スノーフレークコッホ建設。 Pascal (Pascal) のプログラム: スノーフレークとコッホ曲線、フラクタル。 用語「フラクタル」の定義

この図形は、科学者によって研究された最初のフラクタルの 1 つです。 それは3つのコピーから来ています コッホ曲線、これは 1904 年にスウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホの論文で初めて登場しました。 この曲線は、どの点にも接することができない連続線の例として考案されました。 この特性を持つ線は以前から知られていましたが (カール ワイエルシュトラスは 1872 年にその例を作成しました)、コッホ曲線はその設計の単純さで注目に値します。 彼の論文が「初等幾何学から生じる接線のない連続曲線について」と呼ばれているのは偶然ではありません。

自分自身を再帰的に呼び出す関数を作成することは、画面上にフラクタル図を生成する 1 つの方法です。 ただし、上記の Cantor の行を個別に移動できる個別のオブジェクトとして設定したい場合はどうすればよいでしょうか? 再帰関数はシンプルで洗練されていますが、単にテンプレート自体を作成する以上のことはできません。

ここにルールがあります。 コッホ曲線やその他のフラクタル パターンは、「数学的モンスター」と呼ばれることがあります。 これは、再帰的定義を無限に何度も適用すると生じる奇妙なパラドックスによるものです。 元の開始線の長さが 1 の場合、コッホ曲線の最初の反復により、線の長さは 3 分の 4 になります。 もう一度やれば 169 になります。 無限に反復すると、コッホ曲線の長さは無限に近づきます。 ただし、この文書で提供されている小さな有限のスペースに収まります。

コッホ曲線構築の最初の段階

図面とアニメーションは、コッホ曲線が段階的にどのように構築されるかを完全に示しています。 最初の反復は単に最初のセグメントです。 それを三等分し、中央の部分を正三角形に完成させて放り出します。 結果は 2 回目の反復、つまり 4 つのセグメントで構成される破線になります。 同様の操作をそれぞれに適用すると、第 4 段階の構築が得られます。 同じ精神で続けていくと、新しい行がどんどん増えていきます (すべて破線になります)。 そしてその極限（これはすでに想像上の物体になります）で起こることはコッホ曲線と呼ばれます。

私たちは地球上で有限ピクセル処理に取り組んでいるので、この理論的なパラドックスは私たちにとっては問題になりません。 カントール集合と同じ方法で作業を進め、コッホのルールを何度も繰り返し適用する再帰関数を作成できます。 ただし、コッホ曲線の各セグメントを別個のオブジェクトとして扱うことで、この問題を別の方法で解決します。 これにより、いくつかのデザインの可能性が広がります。 たとえば、各セグメントがオブジェクトである場合、各セグメントが元の位置とは独立して移動し、物理シミュレーションに参加できるようにすることができます。

コッホ曲線の基本特性

1. 連続的ですが、微分可能ではありません。大まかに言うと、まさにこれが、この種の数学的な「異常者」の一例として、それが発明された理由です。

2. 長さは無限大です。元のセグメントの長さを 1 にします。各構築ステップで、線を構成する各セグメントを 4/3 倍の長さの破線に置き換えます。 これは、破線全体の長さが各ステップで 4/3 倍になることを意味します: 数字の付いた線の長さ nは (4/3) n–1 に等しい。 したがって、限界線は無限に長くならざるを得ない。

さらに、ランダムな色、線の太さなどを使用することもできます。 各セグメントを異なる表示にします。 各セグメントを個別のオブジェクトとして扱うというタスクを達成するには、まずオブジェクトが何を行うべきかを決定する必要があります。 どのような機能があればよいでしょうか?

私たちが持っているものを見てみましょう。 上記の要素を使用して、コッホの規則と再帰の原則をどこにどのように適用するのでしょうか? このシミュレーションでは、常に現在の世代と次の世代の 2 つの世代を追跡しました。 次世代の計算が完了すると、それが関連するようになり、新しい次世代の計算に進みました。

3. コッホの雪の結晶は有限の領域を制限します。そしてこれは、その周囲が無限であるという事実にもかかわらずです。 この性質は逆説的に見えるかもしれませんが、明らかです。雪の結晶は円の中に完全に収まるので、その面積は明らかに限られています。 面積は計算できますが、特別な知識は必要ありません。三角形の面積の公式と等比数列の和は学校で教えられます。 興味のある方のために、計算は下の細字でリストされています。

ここでも同様のテクニックを使用します。 コードは次のようになります。 もちろん、上記には、これらのルールを定義する実際の「作業」は含まれていません。 ルールに従って 1 つの線分を 4 つに分割するにはどうすればよいでしょうか? フラクタルの構築は無限の概念に基づいています。 ステップ 2: このセグメントを 3 つの等しい部分に分割し、中央部分に正三角形を立てます。 ステップ 3: 4 つの新しいセグメントに対してステップを実行します。

2 つのオブジェクトの間でツールを交差させ、円をクリックします。 コッホの雪の結晶は、コッホの数学者によって構築された特別なフラクタル曲線であり、コッホのレースから始まります。 これは正三角形の辺に沿って描かれた曲線です。 コッホレースは三角形の各辺に組み込まれています。

元の正三角形の辺を次のようにします。 ある。 次にそのエリア。 まず辺は 1 で、面積は次のようになります。 反復が増えると何が起こるでしょうか? 小さな正三角形が既存の多角形に取り付けられていると仮定できます。 初回は 3 つしかありませんが、次回は前回の 4 倍になります。 つまり、 n番目のステップでは、T n = 3 · 4 n–1 個の三角形が完成します。 それぞれの辺の長さは、前の手順で完成した三角形の辺の 3 分の 1 です。 これは、(1/3) n に等しいことを意味します。 面積は辺の二乗に比例するので、各三角形の面積は 。 大きな値の場合 nちなみにこれは極少量です。 雪の結晶の面積に対するこれらの三角形の寄与の合計は、T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 です。 したがって、その後 nステップ 4 では、図形の面積は S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = の合計に等しくなります。 。 雪の結晶は、n → ∞ に相当する無限のステップの後に得られます。 結果は無限和になりますが、これは減少等比数列の和です。次の式があります。 。 雪の結晶の面積は等しいです。

次の表は、曲線を作成する最初の手順を示しています。 フラクタルを作成するには、三角形の辺に沿って曲線のコピーを 3 つ挿入するだけです。 2 番目の図はダビデの星であることに注意してください。 最終結果は、正三角形上に構築された閉曲線になります。 フリットには六芒星が含まれていることに注目してください。 デザインはフラクタル五角形に非常に似ています。

雪の結晶を作る別の方法もあります。 開始図形である三角形が他の要素を追加するため、上記の構成は加算による構成として定義できます。 元の形状の代わりに要素を削除する下部構造があります。

4. フラクタル次元は log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... 。 正確な計算には多大な労力と詳細な説明が必要となるため、ここではフラクタル次元の定義を説明します。 べき乗則の公式 N(δ) ~ (1/δ)D より、ここで N- 交差する正方形の数、 δ - サイズ、 D- 次元では、D = log 1/δ N が得られます。この等式は、定数を追加するまで当てはまります (すべての場合に同じです) δ ）。 図は、コッホ曲線の作成の 5 回目の反復を示しています。コッホ曲線と交差するグリッドの四角形は緑色で網掛けされています。 元の線分の長さは 1 なので、左の図では正方形の辺の長さは 1/9 になります。 12 個の正方形が影付きで、log 9 12 ≈ 1.130929... です。 まだ 1.261859 にはあまり似ていません...。 さらに見てみましょう。 中央の図では、正方形は半分のサイズで、そのサイズは 1/18、影付き 30 です。 log 18 30 ≈ 1.176733... 。 すでに良くなりました。 右側では、正方形はまだ半分の大きさですが、72 個の部分がすでに塗りつぶされています。 ログ 72 30 ≈ 1.193426... 。 さらに近くに。 次に、反復回数を増やすと同時に平方数を減らす必要があります。そうすれば、コッホ曲線の次元の「経験的」値は着実に log 3 4 に近づき、極限内では完全に一致します。

オプション

コッホの雪の結晶は「逆」元の正三角形の内側にコッホ曲線を構築すると得られます。

セザーロライン。 正三角形の代わりに、底角が60°から90°の二等辺三角形が使用されます。 図では角度は 88°です。

正方形オプション。 これで正方形が完成しました。

三次元類似物。 コッホスペース。

コッホ曲線

コッホの雪の結晶

コッホ スノーフレークを構築するには、次の操作を実行します。 正三角形をゼロ反復として考えます。

次に、この三角形の各辺を3等分し、中央の部分を削除して、図のように中央の正三角形を完成させます。 次のステップでは、新しい図形の各辺を 3 つの等しい部分に分割し、正三角形の構築を完了するという同じ手順が無限に実行されます。 その結果、対称的で雪の​​結晶のような、無限に壊れた曲線が得られます。これは、コッホ雪の結晶と呼ばれる自己相似セットです。 この名前は、1904 年にこの三角形を最初に記述したスウェーデンの数学者ヘルゲ フォン コッホにちなんで名付けられました。その特徴は、閉じていてもどこにも交差しないことです。完成した三角形は毎回十分に小さく、決して「衝突」しないからです。お互い。

そのフラクタル次元を計算してみましょう。 元の三角形の辺の長さとします 私= 1 の場合、フラグメントは 4 つのセグメントで構成され、それぞれの長さは 1/3 であるため、合計の長さは 4/3 になります。 次のステップでは、16 個のセグメントで構成され、全長が 16/9 などの破線が得られます。これから、フラクタル次元は以下に等しいことがわかります。

この値は 1 (直線の位相次元) より大きく、曲線が配置される平面のユークリッド次元 d = 2 よりは小さくなります。 任意の有限 n に対する n 回目の反復の結果として得られる曲線はプレフラクタルと呼ばれ、n が無限大に近づく傾向がある場合にのみコッホ曲線がフラクタルになることに注意してください。 したがって、コッホの雪の結晶は、有限の領域を境界付ける無限の長さの線です。 フラクタルの定義を使用すると、このセットはフラクタルであると安全に言えます。

ボストンの冬は異常に暖かかったですが、それでも私たちは初雪を待ちました。 窓から雪が降るのを眺めながら、私は雪の結晶について、そしてその構造が数学的に説明するのがいかに簡単ではないかについて考えました。 ただし、比較的簡単に説明できる、コッホ雪片として知られる特別な種類の雪片が 1 つあります。 今日は、COMSOL Multiphysics Application Builder を使用してその形状を構築する方法を見ていきます。

コッホのスノーフレークの作り方

すでにブログで述べたように、フラクタルは で使用できます。 スノーフレーク コッホはフラクタルであり、それを構築するための非常に単純な反復プロセスがあるという点で注目に値します。

1. 実際にはコッホ スノーフレークの 0 回目の反復である正三角形から始めましょう。
2. 現在の雪の結晶の各エッジの中心点を見つけてみましょう。
3. 各エッジの中央に、現在のエッジの長さの 1/3 に等しい辺を持つ外側に突き出た正三角形を追加します。
4. コッホ スノーフレークの次の反復が、前のスノーフレークと追加されたすべての三角形の外側にあるように定義しましょう。
5. 手順 2 ～ 4 を必要な回数繰り返します。

この手順は、雪の結晶を描画する最初の 4 回の反復について、次の図に示されています。

コッホ スノーフレークの最初の 4 つの反復。 Wxs による画像 - 自身の作品。 ウィキメディア コモンズ経由で、CC BY-SA 3.0 に基づいてライセンスされています。

コッホ雪片形状の構築

どのアルゴリズムを使用するかがわかったので、COMSOL Multiphysics Application Builder を使用してそのような構造を作成する方法を見てみましょう。 新しいファイルを開いて 2D オブジェクトを作成します ジオメトリパーツノードで グローバルな定義。 このオブジェクトには、正三角形の辺の長さ、および正三角形の辺の長さの 5 つの入力パラメータを設定します。 バツ- そして y– ベースの中点の座標。 以下の図に示すように、底辺の中央から反対側の頂点に向かう法線ベクトルの成分。

正三角形のサイズ、位置、方向を設定するために使用される 5 つのパラメーター。

形状パーツの入力パラメータを設定します。
ポリゴン プリミティブは、正三角形を構築するために使用されます。

オブジェクトは下端の中心を中心に回転できます。

オブジェクトは原点を基準にして移動できます。

幾何学的パーツを定義したので、セクションでそれを 1 回使用します。 ジオメトリ。 この 1 つの三角形は、コッホ スノーフレークの 0 回目の反復に相当します。次に、アプリケーション ビルダーを使用して、より複雑なスノーフレークを作成してみましょう。

アプリケーションビルダーのアプリUIマークアップ

アプリケーションのユーザー インターフェイスは非常にシンプルです。 これには、ユーザーが操作できるコンポーネントが 2 つだけ含まれています。 スライダー（スライダー）(下の図では 1 とマークされています)。これにより、スノーフレークの作成に必要な反復回数を設定できます。 ボタン(ラベル 2)、クリックすると、結果のジオメトリが作成され、表示されます。 もあります 文字の碑文(ラベル3)と データの表示（ディスプレイ）(ラベル 4) は、指定された反復回数とウィンドウを示します。 チャート(ラベル 5)、最終的なジオメトリが表示されます。

アプリケーションには 5 つのコンポーネントからなる 1 つのフォームがあります。

アプリケーションには 2 つあります 定義そのうちの 1 つは、Iterations と呼ばれる整数値を定義します。デフォルトはゼロですが、ユーザーは変更できます。 Center と呼ばれる double の 1D 配列も定義されます。 配列内の 1 つの要素の値は 0.5 で、これは各エッジの中心点を見つけるために使用されます。 この値は決して変わりません。

2 つの定義の設定。

UI の Slider コンポーネントは、整数の Iterations パラメーターの値を制御します。 以下のスクリーンショットは、「スライダー」の設定と値を示しています。これらの値は 0 ～ 5 の範囲の整数として設定されています。コンポーネントにも同じソース (スライダーと同じ) が選択されています。 データ表示アプリケーション画面に指定された反復回数を表示します。 使用されるアルゴリズムは最適ではなく、あまり効率的ではないため、潜在的なユーザーの反復回数を 5 回に制限しますが、実装とデモには十分簡単です。

「スライダー」コンポーネントの設定です。

次に、下のスクリーンショットに示されているボタンの設定を見てみましょう。 ボタンを押すと、2 つのコマンドが実行されます。 まず、CreateSnowFlake メソッドが呼び出されます。 結果のジオメトリがグラフィックス ウィンドウに表示されます。

ボタンの設定。

アプリケーションのユーザー インターフェイスを確認しました。スノーフレーク ジオメトリの作成は、 というメソッドを通じて行われる必要があることがわかります。 このメソッドのコードを見てみましょう。左側に行番号が追加され、文字列定数が赤で強調表示されています。

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 for (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 for (intedge = 1; エッジ "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 String newPartInstance = "pi" + iter +edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" ); 10 with(model. geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); model.geom("geom1" ).edgeX(エッジ、センター)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)) " , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal (エッジ、センター)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(エッジ, センター)); 17 UnionList = newPartInstance; "geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22)

コードを 1 行ずつ見て、各行がどのような機能を実行するかを理解しましょう。

1. 既存の幾何学的シーケンスをすべてクリアして、最初から開始できるようにします。
2. デフォルトのサイズ、方向、位置を使用して、オブジェクトの 1 つのインスタンス (「三角形」) を作成します。 これは、識別子ラベル pi1 を持つ 0 次のスノーフレークです。
3. ジオメトリを完成させましょう。 この操作は、すべてのジオメトリ インデックスを更新するために必要です。
4. Iterations 定義を停止条件として使用して、スノーフレークの指定されたすべての反復を反復処理するプロセスを開始しましょう。
5. 空の文字列配列 UnionList を定義します。 配列の各要素には、さまざまな幾何学的オブジェクトの識別子が含まれています。 この配列の長さは、最後の反復のエッジの数に 1 を加えたものに等しくなります。
6. UnionList 配列の最初の要素を定義します。 これは、前の反復の結果の識別子です。 反復ゼロは 1 ～ 3 行目ですでに作成されていることに注意してください。 整数値 iter は自動的に文字列に変換され、文字列 "pi" の末尾に追加されます。
7. 以前に生成されたスノーフレークのエッジの数を調べます。
8. このエッジ上に作成された「三角形」パーツ インスタンスからアクセスするオブジェクトの新しいインスタンスに識別子ラベルを設定します。 整数値 iter とedge が、オブジェクト インスタンスの識別子ラベルである文字列 pi の末尾に順番に追加されることに注意してください。
9. 「triangle」オブジェクトのインスタンスを作成し、指定したばかりの識別子ラベルをそれに割り当てます。
10. 11 ～ 15 行目では、with()/endwith() ステートメントを使用してオブジェクトの現在のインスタンス (パーツ インスタンス) を参照していることを示します。
11. 三角形の辺の長さを決めます。 0 次の辺の長さは 1 なので、n 回目の反復の辺の長さは (1/3)n になります。 toString() 関数は、データ型 (浮動小数点数を文字列にキャスト) にキャスト (変換) するために必要です。
12. 設定しました バツ- 最後の反復の辺の中心点としての、新しい三角形の座標。 EdgeX メソッドについては、次のドキュメントに記載されています。 。 Center が 0.5 に設定されていることを思い出してください。
13. 設定しました y-座標。
14. 設定しました バツ-三角形の法線ベクトルの成分。 edgeNormal メソッドについては、次のドキュメントにも記載されています。 COMSOL プログラミング リファレンス マニュアル.
15. 設定しました y-法線ベクトルの成分。
16. with()/endwith() ステートメントを閉じます。
17. 現在の三角形のラベル識別子をすべてのオブジェクトのリストに追加します。
18. すべてのエッジの検索を終了します。
19. すべてのオブジェクトのブール和集合 (論理和集合) を幾何学的シーケンスに作成します。 新しい値 pi をラベルに割り当てます N、ここで N は数値です 次繰り返し。 インクリメントされた iter 値が文字列に変換されるように、(iter+1) の前後にかっこが必要です。
20. 最終オブジェクトの内部境界が保持されていないことを示します。
21. ジオメトリを完成させましょう。 最後の操作では、スノーフレークの次の反復のためにすべてのジオメトリ インデックスを更新します。
22. スノーフレークを作成する反復サイクルを終了します。

したがって、アプリケーションのすべての側面と要素をカバーしました。 結果を見てみましょう！

Koch スノーフレークを構築するためのシンプルなアプリケーション。

アプリケーションを拡張して、ジオメトリをファイルに書き込んだり、追加の解析を直接実行したりすることもできます。 たとえば、フラクタル アンテナを設計できます。 アンテナの設計に興味がある場合は、サンプルを確認するか、アンテナのレイアウトを最初から作成してください。

自分で試してみてください

このアプリケーションを自分で構築したいが、まだアプリケーション ビルダーを完了していない場合は、次のリソースが役立つ場合があります。

• ガイドをダウンロードする アプリケーション開発環境の英語入門
• これらのビデオを見て使用方法を学びましょう
• これらのトピックを読んで、シミュレーション アプリケーションがどのように使用されるかを理解してください。

この内容を理解すると、雪の結晶のサイズ変更、作成したジオメトリのエクスポート、面積と周囲の推定など、アプリの機能をどのように拡張できるかがわかります。

COMSOL Multiphysics でどのようなアプリケーションを作成したいですか? 助けのために。

この図形は、科学者によって研究された最初のフラクタルの 1 つです。 それは3つのコピーから来ています コッホ曲線、これは 1904 年にスウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホの論文で初めて登場しました。 この曲線は、どの点にも接することができない連続線の例として考案されました。 この特性を持つ線は以前から知られていましたが (カール ワイエルシュトラスは 1872 年にその例を作成しました)、コッホ曲線はその設計の単純さで注目に値します。 彼の論文が「初等幾何学から生じる接線のない連続曲線について」と呼ばれているのは偶然ではありません。

図面とアニメーションは、コッホ曲線が段階的にどのように構築されるかを完全に示しています。 最初の反復は単に最初のセグメントです。 それを三等分し、中央の部分を正三角形に完成させて放り出します。 結果は 2 回目の反復、つまり 4 つのセグメントで構成される破線になります。 同様の操作をそれぞれに適用すると、第 4 段階の構築が得られます。 同じ精神で続けていくと、新しい行がどんどん増えていきます (すべて破線になります)。 そしてその極限（これはすでに想像上の物体になります）で起こることはコッホ曲線と呼ばれます。

コッホ曲線の基本特性

1. 連続的ですが、微分可能ではありません。大まかに言うと、まさにこれが、この種の数学的な「異常者」の一例として、それが発明された理由です。

2. 長さは無限大です。元のセグメントの長さを 1 にします。各構築ステップで、線を構成する各セグメントを 4/3 倍の長さの破線に置き換えます。 これは、破線全体の長さが各ステップで 4/3 倍になることを意味します: 数字の付いた線の長さ n(4/3) に等しい n-1 。 したがって、限界線は無限に長くならざるを得ない。

3. コッホの雪の結晶は有限の領域を制限します。そしてこれは、その周囲が無限であるという事実にもかかわらずです。 この性質は逆説的に見えるかもしれませんが、明らかです。雪の結晶は円の中に完全に収まるので、その面積は明らかに限られています。 面積は計算できますが、特別な知識は必要ありません。三角形の面積の公式と等比数列の和は学校で教えられます。 興味のある方のために、計算は下の細字でリストされています。

元の正三角形の辺を次のようにします。 ある。 するとその面積は になります。 まず辺は 1 で、面積は次のようになります。 反復が増えると何が起こるでしょうか? 小さな正三角形が既存の多角形に取り付けられていると仮定できます。 初回は 3 つしかありませんが、次回は前回の 4 倍になります。 つまり、 n 2番目のステップが完了します Tn= 3 4 n–1 三角形。 それぞれの辺の長さは、前の手順で完成した三角形の辺の 3 分の 1 です。 したがって、(1/3) に等しい n。 面積は辺の二乗に比例するので、各三角形の面積は 。 大きな値の場合 nちなみにこれは極少量です。 雪の結晶の面積に対するこれらの三角形の寄与度の合計は次のようになります。 Tn · Sn= 3/4 · (4/9) n · S 0 。 したがって、その後 n-step、図形の面積は合計に等しくなります S 0 + T 1・ S 1 + T 2・ S 2 + ... +Tn S n = 。 雪の結晶は無限数のステップを経て得られます。これは、 n→ ∞。 結果は無限和になりますが、これは減少等比数列の和です。次の式があります。 。 雪の結晶の面積は です。

4. フラクタル次元は次と等しい log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... 。 正確な計算には多大な労力と詳細な説明が必要となるため、ここではフラクタル次元の定義を説明します。 べき乗則公式より N(δ ) ~ (1/δ )D、 どこ N- 交差する正方形の数、 δ - サイズ、および D- 次元、わかりました D= ログ 1/ δN。 この等価性は、定数を追加するまでは当てはまります (すべての場合に同じです) δ ）。 図は、コッホ曲線の作成の 5 回目の反復を示しています。コッホ曲線と交差するグリッドの四角形は緑色で網掛けされています。 元の線分の長さは 1 なので、上の図では正方形の辺の長さは 1/9 になります。 12 個の正方形が影付きで、log 9 12 ≈ 1.130929... です。 まだ 1.261859 にはあまり似ていません...。 さらに見てみましょう。 中央の図では、正方形は半分のサイズで、そのサイズは 1/18、影付き 30 です。 log 18 30 ≈ 1.176733... 。 すでに良くなりました。 以下では、正方形はまだ半分の大きさですが、72 個の部分がすでにペイントされています。 ログ 72 30 ≈ 1.193426... 。 さらに近くに。 次に、反復回数を増やすと同時に平方数を減らす必要があります。そうすれば、コッホ曲線の次元の「経験的」値は着実に log 3 4 に近づき、極限内では完全に一致します。

1904 年に Helg von Koch によって発明された雪の結晶の境界 (図 2.2) は、次元 の 3 つの同一のフラクタルで構成される曲線によって記述されます。 雪の結晶の 3 分の 1 が、正三角形の 1 つの辺から開始して反復的に作成されます。 を最初のセグメントとしましょう。 図に示すように、中央の 3 分の 1 を削除し、同じ長さの 2 つの新しいセグメントを追加してみましょう。 2.3. 結果のセットを と呼びましょう。 この手順を何度も繰り返して、各ステップで中央の 3 分の 1 を 2 つの新しいセグメントに置き換えてみましょう。 n ステップ後に得られる数値で表すことにします。

米。 2.2. スノーフレーク コッホ

曲線のシーケンスがある限界曲線 K に収束することは直感的に明らかです。セクション 3.5 と付録では、このような曲線のシーケンスと他のセットの収束に関する厳密な数学的研究を実行します。 A.3. ここでは、曲線 K が存在すると仮定して、その特性のいくつかを検討してみましょう。

米。 2.3. あいうえお）

K のコピーを 3 倍に縮小した場合、K のセット全体はそのようなコピーで構成できます。 その結果、指定された N と に対して自己相似関係 (2.1) が満たされ、フラク​​タル次元は次のようになります。

コッホ雪片境界が持つもう 1 つの重要な特性は、長さが無限であることです (定理 2.1.1 を参照)。 これは、微積分のコースで曲線を扱うことに慣れている読者にとっては驚くべきことかもしれません。 通常は滑らかか、少なくとも区分的に滑らかで、常に有限の長さを持ちます (これは積分によって検証できます)。 この点に関して、マンデルブロは、英国の海岸線の長さを測定するという問題を探求する多くの魅力的な作品を発表しました。 彼はモデルとして、自然界のランダム性を考慮して、ランダム性の要素が導入されたことを除いて、雪の結晶のエッジを彷彿とさせるフラクタル曲線を使用しました。 その結果、海岸線を描く曲線は無限の長さを持つことが判明した。