家怪我

研究内容: 「数学におけるフラクタル」。コースワーク: フラクタル現実世界の研究対象におけるフラクタル

カオスの抽象的な数学理論が物理学から経済学、政治学に至るまで、さまざまな科学にどのように応用されているかについてはすでに書きました。ここで、別の同様の例、フラクタル理論を示します。数学においても「フラクタル」という概念には厳密な定義はありません。もちろん、彼らはそのようなことを言います。しかし、「一般人」にはそれが理解できません。たとえば、次のフレーズはどうでしょうか。「フラクタルは、位相的なものよりも大きい分数ハウスドルフ次元を持つ集合です。」それにもかかわらず、それら、フラクタルは私たちの周りにあり、生活のさまざまな領域からの多くの現象を理解するのに役立ちます。

すべてが始まった場所

長い間、プロの数学者以外は誰もフラクタルに興味を持ちませんでした。コンピューターと関連ソフトウェアが登場する前。 1982 年にブノワ・マンデルブロの本「自然のフラクタル幾何学」が出版されたとき、すべてが変わりました。この本がベストセラーになったのは、内容がシンプルでわかりやすい表現のおかげというよりは（ただし、この表現は非常に相対的なものであり、専門的な数学教育を受けていない人には内容が何も理解できないでしょう）、コンピュータのおかげです。本当に魅惑的なフラクタルのイラスト。これらの写真を見てみましょう。本当にそれだけの価値があります。

そして、そのような写真はたくさんあります。しかし、この素晴らしさは私たちの現実の生活、そして私たちを取り巻く自然や日常の世界とどのような関係があるのでしょうか? それが最も直接的であることがわかります。

その前に、幾何学的オブジェクトとしてのフラクタル自体について少しお話しましょう。

フラクタルとは簡単に言えば何ですか?

初め。フラクタルがどのように構築されるか。これは、複素平面上で特別な変換を使用するかなり複雑な手順です (これが何であるかを知る必要はありません)。唯一重要なことは、これらの変換が繰り返されることです (数学で言うところの「反復」が発生します)。この繰り返しの結果として、フラクタル (上で見たもの) が発生します。

2番。フラクタルは、自己相似 (正確または近似) 構造です。これは次のことを意味します。提示された写真のいずれかに顕微鏡を持ち込み、画像をたとえば 100 倍に拡大し、接眼レンズに入ったフラクタルの断片を見ると、それが元の画像と同一であることがわかります。画像を 1000 倍に拡大する強力な顕微鏡を使用すると、接眼レンズに入った前の画像の断片の一部が同じ、または非常によく似た構造を持っていることがわかります。

これは、その後の内容にとって非常に重要な結論につながります。フラクタルは、さまざまなスケールで繰り返される非常に複雑な構造を持っています。しかし、その構造を深く理解すればするほど、全体としてより複雑になります。そして、元の画像の特性の定量的推定が変化し始める可能性があります。

さて、私たちは抽象的な数学をやめて、私たちの周りの物事に移ります - とても単純で理解できるように見えます。

自然界のフラクタルオブジェクト

海岸線

英国などの島を地球低軌道から撮影していると想像してください。地理地図と同じ画像が得られます。海岸の滑らかな輪郭、四方八方に海。

海岸線の長さを調べるのはとても簡単です。普通の糸を取り、島の境界線に沿って慎重に置きます。次に、その長さをセンチメートル単位で測定し、得られた数値に地図の縮尺を掛けます。1 センチメートルには何キロメートルもあります。結果は次のとおりです。

そして次の実験です。鳥瞰図で飛行機に乗り、海岸線を写真に撮ります。その結果、衛星写真に似た写真が得られます。しかし、この海岸線は凹凸があることが分かりました。小さな湾、入り江、海に突き出た土地の破片が写真に現れます。これはすべて真実ですが、衛星からは見ることができませんでした。海岸線の構造は複雑化しています。

家に帰って、写真に基づいて海岸線の詳細な地図を作成したとします。そして、同じ糸を使用してその長さを測定し、受け取った新しいデータに従って厳密にレイアウトすることにしました。新しい海岸線の長さは古い海岸線を超えることになる。そして重要なことに。これは直感的に明らかです。結局のところ、今度はスレッドが海岸に沿って通過するだけでなく、すべての湾や湾の海岸を巡る必要があります。

ご注意ください。ズームアウトすると、すべてがはるかに複雑でわかりにくくなりました。フラクタルのように。

そして今、さらなる反復です。同じ海岸沿いを歩きます。そして海岸線の起伏を記録します。飛行機から撮影した湾や湾の海岸は、写真で思っていたほど滑らかで単純ではないことがわかりました。それらは複雑な構造を持っています。したがって、この「歩行者専用」の海岸線を地図にすると、その長さはさらに長くなります。

はい、自然界に無限はありません。しかし、海岸線が典型的なフラクタルであることは明らかです。それ自体は似ていますが、詳しく調べるとその構造はますます複雑になります (顕微鏡での例を思い出してください)。

これは本当に驚くべき現象です。私たちは、サイズが制限された平面 (正方形、三角形、円) 上の幾何学的なオブジェクトは、その境界の長さが固定かつ有限であるという事実に慣れています。しかし、ここではすべてが異なります。限界内の海岸線の長さは無限であることが判明します。

木

しかし、木を想像してみましょう。普通の木。いくつかの菩提樹が広がっています。彼女のトランクを見てみましょう。根元付近。少し変形した円柱のように見えます。それらの。とてもシンプルな形をしています。

目を高く上げてみましょう。幹から枝が出始めます。各枝は、最初は幹と同じ構造、つまり幾何学的観点からは円筒形をしています。しかし、ツリー全体の構造は変わりました。はるかに複雑になってきました。

次に、これらのブランチを見てみましょう。そこから小さな枝が伸びています。基部では、同じわずかに変形した円筒形をしています。同じトランクのようです。そして、そこからさらに小さな枝が枝分かれします。等々。

木はあらゆるレベルで自らを再生産します。同時に、その構造は常に複雑になってきていますが、依然としてそれ自体と似ています。これってフラクタルじゃないの？

循環

そしてこれが人間の循環器系です。フラクタル構造もあります。動脈と静脈があります。血液はそれらのうちのいくつかを通って心臓（静脈）に来ますが、他のものを通って心臓から来ます（動脈）。そして、循環系は上で話したまさに木に似てきます。血管は、その構造を維持しながら、ますます細くなり、分岐していきます。それらは私たちの体の最も遠い領域に浸透し、酸素やその他の重要な成分をすべての細胞に届けます。これは典型的なフラクタル構造であり、ますます小さいスケールで再現されます。

河川排水

「ヴォルガ川は遠くから流れています。」地理地図では、これは青い曲がりくねった線です。さて、大きな支流にはマークが付いています。わかりました、カーマ。ズームアウトしたらどうなるでしょうか？これらの支流は他にもたくさんあることがわかりました。ヴォルガ川自体の近くだけでなく、オカ川やカマ川の近くにもあります。そして、小規模なものだけですが、独自の支流もあります。そしてそれらには独自のものがあります。人間の循環器系に非常によく似た構造が現れます。そして再び疑問が生じます。この水系全体の長さはどれくらいですか? メインチャンネルのみの長さを測定すれば、すべてが明らかです。どの教科書でも読めます。全部測ったらどうなるの？繰り返しますが、極限では無限大が判明します。

私たちの宇宙

もちろん、数十億光年のスケールでは、宇宙は均一に構造化されています。しかし、詳しく見てみましょう。そして、そこには均質性がないことがわかります。どこかに銀河（星団）があり、どこかに空がある。なぜ？なぜ物質の分布は不規則な階層法則に従うのでしょうか? そして銀河の内部では何が起こっているのか（さらにズームアウト）。星が多いところもあれば、少ないところもあります。私たちの太陽系のような惑星系が存在する場所もあれば、そうでない場所もあります。

ここには世界のフラクタルの本質が現れているのではないでしょうか？さて、もちろん、宇宙の起源とその構造を説明する一般相対性理論とフラクタル数学の間には大きな隔たりがあります。しかし、誰が知っていますか？おそらく、これらすべてはいつか「共通点」に達し、私たちは私たちの周りの宇宙をまったく異なる目で見るようになるでしょう。

実務的なことへ

同様の例が数多く挙げられます。しかし、もっと平凡な話に戻りましょう。たとえば、経済学。どうやらフラクタルが関係しているようです。それが大きく関係していることが分かりました。その一例が株式市場です。

実際にやってみると、経済プロセスは混沌としており、予測不可能であることがよくあります。これらのプロセスを説明しようとした今日まで存在した数学モデルは、非常に重要な要素の 1 つである市場の自己組織化能力を考慮していませんでした。

ここでフラクタル理論が役に立ちます。フラクタル理論には、さまざまなスケールのレベルで自身を再生産する「自己組織化」の特性があります。もちろん、フラクタルは純粋に数学的なオブジェクトです。自然界にも経済界にもそれらは存在しません。しかし、フラクタル現象という概念があります。それらは統計的な意味でのみフラクタルです。それにもかかわらず、フラクタル数学と統計の共生により、かなり正確で適切な予測を得ることが可能になります。このアプローチは、株式市場を分析する場合に特に効果的です。そして、これらは数学者の「発明」ではありません。専門家のデータによると、多くの株式市場参加者がフラクタル数学の分野の専門家への報酬に多額の費用を費やしていることが示されています。

フラクタル理論は何を与えますか? それは、価格設定が過去に起こったことに一般的かつ世界的に依存していることを前提としています。もちろん、ローカルでは価格設定プロセスはランダムです。しかし、瞬間的に発生する可能性のあるランダムな価格の急騰や下落は、クラスターを形成する可能性があります。それは大きな時間スケールで再現されます。したがって、かつて何があったのかを分析することで、特定の市場の発展傾向（成長または衰退）がどれくらい続くかを予測できます。

したがって、地球規模で、この市場またはその市場はそれ自体を「再生産」します。特定の瞬間におけるさまざまな外部要因によって引き起こされるランダムな変動を許容します。しかし、世界的な傾向は続いています。

結論

なぜ世界はフラクタル原理に従って構成されているのでしょうか? その答えは、数学モデルとしてのフラクタルには自己組織化と自己相似性の特性があるということかもしれません。さらに、それらのそれぞれの形式（記事の冒頭に示した図を参照）は、どんなに複雑であっても、独自の人生を生き、同様の形式を発展させます。それが私たちの世界の仕組みではないでしょうか？

でも社会。アイデアが現れます。最初はかなり抽象的です。そしてそれは「大衆に浸透」します。はい、なんとなく変身します。しかし、全体的には同じままです。そして、ほとんどの人のレベルでは、それは人生の道における目標設定に変わります。ここは同じソ連です。 CPSU の次の会議では次の画期的な決定が採択されましたが、すべては下り坂になりました。どんどん規模が小さくなっていきます。市委員会、党委員会。などなど、あらゆる人に当てはまります。繰り返し構造。

もちろん、フラクタル理論では将来の出来事を予測することはできません。そして、これはほとんど不可能です。しかし、私たちを取り巻くものや日常生活で起こることの多くは、私たちがそれをまったく異なる目で見ることを可能にします。意識的な。

これらは、次の特性を持つ抽象数学オブジェクトです。 自己類似性。つまり、フラクタルの部品はフラクタル自体に似ており、これらの部品の部品は部品に似ている、などです。このアニメーションではそれがはっきりと分かります。ズームを大きくすると、同様の構造が再び見えます。

しかし、疑問が生じます - フラクタル数学モデルを現実世界に適用すると、どの程度普遍的になるのでしょうか?場合によっては、それらが適用される場合もあります。たとえば、非常に凹凸のある海岸を記述する場合、宇宙から取得した海岸の画像を繰り返し拡大することで、大きな構造に似た小さな構造が得られます。しかし、 世界は全体としてフラクタルですか?つまり、ミクロの世界をさらに深く進んで、ますます大きなスケールのメガワールドを見てみると、同様の構造が見えるでしょうか? もちろん、この方法の方が簡単です。何か新しいことを発見したり発明したりする必要はなく、すべてが同じ方法で構築されます。惑星は星の周りを回転し、衛星は惑星の周りを回転し、電子は原子核の周りを回転します。さらに続けると、電子、陽子、中性子も、中心となる天体とその周りを回転する小さな天体が存在する系であると考えることができます。

ただし、これは非常に つまらない- どこでも同じものを見ます。基本的な目新しさはありません...自然がこれほど退屈で単調である可能性は低いです。私たちのすべての経験は、類似点だけでなく、最も関連性の高い物体間でも相違点があることを示唆しています（たとえば、同じ晶洞からの結晶間、雪片間、双子間など）。もちろん自然界にもありますが、 普遍的な法則、知っている心が努力する発見（これがその主要かつ最大の目標であり、それはそれ自体を直接設定します）哲学、人間の認知活動の頂点として）。したがって、素粒子から精神、意識、社会に至るまで、物質の組織のあらゆるレベルに共通かつ類似したものが存在します。しかし、 現れの形態物質の組織のさまざまなレベルおよびそのさまざまな部分における普遍法則は異なります。したがって、私たちは見守っています違う世界のさまざまな場所、さまざまなレベルにある構造は、同じ法則に従っているにもかかわらず（私たちによって完全に発見されているわけではありません）。

特にこの興味深い話題は、私たちの尊敬するソラリス氏が一連の SF 小説の中で取り上げているので、議論することを提案します。 「インガ・アウレンの宇宙」 。その中で著者は、宇宙は多細胞生物の細胞のようなものであり、他の宇宙もこの生物の他の細胞であるという考えを表現しています。ソラリスのもう 1 つの考え方は、単一の陽子が宇宙全体のようなものであるというものです。これはすべて、以上の何ものでもありません 世界のフラクタル性についてのアイデア.

上で述べたビデオ（厳選された音楽付き！）は、「物質」の深みに浸透し、同時に自分自身を還元するという興味深い感覚を呼び起こします。傑出した物理学者リチャード・ファインマンは 1959 年にナノテクノロジーの発展を予想してこう述べました。 そこにはたくさんのスペースがあります」このビデオを見ると、それを身体的に感じます。
しかし最も重要なのは、考えさせられることです マクロ世界、ミクロ世界、巨大世界の間のつながりに関する根本的な疑問。突然大幅に縮小したらどうなるでしょうか? 私たちが慣れ親しんでいるマクロの世界は、問題や不条理を伴いながらどこか脇に、巨大な世界の領域に入ってしまいます。そして同時に、そのプロセス、その規模、時間、エネルギーは私たちにとって意味を失います。まるで彼らはもう私たちのところにはいないようです。私たちが「移動」するその新しい小宇宙では、私たち自身の空間、時間、エネルギーのスケールが生じます。そこで私たちが生きられるのは、以前のマクロな世界に残っている生物たちにとってはほんの一瞬であり、私たちの体の大きさは最も強力な顕微鏡でも彼らの可視限界を超え、私たちのエネルギーは... (どれ? もっと?)少ない？）。したがって、その世界にとって、私たちもそれも、私たちにとってほとんど知覚できない謎であり、お互いに消えるほど小さな影響を及ぼします。
それともその逆なのでしょうか？そして、ミクロ、マクロ、メガの世界は、規模が大きく異なるにもかかわらず、何らかの形で互いに密接に関連しており、互いに大きな影響を与えているのでしょうか？少なくとも、上で話したのと同じ普遍的な法則を通して。
この興味深いビデオは、これらすべてについて考えさせます。

市立予算教育機関中等学校

と。メチェトノエ

科学的かつ実践的なカンファレンス「素晴らしき数学の世界」

研究作品「フラクタルの世界への旅」

完成者: 10 年生

アラーヴェルディエヴァ・ナイリヤ

責任者: Davydova E.V.

導入。
主要部分：

a) フラクタルの概念。

b) フラクタルの創造の歴史。

c) フラクタルの分類。

d) フラクタルの応用。

e) 自然界のフラクタル。

f) フラクタルの色。

3. 結論。

導入。

「フラクタル」という神秘的な概念には何が隠されているのでしょうか？おそらく多くの人にとって、この用語はコンピューターグラフィックスを使用して作成された美しい画像、複雑なパターン、明るい画像を連想します。しかし、フラクタルは単なる美しい画像ではありません。これらは、私たちを取り囲むすべてのものの基礎となる特別な構造です。ほんの数十年前に科学の世界に突然現れたフラクタルは、周囲の現実の認識に真の革命をもたらすことができました。フラクタルを使用すると、自然物体、システム、プロセス、現象の非常に正確な数学モデルを作成できます。

主要部分
フラクタルの概念。

フラクタル(緯度から。 フラクタス- 砕かれた、壊れた、壊れた）は、自己相似の特性を持つ複雑な幾何学的図形です。つまり、それぞれが図形全体と類似している複数の部分で構成されています。自然界の多くの物体にはフラクタル特性があります。たとえば、海岸、雲、樹冠、人間や動物の循環系、肺胞系などです。

フラクタル、特に平面上のものは、その美しさとコンピューターを使用した構築の容易さの組み合わせにより人気があります。

創作の歴史.
フランスの数学者ブノワマンデルブロは、今日フラクタル幾何学の父として知られる科学者であり、フラクタル科学を新たなレベルに引き上げることができました。マンデルブロは「フラクタル」という用語を最初に定義しました。

引用

「フラクタルとは、ある意味で全体に似た部分からなる構造です」
70 年代、ブノワマンデルブロは IBM で数学分析者として働いていました。この科学者は、電子ネットワーク内のノイズを研究しているときに、初めてフラクタルについて考えました。一見すると、データ送信中の干渉はまったく無秩序に発生しました。マンデルブロはエラーの発生をプロットし、あらゆる時間スケールですべての断片が似ていることを発見して驚きました。 1 週間のスケールでは、1 日、時間、または分のスケールと同じ順序でノイズが発生しました。マンデルブロは、19 世紀末にカントールが概説した原理に従って、データ伝送におけるエラーの頻度が時間の経過とともに分布することに気づきました。その後、ブノワマンデルブロはフラクタルの研究に真剣に興味を持つようになりました。
マンデルブロは、フラクタルを作成するために、前任者とは異なり、幾何学的構造ではなく、さまざまな複雑さの代数変換を使用しました。数学者は、同じ関数を繰り返し計算する逆反復法を使用しました。数学者はコンピュータの機能を使用して膨大な数の連続計算を実行し、その結果を複素平面上にグラフィック表示しました。これがマンデルブロ集合、つまり今日ではフラクタル科学の古典とみなされている複素代数フラクタルの出現方法です。場合によっては、同じオブジェクトがスムーズとフラクタルの両方であると見なすことができます。なぜこれが起こるのかを説明するために、マンデルブロは興味深い視覚的な例を挙げています。毛糸のボールを少し離れたところから取り出すと、寸法 1 の点のように見えます。近くにあるボールは 2 次元の円盤のように見えます。手に取ると、ボールのボリュームがはっきりと感じられ、立体的に感じられます。フラクタルの球は、拡大装置を使用する観察者の視点、または不均一な毛糸の表面に止まったハエの視点からのみ考えることができます。したがって、オブジェクトの真のフラクタル性は、観察者の視点と使用されるデバイスの解像度に依存します。
マンデルブロは興味深いパターンに注目しました。測定された物体を近くで見るほど、その境界がより長くなります。この特性は、自然のフラクタルの 1 つである海岸線の長さを測定することによって明確に証明できます。地理的地図上で測定を行うと、凹凸や曲がりはすべて考慮されないため、おおよその長さを知ることができます。人間の身長の高さから見える起伏の凹凸をすべて考慮して測定を実行した場合、結果は多少異なります。海岸線の長さは大幅に増加します。そして、理論的に測定装置が各小石の凹凸を迂回すると想像すると、この場合、海岸線の長さはほぼ無限になります。
フラクタルの分類。

フラクタルは次のように分類されます。

幾何学的: このクラスのフラクタルは最も視覚的であり、自己相似性がすぐに目に見えます。フラクタルの歴史は、まさに 19 世紀に数学者によって研究された幾何学的フラクタルから始まりました。

代数: フラクタルは単純な代数式を使用して形成されるため、このグループのフラクタルにはこの名前が付けられました。

確率的: フラクタルパラメーターの反復プロセスにおけるランダムな変化のイベントで形成されます。 2 次元の確率的フラクタルは、地形や海面のモデリングに使用されます。

幾何学的なフラクタル

ここからフラクタルの歴史が始まりました。このタイプのフラクタルは、単純な幾何学的構造によって得られます。通常、これらのフラクタルを構築するときは、次のことを行います。「シード」、つまり公理、つまりフラクタルが構築される基礎となるセグメントのセットを受け取ります。次に、この「シード」に一連のルールが適用され、ある種の幾何学的図形に変換されます。次に、同じルールのセットがこの図の各部分に再度適用されます。ステップが進むごとに、図形はますます複雑になり、(少なくとも頭の中で) 無限の数の変換を実行すると、幾何学的なフラクタルが得られます。幾何学的フラクタルの古典的な例: コッホのスノーフレーク、リスト、シェルピンスキーの三角形、ドラコンの線 (付録 1)。

代数フラクタル

フラクタルの 2 番目の大きなグループは代数的グループです (付録 2)。代数式、時には非常に単純な式に基づいて構築されているため、その名前が付けられました。代数フラクタルを取得するにはいくつかの方法があります。

残念ながら、フラクタルの構造を説明するのに必要な複素数に関連する 10 ～ 11 年生レベルの用語の多くは私には未知であり、理解するのがまだ難しいため、このタイプのフラクタルの構造を詳細に説明することはできません。。

フラクタルの性質は最初は白黒ですが、少しの想像力と色を追加すると、本物の芸術作品が得られます。

確率的フラクタル

このクラスのフラクタルの典型的な代表は「プラズマ」です（付録 3）。これを構築するには、長方形を取得し、その各隅の色を定義します。次に、長方形の中心点を見つけて、長方形の隅の色の算術平均に乱数を加えたものに等しい色でペイントします。乱数が大きいほど、描画はより「不規則」になります。ここで、点の色が海抜の高さであると言うと、プラズマではなく山脈が得られます。ほとんどのプログラムで山がモデル化されるのは、この原則に基づいています。プラズマに似たアルゴリズムを使用して、高さマップが構築され、さまざまなフィルターが適用され、テクスチャが適用されます。これで、フォトリアルな山が完成します。

フラクタルの応用

すでに今日、フラクタルはさまざまな分野で広く使用されています。グラフィック情報のフラクタルアーカイブの方向性は活発に発展しています。理論的には、フラクタルアーカイブでは、品質を損なうことなく画像をドットのサイズまで圧縮できます。フラクタル原理に従って圧縮された画像を拡大すると、細部まで鮮明に表示され、粒状感がまったくなくなります。

心臓のリズムもフラクタルであるため、フラクタル理論の原理は医学で心電図の分析に使用されます。循環器系および人体の他の内部システムの研究の方向性は活発に発展しています。生物学では、フラクタルは集団内で発生するプロセスをモデル化するために使用されます。
気象学者はフラクタル関係を使用して気団の動きの強さを分析し、気象変化をより正確に予測することが可能になります。フラクタル媒体の物理学は、複雑な乱流、吸着、拡散プロセスのダイナミクスを研究する際の問題を見事に解決します。石油化学産業では、多孔質材料のモデル化にフラクタルが使用されます。フラクタル理論は金融市場で効果的に使用されています。フラクタル幾何学は強力なアンテナデバイスを作成するために使用されます。
今日、フラクタル理論は独立した科学分野であり、それに基づいてさまざまな分野でますます新しい方向性が生み出されています。多くの科学研究がフラクタルの重要性をテーマにしています。

しかし、これらの珍しい物体は非常に便利であるだけでなく、信じられないほど美しいものでもあります。だからこそ、フラクタルはアートの中で徐々にその地位を確立しつつあります。その驚くべき美的魅力は、多くのアーティストにフラクタル絵画の制作を促します。現代の作曲家は、さまざまなフラクタル特性を持つ電子楽器を使用して音楽作品を作成します。作家はフラクタル構造を使用して文学作品を形成し、デザイナーはフラクタルな家具やインテリアデザインを作成します。

自然界のフラクタル性

1977 年にマンデルブロの本「フラクタル: 形、ランダム性、次元」が出版され、1982 年には別の単行本「自然のフラクタル幾何学」が出版され、そのページで著者はさまざまなフラクタルセットの明確な例を示し、次の証拠を提供しました。自然界におけるフラクタルの存在。マンデルブロは、フラクタル理論の主要な考え方を次の言葉で表現しました。

「なぜ幾何学は冷たく乾燥していると言われるのでしょうか?その理由の 1 つは、幾何学では雲、山、木、海岸の形状を正確に表現できないことです。雲は球ではなく、海岸線は円ではなく、地殻は滑らかではありません」 .」、そして雷は直進しません。自然は、より高度なだけでなく、まったく異なるレベルの複雑さを私たちに示します。構造内の異なる長さのスケールの数は常に無限です。これらの構造の存在は、私たちに次のような課題を与えます。ユークリッドが形のないものとして拒否したそれらの形式を研究するという困難な課題、しかし数学者はこの課題を無視し、自然からどんどん離れていくことを好み、形のない理論を発明しました。目に見えるもの、感じられるものすべてに対応します。」

多くの自然物体はフラクタルセットの特性を持っています (付録 4)。

フラクタルは本当に、この世界に存在するすべてのものの創造の基礎として採用された普遍的な構造なのでしょうか? 多くの自然物体の形状は、フラクタルに限りなく近いものです。しかし、世界に存在するすべてのフラクタルが、数学者によって作成された集合のように規則的で無限に繰り返される構造を持っているわけではありません。山脈、金属の破面、乱流、雲、泡、その他多くの自然のフラクタルには、完全に正確な自己相似性がありません。そして、フラクタルが宇宙のすべての秘密への普遍的な鍵であると信じるのは絶対に間違いです。見かけの複雑さにもかかわらず、フラクタルは現実の単純化されたモデルにすぎません。しかし、今日利用可能なすべての理論の中で、フラクタルは私たちの周囲の世界を記述する最も正確な手段です。

フラクタルの美しさは、明るくキャッチーな色によって追加されます。複雑な配色により、フラクタルは美しく思い出深いものになります。数学的な観点から見ると、フラクタルは白と黒のオブジェクトであり、その各点はセットに属しているか、またはセットに属していません。しかし、現代のコンピューターの機能により、フラクタルをカラフルで明るくすることが可能になりました。そして、これは、セットの隣接する領域を任意の順序で単純に色付けするものではありません。

各ポイントの値を分析することにより、プログラムは特定のフラグメントの色合いを自動的に決定します。関数が一定値を取る点は黒で表示されます。関数の値が無限大になる傾向がある場合、その点は別の色で塗られます。色の濃さは無限遠に近づく速度によって異なります。ポイントを安定した値に近づけるのに繰り返しがかかるほど、その色相は明るくなります。そしてその逆も同様です - 無限に向かって急速に突進する点は、明るく飽和した色で描かれます。
結論

フラクタルについて初めて聞いたとき、それが何なのか疑問に思いますか?

一方で、それは自己相似の特性を持つ複雑な幾何学的図形であり、それぞれが図形全体と類似しているいくつかの部分で構成されています。

この概念はその美しさと謎に魅了され、気象学、哲学、地理学、生物学、力学、さらには歴史など、最も予期せぬ分野に現れます。

ほとんどすべての物体 (雲、山、海岸線など) はフラクタル構造を持っているため、自然界でフラクタルを見ないことはほとんど不可能です。ほとんどの Web デザイナーやプログラマーは、独自のフラクタル (非常に美しい) ギャラリーを持っています。

基本的に、フラクタルは私たちの目を開き、数学を別の視点から見ることを可能にします。普通の計算はありきたりな「無味乾燥な」数値を使って行われているように見えますが、これによって私たちは独自の方法でユニークな結果が得られ、自然の創造主になったような気分になれます。フラクタルは、数学が美の科学でもあることを明らかにします。

私のプロジェクトの仕事では、数学におけるかなり新しい概念「フラクタル」について話したいと思いました。それは何か、どのような種類が存在し、どこに分布しているのか。フラクタルに興味を持っていただければ幸いです。結局のところ、フラクタルは非常に興味深いものであり、ほぼすべてのステップに存在します。

参考文献

http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
http://fractals.narod.ru/
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ボンダレンコ V.A.、ドルニコフ V.L. Barnsley-Sloan によるフラクタル画像圧縮。 // オートメーションとテレメカニクス。-1994.-N5.-p.12-20。
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フェダー E. フラクタル。あたり。英語から-M.: ミール、1991.-254 p。（ジェンス・フェダー、プレナム・プレス、ニューヨーク、1988年）
フラクタルとカオスの応用。 1993年、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。

付録 1

付録 2

付録 3

付録 4

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主題: フラクタル- 特別オブジェクト生きているそして非生活平和

ハバロフスクTOGU2015

目次
フラクタル幾何学的なフラクタルグラフィックス
フラクタルの歴史
フラクタルの分類
幾何学的なフラクタル
代数フラクタル
フラクタルの応用
フラクタルと私たちの周りの世界
フラクタルグラフィックス
フラクタルの応用
自然科学
無線工学
コンピュータサイエンス
経済と金融

フラクタルの歴史

私たちは特別なオブジェクトに遭遇することがよくありますが、それがフラクタルであることを知っている人はほとんどいません。フラクタルは、混沌とした世界の予測不可能な動きによって生成されるユニークなオブジェクトです。それらは、細胞膜などの小さな天体にも、太陽系や銀河などの大きな天体にも存在します。日常生活では、壁紙、布地、コンピューターのデスクトップのスクリーンセーバー、そして植物、海の動物、自然現象などの自然界でフラクタルを見ることができます。

科学者は古代からフラクタルに魅了されており、プログラマーやコンピューターグラフィックスの専門家もこれらのオブジェクトを愛しています。フラクタルの発見は、人間の世界認識における革命であり、芸術と科学の新しい美学の発見でした。

では、フラクタルとは何でしょうか? フラクタル- 自己相似の特性を持つ幾何学的図形。つまり、複数の部分で構成され、それぞれの部分が全体として図形全体と類似しています。

フラクタルという用語は 1975 年に提案されました。ブノワ・マンデルブロは、彼が懸念していた不規則な自己相似構造を指定しました。フラクタル幾何学の誕生は、1977 年に彼の著書「The Fractal Geometry of Nature」が出版されたことです。彼の研究は、1875 年に研究した科学者ポアンカレ、ファトゥ、ジュリア、カントール、ハウスドルフの研究に基づいています。 1925年に同じ地域で。しかし、彼らが自分たちの仕事を単一のシステムに統合することができたのは、私たちの時代になってからです。

「フラクタル」という概念は、ラテン語の「fractus」に由来するのでしょうか？断片から構成されます。その定義の 1 つは、「フラクタルとは、ある意味で全体に似た部分から構成される構造である」です。

ブノワ・マンデルブロは、その作品の中で、いくつかの自然現象を説明するためにフラクタルを使用する鮮やかな例を示しました。彼は、多くのフラクタルが持つ興味深い特性に大きな注意を払いました。実際には、フラクタルは任意の小さな部分に分割できることが多く、各部分が全体の単なる縮小コピーであることが判明します。言い換えれば、顕微鏡を通してフラクタルを見ると、顕微鏡なしで見たのと同じ絵が見えて驚くでしょう。この自己相似の性質により、フラクタルと古典幾何学のオブジェクトが明確に区別されます。

現代の科学者はフラクタルを研究していますか? 単なる新しい知識分野ではありません。これは、私たちの周りの世界を記述する新しいタイプの幾何学の発見であり、教科書だけでなく、自然や無限の宇宙でも見ることができます。現在、マンデルブロと他の科学者はフラクタル幾何学の分野を拡大し、株価の予測から理論物理学の新たな発見に至るまで、世界中のほぼすべてのことに適用できるようになりました。

フラクタルの分類

フラクタルにはさまざまな分類があります。

フラクタルの主な分類は、幾何学的フラクタルと代数的フラクタルへの分割です。

幾何学的なフラクタルには正確な自己相似性があり、代数的なフラクタルには近似的な自己相似性があります。

自然フラクタルと人工フラクタルへの分割もあります。

人工のフラクタルには、科学者によって発明されたものが含まれており、あらゆるスケールでフラクタル特性を持っています。自然のフラクタルには、存在領域、つまりオブジェクトがフラクタル特性を示す最大サイズと最小サイズの制限があります。

最も単純なフラクタルは幾何学的フラクタルです。

幾何学的なフラクタル

幾何学的なフラクタルは、古典的、決定論的、または線形とも呼ばれます。これらは、スケールが変わっても変わらない、いわゆる厳格な自己相似性を持っているため、最も視覚的です。これは、フラクタルをどれだけズームインしても、同じパターンが見えることを意味します。

2 次元の場合、ジェネレーターと呼ばれる折れ線を指定することで、このようなフラクタルを取得できます。アルゴリズムの 1 つのステップでは、特定のポリライン (イニシエーター) の各セグメントが、適切なスケールのジェネレーターポリラインに置き換えられます。これを無限に繰り返すことでフラクタル曲線が得られます。この曲線は一見複雑ですが、その形状はジェネレーターの形状によってのみ決定されます。

最も有名な幾何学的なフラクタル: コッホ曲線、ミンコフスキー曲線、レヴィ曲線、ドラゴン曲線、シェルピンスキーのナプキンとカーペット、デューラー五角形。

いくつかの幾何学的なフラクタルの構築

1)。コッホ曲線。

1904年にドイツの数学者ヘルゲ・フォン・コッホによって発明されました。これを構築するには、単一のセグメントを 3 つの等しい部分に分割し、中央のリンクをこのリンクのない正三角形に置き換えます。次のステップでは、結果として得られる 4 つのセグメントのそれぞれに対して操作を繰り返します。これを無限に繰り返すことでフラクタル曲線が得られます。

2)。シェルピンスキーのナプキン。

1915 年、ポーランドの数学者ワツワフシェルピンスキーは興味深い物体を思いつきました。それを構築するには、実線の正三角形を作成します。最初のステップでは、中心から逆正三角形を削除します。 2 番目のステップでは、残りの 3 つの三角形から 3 つの逆三角形を削除します。理論によれば、このプロセスに終わりはなく、三角形の中に居住空間は残らないが、崩壊することもなく、結果として穴だけからなる物体ができる。

3)。ハーターハサウェイのドラゴン。

ハーター・ハイサウェイ・ドラゴンとしても知られるハーターズ・ドラゴンは、NASAの物理学者によって最初に研究されましたか? ジョン・ハサウェイ、ウィリアム・ハーター、ブルース・バンクス。これは、1967 年に Martin Gardner によって Scientific American の Mathematical Games コラムで説明されました。

次のステップでは、各線分が、元の線分が斜辺となる直角二等辺三角形の側面を形成する 2 つの線分に置き換えられます。その結果、セグメントは直角に曲がっているように見えます。たわみの方向が交互になります。最初のセグメントは（左から右に移動するにつれて）右に曲がり、2 番目は左に、3 番目は再び右に曲がります。

幾何学的なフラクタルの例

曲線コッホナプキンシェルピンスキー

ドラゴンハーター・ハサウェイ

フラクタルの 2 番目の大きなグループは代数的です。代数公式に基づいて構築されているため、その名前が付けられました。

代数フラクタル

複雑な (代数的) フラクタルは、コンピューターの助けなしでは作成できません。カラフルな結果を得るには、このコンピュータには強力な数学的コプロセッサと高解像度モニタが必要です。代数公式に基づいて構築されているため、その名前が付けられました。この式を数学的に処理すると、画面上にある色の点が表示されます。その結果、直線が曲線に変わり、変形がないわけではありませんが、自己相似効果がさまざまなスケールレベルで現れる奇妙な図が得られます。コンピューター画面上のほぼすべての点は、個別のフラクタルのようなものです。

最も有名な代数フラクタル: マンデルブロ集合とジュリア集合、ニュートンプール。

代数フラクタルには、近似的な自己相似性があります。実際、複雑なフラクタルの小さな領域を拡大し、その領域の小さな部分で同じことを行うと、2 つの倍率は互いに大きく異なります。 2 つの画像は詳細は非常に似ていますが、完全に同一ではありません。

代数的フラクタル

マンデルブロ集合近似

フラクタルは科学への応用がますます増えています。その主な理由は、それらが従来の物理学や数学よりも現実世界をよりよく描写しているためです。

フラクタルの応用

1). カオス理論: フラクタルは常にカオスという言葉と関連付けられます。カオス理論は、複雑な非線形動的システムの研究として定義されます。カオスとは、予測不可能な状態のことです。これは、動的システムで、2 つの非常に近い初期値に対して、システムがまったく異なる動作をする場合に発生します。カオス的な動的システムの例は天気です。このようなシステムの例としては、乱流、生物学的集団、社会とそのサブシステム (経済、政治、その他の社会システム) があります。この理論の中心的な概念の 1 つは、システムの状態を正確に予測することは不可能であるということです。カオス理論は、システムの無秩序 (システムの遺伝的予測不可能性) ではなく、システムが継承する秩序 (類似したシステムの共通の動作) に焦点を当てます。したがって、カオスの科学は、ランダム性が組織原理となる、さまざまな形の秩序に関する考え方の体系です。

2). 経済学: 証券市場の分析。

3). 天体物理学: 宇宙における銀河クラスタリングのプロセスの説明。

4). 地質学: 鉱物の粗さの研究。

5). 地図作成: 海岸線の形状の研究。河川流路の広範なネットワークの研究。

6). 液体と気体の力学、表面の物理学:

- 複雑な流れのダイナミクスと乱流。

- 炎のモデリング;

7). 生物学と医学:

- 動物個体群と鳥の移動のモデリング。

- 伝染病のモデル化。

- 循環系の構造の分析。

- 細胞膜の複雑な表面の考慮。

- 体内のプロセスの説明（心拍など）。

8). フラクタルアンテナ: アンテナデバイスの設計におけるフラクタル幾何学の使用は、当時建物への外部アンテナの設置が禁止されていたボストンのダウンタウンに住んでいたアメリカ人エンジニアのネイサンコーエンによって初めて使用されました。彼はアルミホイルからコッホ曲線の形を切り出し、それを紙に貼り付け、それを受信機に貼り付けました。そのようなアンテナは通常のアンテナと同じように機能することがわかりました。このようなアンテナの物理的な動作原理はまだ研究されていませんが、それでもコーエン氏は自分の会社を設立し、連続生産を開始することを止めませんでした。

9). 画像圧縮: フラクタル画像圧縮アルゴリズムの利点は、パックされたファイルのサイズが非常に小さく、画像の回復時間が短いことです。フラクタル圧縮のもう 1 つの利点は、画像を拡大してもピクセル化効果 (ドットのサイズが画像を歪めるサイズまで増加すること) が発生しないことです。フラクタル圧縮を使用すると、拡大後の画像が以前よりさらに良く見えることがよくあります。

10). コンピュータグラフィックス: コンピュータグラフィックスは現在、猛烈な発展の時期を迎えています。彼女はモニター画面上に無限の多様なフラクタル形状や風景を再現し、見る者を素晴らしい仮想空間に没入させることができました。現在では、比較的単純なアルゴリズムの助けを借りて、幻想的な風景や形の 3 次元画像を作成することが可能になり、時間の経過とともにさらにエキサイティングな画像に変換できます。山、花、木に似たフラクタルの傾向は、一部のグラフィックエディターによって利用されています (たとえば、3D Studio MAX のフラクタル雲、World Builder のフラクタル山など)。フラクタルモデルは今日コンピュータゲームで広く使用されており、現実と区別するのが難しい環境をゲーム内に作り出しています。

20 世紀の終わりは、フラクタルと呼ばれる驚くほど美しく無限に多様な構造の発見だけでなく、自然のフラクタル性の認識によっても特徴づけられました。私たちの周りの世界は非常に多様であり、そのオブジェクトはユークリッドの線や曲面という厳密な枠組みには収まりません。

フラクタルと私たちの周りの世界

« 美は常に相対的なものです...私たちが建設した桟橋の通常の形状と形状が異なるからといって、海の海岸が本当に形状がないと仮定すべきではありません。山の形は、規則的な円錐やピラミッドではないという理由で不規則であるとは考えられません。星間の距離が等しくないからといって、それらが無能な手によって空に散らばったというわけではありません。これらの間違いは私たちの想像の中にのみ存在します , 実際、それらはそのようなものではなく、植物や動物の王国においても人間の間においても、地球上の生命の真の現れを決して妨げません。」 17世紀のイギリスの科学者の言葉です。リチャード・ベントリーは、海岸、山、天体の形を組み合わせてユークリッドの構造と対比させるという考えが、非常に長い間人々の心の中に生じていたと指摘しています。

ガリレオ・ガリレイは、「偉大な自然の本は幾何学の言語で書かれている」と言いました。今では、これがフラクタル幾何学の言語で書かれていると自信を持って言えます。

私たちが自然界で観察するものは、同じパターンが何度でも増減する無限の繰り返しに興味をそそられることがよくあります。奇妙な形の海岸線や複雑に曲がる川、壊れた山脈の表面や雲の輪郭、広がる木々の枝やサンゴ礁、恐るべきろうそくの揺らめきや山の川の泡立ち、これらはすべてフラクタルです。雲や嵐の小川のように常に形を変えるものもあれば、木や山脈のように構造を変えずに維持するものもあります。すべてのタイプのフラクタル構造に共通するのは、自己相似性です。これは、フラクタルの基本法則、つまり宇宙の多様性における統一の法則の実現を保証する主要な特性です。

人間のシステムや器官もフラクタル構造です。たとえば、血管は複数回分岐します。フラクタルな性質を持っています。心臓の電気活動はフラクタル過程です。心臓専門医は、地震や経済現象と同様に、心拍のスペクトル特性がフラクタル法則に従うことを発見しました。消化管の組織では、波状の表面が別の波状表面に埋め込まれています。肺も、大きな領域が小さな空間に押し込められている例です。実際、人体の構造全体は本質的にフラクタルです。これはすでに科学者によって認識されています。生物の 1 つの細胞に生物全体に関する情報が含まれている場合、多様な複合体を定義する単一の単純性の原理がヒトゲノムに埋め込まれています。

自然界のフラクタル構造

以下にいくつかのサンプル写真を示します。

生物学者のジョン・ホールデーンは、「世界は私たちが思っているよりも奇妙であるだけでなく、私たちが想像できるよりも奇妙です」と述べています。フラクタルはマンデルブロの発明ではありません。それらは客観的に存在します。この世界を反映し理解する自然の形態やプロセス、科学や芸術において。ブノワ・マンデルブロが 1993 年に物理学分野の名誉ウルフ賞を受賞したのは、「フラクタル幾何学のアイデアのおかげで私たちの世界観が変わったことにより」です。

現在、フラクタル絵画は非常に人気があります。とても素晴らしい印象を与えます。多くの細い線が 1 つの全体を形成したり、珍しい要素が絡み合って 1 つの絵を形成したりします。明るい光のフラッシュと適度な滑らかなライン。フラクタルが生きているように見えます。それは燃え、光り、惹きつけられ、あなたはそれから目を離すことができず、最も小さな、最も取るに足らない細部まで研究します。

フラクタルグラフィックス

インテリアのフラクタル絵画

フラクタルの応用

自然科学

物理学では、フラクタルは、乱流流体の流れ、複雑な拡散吸着プロセス、炎、雲などの非線形プロセスをモデル化するときに自然に発生します。フラクタルは、石油化学製品などの多孔質材料のモデリングに使用されます。生物学では、集団をモデル化し、内臓系 (血管系) を説明するために使用されます。コッホ曲線の作成後、海岸線の長さを計算する際にコッホ曲線を使用することが提案されました。

無線工学

アンテナデバイスの設計におけるフラクタル幾何学の使用は、アメリカ人エンジニアのネイサンコーエンによって初めて使用されました。彼は当時、建物への外部アンテナの設置が禁止されていたボストンのダウンタウンに住んでいました。ネイサンはアルミホイルからコッホ曲線の形を切り出し、紙に貼り付けて受信機に貼り付けました。コーエンは自分の会社を設立し、連続生産を開始しました。

コンピュータサイエンス

画像圧縮

フラクタルツリー

フラクタルを利用した画像圧縮アルゴリズムがあります。これらは、画像自体の代わりに、この画像 (またはそれに近い画像) を固定点とする圧縮マップを保存できるという考えに基づいています。このアルゴリズムの変種の 1 つは、Microsoft が百科事典を出版するときに使用しましたが、これらのアルゴリズムは広く使用されませんでした。

コンピューターグラフィックス

フラクタルは、木、茂み、山の風景、海面などの自然物の画像を構築するためにコンピュータグラフィックスで広く使用されています。フラクタル画像を生成するために利用できるプログラムは数多くあります。

分散型ネットワーク

ねつくネットワーク（このネットワークは、中央プロセッサとメモリへの負荷を最小限に抑えながら膨大な数のノードの相互作用を保証できる、分散型自己組織型ピアツーピアネットワークを構築するプロジェクトです）の IP アドレス割り当てシステムでは、フラクタル情報圧縮の原理を利用して、ネットワークノードに関する情報をコンパクトに保存します。 Netsukuku ネットワーク内の各ノードは、隣接するノードの状態に関する情報を 4 KB のみ保存しますが、新しいノードは、たとえば、一般的な IP アドレス配布の中央規制を必要とせずに共通ネットワークに接続します。インターネット。したがって、フラクタル情報圧縮の原理により、完全な分散化が保証され、ネットワーク全体の最も安定した動作が保証されます。

経済と金融

A.A.アルマゾフの著書『フラクタル理論』市場の見方を変える方法」では、特に外国為替市場で株価を分析する際にフラクタルを使用する方法を提案しました。

フラクタルを見るたびに、現実の世界と数学の世界がいかに美しいか、そして数学は実際には宇宙に存在するほぼすべてのものを記述することができる言語であることを考えます。

参考文献

1. マンデルブロ B. 自然のフラクタル幾何学。 M.: 「コンピュータ研究所」、2002 年、656 ページ。

2.モロゾフAD フラクタル理論の入門。 N. ノヴゴロド: ニジニ・ノヴゴロドの出版社。大学、1999 年、140 ページ。

3. Peitgen H.-O.、Richter P. H. フラクタルの美しさ。 M.: 「ミール」、1993年。 - 176 p.

4. ティホプラフ V.Yu.、ティホプラフ T.S. カオスの調和、あるいはフラクタル現実。サンクトペテルブルク: 出版社「Ves」、2003 年、340 ページ。

5. フェダー E. フラクタル。 M：「ミール」、1991年、254ページ。

6. シュローダー M. フラクタル、カオス、べき乗則。無限の楽園からのミニチュア。イジェフスク：「RKhD」、2001年、528ページ。

フラクタルに関するサイトのリスト

1. http://www.fractals.nsu.ru。

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru。

3. http://www.multifractal.narod.ru。

4. http://algolist.manual.ru。

Allbest.ru に掲載

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クリミア共和国教育・科学・青少年省

クリミア共和国市制クラスノペレコプスキー地区の市立予算教育機関「マガジンスキー教育複合施設」

方向性：数学

フラクタルモデルの特徴の研究

実用化に向けて

私は仕事を終えました:

クリミア共和国市制クラスノペレコプスキー地区の市立予算教育機関「マガジンスキー教育複合施設」の8年生

科学顧問:

クリミア共和国クラスノペレコプスキー地区市制予算教育機関「マガジンスキー教育複合施設」の数学教師

クラスノペレコプスキー地区 – 2016

科学は、電気、原子力、ワクチンなど、人類の生活を根本的に変える多くの輝かしい発見や発明を生み出してきました。しかし、あまり重要視されていない発見もありますが、それらは私たちの生活に影響を与える可能性があり、実際に影響を与えています。これらの発見の 1 つはフラクタルです。フラクタルは、混乱の中でもイベント間のつながりを確立するのに役立ちます。

アメリカの数学者ブノワ・マンデルブロは、著書『自然のフラクタル幾何学』の中で次のように書いています。その理由の 1 つは、雲、山、木、海岸の形状を正確に表現できないことです。雲は球ではなく、海岸線は円ではなく、地殻は滑らかではなく、雷は直進しません。自然は、より高度なレベルだけでなく、まったく異なるレベルの複雑さを私たちに示します。構造内のさまざまな長さスケールの数は常に無限です。これらの構造の存在は、ユークリッドが形のないものとして拒否したそれらの形態を研究するという困難な課題、つまり非晶質の形態を研究するという課題の形で、私たちに挑戦を投げかけます。しかし、数学者たちはこの課題を無視し、自然からどんどん遠ざかる道を選択し、目に見えるものや感じられるものとは一致しない理論を発明してきました。」

仮説：私たちの周りの世界に存在するものはすべてフラクタルです。

仕事の目標:自然のものに似たイメージのオブジェクトを作成します。

研究対象:科学のさまざまな分野や現実世界におけるフラクタル。

研究テーマ:フラクタル幾何学。

研究目的：

1. フラクタルの概念、その起源の歴史、B. マンデルブロ、G. コッホ、W. シェルピンスキーなどの研究に精通していること。

3. 周囲の世界のフラクティリティ理論の裏付けを見つける。

4. 他の科学および実際におけるフラクタルの使用の研究。

5. 独自のフラクタル画像を作成する実験を実施します。

研究手法：分析的、探索的、実験的。

「フラクタル」の概念の歴史

フラクタル幾何学は数学の新しい方向性として 1975 年に登場しました。「フラクタル」の概念は、アメリカの科学者ブノワ・マンデルブロによって初めて数学に導入されました。フラクタル (英語の「fraction」に由来) は、部分に分割された分数です。マンデルブロのフラクタルの定義は次のとおりです。「フラクタルは、ある意味で全体と類似した部分から構成される構造です。」

IBM の研究センターで長距離データ伝送に取り組んでいたとき、ブノワは、電子回路におけるノイズ干渉の発生を予測する方法を理解するという、困難かつ非常に重要な課題に直面しました。マンデルブロは、異なるスケールのノイズグラフが同じに見えるという、1 つの奇妙なパターンに気づきました。 1 日、1 週間、または 1 時間のノイズグラフであっても、同じ画像が観察されました。グラフのスケールを変更する必要があり、そのたびに図を繰り返す必要がありました。奇妙なパターンの意味を深く考え、ブノワはフラクタルの本質を理解するようになりました。

ただし、フラクタル幾何学の最初のアイデアは 19 世紀に生まれました。

そこで、ドイツの数学者、論理学者、神学者、無限集合理論の創始者であるゲオルグ・カントール（カントール、1845-1918）は、単純な繰り返し手順を使用して、線を接続されていない点の集合に変えました。彼はラインを取り、中央の 3 分の 1 を削除し、残りのセクションで同じことを繰り返しました。現れたのはカントールダストと呼ばれるものです（図1）。

イタリアの数学者ジュゼッペペアノ (1858-1932) は、ある線を元の線の長さより 3 倍短い 9 つのセグメントに置き換えました。次に、各セグメントに対して同じことを行いました。など、無限に続きます。その後、同様の構築が 3 次元空間で実行されました (図 2)。

最初のフラクタル描画の 1 つは、ガストンモーリスジュリアの研究のおかげで誕生したマンデルブロ集合のグラフィカルな解釈でした (図 3)。

すべてのフラクタルはグループに分類できますが、最大のものは次のとおりです。

幾何学的なフラクタル。

代数的フラクタル。

確率的フラクタル。

幾何学的なフラクタル

幾何学的なフラクタルは最も視覚的であり、単純な幾何学的構造によって得られます。ジェネレーターと呼ばれる、破線 (3 次元の場合は曲面) を考えます。次に、ポリラインを構成する各セグメントが、適切な縮尺で生成ポリラインに置き換えられます。この手順を際限なく繰り返すことで、幾何学的なフラクタルが得られます。幾何学的なフラクタルの例は次のとおりです。

1) コッホ曲線。 20 世紀初頭、量子力学の急速な発展に伴い、科学者はブラウン粒子の動きを最もよく示す曲線を見つけるという課題に直面しました。これを行うには、曲線に次のプロパティが必要です。つまり、どの点にも接線を持たないということです。数学者コッホはそのような曲線の 1 つを提案しました。単位セグメントを取得し、それを 3 つの等しい部分に分割し、中央の区間をこのセグメントのない正三角形に置き換えます。その結果、長さ 1/3 の 4 つのリンクからなる破線が形成されます。次のステップでは、結果として得られる 4 つのリンクのそれぞれに対して操作を繰り返します。

限界曲線はコッホ曲線です (図 4) . 正三角形の辺に対して同様の変換を実行すると、コッホ雪の結晶のフラクタル画像を取得できます。

2) レビー曲線 . 正方形の半分を取り、各辺を同じ断片で置き換えます。この操作を何度も繰り返し、最終的に Levy 曲線が得られます (図 5)。

3) ミンコフスキー曲線。基礎はセグメントであり、ジェネレーターは 8 つのリンクの破線です (2 つの等しいリンクが連続しています) (図 6)。

4) ペアノ曲線 (図 2)。

5) ドラゴンカーブ (図 7)。

6) ピタゴラスの木。直角三角形の各辺が正方形で配置された「ピタゴラスのパンツ」として知られる図形に基づいて構築されています。初めて、ピタゴラスの木は通常の描画定規を使用して構築されました (図 8)。

7) シェルピンスキー広場。シェルピンスキーの「グリッド」または「ナプキン」として知られています (図 9)。正方形は、辺に平行な直線で 9 つの等しい正方形に分割されます。中央の広場が広場から削除されます。結果は、残りの 8 つの「第 1 ランク」のマスから構成されるセットになります。 1 番目のランクの各正方形に対してまったく同じことを行うと、2 番目のランクの 64 個の正方形からなるセットが得られます。このプロセスを無限に続けると、無限数列またはシェルピンスキー正方形が得られます。

代数フラクタル

代数公式に基づいて構築されたフラクタルは、代数フラクタルとして分類されます。これはフラクタルの最大のグループです。これらには、マンデルブロフラクタルが含まれます (図 3) , ニュートンのフラクタル (図 10)、ジュリア集合 (図 11) など。

一部の代数フラクタルは、動物、植物、その他の生物学的オブジェクトの画像に著しく似ているため、それらはバイオモルフと呼ばれます。

確率的フラクタル

確率的フラクタルは、パラメータのランダムな変化を繰り返すことによって形成されるもう 1 つの大きなタイプのフラクタルです。この場合、結果として得られるオブジェクトは、非対称の木々、険しい海岸線など、自然のものと非常によく似ています。

したがって、長方形を取得し、その各隅に色を割り当てるとします。次に、その中心点を取得し、長方形の隅の色の算術平均に乱数を加えたものに等しい色で色を付けます。乱数が大きいほど、描画はより「不規則」になります。したがって、「プラズマ」フラクタルが得られます (図 12)。そして、点の色が海抜の高さであると仮定すると、プラズマではなく山脈が得られます。ほとんどのプログラムで山がモデル化されるのは、この原則に基づいています。プラズマに似たアルゴリズムを使用して高さマップを構築し、それにさまざまなフィルターを適用し、テクスチャを適用すると、フォトリアルな山が完成します。

フラクタルの応用

フラクタル絵画。デジタルアーティストの間で人気のある現代アートのトレンド。フラクタルパターンは人に異常で魅惑的な効果をもたらし、明るく燃えるようなイメージを生み出します。素晴らしい抽象化は退屈な数式によって作成されますが、想像力はそれらを生きたものとして認識します (図 13)。誰でもフラクタルプログラムを練習して、独自のフラクタルを生成できます。真の芸術とは、色と形のユニークな組み合わせを見つける能力にあります。

文学におけるフラクタル。文学作品の中には、フラクタルな性質、つまり自己相似の入れ子構造を持つものが見つかります。

1. 「ここが家です。

ジャックが作ったもの。

そしてこちらが小麦です。

ジャックが作ったもの

そして、こちらは元気なシジュウカラです。

巧みに小麦を盗み、

暗いクローゼットに保管していたものです

どのジャックが作ったか…」

サミュエル・マーシャク

2. 大きなノミはノミに刺されます

それらのノミ、小さな小さなノミ、

彼らが言うように、無限です。

ジョナサン・スウィフト

医学におけるフラクタル。人体は、循環系、リンパ系、神経系、筋肉、気管支など、多くのフラクタル状の構造で構成されています (図 14、15)。

物理学と力学におけるフラクタル。自然物体のフラクタルモデルを使用すると、さまざまな物理現象をシミュレートし、予測を行うことができます。

外部アンテナの設置が禁止されていたボストン中心部に住んでいたアメリカ人技術者のネイサン・コーエンさんは、アルミホイルからコッホ曲線の形をした図形を切り出し、紙に貼り付けて受信機に貼り付けた。そのようなアンテナは通常のアンテナと同じように機能することがわかりました。このようなアンテナの物理原理はまだ研究されていませんが、それでもコーエン氏は自分の会社を設立し、連続生産を開始することを止めませんでした。現在、アメリカの会社 Fractal Antenna System は携帯電話用のフラクタルアンテナを製造しています。

自然界のフラクタル。自然は、理想的な幾何学模様と、ただただ感嘆して固まってしまうほどの調和を持った、驚くべき美しいフラクタルを生み出すことがよくあります。以下にその例を示します。

- 貝殻;

カリフラワー亜種 (Brassica cauliflora)、シダ。

孔雀の羽。

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葉から根までの木。

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フラクタルは私たちの周りの自然のいたるところに存在します。宇宙全体は、数学的精度を備えた驚くほど調和のとれた法則に従って構築されています。この後、私たちの惑星が粒子のランダムな連結であると考えることは可能でしょうか?

実務

フラクタルツリー。 Microsoft Word Draw ツールバーといくつかの簡単なグループ化、コピーアンドペースト変換を使用して、フラクタルツリーを構築しました。私のフラクタルのジェネレーターは、特定の方法で配置された 5 つのセグメントでした。
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