国家教育基準の枠組み内での高等教育の教育プログラムの実施：環境管理と水に関する国家医療評議会の訪問会議の枠組み内での全ロシア科学的および方法論的会議の資料高等教育制度における連邦教育機関の利用。 /バシキール国立農業大学。 - ウファ、2016 - ページ 214-219。
ルボバ、T.N. 連邦州の教育基準の実施の基礎は、コンピテンシーベースのアプローチです [本文] / T.N. ルボバ、DR I.R.イスラムグロフ Islamgulova // 現代科学速報。 – 2015. – T. 7. – No. 1. – P. 85-93。
サウバノバ、L.M. 人口統計的負荷レベル [テキスト] / L.M. サウバノバ、T.N. Lubova // 経済統計研究と情報技術の現在の問題: 論文集。科学的芸術：バシキール国立農業大学「経済統計と情報システム」学部創設40周年を記念して。 - ウファ、2011年。 - P. 321-322。
ファクルリナ、A.R. ロシアのインフレの統計分析 [文] / A.R. ファクルリナ、T.N. Lubova // 経済統計研究と情報技術の現在の問題: 論文集。科学的芸術：バシキール国立農業大学「経済統計と情報システム」学部創設40周年を記念して。 - ウファ、2011年。 - pp. 323-324。
ファルクディノバ、A.T. 2012 年のバシコルトスタン共和国の労働市場 [電子リソース] / A.T. ファルクディノバ、T.N. ルボバ // 学生科学フォーラム。 V国際学生電子学術会議資料：電子学術会議（電子コレクション）。ロシア自然科学アカデミー。 2013年。