同じ指数を持つ対数を比較する方法。 対数: 例と解決策。 対数から指数を抽出する
...(+) の場合に対数を比較する方法についての質問のセクションにあります。 著者から与えられた ふるいにかけます最良の答えは または、1 底に減らすことはできませんが、対数関数の特性を使用します。
対数関数の底が 1 より大きい場合、関数は増加し、x > 1 の場合、底が小さいほど、グラフは上に位置します。
0の場合< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
対数の底が 0 より大きく 1 より小さい場合、関数は減少します。
さらに、x > 1 の場合、底が小さいほどグラフは高くなります。
0の場合< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
次のようになります。
からの回答 スキニー[教祖]
対数を同じ底に (たとえば、自然数に) 縮約して比較します。
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
４．ａ＝Ｌｎ（１６）／Ｌｎ（７）； b=Ln(16)/Ln(3); b>a。
からの回答 神経病理学者[教祖]
新しいベースに移動するには、log(a)b=1/log(b)a の公式を使用します。
次に、底が同じ対数などの分数の分母を比較します。
同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい分数の方が大きくなります。
たとえば、log(7)16 および log(3)16
1/log(16)7 および 1/log(16)3
log(16)7>log(16)3 なので、1/log(16)7< 1/log(16)3.
対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.
これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。
対数の加算と減算
同じ底を持つ 2 つの対数を考えます: log ある バツそしてログを記録します ある y。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。
- ログ ある バツ+ログ ある y=ログ ある (バツ · y);
- ログ ある バツ− ログ ある y=ログ ある (バツ : y).
したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。
これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。
ログ6 4 + ログ6 9。
対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2。
タスク。 式の値を見つけます: log 2 48 − log 2 3。
ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4。
タスク。 式の値を見つけます: log 3 135 − log 3 5。
ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3。
ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。
対数から指数を抽出する
では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。
最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。
もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらのルールはすべて意味があります。 ある > 0, ある ≠ 1, バツ> 0. そしてもう 1 つ、すべての式を左から右に適用するだけでなく、その逆も適用することを学びましょう。 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。
タスク。 式の値を見つけます: log 7 49 6 。
最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
対数 7 49 6 = 6 対数 7 49 = 6 2 = 12
タスク。 式の意味を調べます。
[写真のキャプション]
分母には対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. 我々は持っています：
[写真のキャプション] 最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。
次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log 2 7。log 2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは「２」でした。
新しい基盤への移行
対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?
新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。
対数対数を与えてみましょう ある バツ。 次に、任意の数値に対して cそのような c> 0 および c≠ 1、等式は真です。
[写真のキャプション]
特に、次のようにすると、 c = バツ、 我々が得る：
[写真のキャプション]
2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。
これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価することができます。
しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:
タスク。 式の値を見つけます: log 5 16 log 2 25。
両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。
[写真のキャプション]因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。
タスク。 式の値を見つけます: log 9 100 lg 3。
最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。
[写真のキャプション]次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。
[写真のキャプション]基本対数恒等式
多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。
最初のケースでは、数値は n議論においてどの程度の立場にあるかを示す指標となる。 番号 n単なる対数値なので、何でも構いません。
2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それが「基本対数恒等式」と呼ばれるものです。
実際に、この数字が次の場合はどうなるでしょうか。 b数をべき乗する bこの累乗で数値が得られます ある? そうです。同じ番号が得られます。 ある。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。
新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。
タスク。 式の意味を調べます。
[写真のキャプション]
log 25 64 = log 5 8 - は単に対数の底と引数から 2 乗を取ったものであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。
[写真のキャプション]知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)
対数単位と対数ゼロ
結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を作成します。
- ログ ある ある= 1 は対数単位です。 絶対に覚えておいてください: 任意の底に対する対数 あるこのベースからは 1 に等しくなります。
- ログ ある 1 = 0 は対数ゼロです。 ベース ある任意の値を指定できますが、引数に 1 が含まれる場合、対数は 0 に等しくなります。 なぜなら ある 0 = 1 は定義の直接の結果です。
それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。
方程式や不等式、モジュールの問題を解くときは、求めた根を数直線上に置く必要があります。 ご存知のとおり、見つかったルーツは異なる場合があります。 それらは次のようにすることも、次のようにすることもできます: 、 。
したがって、数値が有理ではなく無理数である場合 (それが何であるかを忘れた場合は、トピックを参照してください)、または複雑な数式である場合、それらを数直線上に配置することは非常に問題になります。 さらに、試験中に電卓を使用することはできません。また、近似計算では、ある数値が別の数値よりも小さいという 100% の保証はありません (比較する数値に差がある場合はどうなりますか?)。
もちろん、正の数は常に負の数よりも大きいこと、および数値軸を想像すると、比較すると、最大の数が最小の数よりも右側にあることはご存知でしょう。 ; 等
しかし、すべてがいつもそんなに簡単なのでしょうか？ 数直線上のどこにマークを付けますか。
たとえば、数値と比較するにはどうすればよいでしょうか? これはこすれます...)
まず、何をどのように比較するのかについて一般的な話をしましょう。
重要: 不等号が変わらないように変換を行うことをお勧めします。つまり、変換中に負の数を乗算することは望ましくありません。 それは禁止されていますいずれかの部分が負の場合は正方形になります。
分数の比較
したがって、2 つの分数とを比較する必要があります。
これを行う方法にはいくつかのオプションがあります。
オプション 1. 分数を共通の分母に換算します。
普通の分数の形で書いてみましょう。
- (ご覧のとおり、分子と分母も減らしました)。
次に、分数を比較する必要があります。
これで、2 つの方法で比較を続けることができます。 我々はできる：
- すべてを共通の分母にして、両方の分数が不適切であることを示します (分子が分母より大きい)。
どちらの数字が大きいでしょうか? そう、分子の大きい方、つまり最初のものです。
- 「破棄しましょう」（各分数から 1 を引いたので、各分数の比率は変化していないことを考慮してください）し、分数を比較します。
また、それらを共通点に導きます。
前のケースとまったく同じ結果が得られました。最初の数値が 2 番目の数値よりも大きいです。
正しく 1 を引いたかどうかも確認してみましょう。 最初の計算と 2 番目の計算の分子の差を計算してみましょう。
1)
2)
そこで、分数を共通の分母にして比較する方法を検討しました。 別の方法に移りましょう - 分数を比較し、それらを共通の分子に持っていきます。
オプション 2. 共通の分子に換算して分数を比較します。
はいはい。 これはタイプミスではありません。 この方法は学校ではほとんど教えられませんが、非常に便利であることがよくあります。 その本質をすぐに理解していただくために、私は 1 つだけ質問します。「分数の値はどのような場合に最大になりますか?」 もちろん、「分子ができるだけ大きく、分母ができるだけ小さい場合」ということになります。
たとえば、それは本当だと断言できますか? 次の分数を比較する必要がある場合はどうなるでしょうか。 また、最初の場合は部分に分割され、2 番目の場合は全体に分割されるため、すぐに記号を正しく配置できると思います。つまり、2 番目の場合は部分が非常に小さくなり、それに応じて次のようになります。 ご覧のとおり、分母は異なりますが、分子は同じです。 ただし、これら 2 つの分数を比較するために、共通の分母を探す必要はありません。 ただし...それを見つけて、比較記号がまだ間違っているかどうかを確認してください。
しかし、記号は同じです。
元のタスクに戻りましょう - 比較して... 比較してみますと・・・ これらの分数を共通の分母ではなく、共通の分子に還元してみましょう。 これを簡単に行うには 分子と分母最初の分数を乗算します。 我々が得る：
そして。 どちらの分数が大きいでしょうか? そうです、最初のものです。
オプション 3: 減算を使用して分数を比較します。
引き算を使用して分数を比較するにはどうすればよいですか? はい、とてもシンプルです。 ある分数から別の分数を引きます。 結果が正の場合は、最初の分数 (被減数) が 2 番目の分数 (減数) より大きく、負の場合はその逆になります。
この例では、最初の分数を 2 番目の分数から減算してみます。
すでに理解されているように、通常の分数にも変換すると、同じ結果が得られます。 私たちの式は次の形式を取ります。
次に、やはり共通分母への還元に頼る必要があります。 問題は、1 番目の方法では、分数を不適切な分数に変換するのか、それとも 2 番目の方法では、単位を「削除」するのかということです。 ちなみに、この行動には完全に数学的な根拠があります。 見て：
私は 2 番目のオプションの方が好きです。なぜなら、分子を共通の分母に換算すると乗算がはるかに簡単になるからです。
共通点を考えてみましょう。
ここで重要なことは、どこからどの数値を引いたかを混乱させないことです。 ソリューションの進行状況を注意深く確認し、兆候を誤って混同しないようにしてください。 2 番目の数値から最初の数値を引いた結果、負の答えが得られました。そうです。最初の数値は 2 番目の数値より大きいのです。
わかった？ 分数を比較してみてください。
やめて、やめて。 急いで共通点を求めたり、引き算したりしないでください。 見てください。簡単に小数に変換できます。 どれくらいかかりますか？ 右。 結局のところ、さらに何があるのでしょうか？
これは別のオプションです - 小数に変換して分数を比較します。
オプション 4: 除算を使用して分数を比較します。
はいはい。 そして、これも可能です。 ロジックは単純です。大きい数を小さい数で割ると、得られる答えは 1 より大きい数になります。また、小さい数を大きい数で割ると、答えは ～ の範囲に収まります。
この規則を覚えておくために、比較のために任意の 2 つの素数を取り上げます (例: and)。 さらに何があるか知っていますか？ では、で割ってみましょう。 私たちの答えは です。 したがって、この理論は正しいです。 で割ると 1 より小さくなり、実際には小さいことが確認されます。
このルールを普通の分数に適用してみましょう。 比較してみましょう:
最初の分数を 2 番目の分数で割ります。
どんどん短くしていきましょう。
得られる結果は小さくなります。これは、配当が除数よりも小さいことを意味します。
分数を比較するために考えられるすべてのオプションを検討しました。 5:
- 共通の分母に還元する。
- 共通の分子に還元する。
- 小数の形式に換算します。
- 引き算;
- 分割。
トレーニングの準備はできましたか? 最適な方法で分数を比較します。
答えを比較してみましょう。
- (-10進数に変換)
- (ある分数を別の分数で割り、分子と分母で約分します)
- (部分全体を選択し、同じ分子の原理に基づいて分数を比較します)
- (ある分数を別の分数で割り、分子と分母で約分します)。
2. 度数の比較
ここで、数値だけでなく、次数 () が含まれる式も比較する必要があると想像してください。
もちろん、簡単に看板を設置することもできます。
結局、次数を乗算に置き換えると、次のようになります。
この小さくて原始的な例から、ルールは次のようになります。
次に、次のものを比較してみます。 記号を簡単に置くこともできます。
なぜなら、累乗を乗算に置き換えると…
一般的には、すべてを理解できており、まったく難しいことではありません。
困難が生じるのは、比較する際に、学位の基礎や指標が異なる場合に限られます。 この場合、共通の基盤を築くように努める必要があります。 例えば：
もちろん、これに応じて、式は次の形式になることはご存知でしょう。
括弧を開いて、得られる内容を比較してみましょう。
やや特殊なケースは、次数 () の底が 1 未満の場合です。
2 度以上の場合、指数が小さい方になります。
この法則を証明してみましょう。 そうしましょう。
と の違いとして自然数をいくつか紹介しましょう。
論理的ですね。
そして今一度、状態に注目してみましょう - 。
それぞれ： 。 したがって、 。
例えば：
ご存知のとおり、私たちはべき乗の底が等しい場合を考えました。 次に、基数が to の範囲内にあるが、指数が等しい場合を見てみましょう。 ここではすべてが非常にシンプルです。
例を使用してこれを比較する方法を思い出してみましょう。
もちろん、計算はすぐにできました。
したがって、比較のために同様の問題に遭遇した場合は、すぐに計算できる単純な同様の例を念頭に置き、この例に基づいて、より複雑な問題に記号を付けてください。
変換を実行するときは、乗算、加算、減算、または除算を行う場合、すべてのアクションを左辺と右辺の両方で実行する必要があることに注意してください (乗算する場合は、両方を乗算する必要があります)。
さらに、操作を行っても利益が得られない場合もあります。 たとえば、比較する必要があります。 この場合、べき乗してこれに基づいて記号を配置することはそれほど難しくありません。
練習しましょう。 度数を比較します:
答えを比較する準備はできましたか? 私が得たものは次のとおりです。
- - と同じ
- - と同じ
- - と同じ
- - と同じ
3. 数値と根を比較する
まず、ルーツとは何かを思い出してみましょう。 この録音を覚えていますか？
実数のべき乗の根は、等式が成り立つ数です。
ルーツ奇数次数は負の数と正の数に存在し、 均等な根- ポジティブなもののみ。
ルート値は無限小数であることが多く、正確に計算することが難しいため、ルートを比較できることが重要です。
それが何なのか、何と一緒に食べるのか忘れてしまったら - 。 すべてを覚えたら、ルートを段階的に比較することを学びましょう。
比較する必要があるとしましょう:
これら 2 つのルートを比較するには、計算を行う必要はなく、「ルート」の概念自体を分析するだけで済みます。 私の言っていることが分かりますか？ はい、これについては、そうでない場合は、根号表現に等しい、ある数値の 3 乗として書くことができます。
そのうえ？ または？ もちろん、これは問題なく比較できます。 数値をべき乗するほど、値も大きくなります。
それで。 法則を導き出しましょう。
根の指数が同じ場合 (この場合は同じです)、根号式 (および) を比較する必要があります。根号の数が大きいほど、指数が等しい根の値も大きくなります。
覚えるのが難しいですか？ 次に、例を頭の中に入れておいてください... それ以上？
ルートは平方根なので、ルートの指数は同じです。 ある数値の根次表現 () は別の数値 () よりも大きいということは、ルールが実際に真であることを意味します。
部首表現は同じでも、根の次数が異なる場合はどうなるでしょうか。 例えば： 。
また、より大きな次数の根を抽出すると、より小さな数が得られることも明らかです。 たとえば次のように考えてみましょう。
最初のルートの値を として、2 番目のルートの値を として表すと、次のようになります。
したがって、これらの方程式にはさらに多くのものがあるはずであることが簡単にわかります。
部首式が同じ場合（私たちの場合には）、 そして根の指数は異なります(私たちの場合、これは and です)、 次に、指数を比較する必要があります（そして） - インジケーターが高いほど、この式は小さくなります.
次のルートを比較してみてください。
結果を比較してみませんか？
これをうまく解決しました:)。 別の疑問が生じます。もし私たちが皆違っていたらどうなるでしょうか? 程度も過激表現も？ すべてがそれほど複雑なわけではありません。必要なのは、ルートを「取り除く」ことだけです。 はいはい。 それを取り除くだけです）
異なる次数と根号式がある場合は、根の指数の最小公倍数を見つけて (セクションを参照)、両方の式を最小公倍数に等しい累乗にする必要があります。
私たちは皆、言葉と言葉の中にあるということ。 以下に例を示します。
- 私たちはルーツの指標を見ていきます - そして。 それらの最小公倍数は です。
- 両方の式をべき乗してみましょう。
- 式を変換して括弧を開いてみましょう (詳細はこの章で説明します)。
- やったことを数えて記号を付けてみましょう。
4. 対数の比較
そこで、ゆっくりと、しかし確実に、対数を比較する方法という問題にたどり着きました。 これが何の動物なのか思い出せない場合は、まずセクションの理論を読むことをお勧めします。 読んだことがありますか？ 次に、いくつかの重要な質問に答えてください。
- 対数の引数とその底は何ですか?
- 関数が増加するか減少するかを決定するものは何ですか?
すべてを覚えて完璧にマスターしたら、始めましょう!
対数を相互に比較するには、次の 3 つのテクニックだけを知っておく必要があります。
- 同じ基準に引き下げる。
- 同じ議論への還元。
- 3番目の数字との比較。
まず、対数の底に注目してください。 これが小さいと機能が低下し、大きいと機能が増加することを覚えていますか。 私たちの判断はこれに基づいて行われます。
すでに同じ底または引数に換算された対数の比較を考えてみましょう。
まず、問題を単純化しましょう。比較される対数を入れます。 平等の根拠。 それから：
- この関数は、からの間隔で増加します。つまり、定義により、その後 (「直接比較」) を意味します。
- 例：- 根拠は同じなので、それに応じて引数を比較します。 したがって、次のようになります。
- 関数 at は、からの間隔で減少します。これは、定義により、then (「逆比較」) を意味します。 - 底が同じなので、それに応じて引数を比較します: ただし、関数が減少しているため、対数の符号は「逆」になります: 。
次に、理由は異なるが議論は同じである場合を考えてみましょう。
- ベースの方が大きいです。
- 。 今回は「逆比較」を使います。 例: - 引数が同じであり、かつ。 底を比較してみましょう。ただし、対数の符号は「逆」になります。
- 塩基 a は隙間にあります。
- 。 この場合は「直接比較」を使用します。 例えば：
- 。 今回は「逆比較」を使います。 例えば：
すべてを一般的な表形式で書き留めてみましょう。
| ここで、 | ここで、 | |
したがって、すでに理解されているように、対数を比較するときは、同じ底、つまりある底から別の底へ移動する公式を使用して同じ底に到達する必要があります。
また、対数を 3 番目の数値と比較し、これに基づいて、何が小さいか、何が大きいかについて結論を引き出すこともできます。 たとえば、これら 2 つの対数を比較する方法を考えてみてください。
ちょっとしたヒント - 比較のために、引数が等しい対数が非常に役立ちます。
考え？ 一緒に決めましょう。
これら 2 つの対数を簡単に比較できます。
方法がわかりませんか? 上記を参照。 これを整理しました。 どのような兆候があるでしょうか？ 右：
同意する？
互いに比較してみましょう:
次の内容が得られるはずです。
次に、すべての結論を 1 つにまとめます。 起こりました？
5. 三角関数の式の比較。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか? 単位円が必要な理由と、単位円の三角関数の値を求める方法は何ですか? これらの質問に対する答えがわからない場合は、このトピックに関する理論を読むことを強くお勧めします。 知っていれば、三角関数の式を相互に比較することは難しくありません。
少し記憶を呼び起こしてみましょう。 単位三角円とそれに内接する三角形を描いてみましょう。 あなたは管理しましたか？ 次に、三角形の辺を使用して、どちらの側にコサインをプロットし、どちらの側にサインをプロットするかをマークします。 (もちろん、サインは斜辺に対する反対側の比であり、コサインは隣接する側であることを覚えていますか?)。 描いたんですか？ 素晴らしい！ 最後の仕上げは、どこに置くか、どこに置くかなどを書き留めることです。 置いたんですか？ ふう）あなたと私に何が起こったのか比べてみましょう。
ふう！ では、比較を始めましょう！
とを比較する必要があるとしましょう。 ボックス内のプロンプト (どこにマークを付けた場所) を使用してこれらの角度を描き、単位円上に点を配置します。 あなたは管理しましたか？ これが私が得たものです。
次に、円上にマークした点から軸上に垂線を下ろしましょう...どれでしょうか? どの軸がサインの値を示しますか? 右、 。 これが得られるものです:
この写真を見て、どちらが大きいですか? もちろん、ポイントは上にあるので。
同様の方法で、コサインの値を比較します。 軸に対する垂線を下げるだけです…そうです。 したがって、どの点が右 (またはサインの場合のように上) にあるかを調べ、値が大きくなります。
おそらく接線を比較する方法はすでにご存知でしょう? 知っておく必要があるのは、タンジェントとは何かということだけです。 では、タンジェントとは何ですか?) そうです、サインとコサインの比です。
接線を比較するには、前の場合と同じ方法で角度を描きます。 比較する必要があるとしましょう:
描いたんですか？ ここで、座標軸上の正弦値もマークします。 気づきましたか？ 次に、座標線上のコサインの値を示します。 起こりました？ 比較してみましょう:
では、自分が書いた内容を分析してみましょう。 - 大きなセグメントを小さなセグメントに分割します。 答えには、1 より確実に大きい値が含まれます。 右？
そして、小さいものを大きいもので割ると。 答えはちょうど 1 より小さい数字になります。
それでは、どちらの三角関数式がより大きな値を持つでしょうか?
右：
もうお分かりかと思いますが、コタンジェントの比較は同じことですが、逆に行うだけです。コサインとサインを定義するセグメントが互いにどのように関係しているかを調べます。
次の三角関数の式を自分で比較してみてください。
例。
答え。
数値の比較。 平均レベル。
どちらの数字が大きいですか? 答えは明らかです。 そして今：それとも？ もうそれほど明白ではありませんよね？ それで：それとも？
多くの場合、どの数値式がより大きいかを知る必要があります。 たとえば、不等式を解くときに軸上に点を正しい順序で配置するためです。
今回は、そのような数値を比較する方法を説明します。
数値とを比較する必要がある場合は、それらの間に記号を入れます (ラテン語の Versus または vs. - に対する省略形に由来します)。 この記号は、不明な不等号 () を置き換えます。 次に、数値の間にどの記号を配置する必要があるかが明確になるまで、同じ変換を実行します。
数値を比較することの本質は、記号をある種の不等号であるかのように扱うということです。 そして、この式を使用すると、不等式で通常行うことはすべて実行できます。
- 両側に任意の数値を加算します (もちろん、減算することもできます)
- 「すべてを片側に移動」します。つまり、両方の部分から比較される式の 1 つを減算します。 減算された式の代わりに、 が残ります。
- 同じ数値を乗算または除算します。 この数値が負の場合、不等号は逆転します: 。
- 両側を同じべき乗にします。 この累乗が偶数の場合、両方の部分の符号が同じであることを確認する必要があります。 両方の部分が正の場合、べき乗しても符号は変わりませんが、負の場合、符号は逆に変化します。
- 両方の部分から同じ次数の根を抽出します。 偶数次の根を抽出する場合は、まず両方の式が負でないことを確認する必要があります。
- 他の同等の変換。
重要: 不等号が変わらないように変換を行うことをお勧めします。 つまり、変換中に負の数を乗算することは望ましくなく、いずれかの部分が負の場合は 2 乗することはできません。
いくつかの典型的な状況を見てみましょう。
1.べき乗。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
不等式の両辺は正なので、平方根を取り除くことができます。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
ここで二乗することもできますが、これは平方根を取り除くのに役立つだけです。 ここでは、両方の根が消える程度まで上げる必要があります。 これは、この次数の指数が (最初の根の次数) と の両方で割り切れる必要があることを意味します。 したがって、この数値は次のように乗算されます。
2. 共役による乗算。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
各差を共役和で乗算して除算してみましょう。
明らかに、右側の分母は左側の分母よりも大きくなります。 したがって、右側の分数は左側の分数よりも小さくなります。
3. 引き算
それを覚えておきましょう。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
もちろん、すべてを 2 乗し、再編成し、再び 2 乗することもできます。 しかし、もっと賢いこともできます。
左側の各項が右側の各項より小さいことがわかります。
したがって、左側のすべての項の合計は右側のすべての項の合計より小さくなります。
でも気をつけてください！ さらに何かと尋ねられました...
右側の方が大きいです。
例。
数値を比較してみると…
解決。
三角関数の公式を覚えておきましょう。
三角関数のどの四半期に点と嘘があるのか確認してみましょう。
4. 分割。
ここでも簡単なルールを使用します。
または、つまり。
符号が変わるとき: 。
例。
比較する： 。
解決。
5. 数値を 3 番目の数値と比較します。
そして、ならば、(推移性の法則)。
例。
比較する。
解決。
数字同士ではなく、数字で比べてみましょう。
それは明らかです。
反対側では、 。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
どちらの数値も大きくなりますが、小さくなります。 1 より大きく、もう 1 より小さい数値を選択しましょう。 例えば、 。 確認しよう：
6. 対数をどうするか?
特にない。 対数を取り除く方法については、このトピックで詳しく説明します。 基本的なルールは次のとおりです。
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ウェッジ y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
底が異なり、引数が同じである対数に関するルールを追加することもできます。
これは次のように説明できます。ベースが大きいほど、同じものを得るために上げなければならない次数は少なくなります。 底が小さい場合は、対応する関数が単調減少するため、その逆が当てはまります。
例。
数値を比較してください: と。
解決。
上記のルールによれば、次のようになります。
そして今度は上級者向けのフォーミュラです。
対数を比較するルールは、より簡単に書くことができます。
例。
どちらが多いですか: または?
解決。
例。
どちらの数値が大きいかを比較します。
解決。
数値の比較。 主なものについて簡単に説明
1.べき乗
不等式の両辺が正の場合、平方根を取り除くことができます。
2. 共役による乗算
共役は、二乗の差の式を補完する係数です。 - 共役、その逆も同様です。 。
3. 引き算
4. 分割
いつですか、それは
符号が変わるとき:
5. 3番目の数字との比較
もし、そしてそれから
6. 対数の比較
基本的なルール：
底が異なり、引数が同じ対数:
さて、この話題は終わりました。 これらの行を読んでいる場合、それはあなたがとてもクールであることを意味します。
なぜなら、独力で何かを習得できる人はわずか5％だからです。 最後まで読んでいただければ、あなたもこの 5% に入っています！
さて、最も重要なことです。
あなたはこのトピックに関する理論を理解しました。 そして、繰り返しますが、これは…これはまさにスーパーです！ あなたはすでに大多数の同僚よりも優れています。
問題は、これでは十分ではないかもしれないということです...
何のために？
統一州試験に合格したこと、低予算で大学に入学したこと、そして最も重要なことに、生涯にわたって。
何も説得できないけど、一つだけ言っておきます…
良い教育を受けた人は、受けていない人よりもはるかに多くの収入を得ています。 これは統計です。
しかし、これは主要なことではありません。
重要なことは、彼らがより幸せになるということです（そのような研究があります）。 おそらく、より多くのチャンスが彼らの前に開かれ、人生が明るくなったからでしょうか？ わかりません...
でも自分で考えてみてください...
統一国家試験で他の人より確実に優れ、最終的には幸せになるためには何が必要ですか?
このトピックに関する問題を解決して、手を獲得してください。
試験中に理論は問われません。
必要になるだろう 時間をかけて問題を解決する.
そして、それらを（たくさん！）解決していない場合は、間違いなくどこかで愚かな間違いを犯すか、単に時間がないでしょう。
それはスポーツと同じで、確実に勝つためには何度も繰り返す必要があります。
どこにいてもコレクションを見つけられ、 必ず解決策と詳細な分析を伴うそして決めて決めて決めて！
私たちのタスク (オプション) を使用することもできます。もちろん、それをお勧めします。
私たちのタスクをより上手に使用できるようにするには、現在読んでいる YouClever 教科書の寿命を延ばすことに協力する必要があります。
どうやって？ 次の 2 つのオプションがあります。
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はい、教科書にはそのような記事が 99 個あり、すべてのタスクにアクセスし、その中のすべての隠しテキストをすぐに開くことができます。
すべての非表示タスクへのアクセスは、サイトの存続期間中提供されます。
結論は...
私たちの仕事が気に入らない場合は、他の仕事を見つけてください。 理論だけにとどまらないでください。
「わかる」と「解ける」は全く別のスキルです。 両方必要です。
問題を見つけて解決しましょう！
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スライドのキャプション:
対数の単調性の性質。 対数の比較。 代数学11年生。 数学教師: Liliya Anasovna Kinzyabulatova、ノヤブリスク、2014 年により完成。
y= log a x 、ここで a>0; a≠1。 a) a> 1 の場合、y= log a x – 増加 b) 0 の場合 対数を比較する方法。 ① 単調性の性質 log a b log a c の底を比較します。 a> 1 の場合、y= log a t は増加し、 b> c = > log a b > log a c になります。 0の場合 c => ログブログ 1/3 8; 対数を比較する方法。 ② グラフ法による比較 log a b log と b の底が異なり、数値は b に等しい 1) a> 1 の場合。 с > 1 の場合、y=log a t、y=log с t – 年齢。 a) a> c、b>1 の場合、log a b log c b 対数を比較する方法。 ② グラフィカルな方法 log a b を比較する log と b の底が異なり、数値は b に等しい 2) 0 c、b>1 の場合、log a b > log c b b) If a 対数を比較する方法。 ② グラフィカルな方法 log a b を比較する log と b の底が異なり、数値は b に等しい 例 log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0.25; 3>1 対数 0.3 0.6 対数を比較する方法。 ③ 異なる単調性の関数 a>1 y=log a x – 0 が増加します 1 の場合、log a c > log b d b) 0 の場合 1) Log 0.5 1/3 > log 5 1/2 対数を比較する方法。 ⑤ 評価方法 log 3 5 log 4 17 1 > > > > 対数を比較する方法。 ⑦セグメント中間との比較 log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64
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