Normālā sadalījuma definīcija. Gadījuma lieluma normāls sadalījums. Normālā sadalījuma procentu punktu aprēķināšana, izmantojot STATISTICA varbūtības kalkulatoru

1. definīcija

Nejaušam lielumam $X$ ir normāls sadalījums (Gausa sadalījums), ja tā sadalījuma blīvumu nosaka pēc formulas:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Šeit $aϵR$ ir matemātiskā cerība, un $\sigma >0$ ir standarta novirze.

Normālā sadalījuma blīvums.

Parādīsim, ka šī funkcija patiešām ir sadalījuma blīvums. Lai to izdarītu, pārbaudiet šādu nosacījumu:

Apsveriet nepareizo integrāli $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a)) ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

Veiksim aizstāšanu: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Tā kā $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ ir pāra funkcija, tad

Vienādība ir izpildīta, kas nozīmē funkciju $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2 )(2 (\sigma )^2))$ patiešām ir kāda nejauša lieluma sadalījuma blīvums.

Apskatīsim dažas vienkāršas normālā sadalījuma varbūtības blīvuma funkcijas $\varphi \left(x\right)$ īpašības:

1. Normālā sadalījuma varbūtības blīvuma funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret taisni $x=a$.
2. Funkcija $\varphi \left(x\right)$ sasniedz maksimumu pie $x=a$ un $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. Funkcija $\varphi \left(x\right)$ samazinās kā $x>a$ un palielinās kā $x
4. Funkcijai $\varphi \left(x\right)$ ir locījuma punkti $x=a+\sigma $ un $x=a-\sigma $.
5. Funkcija $\varphi \left(x\right)$ asimptotiski tuvojas $Ox$ asij kā $x\to \pm \infty $.
6. Shematiskais grafiks izskatās šādi (1. attēls).

1. attēls. Zīm. 1. Normālā sadalījuma blīvuma grafiks

Ņemiet vērā, ka, ja $a=0$, tad funkcijas grafiks ir simetrisks pret $Oy$ asi. Tāpēc funkcija $\varphi \left(x\right)$ ir pāra.

Normālā varbūtības sadalījuma funkcija.

Lai atrastu varbūtības sadalījuma funkciju normālam sadalījumam, mēs izmantojam šādu formulu:

Tāpēc

2. definīcija

Funkciju $F(x)$ sauc par standarta normālo sadalījumu, ja $a=0,\ \sigma =1$, tas ir:

Šeit $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - Laplasa funkcija.

3. definīcija

Funkcija $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ sauc par varbūtības integrāli.

Normālā sadalījuma skaitliskās īpašības.

Matemātiskā cerība: $M\left(X\right)=a$.

Novirze: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

Vidējais kvadrātveida sadalījums: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

1. piemērs

Problēmas risināšanas piemērs par normālā sadalījuma jēdzienu.

1. problēma: Ceļa garums $X$ ir nejaušs nepārtraukts mainīgais. $X$ tiek sadalīts saskaņā ar parastā sadalījuma likumu, kura vidējā vērtība ir vienāda ar $4$ kilometriem, un standarta novirze ir vienāda ar $100$ metriem.

1. Atrodiet sadalījuma blīvuma funkciju $X$.
2. Uzzīmējiet sadalījuma blīvuma shematisku grafiku.
3. Atrodiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma funkciju.
4. Atrodiet dispersiju.

1. Sākumā iedomāsimies visus daudzumus vienā dimensijā: 100m=0,1km

No 1. definīcijas mēs iegūstam:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0.1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0.02 ))\]

(tā kā $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

1. Izmantojot sadalījuma blīvuma funkcijas īpašības, iegūstam, ka funkcijas $\varphi \left(x\right)$ grafiks ir simetrisks attiecībā pret taisni $x=4$.

Funkcija sasniedz maksimumu punktā $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

Shematiskā diagramma izskatās šādi:

2. attēls.

1. Pēc sadalījuma funkcijas definīcijas $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, mums ir:

1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.

(īsts, stingri pozitīvs)

Normāls sadalījums, ko sauc arī par Gausa sadalījums vai Gauss - Laplass- varbūtības sadalījums, ko viendimensijas gadījumā nosaka varbūtības blīvuma funkcija, kas sakrīt ar Gausa funkciju:

kur parametrs μ ir sadalījuma paredzamā (vidējā vērtība), mediāna un veids, bet parametrs σ ir sadalījuma standartnovirze (σ² ir dispersija).

Tādējādi viendimensijas normālais sadalījums ir divu parametru sadalījumu saime. Daudzfaktoru gadījums ir aprakstīts rakstā “Daudzfaktoru normālais  sadalījums.

Standarta normālais sadalījums sauc par normālu sadalījumu ar matemātisko cerību μ = 0 un standartnovirzi σ = 1.

Enciklopēdisks YouTube

• 1 / 5

  Normālā sadalījuma nozīme daudzās zinātnes jomās (piemēram, matemātiskā statistika un statistiskā fizika) izriet no varbūtības teorijas centrālās robežu teorēmas. Ja novērojuma rezultāts ir daudzu nejaušu, vāji savstarpēji atkarīgu lielumu summa, no kuriem katrs dod nelielu ieguldījumu attiecībā pret kopējo summu, tad, palielinoties terminu skaitam, centrētā un normalizētā rezultāta sadalījums mēdz būt normāls. Šis varbūtības teorijas likums izraisa normālā sadalījuma plašu izplatību, kas bija viens no tā nosaukuma iemesliem.

  Īpašības

  Momenti

  Ja nejaušie mainīgie X 1 (\displaystyle X_(1)) Un X 2 (\displaystyle X_(2)) ir neatkarīgi un tiem ir normāls sadalījums ar matemātiskām prognozēm μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Un μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) un dispersijas σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Un σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) attiecīgi, tad X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) ir arī normāls sadalījums ar matemātisko cerību μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) un dispersiju σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2). No tā izriet, ka normālu gadījuma lielumu var attēlot kā patvaļīga skaita neatkarīgu normālu gadījuma lielumu summu.

  Maksimālā entropija

  Normālajam sadalījumam ir maksimālā diferenciālā entropija starp visiem nepārtrauktajiem sadalījumiem, kuru dispersija nepārsniedz noteiktu vērtību.

  Normālu pseidogadījuma mainīgo modelēšana

  Vienkāršākās aptuvenās modelēšanas metodes ir balstītas uz centrālo robežu teorēmu. Proti, ja pievieno vairākus neatkarīgus identiski sadalītus lielumus ar ierobežotu dispersiju, tad summa tiks sadalīta aptuveni Labi. Piemēram, ja standartā pievienojat 100 neatkarīgus vienmērīgi sadalītos gadījuma lielumus, tad summas sadalījums būs aptuveni normāli.

  Normāli sadalītu pseidogadījuma mainīgo programmatiskajai ģenerēšanai vēlams izmantot Box-Muller transformāciju. Tas ļauj ģenerēt vienu normāli sadalītu vērtību, pamatojoties uz vienu vienmērīgi sadalītu vērtību.

  Normāls sadalījums dabā un lietojumos

  Normāls sadalījums bieži sastopams dabā. Piemēram, šādi nejaušie mainīgie ir labi modelēti ar normālo sadalījumu:

  • novirze šaušanas laikā.
  • mērījumu kļūdas (tomēr dažu mērinstrumentu kļūdām nav normālu sadalījumu).
  • dažas dzīvo organismu īpašības populācijā.

  Šis sadalījums ir tik plaši izplatīts, jo tas ir bezgalīgi dalāms nepārtraukts sadalījums ar ierobežotu dispersiju. Tāpēc daži citi tam tuvojas robežās, piemēram, binomiāls un Puasons. Šis sadalījums modelē daudzus nedeterministiskus fiziskos procesus.

  Saistība ar citiem sadalījumiem

  • Normālais sadalījums ir Pīrsona XI tipa sadalījums.
  • Neatkarīgu standarta normāli sadalītu gadījuma lielumu pāra attiecībai ir Košī sadalījums. Tas ir, ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) atspoguļo attiecību X = Y/Z (\displaystyle X=Y/Z)(Kur Y (\displaystyle Y) Un Z (\displaystyle Z)- neatkarīgi standarta normālie gadījuma mainīgie), tad tam būs Košī sadalījums.
  • Ja z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- kopīgi neatkarīgi standarta normālie gadījuma mainīgie, tas ir z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), tad nejaušais mainīgais x = z 1 2 + … + z k 2 (\displeja stils x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ir hī kvadrāta sadalījums ar k brīvības pakāpēm.
  • Ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) ir pakļauts lognormālajam sadalījumam, tad tā dabiskajam logaritmam ir normāls sadalījums. Tas ir, ja X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Un otrādi, ja Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \pa labi)).
  • Divu standarta parasto gadījuma lielumu kvadrātu attiecība ir

  Nepārtraukta gadījuma lieluma normālā varbūtības sadalījuma likums ieņem īpašu vietu starp dažādiem teorētiskajiem likumiem, jo ​​tas ir būtisks daudzos praktiskos pētījumos. Tas apraksta lielāko daļu nejaušo parādību, kas saistītas ar ražošanas procesiem.

  Nejaušas parādības, kas pakļaujas normālā sadalījuma likumam, ietver ražošanas parametru mērījumu kļūdas, ražošanas tehnoloģisko kļūdu sadalījumu, vairuma bioloģisko objektu augstumu un svaru utt.

  Normāls ir nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma likums, ko apraksta ar diferenciālo funkciju

  a - gadījuma lieluma matemātiskā gaidīšana;

  Normālā sadalījuma standartnovirze.

  Normālā sadalījuma diferenciālās funkcijas grafiku sauc par normālo līkni (Gausa līkni) (7. att.).

  

  Rīsi. 7 Gausa līkne

  Parastās līknes (Gausa līknes) īpašības:

  1. līkne ir simetriska pret taisni x = a;

  2. normālā līkne atrodas virs X ass, t.i., visām X vērtībām funkcija f(x) vienmēr ir pozitīva;

  3. Vērša ass ir grafa horizontālā asimptote, jo

  4. ja x = a, funkcijas f(x) maksimums ir vienāds ar

  ,

  punktos A un B pie un līknei ir lēciena punkti, kuru ordinātas ir vienādas.

  

  Tajā pašā laikā varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs standartnovirzi, ir vienāda ar 0,6826.

  punktos E un G, un , funkcijas f(x) vērtība ir vienāda ar

  

  un varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs divas reizes standarta novirzi, ir 0,9544.

  Asimptotiski tuvojoties x asij, Gausa līkne punktos C un D, ​​pie un , tuvojas x asij ļoti tuvu. Šajos punktos funkcijas f(x) vērtība ir ļoti maza

  

  un varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs trīs reizes lielāku standartnovirzi, ir 0,9973. Šo Gausa līknes īpašību sauc par " trīs sigmu noteikums".

  
  
  

  Ja gadījuma lielums ir sadalīts normāli, tad tā novirzes no matemātiskās cerības absolūtā vērtība nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes.

  Parametra a vērtības maiņa (nejaušam lieluma matemātiskā cerība) nemaina normālās līknes formu, bet tikai noved pie tā pārvietošanas pa X asi: pa labi, ja a palielinās, un pa kreisi, ja a samazinās.

  Ja a=0, normālā līkne ir simetriska attiecībā pret ordinātu.

  Mainot parametra vērtību (standarta novirzi), mainās normālās līknes forma: palielinoties normālās līknes ordinātām, tās samazinās, līkne stiepjas pa X asi un tiek nospiesta pret to. Samazinoties, parastās līknes ordinātas palielinās, līkne sarūk gar X asi un kļūst “smailāka”.

  Tajā pašā laikā jebkurai vērtībai un laukumam, ko ierobežo normālā līkne un X ass, paliek vienāds ar vienu (t.i., varbūtība, ka normāli sadalīts gadījuma lielums pieņems vērtību, kas robežojas ar normālās līknes X asi ir vienāds ar 1).

  Normāls sadalījums ar patvaļīgiem parametriem un , t.i., aprakstīts ar diferenciālo funkciju

  

  sauca vispārējais normālais sadalījums.

  Tiek izsaukts normāls sadalījums ar parametriem normalizēts sadalījums(8. att.). Normalizētā sadalījumā diferenciālā sadalījuma funkcija ir vienāda ar:

  

  Rīsi. 8 Normalizēta līkne

  Vispārējā normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija ir šāda:

  Lai gadījuma lielums X ir sadalīts saskaņā ar normālo likumu intervālā (c, d). Tad varbūtība, ka X pieņems vērtību, kas pieder intervālam (c, d), ir vienāda ar

  

  Piemērs. Nejaušais lielums X tiek sadalīts saskaņā ar parasto likumu. Šī nejaušā lieluma matemātiskā prognoze un standartnovirze ir vienāda ar a=30 un . Atrodiet varbūtību, ka X iegūs vērtību intervālā (10, 50).

  Pēc nosacījuma:. Tad

  Izmantojot jau gatavas Laplasa tabulas (skat. 3. pielikumu), mums ir.

  Praksē visbiežāk sastopams parastās sadales likums. Galvenā iezīme, kas to atšķir no citiem likumiem, ir tā, ka tas ir ierobežojošs likums, kuram ļoti izplatītos tipiskos apstākļos tuvojas citi izplatīšanas likumi.

  Definīcija. Nepārtrauktam gadījuma mainīgajam X ir normāls likums izplatīšana(Gausa likums )ar parametriem a un σ 2, ja tā varbūtības blīvums f(x) izskatās kā:

  .

  (6.19)

  Tiek saukta normālā sadalījuma līkne normāli vai Gausa līkne. Attēlā 6.5 a), b) parāda normālu līkni ar parametriem A Un σ 2 un sadalījuma funkciju grafiks.

  Pievērsīsim uzmanību tam, ka parastā līkne ir simetriska attiecībā pret taisni X = A, ir maksimums punktā X = A, vienāds ar , un divi lēciena punkti X = A σ ar ordinātām.

  Var atzīmēt, ka normālā likuma blīvuma izteiksmē sadalījuma parametrus norāda ar burtiem A Un σ 2, ko izmantojām, lai apzīmētu matemātisko cerību un izkliedi. Šī sakritība nav nejauša. Apskatīsim teorēmu, kas nosaka normālā likuma parametru varbūtības teorētisko nozīmi.

  Teorēma. Gadījuma lieluma X matemātiskā cerība, kas sadalīta saskaņā ar normālu likumu, ir vienāda ar šī sadalījuma parametru a, t.i.

  M(X) = A,

  (6.20)

  un tā dispersiju – uz parametru σ 2, t.i.

  D(X) = σ 2.

  (6.21)

  Noskaidrosim, kā mainīsies parastā līkne, mainoties parametriem A Un σ .

  Ja σ = const, un parametrs mainās a (A 1 < A 2 < A 3), t.i. sadalījuma simetrijas centrs, tad normālā līkne nobīdīsies pa abscisu asi, nemainot savu formu (6.6. att.).

  

  Rīsi. 6.6

  

  Rīsi. 6.7

  Ja A= const un parametrs mainās σ , tad līknes maksimuma ordinātas mainās f maks(a) = . Palielinoties σ maksimuma ordināta samazinās, bet, tā kā laukumam zem jebkuras sadalījuma līknes jāpaliek vienādam ar vienību, līkne kļūst plakanāka, stiepjas gar x asi. Kad samazinās σ Gluži pretēji, parastā līkne stiepjas uz augšu, vienlaikus saspiežoties no sāniem (6.7. att.).

  Tātad parametrs a raksturo pozīciju un parametru σ – parastās līknes forma.

  Nejauša lieluma ar parametriem normālā sadalījuma likums a= 0 un σ = 1 tiek izsaukts standarta vai normalizēts, un atbilstošā normālā līkne ir standarta vai normalizēts.

  Grūtības tieši atrast gadījuma lieluma sadalījuma funkciju, kas sadalīts saskaņā ar normālo likumu, ir saistīts ar faktu, ka normālā sadalījuma funkcijas integrālis netiek izteikts ar elementārām funkcijām. Tomēr to var aprēķināt, izmantojot īpašu funkciju, kas izsaka izteiksmes vai noteiktu integrāli. Šo funkciju sauc Laplasa funkcija, par to ir apkopotas tabulas. Šai funkcijai ir daudz veidu, piemēram:

  , .

  Mēs izmantosim funkciju

  Apskatīsim gadījuma lieluma īpašības, kas sadalītas saskaņā ar normālu likumu.

  1. Varbūtība, ka gadījuma lielums X, kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu, iekrīt intervālā [α , β ] vienāds ar

  Izmantojot šo formulu, mēs aprēķinām dažādu vērtību varbūtības δ (izmantojot Laplasa funkcijas vērtību tabulu):

  plkst δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;

  plkst δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;

  plkst δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.

  Tas noved pie tā sauktā " trīs sigmu noteikums»:

  Ja gadījuma lielumam X ir normāls sadalījuma likums ar parametriem a un σ, tad ir gandrīz droši, ka tā vērtības atrodas intervālā(a – 3σ ; a + 3σ ).

  Piemērs 6.3. Pieņemot, ka noteiktas vecuma grupas vīriešu augums ir normāli sadalīts gadījuma lielums X ar parametriem A= 173 un σ 2 = 36, atrodiet:

  1. Nejauša lieluma varbūtības blīvuma un sadalījuma funkcijas izteiksme X;

  2. 4. auguma uzvalku daļa (176 - 183 cm) un 3. auguma uzvalku daļa (170 - 176 cm), kas jāiekļauj kopējā ražošanas apjomā šai vecuma grupai;

  3. Formulējiet "trīs sigmu likumu" nejaušam mainīgajam X.

  1. Varbūtības blīvuma atrašana

  

  un nejaušā lieluma X sadalījuma funkcija

  = .

  2. Kā varbūtību atrodam 4 (176 – 182 cm) auguma uzvalku proporciju

  R(176 ≤ X ≤ 182) = = Ф(1,5) – Ф(0,5).

  Saskaņā ar Laplasa funkcijas vērtību tabulu ( 2. pielikums) mēs atradām:

  F(1,5) = 0,4332, F(0,5) = 0,1915.

  Beidzot saņemam

  R(176 ≤ X ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

  Līdzīgi atrodama arī 3. auguma (170 – 176 cm) uzvalku daļa. Tomēr to ir vieglāk izdarīt, ja ņemam vērā, ka šis intervāls ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību A= 173, t.i. nevienlīdzība 170 ≤ X≤ 176 ir ekvivalents nevienlīdzībai │ X– 173│≤ 3. Tad

  R(170 ≤X ≤176) = R(│X– 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.

  3. Formulēsim “trīs sigmu likumu” nejaušajam mainīgajam X:

  Ir gandrīz droši, ka vīriešu augums šajā vecuma grupā svārstās no A – 3σ = 173 – 3 6 = 155 līdz A + 3σ = 173 + 3 · 6 = 191, t.i. 155 ≤ X ≤ 191. ◄

  
  

  7. VARBŪTĪBU TEORIJAS ROBEŽA TEORMAS

  Kā jau minēts, pētot gadījuma lielumus, nav iespējams iepriekš paredzēt, kādu lielumu iegūs nejaušais mainīgais viena testa rezultātā - tas ir atkarīgs no daudziem iemesliem, kurus nevar ņemt vērā.

  Tomēr, ja pārbaudes tiek atkārtotas daudzas reizes, nejaušo mainīgo summas uzvedība gandrīz zaudē savu nejaušības raksturu un kļūst dabiska. Modeļu klātbūtne ir saistīta tieši ar parādību masu raksturu, kas kopumā ģenerē nejaušu lielumu, kas ir pakļauts precīzi definētam likumam. Masu parādību stabilitātes būtība ir sekojoša: katras atsevišķas nejaušas parādības īpatnības gandrīz nekādi neietekmē šādu parādību masas vidējo rezultātu; nejaušas novirzes no vidējā, katrā atsevišķā parādībā neizbēgamas, tiek savstarpēji atceltas, izlīdzinātas, izlīdzinātas masā.

  Tieši šī vidējo rādītāju stabilitāte atspoguļo “lielo skaitļu likuma” fizisko saturu, kas tiek saprasts šī vārda plašā nozīmē: ar ļoti lielu skaitu nejaušu parādību to rezultāts praktiski vairs nav nejaušs un to var paredzēt ar augsta noteiktības pakāpe.

  Vārda šaurā nozīmē “lielo skaitļu likums” varbūtību teorijā tiek saprasts kā matemātisko teorēmu virkne, no kurām katra noteiktos apstākļos nosaka faktu, ka liela skaita eksperimentu vidējie raksturlielumi tuvojas noteiktiem. noteiktas konstantes.

  Lielo skaitļu likumam ir liela nozīme varbūtību teorijas praktiskajā pielietojumā. Gadījuma lielumu īpašība noteiktos apstākļos uzvesties gandrīz kā negadījuma lielumi ļauj droši darboties ar šiem lielumiem un gandrīz pilnīgi droši prognozēt masveida nejaušības parādību rezultātus.

  Šādu prognožu iespējas masu nejaušo parādību jomā vēl vairāk paplašina citas robežteorēmu grupas klātbūtne, kas attiecas nevis uz nejaušo mainīgo robežvērtībām, bet gan uz ierobežojošajiem sadalījuma likumiem. Mēs runājam par teorēmu grupu, kas pazīstama kā “centrālās robežas teorēma”. Centrālās robežu teorēmas dažādās formas atšķiras viena no otras ar nosacījumiem, kuriem tiek noteikta šī nejaušo lielumu summas ierobežojošā īpašība.

  Dažādas lielo skaitļu likuma formas ar dažādām centrālās robežas teorēmas formām veido kopu t.s. limitu teorēmas varbūtības teorija. Robežteorēmas dod iespēju ne tikai veikt zinātniskas prognozes nejaušu parādību jomā, bet arī novērtēt šo prognožu precizitāti.

  Definīcija. Normāls ir nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījums, ko apraksta ar varbūtības blīvumu

  Tiek saukts arī parastā sadalījuma likums Gausa likums.

  Normālā sadalījuma likums ieņem galveno vietu varbūtību teorijā. Tas ir saistīts ar to, ka šis likums izpaužas visos gadījumos, kad gadījuma lielums ir daudzu dažādu faktoru darbības rezultāts. Visi pārējie izplatīšanas likumi tuvojas parastajiem likumiem.

  Var viegli parādīt, ka sadalījuma blīvumā iekļautie parametri ir attiecīgi nejaušā lieluma X matemātiskā cerība un standarta novirze.

  Atradīsim sadalījuma funkciju F(x).

  

  Tiek saukts normālā sadalījuma blīvuma grafiks normāla līkne vai Gausa līkne.

  Normālai līknei ir šādas īpašības:

  1) Funkcija ir definēta visā skaitļu rindā.

  2) Visu priekšā X sadalījuma funkcijai ir tikai pozitīvas vērtības.

  3) OX ass ir varbūtības blīvuma grafika horizontālā asimptote, jo ar neierobežotu argumenta absolūtās vērtības pieaugumu X, funkcijas vērtībai ir tendence uz nulli.

  4) Atrodiet funkcijas ekstrēmu.

  

  Jo plkst y’> 0 plkst x< m Un y'< 0 plkst x > m, tad punktā x = t funkcijas maksimums ir vienāds ar .

  5) Funkcija ir simetriska attiecībā pret taisnu līniju x = a, jo atšķirība

  (x – a) ir iekļauts sadalījuma blīvuma funkcijā kvadrātā.

  6) Lai atrastu grafa lēciena punktus, atradīsim otru blīvuma funkcijas atvasinājumu.

  

  Plkst x = m+s un x = m- s otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli, un, ejot cauri šiem punktiem, tas maina zīmi, t.i. šajos punktos funkcijai ir lēciena punkts.

  Šajos punktos funkcijas vērtība ir .

  Uzzīmēsim sadalījuma blīvuma funkciju.

  

  Grafiki tika veidoti priekš T=0 un trīs iespējamās standartnovirzes vērtības s = 1, s = 2 un s = 7. Kā redzat, pieaugot standartnovirzes vērtībai, grafiks kļūst plakanāks un maksimālā vērtība samazinās.

  Ja A> 0, tad grafiks nobīdīsies pozitīvā virzienā, ja A < 0 – в отрицательном.

  Plkst A Tiek izsaukta = 0 un s = 1 līkne normalizēts. Normalizētās līknes vienādojums:

  Īsuma labad viņi saka, ka CB X ievēro likumu N(m, s), t.i. X ~ N(m, s). Parametri m un s sakrīt ar sadalījuma galvenajiem raksturlielumiem: m = m X, s = s X =. Ja CB X ~ N(0, 1), tad tas tiek izsaukts standartizēta normālā vērtība. DF standartizēto normālo vērtību sauc Laplasa funkcija un tiek apzīmēts kā Ф(x). Izmantojot to, jūs varat aprēķināt intervāla varbūtības normālajam sadalījumam N(m, s):

  P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

  Risinot normālā sadalījuma problēmas, bieži ir jāizmanto Laplasa funkcijas tabulas vērtības. Tā kā Laplasa funkcija saglabā attiecību F(-x) = 1 - F(x), tad pietiek ar funkcijas tabulas vērtībām F(x) tikai pozitīvām argumentu vērtībām.

  Par varbūtību iekrist intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību, ir derīga formula: P(|X - m X |< e) = 2×Ф(e/s) - 1.

  Normālā sadalījuma centrālie momenti apmierina atkārtošanās sakarību: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . No tā izriet, ka visi nepāra secības centrālie momenti ir vienādi ar nulli (jo m 1 = 0).

  Atradīsim varbūtību, ka nejauši mainīgais, kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu, iekrīt noteiktā intervālā.

  

  Apzīmēsim

  Jo integrālis netiek izteikts ar elementārfunkcijām, tad funkcija tiek ņemta vērā

  ,

  ko sauc Laplasa funkcija vai varbūtības integrālis.

  Šīs funkcijas vērtības dažādām vērtībām X aprēķina un uzrāda īpašās tabulās.

  Zemāk ir Laplasa funkcijas grafiks.

  

  Laplasa funkcijai ir šādas īpašības:

  2) F(- X) = - Ф( X);

  Tiek saukta arī Laplasa funkcija kļūdas funkcija un apzīmē erf x.

  Joprojām lietošanā normalizēts Laplasa funkcija, kas ir saistīta ar Laplasa funkciju ar attiecību:

  

  Zemāk ir normalizētās Laplasa funkcijas grafiks.

  

  Apsverot parastās sadales likumu, izceļas svarīgs īpašs gadījums, kas pazīstams kā trīs sigmu noteikums.

  Pierakstīsim varbūtību, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirze no matemātiskās cerības ir mazāka par doto vērtību D:

  Ja ņemam D = 3s, tad, izmantojot Laplasa funkcijas vērtību tabulas, iegūstam:

  Tie. varbūtība, ka gadījuma lielums novirzīsies no tā matemātiskās cerības par summu, kas lielāka par standarta novirzi trīskāršā apmērā, ir praktiski nulle.

  Šo noteikumu sauc trīs sigmu noteikums.

  Praksē tiek uzskatīts, ka, ja trīs sigmu noteikums ir izpildīts jebkuram nejaušam mainīgajam, tad šim nejaušajam mainīgajam ir normāls sadalījums.

  Piemērs. Vilciens sastāv no 100 vagoniem. Katras automašīnas masa ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar matemātiskām prognozēm A= 65 t un standartnovirze s = 0,9 t. Lokomotīve var pārvadāt vilcienu, kas sver ne vairāk kā 6600 t, pretējā gadījumā ir nepieciešams piekabināt otru lokomotīvi. Atrodi varbūtību, ka otrā lokomotīve nebūs vajadzīga.

  Otra lokomotīve nav nepieciešama, ja vilciena masas novirze no paredzamās (100 × 65 = 6500) nepārsniedz 6600 – 6500 = 100 tonnas.

  Jo Tā kā katra vagona masai ir normāls sadalījums, tad arī visa vilciena masa tiks sadalīta normāli.

  Mēs iegūstam:

  Piemērs. Normāli sadalītu gadījuma lielumu X nosaka ar tā parametriem – a =2 – matemātiskā cerība un s = 1 – standartnovirze. Jāuzraksta varbūtības blīvums un jāatzīmē tas, jāatrod iespējamība, ka X ņems vērtību no intervāla (1; 3), jāatrod iespējamība, ka X novirzīsies (absolūtā vērtībā) no matemātiskās cerības ne vairāk kā par 2 .

  Izplatījuma blīvumam ir šāda forma:

  

  Izveidosim grafiku:

  

  Noskaidrosim varbūtību, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā (1; 3).

  Noskaidrosim varbūtību, ka gadījuma lielums novirzīsies no matemātiskās cerības par summu, kas nav lielāka par 2.

  To pašu rezultātu var iegūt, izmantojot normalizēto Laplasa funkciju.

  8. lekcija Lielo skaitļu likums(2. sadaļa)

  Lekcijas konspekts

  Centrālās robežas teorēma (vispārējs formulējums un īpašs formulējums neatkarīgiem identiski sadalītiem gadījuma lielumiem).

  Čebiševa nevienlīdzība.

  Lielo skaitļu likums Čebiševa formā.

  Notikumu biežuma jēdziens.

  Statistiskā varbūtības izpratne.

  Lielo skaitļu likums Bernulli formā.

  Statistikas modeļu izpēte ir ļāvusi konstatēt, ka noteiktos apstākļos liela skaita gadījuma lielumu kopējā uzvedība gandrīz zaudē savu nejaušības raksturu un kļūst dabiska (citiem vārdiem sakot, nejaušas novirzes no kādas vidējas uzvedības viena otru izslēdz. ). Jo īpaši, ja ietekme uz atsevišķu terminu summu ir vienmērīgi maza, summas sadalījuma likums tuvojas normālam. Šī apgalvojuma matemātiskā formulēšana ir dota teorēmu grupā, ko sauc lielo skaitļu likums.

  LIELO SKAITĻU LIKUMS- vispārējs princips, saskaņā ar kuru nejaušu faktoru kopīga darbība noteiktos ļoti vispārīgos apstākļos noved pie rezultāta, kas ir gandrīz neatkarīgs no nejaušības. Pirmais šī principa piemērs ir nejauša notikuma rašanās biežuma konverģence ar tā iespējamību, palielinoties izmēģinājumu skaitam (ko bieži izmanto praksē, piemēram, izmantojot jebkuras respondenta kvalitātes rašanās biežumu izlase kā atbilstošās varbūtības izlases aplēse).

  Esence lielo skaitļu likums ir tāds, ka ar lielu skaitu neatkarīgu eksperimentu notikuma rašanās biežums ir tuvu tā varbūtībai.

  Centrālās robežas teorēma (CLT) (Ļapunova A.M. formulējumā identiski sadalītiem SV). Ja pa pāriem neatkarīgiem SV X 1 , X 2 , ..., X n , ... ir vienāds sadalījuma likums ar galīgiem skaitliskiem raksturlielumiem M = m un D = s 2 , tad n ® ¥ SV sadalījuma likums neierobežoti tuvojas normāls likums N(n×m, ).

  Sekas. Ja SV teorēmas apstākļos , tad kā n ® ¥ SV Y sadalījuma likums bezgalīgi tuvojas normālajam likumam N(m, s/ ).

  De Moivre-Laplasa teorēma. Pieņemsim, ka SV K ir “veiksmīgo” skaits n izmēģinājumos saskaņā ar Bernulli shēmu. Tad ar n ® ¥ un fiksētu “veiksmes” varbūtības vērtību vienā izmēģinājumā p, SV K sadalījuma likums bezgalīgi tuvojas normālajam likumam N(n×p, ).

  Sekas. Ja teorēmas apstākļos SV K vietā mēs uzskatām SV K/n - “veiksmes” biežumu n izmēģinājumos saskaņā ar Bernulli shēmu, tad tā sadalījuma likums n ® ¥ un fiksēta p vērtība bezgalīgi. tuvojas normālajam likumam N(p, ).

  komentēt. Pieņemsim, ka SV K ir “veiksmīgo” skaits n izmēģinājumos saskaņā ar Bernulli shēmu. Šāda SV sadalījuma likums ir binominālais likums. Tad n ® ¥ binomiālajam likumam ir divi robežsadalījumi:

  n sadalījums Puasona(ja n ® ¥ un l = n × p = const);

  n sadalījums Gauss N(n×p, ) (n ® ¥ un p = const).

  Piemērs.“Panākumu” varbūtība vienā izmēģinājumā ir tikai p = 0,8. Cik daudz testu ir jāveic, lai ar vismaz 0,9 varbūtību mēs varētu sagaidīt, ka novērotais “veiksmes” biežums testos saskaņā ar Bernulli shēmu novirzīsies no varbūtības p ne vairāk kā par e = 0,01?

  Risinājums. Salīdzinājumam atrisināsim problēmu divos veidos.

  Facebook

  Twitter

  Saskarsmē ar

  Klasesbiedriem

  Google+