ガロアが解決した問題は何でしたか。バイオグラフィー。フィクションの画像

ガロアはパリ郊外で生まれました。彼はニコラス・ガブリエル・ガロワとアデレード・マリー・デマントの3人の子供のうちの2人目でした。私の父は頑固な共和党員でした。

12歳のとき、エヴァリステは実家を出て、ルイ・ル・グラン王立大学（現在のリセ・ルイ・ル・グラン）に入学し、そこで本格的な数学の作品を読みました。とりわけ、彼は任意の次数の方程式を解くことについてのニールス・アベルによる回想録に出くわしました。トピックはガロアを捕らえ、彼は彼自身の研究を始めます。

1827年から1829年に、一連の不幸がガロアに降りかかりました。父親は自殺し、彼自身は工科大学での試験に2回失敗し、彼が期待していたパリアカデミーに送った作品はコーシーを襲いました。コーシーは決して結論を出しませんでした。彼はアベルの写本を失ったのと同じようにガロアの写本を失いました。この時までに、エヴァリスト・ガロアはすでに方程式の代数で彼の最も優れた発見をしていました。

1829年、ガロアは依然として高等師範学校に入学し、そこで1年間だけ勉強し、共和党の方向性の政治演説に参加したために追放されました。

1830年：フランスでの7月革命。シャルル10世は倒されましたが、左翼は共和国を宣言するという目標を達成できず、事件は王をよりリベラルなオルレアンのルイフィリップに置き換えることで終わりました。

致命的な不幸は続いています。ガロアは、彼の発見についての回想録であるアカデミー賞のコンテストに参加するためにフーリエを送りますが、数日後、フーリエはそれをする時間がなくて突然死にました。原稿は彼の死後に残された書類には見つかりませんでした。賞品はアベルに贈られます。それにもかかわらず、ガロアは彼の理論の基礎を概説する3つの記事を何とか公開しています。

ガロアは共和党の演説に参加し続け、反抗的に振る舞います。彼はサントペラジー刑務所に2回投獄されました。彼が1831年5月10日に初めて逮捕されたとき。 6月15日、セーヌ県の陪審員が事件の審理を開始した。デュポンの弁護士の努力のおかげで、ガロアは無罪判決を受け、さらに遅れることなく釈放されました。ガロアが1831年7月14日から1832年3月16日までサントペラジーに2回滞在したとき、彼はルルシン通りの86番にある病院に移送されました。ガロアが4月29日の任期終了後、しばらくここに留まったという証拠があります。この病院は彼の最後の既知の住居です。

5月30日の早朝、ジェンティリーの氷河池の近くで、ガロアは正式には恋愛関係に関連した決闘で致命傷を負いましたが、紛争が王族によって引き起こされた疑いもあります。敵は数メートルの距離でピストルでお互いに発砲しました。弾丸は胃の中でガロアに当たった。数時間後の地域住民誤って負傷した男性に遭遇し、コーチン病院に連れて行った。決闘の状況を知ることはできませんでした、正確に誰と決闘があったのかさえはっきりしていません。 1832年5月31日の朝10時に、ガロアは亡くなりました。彼は1832年6月2日にモンパルナス墓地に埋葬されました。決闘の前夜、ガロアはアカデミーのために回想録の新しいバージョンを準備し、そこで彼は彼の研究の結果を要約し、それを彼の友人オーギュスト・シュヴァリエに送りました。

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科学的成果

ガロアは生涯20年間、19世紀で最も偉大な数学者のレベルに彼を置く発見をすることができました。代数方程式の理論の問題を解き、彼は現代代数の基礎を築き、群（ガロアはこの用語を最初に使用し、対称群を積極的に研究した）や体（有限体はガロアと呼ばれる）などの基本的な概念を考え出しました。田畑）。

ガロアは、16世紀以来、最高の数学者に解が与えられていなかった古い問題を調査していました。任意の次数の方程式の一般的な解を見つけること、つまり、算術のみを使用して係数でその根を表現することです。操作と部首。

Niels Abelは、数年前に、次数5以上の方程式の場合、「ラジカルでの」解法は不可能であることを証明しました。しかし、ガロアはさらに進んだ。彼は、方程式の根が部首で表現されるための必要十分条件を見つけました。しかし、最も価値のあるものは、この結果でさえなく、ガロアがそれを得ることができた方法でした。

ガロアの作品は、数が少なく簡潔に書かれていましたが、最初は同時代の人々に誤解されていました。オーギュスト・シュヴァリエとガロアの弟アルフレッドは、ガロアの最新作をガウスとヤコビに送りましたが、返答はありませんでした。ガロアの発見がリウヴィルに興味を持ったのは1843年になってからであり、リウヴィルはそれらを出版してコメントしました（1846）。

ガロアの発見は大きな印象を与え、新しい方向性、つまり抽象代数的構造の理論の基礎を築きました。次の20年間、ケイリーとジョーダンはガロアのアイデアを開発し、一般化しました。これにより、すべての数学の顔が完全に変わりました。

(1811-10-25 )

12歳のとき、エヴァリステはルイ・ル・グラン王立大学に入学しました。ガロアは学生時代に、大学がイエズス会の学校に変わる可能性があるという噂のために、共和党の学生が大学の指導者に対して陰謀を企てようとする試みを目撃しました（革命前でした）。陰謀は明らかにされ、100人以上の大学生が不名誉で追放されました。

ガロアは16歳のときに初めて深刻な数学の作品を読み始めました。とりわけ、彼は任意の次数の方程式を解くことについてのニールス・アベルによる回想録に出くわしました。先生によると、彼を従順な生徒から傑出した生徒に変えたのは数学でした。トピックはガロアを捕らえ、彼は彼自身の研究を始め、17歳で彼はジャーナルに彼の最初の作品を発表しました。 Annales de Gergonne"。しかし、ガロアの才能は彼の認識に貢献しませんでした。彼の決定は教師の理解のレベルを超えることが多く、彼がわざわざ紙に明確に述べることをせず、彼にとって明白なことをしばしば省略したという事実は貢献しませんでした。彼の結論の明確化。

1828年から1829年にかけて、一連の不幸がガロアを襲いました。ガロアは1年のギャップを持って2回、工科大学の試験に不合格になりました。初めて、解決策の簡潔さと口頭試験での説明の欠如は、ガロアが受け入れられなかったという事実につながりました。一年後、口頭試験で、彼は同じ状況にいることに気づき、試験官の誤解から必死になって、彼にぼろきれを投げました。ポリテクニックスクールに入学することも、共和党の中心であったため、彼にとって重要でした。次の挫折は、コーシーによって2つの部分で承認され、レビューのために彼に送られた作品が、その後コーシーによって失われ、数学論文の競争のためにパリアカデミーに入らなかったことでした。 1829年、故郷のガロアに再び到着したイエズス会の司祭は、エヴァリストの父が書いたとされる悪質なパンフレットを出版しました（ニコラス・ガブリエル・ガロアは風刺的なパンフレットの機知に富んだ作家として知られていました）。恥ずべきことに耐えられず、ガロア神父は自殺以外の方法を見ませんでした。

1829年、ガロアは依然として高等師範学校に入学し、そこで1年間だけ勉強し、共和党の方向性の政治演説に参加したために追放されました。

いずれにせよ、ガロア氏の証明を理解するために最善を尽くしました。彼の推論は、私たちがその正確さを判断するのに十分明確でも完全でもないので、私たちはこのレポートでそれを提示する立場にありません。

ガロアは共和党の演説に参加し続け、反抗的に振る舞います。 2回投獄された（fr。）。彼が1831年5月10日に初めて逮捕されたとき。 6月15日、セーヌ県の陪審員が事件の審理を開始した。デュポンの弁護士の努力のおかげで、ガロアは無罪判決を受け、さらに遅れることなく釈放されました。ガロアが1831年7月14日から1832年3月16日までサントペラジーに2回目に座ったとき、彼は病気で、86 RueLurcineにある病院に移送されました。ガロアが4月29日の任期終了後、しばらくここに留まったという証拠があります。この病院は彼の最後の既知の住居です。ここで彼は、医者の一人であるジャン＝ルイの娘であるステファニーに会いました。おそらく彼女の側の拒否は主な理由若い革命家の悲劇的な死。

5月30日の早い時間に、ガロアの池氷河の近くで、彼は正式に恋愛に関連した決闘で致命傷を負いましたが、紛争が王族によって引き起こされたという疑いもあります。敵は数メートルの距離でピストルでお互いに発砲しました。弾丸は胃の中でガロアに当たった。数時間後、地元住民の一人が誤って負傷した男性に遭遇し、彼を連れて行った（fr。）。決闘の状況を知ることはできませんでした、正確に誰と決闘があったのかさえはっきりしていません。 1832年5月31日の朝10時に、ガロアは亡くなりました。彼は1832年6月2日にモンパルナス墓地に埋葬されました。

決闘の前夜、ガロアは彼の研究を要約したいくつかの短い手紙と長い手紙を彼の友人オーギュスト・シュヴァリエに書いた。

科学的成果[ | ]

彼の人生の20年と数学への4年間の情熱の間、ガロアは彼を19世紀の最も偉大な数学者のレベルに置く発見をすることができました。

ガロアは、任意の次数の方程式の一般解を見つける問題、つまり、算術演算と部首のみを使用して係数でその根を表現する方法の問題を調査しました。

ガロアは遺書の中で、彼の業績の中で「機能の曖昧さ」（フランス語の曖昧さの機能）に関するいくつかの研究についても言及しています。

エヴァリスト・ガロワ

天才の未来の数学者であるエヴァリスト・ガロアは、1811年10月26日に、パリから10km離れたブールラレーヌの町で生まれました。彼の父は、当時帝国大学の寄宿学校の校長を務めていたニコラ・ガブリエル・ガロアでした。母-アデレードマリーデマンドガロア。その後、ニコラ・ガロアはブール・ラ・レンヌの市長になり、このポストに15年間留まりました。

1811年-ナポレオン帝国の全盛期のピーク、フランスがヨーロッパの大国の間で支配していた時期-そして政治、軍事力、そして科学において。これは、ニュートンの古典力学を冠した解析力学の作成者であるラグランジュ（1736-1813）の人生が終わりに近づいた時期です。別の偉大な数学者であるラプラス（1749-1827）、「天体力学」の作成者が62歳で、伯爵の称号を授与されたとき。ここでもう1つの名前-コーシー（1789-1857）に言及するのが適切です。 1811年、オーギュスタン・コーシーはわずか22歳で、土木技師として皇帝に仕え、西海岸に要塞を建設しました。彼の栄光は、幼児用のゆりかごに横たわっていたエヴァリステの栄光のように、まだ来ていませんでした。

エヴァリスト・ガロアの短命は、今後20年間のフランスの運命と密接に関連していることが判明したため、今後の出来事について簡単に思い出させてください。

したがって、1812年にロシアへの侵攻が失敗した後、帝国軍の力は弱体化し、ナポレオンは王位を放棄し、1814年にブルボン家に戻りました。ルイ18世はフランスで君臨しました。その後、数学者を迂回しなかった前政権に忠実な人々に対する報復が続きました。1816年に、画法幾何学の年老いた発明者である優れた科学者であり教師であるガスパールモンジュ（1746-1818）がアカデミーと工科大学から追放されました。学校とすぐに死んだ。コーシーは彼の場所を継承しました-敬虔な男であり、起こった回復に非常に忠実です。彼は反動的な聖職者の影響力の高まりに日々耐え、工科学校の再編にも、フランスの教育と科学のもう1つの中心である師範学校の破壊にも反対しませんでした。 1822年から1826年まで。王は、貴族とイエズス会と協力して、共和党の思想の温床を破壊し、ボナパルト派の反対を打ち破ろうとした。

さて、若いエヴァリステに戻りましょう。彼の子供時代についてはほとんど何も知られておらず、彼の人生の道の最初の重大なマイルストーンは、彼が12歳でリセ・ルイ・ル・グランに入るときの1823年です。ここで、3年後、Evaristeは数学を発見しました。少年がこの新しい知識分野で進歩したスピードは本当に驚くべきものです。ほぼ最初から、彼は学校の教科書を放棄しました。彼は、レジェンドレの古典的な作品である「幾何学の要素」、「数値方程式の解法」、「解析関数の理論」から数学科学の基礎を学びました。 1827年、ルイ・ル・グランの修辞学のクラスの学生として、彼はすでにオイラー、ガウス、ヤコビの作品に精通していました。学年度の終わりまでに、Evaristeは、当時のフランスの教育機関の中で最も権威のある工科大学での試験の準備を独自に行っていました。彼は試験に合格しませんでしたが、1828年10月に、若い優秀な教師であるリチャード教授（エヴァリストガロアに加えて彼の学生も天文学者のUrbanLeverrierと数学者のCharlesHermite）。

リチャードのメモは保存されており、彼は若いガロアを彼の生徒の中で最も有能であると特徴づけています。リチャードは彼の最初の作品を出版するのを手伝いました。それは1818年に設立された最初のフランスの数学ジャーナルであるAnnalsMathematicaの3月号に掲載されました。アカデミーの会議も開かれ、そこでポアンソとコーシーはガロアの仕事を検討することになっていたが、それは役に立たなかった。コーシーは送られた原稿を失った。

それにもかかわらず、特別なジャーナルでの作品の出版は若い科学者にとって大成功であり、リチャードもガロアの数学のクラスの仲間も、彼が工科学校に入学することを疑う人は誰もいませんでした。さらに予想外だったのは、1829年の試験での2度目の失敗でした。ガロアの才能は否定できず、失敗の理由はまだ不明です。審査官の1人（彼らはビネーとド・フォーシー、ごく普通の専門家でした）が数学のアイデアを説明したときにエヴァリステを笑ったと考えられています-それは工科学校の学生の失敗した候補者に怒りの爆発を引き起こしました。

ガロアは、1826年に準備という名前で復元された旧師範学校の、あまり権威のない教育機関で教育を続けなければなりませんでした。 1829年10月、彼は条件付きで学校に入学し、1830年の初めになって初めて完全な学生になり、公務員として数年間奉仕する義務に署名しました。ノーマルガロアでの最初の年の間に、彼は彼の人生の終わりまで彼の唯一の親友であり続けたオーギュストシュヴァリエに会いました。シュヴァリエの影響下で、彼は政治に興味を持ち始めました。彼の共和党の信念は徐々に形になり始めた。

1830年の7月革命は、フランスで、前の君主を倒すためにパリジャンの共和国の感情を利用した、大きなブルジョアジーの弟子であるルイフィリップの政府を権力の座につけましたが、将来そのような感情を奨励することは決してありませんでした。しかし、若いエヴァリステは革命的な共和国のスローガンを心から信じていました。 1830年11月、彼は人民友の会に参加し、大砲に参加しました。州兵; この時までに、彼はすでにいくつかのオリジナルの数学論文を準備していたことに注意してください。

エヴァリステは彼の政治的好みを隠しませんでした-さらに、彼は若者のすべての熱意でそれらを擁護しました。その結果、彼は、反動的で頑固な政党の支持者である師範学校ギニョの校長と対立した。この瞬間権力は属する。かつてギニョは立憲君主制の考えに固執していましたが、今では7月革命後、彼はルイフィリップ政権の支持者の中で最も忠実になりました。ギニョは落ち着きのない学生を追い払おうとした。彼の誹謗中傷で、ガロアは1831年の初めに学校から追放され、1年余りそこで勉強しました。奨学金と寄宿学校を奪われ、1829年の夏に父親を亡くしたエヴァリスト・ガロアは、事実上生計を立てることができませんでした。彼は家庭教師でしか生きられなかった。

彼は再び鋭い手紙を添えて彼の作品をアカデミーに送ります-彼の原稿はうらやましいほどの不変でアカデミーで失われました。しかし、彼の忍耐力は役に立たないままです。（このガロアの手紙はセクション5にあります。）

その間、パリの政治情勢は週を追うごとに熱くなっていました。ルイ・フィリップの政府は州兵を解散させたが、その戦闘機の多くは彼らの武器を置くことを拒否した。 1831年4月、反逆者の裁判が始まりましたが、彼らの弁護士は無罪判決を下すことができました。このイベントに敬意を表して、人々の友の会は、ガロアが彼の有名な乾杯をした宴会を開催しました：「ルイフィリップに！」しかし、彼は手にナイフを持っていました。

翌朝、彼は逮捕され、サントペラジーの刑務所に入れられました。彼はフランスの君主の人生への試みを扇動したとして非難されました。確かに、弁護士の努力と人民友の会の仲間の助けのおかげで、ガロアは無罪判決を受けて釈放されましたが、長くはありませんでした。1831年の夏、共和党のデモの敗北中に再び捕らえられました。。今回、エヴァリステは、1831年7月14日から1832年3月16日までの8か月間サントペラジーで過ごす必要がありました。ここで彼は20歳の誕生日を祝いました。そしてここで彼は、7月11日のアカデミーの定例会議で、サントペラジーに投獄される6か月前の1831年1月に検討のために提出した彼の作品が却下されたことを知りました。原稿をレビューした有名な数学者であるポアソンは、それを理解できなかったか、理解したくありませんでした。

刑務所は、健康で区別されなかった若いガロアにとって完全に不適切な場所であり、あらゆる種類の犯罪者と政治犯、ボナパルティスト、共和党員、および合法主義者（君主制の支持者）の暴力的な会社も彼に適していませんでした。しかし、彼は刑務所で働き続けました。オーギュスト・シュヴァリエが彼の死後に分類した文書には、いくつかの数学的な作品の序文として明らかに役立った多くのメモが見つかりました。

デモに参加し、州兵の制服を着た「違法」であったため、ガロアは9か月の禁固刑を言い渡されましたが、1832年3月16日、病気になり病院に移送され、4月29日まで留置されました。刑期が満了するまで。彼の人生のこの時期は、オーギュスト・シュヴァリエによって説明されています。彼の忠実な友人ガロアによると、彼はたった2つの感情を経験しました：巨大な倦怠感と憎しみ。彼の若い年齢にもかかわらず、エヴァリスト・ガロアはすでに確立された数学者でした-素晴らしい数学者です！ -しかし、彼の仕事は拒否され、フランスのルイ・フィリップでの彼自身にとって、刑務所よりも優れた避難所はありませんでした。

ついに彼は釈放された。彼はパリを離れたかったが、運命は別の方法で決定した。彼は5月30日に決闘を引き起こした少女に会った。敵は数メートルの距離からピストルから解雇されました。弾丸が胃の中でエヴァリストに命中し、傷は致命的であり、1832年5月31日の朝10時に、フランスで最年少で最も才能のある数学者であるエヴァリスト・ガロワが亡くなりました。

少女の歴史はまだ不明です。おそらく警察は彼女を額装した。おそらく彼女との出会いは、ガロアの不幸な運命によって約束されたのでしょう。さらに、彼の対戦相手の名前ははっきりとはわかっていません。おそらく彼は、共和党のエヴァリストの同盟国である特定のデュシャトレであるペセ・デルベンビル（作家のアレクサンドル・デュマが主張したように）でした。もっと興味深いのは、ガロアが前夜を過ごした方法です。決闘、そして、彼が彼の人生の最後の数時間にしたこと。

彼は3通の手紙を書いた-彼の友人オーギュスト・シュヴァリエへの手紙を含む。この最後の文書は主に数学の問題に専念しており、セクション5で部分的に説明されています。エヴァリステは、決闘の前に彼の科学的研究を修正したようです。そのうちの1人は、「この証明は完了しなければなりません。時間はありません。1832年」と読みます。

ガロアの死は、パリのマスコミで短くてけちなメモで記されていました。地方紙は彼にもっと寛大な死亡記事を捧げました。したがって、リヨンの新聞「Precurseur」は次のように書いています。

「パリ、6月1日。昨日、不幸な決闘が最も輝かしい希望を示した若い男を科学から奪いました。悲しいかな、彼の時期尚早の名声は政治とのみ関係しています。ブルゴーニュ」は彼の若い友人の一人と決闘を戦いました。男性は人民友の会の会員であり、どちらも同じ政治過程をたどっています。決闘はある種のラブストーリーによって引き起こされたという証拠があります。対戦相手はかつての友だちだったので、それは価値がないと考えました。お互いを狙い、運命に任せることにした。数時間後。ガロアは20歳で、対戦相手は少し少なかった。」

彼の悲劇的な死の後、ガロアは長い間忘れられていました。彼の数学的写本はすべて、約60ページのテキストで、オーギュストシュヴァリエによって保管されていましたが、彼はそれらを出版することに同意する人を見つけることができませんでした。 1846年になって初めて、ジョセフ・リウヴィルはガロアの作品を彼が創設した純粋応用数学のジャーナルに最初に発表し、忘れられた天才を世界に明らかにしました。そしてその瞬間から、エヴァリスト・ガロアの名前は数理科学で永遠に確立されました。

2.ラジカルにおける代数方程式の可解性

エヴァリスト・ガロアの科学的成果に目を向ける前に、ラジカルにおける代数方程式の可解性の問題の歴史と本質を考えてみましょう。これを行うには、コンピューターエディターで変数の上付き文字と下付き文字を指定する方法がないため、工夫する必要があります。したがって、私は次の形式でプライベート方程式または4次の多項式を記述します。

P \ 4（x）= a "x \ 4 + a" "x \ 3 + a" "" x \ 2 + a "" "" x + a "" "" "= 0（1）ここで、a"、 a ""、a "" "、a" "" "、a" "" ""は有理数であり、\ 4、\ 3などは、xの累乗（上付き文字）と対応する多項式の表記を表します。。この表記法を使用すると、一般的なケース（次数nの多項式）を簡単に表すことができます。

代数の基本定理が言うように、n次の代数方程式にはn個の根があります（つまり、n次の多項式はn個の線形因子に分解できます）。このような多項式の根の中で、実数とペアワイズ共役複素数の両方が発生する可能性があります。よく知られている特殊なケースは、1次、2次、3次（線形、2次、3次）の方程式です。これらは通常、次の従来の方法で記述されます。

P \ 1（x）= ax + b = 0（2）
P \ 2（x）= ax \ 2 + bx + c = 0（3）
P \ 3（x）= ax \ 3 + bx \ 2 + cx + d = 0（4）

ご存知のように、一次方程式と二次方程式の根を係数で表すことができる式があります。にとって一次方程式それは非常に簡単です：

平方根の記号が含まれているため、このテキストに2次方程式の根の式を書き留めることはできませんが、学校で勉強した人なら誰でも簡単に覚えることができます（いずれにせよ、彼はそのような式であり、それは8年生または9年生で与えられます）。三次方程式の根の公式（カルダノの公式）もありますが、非常に面倒です。

代数方程式の場合、方程式の根を係数で直接表す式がある場合、それらはそれがラジカルで解けると言います。すでに古代では、代数方程式を解く方法を学ぶことがいかに重要であるかは明らかでした。なぜなら、自然科学、工学、および実際の計算のさまざまな問題がそれらに還元されるからです。一次方程式と二次方程式は、紀元前2000年のメソポタミアですでに知られていました。 9世紀にAD。ムハンマド・アル・クワリズミの作品の中で「アル・ジャブル・アル・ムカバラ」が始まります一般的なルール一次方程式と二次方程式の解。これは、現代の形で私たちに知られている公式と実際に同等です。もちろん、多くの数学者は、方程式の同様の式を見つけるというアイデアを思いつきました一般的な見解（つまり、nの累乗）。しかし、三次方程式の場合でも、その作業は非常に困難であることが判明し、16世紀になって初めて、イタリアの数学者は成功し、n = 3およびn = 4の方程式の式を作成しました。その後19世紀の初めまで、数学者は、4次方程式よりもラジカル度が高い方程式を解く方法を絶えず探していましたが、3世紀近くの間、問題は彼らの努力に逆らいました。真実は2つのときにのみ明らかにされました若い天才-フランス人のエヴァリスト・ガロアとノルウェー人のニールス・ヘンリック・アベル（1802年-1829年）。

3.ガロアの数学的成果

次数nの方程式の根を見つけることを可能にする一般式を取得することへの期待は実現しませんでした。 n> 4の部首でそれを解決するための最も洗練された試みは、失敗しました。結局、数学者の間では、包括的な公式はまったくなく、したがって問題は解決されなかったという意見が出ました。ただし、このアプローチでは、問題のレベルがまったく異なります。解決する方法を見つけるのではなく、原則として存在しないことを証明する必要がありました。

そのため、問題にはまったく新しいアプローチが必要であり、問題が発生するのは遅くありませんでした。 1824年、ノルウェーの若い数学者Niels Abelは、ラグランジュのアイデアのいくつかに依存して、4次以上の代数方程式は一般にラジカルでは解けないことを証明しました。このアベルの定理は、若いガロアの仕事を刺激しました。

事実、アーベルの定理は一般的な形式の方程式に対してのみ否定的な答えを出しました。この方程式では、ゼロからn番目までの未知のxのすべての累乗があります。もちろん、特定の形式の高度な方程式の多くはべき根で解くことができるので、ガロアは次のように問題を定式化しました。与えられた方程式がラジカルで解けるかどうかを判断することを可能にする必要十分条件を決定します。

彼はなんとか必要な基準を見つけることができましたが、ガロアのこの卓越した成果を説明するには、順列、群、体など、いくつかの新しい代数の概念を導入する必要があります。また、エヴァリスト・ガロアのおかげです。

置換。自然系列1、2、3 ... nの数と1対1で対応するn個のオブジェクトのセットがあるとします。それらの順列は、このセットの変換であり、表の形式で記述されています。

1 2 3などnまで（6）
i "i" "i" ""など、同じ番号1、2、3 ... nが一番下の行に書かれているi番目までですが、一般的には順序が異なります。表（6）は、実際には1がi "に、2がi" "というようになっていることを示しています。

結晶物理学における順列の発生の例を示します。最も単純な立方格子を持つ結晶を想像してみましょう。変換後にそれ自体と結合するように、その基本セル（立方体）を変換（回転、反射など）します。初期状態の立方体の頂点に1、2、3、4、5、6、7、8の番号を付けます。次に、変換後、各頂点は他の頂点に移動します。これは、順列を使用して便利に示されます。この場合、各変換（たとえば、空間対角線（3次軸）を中心とした回転、または立方体の4つの垂直エッジの中点を通過する平面での反射）には、独自の順列があります。

変換とそれに対応する順列は、A、B、Cなどの文字で表されます。 2つの変換AとBの合成または積を、3番目の変換C = ABと呼びます。これは、操作AとBの順次実行に相当します。厳密に言えば、合成ABは通勤法を満たさない場合があります。 ABはBAと等しくありません。しかし、立方体に戻ると、48の変換（反転の中心での反射でカウント）の下でそれ自体に変換され、そのような各変換が特定の順列に対応し、すべての構成がこれらの変換は、転流法に従います。

グループ。グループの現代的な定義を与えましょう：

グループは、2つの場所の代数演算が与えられる集合Gです。 Gの2つの要素ごとに、同じくGに属する3番目の要素を割り当てるルールがあり、次の要件が満たされています。

1.操作は連想的です。（AB）C = A（BC）;
2.集合Gには単位元Eが含まれています。AE= EA = A;
3. Gからの任意のAに対して、AA "= A" A = Eとなるような逆元A "（つまり、Aからマイナス1乗）があります。

48個の立方体変換がグループを形成していることは簡単にわかります。また、上記の乗算演算を考慮して、n文字のすべての順列のグループとセットを形成します。この操作が可換法則も満たしている場合、そのようなグループは可換と呼ばれます。

グループGのパートHは、Hが乗算および逆元で閉じられている場合、つまり、そのサブグループと呼ばれます。要素Aとともに、Bには要素ABとA "の両方が含まれます。当然、H自体はGで定義された操作に関するグループです。明らかに、各グループには最大のサブグループ（G自体）と最小のサブグループ（G自体）があります。 E、単位元のみを含む。したがって、グループGのサブグループのマトリョーシカと呼ばれるGとEの間に位置するネストされたサブグループのシーケンスを考慮することができます。

M：G、H "、H" "... E（7）

分野。代数では、体は、足し算と掛け算と呼ばれる2つの2桁の演算を持つ集合Kとして理解され、さらに、足し算に関しては可換群であり、掛け算に関しては、ゼロ以外の要素も可換性を構成します。グループ。さらに、Kはコモンルールブラケット拡張：（A + B）C = AC + BC。例として、有理数、実数、複素数のセットがフィールドであることを指摘します。

体Kの変換Φは、それが和を和に、積を積に写像する場合、その自己同型と呼ばれます。

Kからの任意のA、Bに対してФ（A + B）= A + B、Ф（AB）= AB。自己同型の例として、各数（u + iv）その共役（u-iv）に。

ガロア理論。だから、必要な基本的な概念を定義したので、私はガロアによって開発された方法のアイデアを与えることを試みます。検討中の分野での彼の仕事は、初歩的な解釈には役立たず、専門家だけが利用できることに注意する必要があります。したがって、ガロアが正確に何をどのように行ったかについての詳細な説明には立ち入りませんが、彼の主なアイデアの提示に焦点を当てます。

主なものは、各代数方程式に、その「根の場」のすべての自己同型のグループを関連付けるというアイデアでした。これにより、「係数の場」は動かなくなります。このような自己同型の全体がグループを形成し、方程式の根の特定の順列が関連付けられ、これもグループを形成します。これは、この代数方程式P \ n（x）= 0の対称群またはガロア群と呼ばれ、Gal（P \ n）として表されます。このグループの特性は、ラジカルにおけるこの特定の方程式の可解性の問題に対する答えを提供します。

ガロアが策定した基準は次のとおりです。

方程式P \ n（x）= 0は、そのグループGal（P \ n）が多環式マトリョーシカを持っている場合にのみラジカルで解くことができます。

私は、この定理を証明する方法を概説したり、この問題に捧げられたガロアの仕事を再び語ったりしようとはしません。科学の歴史の観点から、また数学の実践の観点から、上記の基準の結果は重要です。特定の方程式のガロア群は、方程式の根を知らなくても計算および分析できます。検討中ですが、対称性の考慮事項のみを使用しています。したがって、ガロア定理には、このセクションの冒頭で述べたアーベルの定理が含まれているだけでなく、ラジカルの特定の方程式を解く可能性を見つけることもできます。

しかし、もっと重要なことは何ですか？代数方程式自体を解く問題、またはこの目的のためにガロアによって開発された数学的装置ですか？この問題については、次のセクションで説明します。

4.ガロアの業績の一般的な理論的意味

前のセクションの終わりに提起された問題を現代的な観点から理解してみましょう。実際には、部首の特定の代数方程式の可解性の問題はそれほど重要ではないことに驚かれることでしょう。もちろん、高度な方程式を解くことに還元できる経済的、工学的、物理的な問題は非常にたくさんありますが、これらすべての場合、原則として、一般式を作成する可能性には関心がありません。そのような公式自体ではなく、ルーツにあります。ルーツを取得することは、実際の状況では非常に満足のいく精度で、今日、コンピューター、コンピュータープログラム、および計算数学の方法の1つに従って開発されたアルゴリズムという標準的なツールセットによって提供されます。代数方程式の近似解法のために多くの方法が作成されています。根の分離、グラフィカルな解法、半除算法、弦法、接線法（ニュートン法）、反復法などについて説明します。

膨大な量の日常的な計算を迅速に実行することを可能にしたコンピューターの出現は、ガロアの業績が私たちの時代に関連していないことを意味しますか？どんな場合にも！最初に、彼が策定した基準は、数理科学の一部の構築を完了し、それに調和と必要な完全性を与えました。第二に、特定の代数問題を解く際に彼が開発した概念と方法は、解自体と前のセクションで与えられた基準よりも重要であることが判明しました。現代の数学と物理学のための群論の装置の重要性を過大評価することは難しい。エヴァリストガロアは、この数理科学の分野の創設者になりました。彼によって紹介されたグループの概念は、現代物理学、主に結晶物理学、量子力学、およびその最も重要なセクションである量子化学と固体理論で大きな役割を果たしています。

したがって、ラジカルの方程式の可解性の理論は、それ自体ではそれほど重要ではなく（そして確かに方程式の実際の解決には重要ではありません）、対称性の一般的な考え方の具体的な実施形態として重要であるという意見を表現することができます。ガロア自身がこれを理解していた可能性があり、ラジカル（古代の、由緒ある、したがって伝統的な問題によって奉献された）の方程式の可解性の基準を前面に押し出し、実際、彼は同時代の人々にとってより簡単になることを望んでいました特定の問題の例に関する彼のアイデアの革命的な重要性に感謝します。

私は注意しますさらなる開発フェリックス・クライン（1849-1925）、マリウス・リー（1842-1899）、カミーユ・ジョルダン（1838-1922）、アンリ・ポアンカレ（1854-1912）の作品で、XIX後期からXX世紀初頭に受けた群論。ロシアでは、1916年にモノグラフ「抽象群論」を出版したO.Yu. Schmidt（1891-1956）がこの問題に取り組んだ。

5.エヴァリストガロアの書簡体小説のいくつかのサンプル

このセクションでは、エヴァリストガロアの書簡体の遺産の2つのサンプルを紹介し、伝記のスケッチを示します。1831年3月に科学アカデミーに送られた手紙と、オーギュストシュヴァリエへの死にかけているメッセージ（略語付き）です。

「フランス科学アカデミーの学長に

社長さん、

LacroixとPoissonの両氏が、3か月前に検討を依頼された方程式の理論に関する回想録を思い出させてくれないことを願っています。

この回想録で提示された研究の結果は、昨年の賞のために提示された作業の一部を形成します最高の仕事数学。その中で、与えられた方程式がラジカルで解けるかどうかをどのような場合でも決定できる規則を研究しました。これまで数学者がこの問題を考えていたので、完全にアクセスできないわけではないにしても、少なくとも非常に難しいので、委員会は私がこれを行う立場にないことを事前に決定しました：第一に、私の名前はガロアであり、第二に、私は学生。私の回想録は委員会で失われました。そして私は彼が失われたと言われました。

それは私にとって十分な教訓かもしれません。それでも、アカデミーの尊敬されているメンバーのアドバイスを受けて、私は原稿を部分的に復元し、あなたに提示しました。

大統領、当分の間、私の仕事は円積問題の次の解決策とほとんど同じように扱われます。アナロジーは最後まで引き継がれますか？

親切に、大統領、私を不安から解放し、ラクロワとポアソン夫人に私の原稿が再び失われたのか、それとも彼らがアカデミーに報告するのかを知らせてくれるように誘います。大統領、あなたの従順な僕からあなたへの深い敬意の誠実な保証を受け入れてください

署名：E。ガロア」。

私の親愛なる友人！

分析で何か新しいことを発見しました。これらの発見のいくつかは方程式の理論に関係し、他の発見は積分によって定義される関数に関係します。

方程式の理論では、方程式がラジカルで解かれる場合を調査しました。これにより、この理論を深め、ラジカルで解かなくても許容される方程式のすべての可能な変換について説明する機会が得られました。

これから3つの回想録を作ることができます。最初のものが書かれており、修正が行われた後、ポアソンがそれについて言ったことにもかかわらず、私はその正しさをしっかりと確信しています。

私の愛するオーギュスト、あなたは私がこれらの質問だけでなく調査していることを知っています。しばらくの間、私は不確実性の理論を超越分析に適用することについて何よりも考えてきました。超越的な量または関数の間の関係でどのような置換を行うことができるかを事前に予測することが問題です。比率が有効なままになるように、データの代わりに使用できる数量。これにより、他の方法では調査しなければならない多くの表現の不可能性を認識しなければなりません。しかし、私には時間がなく、この広大な地域での私の考えはまだあまり明確ではありません。

この手紙をレヴュー百科事典に印刷させてください。私の人生で何度も、私は自分が確信が持てなかった仮定をすることを許しました。しかし、私はここに書かれていることすべてについて約1年間考えてきました。間違いを犯さないことは私自身の利益になりすぎます。そうしないと、定理を指摘する疑いがあります。その完全な証明は私にはわかりません。。

ヤコビ法とガウス法に公に訴え、定理の正しさではなく、その意味について意見を表明するように依頼します。

この後、この混乱の中で物事を整理することが役立つと思う人々がいることを願っています。

私はあなたを暖かく抱きしめます。

署名：E。ガロア」。

ミハイル・アクマノフ

彼は20年間住んでいて、そのうちの5人だけが数学に従事していました。
彼の名前を不滅にした数学の作品は、60ページ強を占めています。

15歳のとき、ガロアは数学を発見し、それ以来、教師の1人によると、「数学の悪魔に取り憑かれている」とのことです。
若い男は情熱と不屈の気質によって際立っていました。それは彼を常に他の人と、そして彼自身とさえも対立させました。

ガロアは初等数学にとどまらず、すぐにそのレベルにいることに気づきました現代科学.
先生のリチャードが次のように述べたとき、彼は17歳でした。
「ガロアは数学のより高い分野でのみ機能します。」
彼の最初の作品が出版されたとき、彼は18歳未満でした。そして同じ年に、ガロアは当時最も権威のある教育機関である工科大学の試験に2回続けて合格しませんでした。
1830年に、彼は教師を訓練した特権高等師範学校に入学しました。
この学校での研究の年の間に、ガロアはいくつかの作品を書きました。それらの1つは、数論に専念しており、非常に興味深いものでした。

1830年の嵐の7月の日には、師範学校の壁の中にガロアが見つかりました。
彼はますます新しい情熱、つまり政治に捕らえられています。
ガロアは、ルイ・フィリップの政策に不満を持って成長している共和党（国民の友の会）に加わった。
学校長との対立が起こり、学校長は生徒の政治的利益の増大に必ず反対し、1831年1月にガロアは学校から追放された。
1831年1月、ガロアは、ラジカルの方程式の解法に関する彼の研究の原稿をパリ科学アカデミーに提出しました。
しかし、アカデミーはガロアの仕事を拒否しました-そこで提示されたアイデアはあまりにも新しいものでした。
このとき、ガロアは7月14日（バスティーユ襲撃の記念日）にデモを組織しようとした後、サントペラジー刑務所にいました。今回はガロアは9か月の懲役を宣告されました。判決が終わる1か月前に、ガロアは病院に移送されます。彼は刑務所で20歳の誕生日を祝った。

4月29日、彼は釈放されたが、彼は1か月しか生きられない運命にあった。 5月30日、彼は決闘で重傷を負った。翌日、彼は亡くなりました。決闘の前日、ガロアは友人のオーギュスト・シュヴァリエに手紙を書いた。「真実ではなく、詳細を述べていない定理の意味について意見を述べるように、ヤコビまたはガウスに公に演説する。証拠、そして、私は、誰かがそれがこのすべての混乱を整理するのに役立つと思うことを願っています。」

ガロアの研究には、ラジカルにおける代数方程式の可解性の問題の最終的な解決策が含まれていました。これは、今日ガロア理論と呼ばれ、代数の最も深い章の1つを構成しています。
彼の研究における別の方向性は、いわゆるアーベル積分に関連しており、19世紀の数学的分析において重要な役割を果たしました。
ガロアの作品は1846年にJ.リウヴィルによってのみ出版され、70年代からグループの概念が徐々に主要な数学的対象の1つになったときに、さらに後に認識されました。

プラン
序章
1伝記
2科学的成果

参考文献

序章

エヴァリストガロア（fr。 エヴァリストガロア; 1811年10月25日、フランス、オードセーヌ、ブールラレーヌ-1832年5月31日、フランス、パリ）-現代の高等代数の創設者である、卓越したフランスの数学者。急進派共和党の革命家である彼は、20歳のときに、物議を醸す状況下で決闘で射殺されました。

1.伝記

ガロアはブールラレナイで生まれました（ ブール＝ラ＝レーヌ）、パリの南の郊外。彼はニコラス・ガブリエル・ガロワとアデレード・マリー・デマントの3人の子供のうちの2人目でした。彼の父は頑固な共和党員であり、エヴァリステが4歳のとき、彼の父は市長になり、君主制の回復中、さらに1829年までこの役職を維持しました。

12歳のとき、エヴァリステはルイ・ル・グラン王立大学に入学しました。ガロアは学生時代に、大学がイエズス会の学校に再編される可能性があるという噂があったため、共和党の学生が大学の指導者に対して陰謀を企てようとした試みを目撃しました。そのような再編成は、おそらくルイ18世の支持者の立場を強化する可能性があります。陰謀が露呈し、100人以上の大学生が無知に追放されました。

1828年から1829年に、一連の不幸がガロアに降りかかりました。ガロアは1年のギャップを持って2回、工科大学（エコールポリテクニーク）の試験に不合格になりました。初めて、解決策の簡潔さと口頭試験での説明の欠如は、ガロアが受け入れられなかったという事実につながりました。一年後の口頭試験で、彼は同じ状況にあることに気づき、試験官の誤解から必死になって、彼は彼にぼろきれを投げました。ポリテクニックスクールに入学することも、共和党の中心であったため、彼にとって重要でした。次の失敗は、コーシーによって2つの部分で承認された作品がレビューのために彼に送られ、その後コーシーによって失われ、数学作品の競争のためにパリアカデミーに入らなかったことでした。 1829年、故郷のガロアに新たに到着したイエズス会の司祭は、エヴァリスト神父に代わっていくつかの悪質なパンフレットを書いて自殺させました（ニコラス・ガブリエル・ガロアは風刺的なパンフレットの機知に富んだ作家として知られていました）。恥に耐えることができず、ガロア神父は自殺以外の方法を見ませんでした。

1829年、ガロアは依然として高等師範学校に入学し、そこで1年間だけ勉強し、共和党の方向性の政治演説に参加したために追放されました。

いずれにせよ、ガロア氏の証拠を理解するために最善を尽くしました。彼の推論は、私たちがその正確さを判断するのに十分明確でも完全でもないので、私たちはこのレポートでそれを提示する立場にありません。

5月30日の早朝、ジェンティリーの氷河池の近くで、ガロアは正式には恋愛関係に関連した決闘で致命傷を負いましたが、紛争が王族によって引き起こされた疑いもあります。敵は数メートルの距離でピストルでお互いに発砲しました。弾丸は胃の中でガロアに当たった。数時間後、地元の人の一人が誤って負傷した男性に遭遇し、コーチン病院に連れて行った。決闘の状況を知ることはできませんでした、正確に誰と決闘があったのかさえはっきりしていません。 1832年5月31日の朝10時に、ガロアは亡くなりました。彼は1832年6月2日にモンパルナス墓地に埋葬されました。決闘の前夜、ガロアはアカデミーのために回想録の新しいバージョンを準備し、そこで彼は彼の研究の結果を要約し、それを彼の友人オーギュスト・シュヴァリエに送りました。

2.科学的成果

参考文献：

1. サイモンシンと。 201-216

2. スティルウェルD。数学とその歴史。 -モスクワ-イジェフスク：コンピュータ研究所、2004年、361〜365ページ。

3. インフェルド、L。エヴァリストガロア。神々から選ばれた。 M 。：若き親衛隊（素晴らしい人々の生活）、1965年、S.259-260。