जीवन प्रस्तुति का स्वर्णिम अनुपात कला। हमारे चारों ओर स्वर्णिम अनुपात की प्रस्तुति. छोटा पैर सुनहरे पैर के बराबर है

1. 1. द्वारा पूरा किया गया: दिमित्रोवग्राद में एमबीओयू सेकेंडरी स्कूल नंबर 23 के कक्षा 11ए का छात्र आर्थर हरुत्युन्यान वैज्ञानिक पर्यवेक्षक: उच्च श्रेणी की गणित शिक्षिका लेना रूबेनोव्ना अवक्यान
2. 2. परियोजना के लक्ष्य और उद्देश्य: "अनुपात और अनुपात" विषय पर छात्रों के ज्ञान को गहरा करना। दुनिया में गणितीय पैटर्न की अवधारणा का विस्तार करना। गणित में छात्रों की रुचि बढ़ाना, विश्व संस्कृति में गणित का अर्थ निर्धारित करना . आसपास की दुनिया के सामंजस्य के रूप में "गोल्डन सेक्शन" के बारे में विचारों के साथ छात्रों की ज्ञान प्रणाली को पूरक करना।  गणित और अन्य विषयों के बीच संबंध की पहचान: साहित्य, कंप्यूटर विज्ञान, प्राकृतिक विज्ञान, कला।
3. 3. सार: परियोजना सामग्री का उपयोग गणित, ज्यामिति, इतिहास और ललित कला पाठों में किया जा सकता है; पाठ्येतर गतिविधियों में, विषय शाम और बौद्धिक प्रतियोगिताओं का आयोजन करते समय जानकारी दिलचस्प और उपयोगी होगी। यह कार्य अवधारणाओं की सैद्धांतिक नींव पर चर्चा करता है: अनुपात, स्वर्ण अनुपात, स्वर्ण त्रिभुज, स्वर्ण आयत। स्वर्ण खंड के विकास के बारे में ऐतिहासिक जानकारी दिलचस्प है। पेंटिंग में स्वर्ण खंड के बारे में सामग्री विस्तार से प्रस्तुत की गई है: लियोनार्डो दा विंची, आई.आई. को समर्पित अनुभाग। शिश्किन और उनके चित्रों का विवरण; लियोनार्डो दा विंची "ला ​​जियोकोंडा", "द लास्ट सपर" और आई.आई. की पेंटिंग्स में सुनहरे खंड की उपस्थिति स्पष्ट रूप से सिद्ध है। शिश्किन "शिप ग्रोव"। प्रस्तुति संक्षेप में प्रस्तुत, सचित्र सामग्री प्रस्तुत करती है जो पढ़ने और अध्ययन करने के लिए दिलचस्प है।
4. 4. परिचय लंबे समय से, लोग अपने आप को सुंदर चीज़ों से घेरने का प्रयास करते रहे हैं। पहले से ही प्राचीन निवासियों के घरेलू सामान, जो, ऐसा प्रतीत होता है, एक विशुद्ध उपयोगितावादी लक्ष्य का पीछा करते थे - पानी के भंडारण की सुविधा, शिकार के लिए हथियार आदि के रूप में सेवा करना, सुंदरता के लिए मनुष्य की इच्छा को प्रदर्शित करता है। अपने विकास के एक निश्चित चरण में, एक व्यक्ति आश्चर्यचकित होने लगा: यह या वह वस्तु सुंदर क्यों है और सुंदरता का आधार क्या है? पहले से ही प्राचीन ग्रीस में, सौंदर्य, सुंदरता के सार का अध्ययन, विज्ञान की एक स्वतंत्र शाखा - सौंदर्यशास्त्र में गठित हुआ, जो प्राचीन दार्शनिकों के बीच ब्रह्मांड विज्ञान से अविभाज्य था। उसी समय इस विचार का जन्म हुआ कि सौन्दर्य का आधार सामंजस्य है। सौंदर्य और सद्भाव ज्ञान की सबसे महत्वपूर्ण श्रेणियां बन गए हैं, कुछ हद तक इसका लक्ष्य भी, क्योंकि अंततः कलाकार सौंदर्य में सत्य की तलाश करता है, और वैज्ञानिक सत्य में सौंदर्य की तलाश करता है।
5. 5. स्वर्णिम अनुपात पूरा भाग बड़े का है और बड़ा भाग छोटे का है। 1-Xयदि किसी व्यक्ति की ऊंचाई 1 मानी जाती है, तो हमें अनुपात 1:X=X:(1-X) मिलता है। इस समीकरण को हल करने पर,
6. 6. स्वर्ण खंड एक कंपास और शासक का उपयोग करके एक खंड को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करना। बिंदु बी से, आधे एबी के बराबर एक लंबवत खींचा जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC बिछाया गया है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E, खंड AB को विभाजित करता है स्वर्णिम अनुपात अनुपात। स्वर्णिम अनुपात खंड एक अनंत अपरिमेय अंश AE = 0.618... द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, यदि AB को एक के रूप में लिया जाता है, BE = 0.382... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर होते हैं इस्तेमाल किया गया। यदि खंड AB को 100 भागों का माना जाता है, तो खंड का बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भाग है। सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है: x2 - x - 1 = 0। इस समीकरण का समाधान: सुनहरे खंड के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य की एक रोमांटिक आभा बनाई है और लगभग रहस्यमय पूजा नहीं की है।
7. 7. स्वर्ण आयत स्वर्ण आयत की भुजाएँ 1.618 से 1 के अनुपात में हैं। स्वर्ण आयत बनाने के लिए, 2 इकाइयों की भुजाओं वाले एक वर्ग से शुरू करें और इसकी एक भुजा के मध्य से एक भुजा तक एक रेखा खींचें। विपरीत दिशा के कोने.
8. 8. त्रिभुज EDB समकोण है। लगभग 550 ईसा पूर्व पाइथागोरस ने सिद्ध किया कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस मामले में:
9. 9. फाइबोनैचि श्रृंखला के साथ स्वर्णिम अनुपात का संबंध स्वर्णिम अनुपात का इतिहास अप्रत्यक्ष रूप से पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो के नाम से जुड़ा है, जिन्हें फाइबोनैचि (बोनैचि का पुत्र) के नाम से जाना जाता है। उन्होंने पूरे पूर्व में बड़े पैमाने पर यात्रा की और यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याएं एकत्र की गईं। फाइबोनैचि अनुक्रम (पास) एक अनुक्रम है जिसमें पहले दो पद बराबर होते हैं 1, और प्रत्येक अगला पिछले दो का योग है (2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13.8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34)। इस प्रकार, यह अनुक्रम (हम इसे (u), n द्वारा निरूपित करते हैं) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: u =1, u =1, u =u +u, n। इस अनुक्रम की पहली संख्याएँ इस प्रकार हैं: 1, 1, 2 , 3, 5 , 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, ... यहां स्वर्णिम अनुपात के साथ संबंध यह है कि एक श्रृंखला में आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्णिम विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है (21: 34 = 0.617) , और 34: 55 = 0.618)। फाइबोनैचि व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से भी निपटता है: किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग की जाने वाली वज़न की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की इष्टतम प्रणाली है: 1, 2, 4, 8, 16... फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना बनकर रह गई होती, यदि यह तथ्य नहीं होता कि पौधे और जानवर में सुनहरे विभाजन के सभी शोधकर्ता दुनिया, कला में उल्लेख न करें, वे हमेशा सोने के विभाजन के कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में इस श्रृंखला में आए।
10. 10. वास्तुकला में स्वर्ण अनुपात मॉस्को में रेड स्क्वायर पर इंटरसेशन कैथेड्रल का अनुपात स्वर्ण खंड श्रृंखला के आठ सदस्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है: स्वर्ण खंड श्रृंखला के कई सदस्यों को मंदिर के जटिल तत्वों में कई बार दोहराया जाता है डी डी 2 1; घ 2 घ 3 घ ; डी 3 डी 4 2 डी ; वगैरह।
11. 11. पार्थेनन - एथेंस के एक्रोपोलिस का मुख्य मंदिर। पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास की खोज की गई थी जिसका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था।
12. 12. आंकड़े सुनहरे अनुपात से संबंधित कई पैटर्न दिखाते हैं। इमारत के अनुपात को संख्या Ф 0.618... = के विभिन्न अंशों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है
13. 13. मानव शरीर में स्वर्णिम अनुपात मानव शरीर में स्वर्णिम अनुपात की पहचान करने के लिए प्रोफेसर ज़ीसिंग ने जबरदस्त काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण सूचक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब होता है, जिसके लिए अनुपात का औसत मूल्य 8:5 = के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। 1.6.
14. 14. पेंटिंग और फोटोग्राफी में सुनहरा अनुपात पुनर्जागरण में, कलाकारों ने पाया कि किसी भी तस्वीर में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर। ऐसे केवल चार बिंदु हैं; वे छवि आकार को क्षैतिज और लंबवत रूप से सुनहरे अनुपात में विभाजित करते हैं, अर्थात। वे समतल के संगत किनारों से लगभग 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं। दृश्य केंद्रों का उपयोग फोटोग्राफी और वेब डिज़ाइन में भी किया जाता है।
15. 15. मोना लिसा (ला जियोकोंडा) के चित्र ने कई वर्षों तक शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया कि चित्र की संरचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है, जो एक नियमित तारे के आकार के पेंटागन के हिस्से हैं।
16. 16. प्रकृति में सुनहरा अनुपात सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा - 38, चौथा - 24, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।
17. 17. छिपकली में, पहली नज़र में, हम ऐसे अनुपात देख सकते हैं जो हमारी आँखों को भाते हैं - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से संबंधित होती है, जैसे 62 से 38। पौधे और पशु दोनों दुनिया में , प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार अपना रास्ता बनाती है - विकास और गति की दिशा के सापेक्ष समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है।
18. 18. प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भागों में संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।
19. 19. निष्कर्ष "गोल्डन रेशियो" सत्य का वह क्षण प्रतीत होता है, जिसके बिना, सामान्य तौर पर, कुछ भी अस्तित्व में होना असंभव है। हम अनुसंधान के एक तत्व के रूप में जो कुछ भी लेते हैं, "सुनहरा अनुपात" हर जगह होगा; भले ही इसका कोई दृश्यमान पालन न हो, फिर भी यह ऊर्जावान, आणविक या सेलुलर स्तर पर अवश्य होता है।
20. निष्कर्ष: स्वर्णिम अनुपात एक बहुत ही रोचक और गहरी अवधारणा है, जिसमें समरूपता और विषमता की मूल बातें शामिल हैं। "गोल्डन रेशियो" का उपयोग करके आप किसी भी स्थिति में दिलचस्प प्रयोग कर सकते हैं (इमारतों के मुखौटे में लोगों के चेहरों में एफ अनुपात ढूंढें)। और मेरी राय में, "स्वर्ण अनुपात" की अवधारणा गणित, वास्तुकला और चित्रकला में रुचि रखने वाले किसी भी व्यक्ति को पता होनी चाहिए।
21. 21. साहित्य कोवालेव एफ.वी. चित्रकला में स्वर्णिम अनुपात. के.: विश्चा शकोला, 1989.  केपलर आई. हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स के बारे में। - एम., 1982. ड्यूरर ए. डायरीज़, पत्र, ग्रंथ - एल., एम., 1957. त्सेकोव-करंदाश टीएस. दूसरे सुनहरे अनुपात के बारे में - सोफिया, 1983. स्टाखोव ए. सुनहरे अनुपात के कोड।  ए. डी. बर्दुकिद्ज़े। सुनहरा अनुपात-

अनुभाग. सी-सेक्शन। सुनहरा अनुपात। टेट्राहेड्रोन, टेट्राहेड्रोन का खंड। सुनहरा अनुपात -। टेट्राहेड्रोन और उसके खंड समतल द्वारा। अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ. पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण. पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण. पॉलीहेड्रा का अनुभाग. स्वर्णिम अनुपात नियम. अनुभागों का निर्माण. बहुफलक के खंडों का निर्माण।

प्रकार, अनुभाग, अनुभाग। विषय पर: "सुनहरा अनुपात"। प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात. चित्रकला में स्वर्णिम अनुपात. ज्यामिति में स्वर्णिम अनुपात. फाइबोनैचि संख्याएँ और स्वर्णिम अनुपात। एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण। अनुभागों के निर्माण की विधियाँ. विषय पर प्रस्तुति: स्वर्णिम अनुपात। "स्वर्णिम अनुपात" विषय पर प्रस्तुति। एक घन और एक चतुष्फलक के अनुभाग।

स्वर्णिम अनुपात हमारे चारों ओर है। आधुनिक प्रसूति विज्ञान में सिजेरियन सेक्शन। पौधों में स्वर्णिम अनुपात. स्वर्णिम अनुपात - सौंदर्य और सद्भाव। शोध कार्य "स्वर्ण अनुपात"। गणित स्वर्णिम अनुपात पर शोध कार्य। गणित में प्रोजेक्ट "गोल्डन रेशियो"। स्वर्णिम अनुपात का उद्भव. मास्को का सुनहरा अनुपात और वास्तुकला।

"गोल्डन रेशियो" सुंदरता की गणितीय भाषा है। बहुफलक के एक खंड की अवधारणा. 9वीं कक्षा की ज्यामिति "गोल्डन रेशियो"। स्वर्णिम अनुपात और संगीत में इसका अनुप्रयोग। स्वयंसिद्धि के आधार पर पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण। पॉलीहेड्रा में अनुभागों के निर्माण पर समस्याओं का समाधान। रूसी चर्चों की वास्तुकला में "सुनहरा" खंड।

अनुभागों का निर्माण और उनकी ज्यामितीय विशेषताओं की गणना। इसे 2007 में चरण दर चरण कैसे करें। छठी कक्षा के लिए फाइबोनैचि संख्या पहेलियाँ। अनुभाग और कटौती (पाठ-प्रतियोगिता)। अनुभाग। पॉलीहेड्रा और घूर्णन के पिंड।

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प्रस्तुति। विषय पर: “सुनहरा अनुपात और जीवन में सुनहरे अनुपात का अनुप्रयोग। कार्य के लेखक: पॉलानसिख अलेक्जेंडर, 10वीं कक्षा के छात्र। एस. स्युमसी. माध्यमिक विद्यालय 2008

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कार्य का उद्देश्य: 1. "सुनहरा अनुपात" विषय का अध्ययन करना। 2. इससे जुड़े रिश्तों पर गौर करें. 3. प्रकृति में "स्वर्णिम अनुपात" को जानें

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अध्ययन के तरीके: 1.स्वर्णिम अनुपात का वर्णन करने वाले साहित्य से परिचित होना। 2. वास्तविकता में वस्तुओं की जांच करके सुनहरे अनुपात के अनुप्रयोगों की विविधता का अध्ययन करना।

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परिचय। "...ज्यामिति के दो खजाने हैं - पाइथागोरस प्रमेय और सुनहरा अनुपात, और यदि उनमें से पहले की तुलना सोने के माप से की जा सकती है, तो दूसरे की तुलना एक कीमती पत्थर से की जा सकती है..." एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को अलग करता है उनके आकार से. किसी वस्तु के आकार में रुचि एक महत्वपूर्ण आवश्यकता के कारण हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा दो भाग होते हैं, समान आकार के हिस्से एक-दूसरे और संपूर्ण से समान संबंध में होते हैं। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संरचनात्मक और कार्यात्मक संपूर्ण और उसके भागों की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

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सुनहरा अनुपात। पुनर्जागरण में, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर। ऐसे केवल चार बिंदु हैं और वे समतल के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं। इस खोज को उस समय के कलाकारों ने पेंटिंग का "गोल्डन रेशियो" कहा था। अत: चित्र के मुख्य तत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने के लिए इस तत्व को दृश्य केंद्र के साथ जोड़ना आवश्यक है। गणित में, अनुपात दो अनुपातों a: b= c: d की समानता है। एक रेखाखंड AB को इस प्रकार दो बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता है- AB: AC=AB: BC किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में। इस प्रकार, अंतिम अनुपात चरम और औसत अनुपात में खंड का स्वर्णिम विभाजन है।

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सुनहरा अनुपात एक खंड का समान भागों में आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरे खंड को सबसे बड़ा हिस्सा माना जाता है क्योंकि सबसे बड़े हिस्से को छोटा माना जाता है, या छोटे खंड को बड़े हिस्से के रूप में माना जाता है। संपूर्ण ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए

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स्वर्णिम अनुपात क्या है? यदि चित्र की ऊंचाई 1 ली गई है, और शीर्ष किनारे से क्षितिज रेखा तक की दूरी को x के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, तो सुनहरे अनुपात के अनुसार (चित्र की ऊंचाई और शीर्ष किनारे से दूरी का अनुपात) क्षितिज रेखा शीर्ष किनारे से क्षितिज तक की दूरी और क्षितिज रेखा से निचले किनारों तक की दूरी के अनुपात के बराबर है) हमें 1: x = x: (1: x) मिलता है, इस समीकरण को बदलने पर हमें यह मिलता है x = 0.62 (या अक्सर यह संख्या अक्षर φ द्वारा निरूपित की जाती है)।

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चित्रकला में स्वर्णिम अनुपात. यह देखने के बाद कि स्वर्णिम अनुपात क्या है, अब हम देखेंगे कि जीवन में इसका उपयोग कहाँ होता है। आई.आई. शिश्किन की प्रसिद्ध पेंटिंग "पाइन ग्रोव" में सुनहरे अनुपात के रूप स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार धूप से प्रकाशित देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाहिनी ओर एक धूप से जगमगाती पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। चीड़ के पेड़ के बायीं ओर कई चीड़ के पेड़ हैं, यदि आप चाहें तो आगे भी चित्र को सुनहरे अनुपात के अनुसार सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं।

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डीएनए अणु की संरचना में स्वर्णिम अनुपात। जीवित प्राणियों की शारीरिक विशेषताओं के बारे में सारी जानकारी एक सूक्ष्म डीएनए अणु में संग्रहीत होती है, जिसकी संरचना में सुनहरे अनुपात का नियम भी शामिल होता है। डीएनए अणु में दो लंबवत आपस में गुंथे हुए हेलिकॉप्टर होते हैं। प्रत्येक की लंबाई 34 एंगस्ट्रॉम, चौड़ाई 21 एंगस्ट्रॉम (1 एंगस्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ मिलियनवां हिस्सा है) है। तो, 21 और 34 फाइबोनैचि अनुक्रम में एक दूसरे का अनुसरण करने वाली संख्याएं हैं, अर्थात, डीएनए अणु के लघुगणकीय सर्पिल की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात स्वर्णिम अनुपात 1:1.618 का सूत्र रखता है। पौधों की संरचना में स्वर्णिम अनुपात. सूरजमुखी की टोकरी में बीजों की व्यवस्था पर विचार करें। वे सर्पिलों के साथ पंक्तिबद्ध होते हैं जो बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों ओर मुड़ते हैं। औसत सूरजमुखी में एक दिशा में 13 और दूसरी दिशा में 21 सर्पिल मुड़े होते हैं। अनुपात 13/21 = 0.62 है। एक समान सर्पिल व्यवस्था पाइन शंकु के तराजू या अनानास की कोशिकाओं में देखी जाती है। कई घोंघे और मोलस्क के खोल सुनहरे सर्पिल में लिपटे होते हैं; कुछ मकड़ियाँ अपने जाले सुनहरे सर्पिल में घुमाती हैं। अर्गाली के सींग सुनहरे सर्पिल में मुड़े हुए हैं।

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बर्फ के टुकड़ों की संरचना में सुनहरा अनुपात। सुनहरा अनुपात सभी क्रिस्टल की संरचना में मौजूद होता है, लेकिन अधिकांश क्रिस्टल सूक्ष्म रूप से छोटे होते हैं, इसलिए हम उन्हें नग्न आंखों से नहीं देख सकते हैं। हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों के लिए काफी सुलभ हैं। बर्फ के टुकड़े बनाने वाली सभी अत्यंत सुंदर आकृतियाँ, बर्फ के टुकड़े में सभी अक्ष, वृत्त और ज्यामितीय आकृतियाँ भी हमेशा सुनहरे अनुपात के सही सूत्र के अनुसार बनाई जाती हैं। बाह्य अंतरिक्ष में स्वर्णिम अनुपात ब्रह्मांड में, मानव जाति को ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें सर्पिल के रूप में मौजूद सभी पिंड स्वर्णिम अनुपात सूत्र के अनुरूप हैं।

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स्वर्ण त्रिकोण। ज्यामिति पाठों में हमने एक समद्विबाहु त्रिभुज, एक समबाहु त्रिभुज का अध्ययन किया, यह पता चला कि अभी भी एक तथाकथित त्रिभुज है। समद्विबाहु त्रिभुज को स्वर्ण कहा जाता है, जिसका आधार और भुजा स्वर्णिम अनुपात में होती है। एसी/एबी=0.62. बी ए सी

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स्वर्ण आयत एक आयत जिसकी भुजाएँ सुनहरे अनुपात में होती हैं अर्थात। लंबाई और चौड़ाई का अनुपात संख्या 0.62 देता है; स्वर्णिम आयत कहा जाता है। केएल/केएन=0.62 एल एम के एन

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वनस्पति जगत में स्वर्णिम अनुपात। प्रकृति में सुनहरे अनुपात की पहली अभिव्यक्तियों में से एक को बहुमुखी पर्यवेक्षक जोहान्स केपलर (1571-1630) ने देखा था। आइए हम अपेक्षाकृत हाल ही में स्थापित तथ्यों में से एक का हवाला दें। 1850 में, जर्मन वैज्ञानिक ए. ज़ीसिंग ने कोणों के तथाकथित नियम की खोज की, जिसके अनुसार एक पौधे की शाखा का औसत कोणीय विचलन लगभग 138° है। आइए कल्पना करें कि एक पौधे की दो पड़ोसी शाखाएँ एक ही बिंदु से आती हैं ( वास्तव में ऐसा नहीं है: वास्तव में शाखाएँ एक दूसरे के ऊपर या नीचे स्थित होती हैं)। आइए उनमें से एक को OA से, दूसरे को OB से निरूपित करें। आइए शाखा की किरणों के बीच के कोण को α से निरूपित करें, और दूसरा जो इसे 360° पर पूरक करता है उसे β से निरूपित करें। आइए पूर्ण कोण को विभाजित करने के लिए सुनहरा अनुपात बनाएं, यह मानते हुए कि β शीर्ष का बहुमत है: 360/β= β/360-β.

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परिवर्तन के बाद, हम पाते हैं कि β=222.48° α=360°-222.48°=138° इस प्रकार, शाखा के औसत कोणीय विचलन का मान दो भागों में से छोटे से मेल खाता है जिसमें स्वर्ण खंड पर पूर्ण कोण होता है विभाजित है, अर्थात α/β=φ या 0.62

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पेंटाग्राम। "गोल्डन रेशियो" का एक अद्भुत उदाहरण पेंटाग्राम है - एक नियमित गैर-उत्तल पेंटागन, यह एक नियमित स्टार के आकार का पेंटागन, या एक नियमित पेंटागोनल स्टार भी है, यह बचपन से ही ज्ञात, पहचानने योग्य और ज्ञात है। कई समुद्री फूल, तारामछली, और अर्चिन, वायरस आदि में पांच-बिंदु वाले तारे का आकार होता है। मानव शरीर को पांच-किरणों वाली आकृति के रूप में माना जा सकता है, जहां किरणें सिर, हाथ और पैर हैं। पेंटाग्राम का पहला उल्लेख प्राचीन ग्रीस में मिलता है। ग्रीक से अनुवादित, पेंटाग्राम का अर्थ है पाँच पंक्तियाँ। हेलेनिक दुनिया में, विज्ञान और कला का विकास तथाकथित दार्शनिक विद्यालयों में हुआ। सबसे दिलचस्प में से एक पाइथागोरस का स्कूल था, और इसके सदस्यों का विशिष्ट चिन्ह पेंटाग्राम था। बेशक, पाइथागोरस ने पेंटाग्राम को एक कारण से चुना। उनका मानना ​​था कि इस बहुभुज में कई रहस्यमय गुण हैं।

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मानव शरीर के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात। मनुष्य प्रकृति की रचना का मुकुट है... यह स्थापित हो चुका है कि सुनहरे रिश्ते मानव शरीर के अनुपात में पाए जा सकते हैं। यह पता चला है कि ज्यादातर लोगों के लिए, आकृति में कान का उच्चतम बिंदु बिंदु बी है, जो गर्दन के साथ सिर की ऊंचाई को विभाजित करता है, यानी। खंड एसी, सुनहरे अनुपात में। कान का सबसे निचला बिंदु, बिंदु D, दूरी BC को सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात। कान के ऊपर से गर्दन के आधार तक की दूरी। ठोड़ी कान के नीचे से गर्दन के आधार तक की दूरी को सुनहरे अनुपात में विभाजित करती है, अर्थात। बिंदु E खंड DC को सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।

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पृथ्वी की संरचना में स्वर्णिम अनुपात। ध्वनियों के एक सुंदर (सामंजस्यपूर्ण) संयोजन में "सुनहरा" अनुपात (पायथागॉरियन स्केल) होता है। सौरमंडल का निर्माण स्वर्णिम अनुपात के नियम के अनुसार किया गया है। पृथ्वी ग्रह में पाँच-बिंदु समरूपता है, जिसकी परत पंचकोणीय प्लेटों से बनी है। यह सोचने का कारण है कि पूरी दुनिया सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार बनी है। इस अर्थ में, समग्र रूप से ब्रह्मांड एक भव्य जीवित जीव है, जिसकी समानता स्वयं जीवित जीव कहलाने का अधिकार देती है।

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साहित्य 1. एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश - एम.: पेडागोगिका, 1989 2 मैं दुनिया को जानता हूं: बच्चों का विश्वकोश: गणित। - एम.: एएसटी 1997 3. डेपमैन, आई.या. विलेनकिन, गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे - एम.: शिक्षा, 1989 4. वासुतिन्स्की, एन.एन. स्वर्णिम अनुपात। - एम.: यंग गार्ड, 1990। 5. इंटरनेट से जानकारी।

लक्ष्य: साहित्यिक कार्यों में "गोल्डन रेशियो" के पैटर्न खोजें, पेंटिंग, संगीत आदि में गोल्डन रेशियो के उपयोग के विश्व-प्रसिद्ध उदाहरणों का विश्लेषण करें। छात्रों का कार्य: एफिमोवा एकातेरिना, 7वीं कक्षा, टेप्लोवा अन्ना, 8वीं कक्षा, युशकेविच मैक्सिम, 10वीं कक्षा "जहां सुंदरता है, वहां गणित के नियम लागू होते हैं" (जी.जी. हार्डी)।

साहित्य में स्वर्णिम अनुपात. कविता और सुनहरा अनुपात. काव्य कृतियों की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत के समान बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर अक्षरों का एक प्राकृतिक विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध मीटर और उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप होता है - अपनी लय और धुन। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, संगीत सद्भाव के पैटर्न और, परिणामस्वरूप, सुनहरा अनुपात दिखाई देगा। आइए एक काव्य कृति के आकार, यानी उसमें पंक्तियों की संख्या से शुरुआत करें। ऐसा प्रतीत होता है कि काव्य कृतियों के इस मानदंड को मनमाने ढंग से बदला जा सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, एन. वासुतिन्स्की का ए.एस. की कविताओं का विश्लेषण। इस दृष्टिकोण से पुश्किन ने दिखाया कि कविताओं के आकार बहुत असमान रूप से वितरित हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।

कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि काव्य रचनाएँ संगीत रचनाओं के समान हैं; उनके पास अंतिम बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की कविता पर विचार करें। पुश्किन का "शूमेकर": आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। इसके दो अर्थपूर्ण भाग हैं: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टान्त का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 फाइबोनैचि संख्याएँ हैं)।

पुश्किन की आखिरी कविताओं में से एक, "मैं ज़ोर से अधिकारों को महत्व देता हूँ, प्रिय नहीं..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसके दो अर्थ भाग हैं: 13 और 8 पंक्तियाँ। विशेषता यह है कि इस श्लोक का पहला भाग (13 पंक्तियाँ) अपनी अर्थात्मक सामग्री के अनुसार 8 और 5 पंक्तियों में विभाजित है, अर्थात् संपूर्ण काव्य स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार संरचित है।

एन. वास्युटिंस्की द्वारा बनाया गया उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण निस्संदेह रुचि का है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। आठवां अध्याय सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध है। इसमें 51 श्लोक हैं। यूजीन के तातियाना को लिखे पत्र (60 पंक्तियों) के साथ, यह बिल्कुल फाइबोनैचि संख्या 55 से मेल खाता है! एन. वासुतिन्स्की कहते हैं: "अध्याय का अंत तात्याना के लिए यूजीन की गहरी भावनाओं की व्याख्या है - पंक्ति "पीला हो जाना और फीका पड़ जाना... यह आनंद है!" यह पंक्ति पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है - में पहले में 477 रेखाएँ हैं, और दूसरे में रेखाएँ हैं। उनका अनुपात 1.617 है! सुनहरे अनुपात के मूल्य के लिए बेहतरीन पत्राचार! यह सद्भाव का एक महान चमत्कार है, जो पुश्किन की प्रतिभा द्वारा परिपूर्ण है!" लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" दो भागों में विभाजित है: वर्णनकर्ता को संबोधित एक परिचय और केवल एक छंद ("मुझे बताओ, चाचा, यह अकारण नहीं है..."), और मुख्य भाग, जो एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है , जो दो बराबर भागों में बँट जाता है। उनमें से पहला बढ़ते तनाव के साथ लड़ाई की प्रत्याशा का वर्णन करता है, दूसरा अंत की ओर तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ काव्य कार्य का वर्णन करता है। इन भागों के बीच की सीमा कार्य का चरम बिंदु है और सुनहरे खंड द्वारा विभाजन के बिंदु पर बिल्कुल गिरती है। काव्य कृति के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ अर्थात् 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618 = 56.238) से विभाजित करने के बाद, हम आश्वस्त हैं कि विभाजन बिंदु 57वें श्लोक की शुरुआत में स्थित है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!" यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित प्रत्याशा के चरम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, काव्य कार्य के पहले भाग (लड़ाई की प्रत्याशा) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है। इस प्रकार, स्वर्णिम अनुपात कविता में एक बहुत ही सार्थक भूमिका निभाता है, जो काव्य कार्यों के चरमोत्कर्ष को उजागर करता है

क्या संगीत में सुनहरे अनुपात के बारे में बात करना संभव है? यह संभव है यदि आप संगीत के एक टुकड़े को उसके प्रदर्शन के समय के अनुसार मापें। संगीत में, सुनहरा अनुपात अस्थायी अनुपात की मानवीय धारणा की ख़ासियत को दर्शाता है। स्वर्णिम अनुपात बिंदु आकार देने के लिए एक दिशानिर्देश के रूप में कार्य करता है। अक्सर यह चरमोत्कर्ष होता है. यह सबसे उज्ज्वल क्षण, या सबसे शांत, या स्थान का उच्चतम स्वर भी हो सकता है। 1925 में, कला समीक्षक एल.एल. सबनीव ने 42 लेखकों के 1,770 संगीत कार्यों का विश्लेषण किया, जिससे पता चला कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से थीम, या इंटोनेशन सिस्टम, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो संबंधित हैं एक दूसरे से। "स्वर्णिम अनुपात" से संबंध। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली होता है, उसके कार्यों में उतने ही अधिक "सुनहरे अनुपात" पाए जाते हैं।

सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना की एक विशेष सद्भाव की छाप की ओर ले जाता है। सबनीव ने सभी 27 चोपिन रेखाचित्रों पर इस परिणाम की जाँच की। उन्होंने उनमें 178 "सुनहरे अनुपात" की खोज की। यह पता चला कि न केवल अध्ययन के बड़े हिस्से को "सुनहरे अनुपात" के संबंध में अवधि के अनुसार विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के अध्ययन के कुछ हिस्सों को भी अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है। संगीतकार और वैज्ञानिक एम. ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध सोनाटा "अप्पासियोनाटा" में बारों की संख्या गिना और कई दिलचस्प संख्यात्मक संबंध पाए। विशेष रूप से, विकास में - सोनाटा की मुख्य संरचनात्मक इकाई, जहां विषय गहन रूप से विकसित होते हैं और स्वर एक दूसरे की जगह लेते हैं - दो मुख्य खंड हैं। पहले में 43.25 माप हैं, दूसरे में - 26.75। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 "सुनहरा अनुपात" देता है। गोल्डन रेशियो वाले कार्यों की सबसे बड़ी संख्या एरेन्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शूबर्ट (91%) की है।

सुनहरे अनुपात के नियम के आधार पर वायलिन के निर्माण के एक उदाहरण के रूप में, आइए एंटोनियो स्ट्राडिवारी द्वारा बनाए गए वायलिन को लें, जिसे उन्होंने 1700 में बनाया था। स्ट्राडिवारी ने लिखा है कि सुनहरे अनुपात का उपयोग करके उन्होंने निकायों पर एफ-आकार के कटआउट के लिए स्थान निर्धारित किए उनके प्रसिद्ध वायलिनों में से. केस की लंबाई 355 मिमी ऊपरी अंडाकार चौड़ाई 167.5 मिमी निचले अंडाकार की चौड़ाई 207 मिमी मध्य भाग की चौड़ाई 109 मिमी

कुछ कार्यों का विश्लेषण करने पर, हमने देखा कि माधुर्य स्वर्णिम अनुपात के नियम के अनुसार विकसित होता है। क्लासिक कार्य सख्त नियमों और सिद्धांतों के अनुसार बनाए जाते हैं। महान संगीतकार, अपनी अमर रचनाएँ बनाते हुए, केवल अपनी भावनाओं और संगीत संकेतन के ज्ञान, संगीत संकेतन के नियमों के ज्ञान द्वारा निर्देशित होते थे। इन कार्यों की बारीकी से जांच करने पर, यह स्पष्ट हो गया कि संगीत संकेतन के नियम सुनहरे अनुपात के नियमों की प्रतिध्वनि करते हैं।

पुनर्जागरण में चित्रकला में, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनायास ही हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, यह पूरी तरह से महत्वहीन है कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर।

अलेक्जेंडर इवानोव द्वारा "लोगों के सामने मसीह का प्रकटन"। मसीहा के लोगों के पास आने का स्पष्ट प्रभाव इस तथ्य के कारण उत्पन्न होता है कि वह पहले ही सुनहरे खंड (नारंगी रेखाओं के क्रॉस) के बिंदु को पार कर चुका है और अब उस बिंदु में प्रवेश कर रहा है जिसे हम चांदी के खंड का बिंदु कहेंगे (यह है) एक खंड को संख्या π से विभाजित किया जाता है, या एक खंड को घटाकर खंड को संख्या π से विभाजित किया जाता है)।

आई.आई. शिश्किन। शिप ग्रोव शिश्किन की पेंटिंग में सुनहरे अनुपात का अनुपात स्पष्ट है। चमकदार धूप से प्रकाशित देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाहिनी ओर एक धूप से जगमगाती पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है।

उच्चारण बिंदु न केवल चार सुनहरे चौराहों (दो केंद्रीय बर्च के बट) में से दो पर पड़ते हैं, बल्कि 2 (पीले ग्रिड - निचले क्षैतिज के साथ, छाया की सीमा और चार और पेड़ों के बट, और लंबवत) पर भी पड़ते हैं। बर्च में से एक का ट्रंक) और दो क्षैतिज 5 (लाल रंग में हाइलाइट किया गया - क्षैतिज रूप से समाशोधन के दूर किनारे और दूर के पेड़ों की ऊंचाई, लंबवत रूप से पेड़ों के बाएं समूह के मुकुट की सीमा)। ए. कुइंदझी बिर्च ग्रोव

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फाइबोनैचि अनुक्रम और स्वर्णिम अनुपात के बीच संबंध।

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फिबोनाची अनुक्रम।

"अबेकस की पुस्तक" कृति हमारे लिए सबसे अधिक रुचिकर है। यह पुस्तक एक विशाल कार्य है जिसमें उस समय की लगभग सभी अंकगणित और बीजगणितीय जानकारी शामिल है और इसने अगली कुछ शताब्दियों में पश्चिमी यूरोप में गणित के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। विशेषकर, इसी पुस्तक से यूरोपीय लोग हिंदू (अरबी) अंकों से परिचित हुए। "अबेकस की पुस्तक" में बताई गई सामग्री को उन समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाया गया है जो इस पथ का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं।

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काम।

किसी ने यह पता लगाने के लिए कि साल भर में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे, यदि खरगोशों की प्रकृति ऐसी है कि एक महीने के बाद एक जोड़ा खरगोश पैदा करता है, एक निश्चित स्थान पर, चारों तरफ से दीवार से घेरकर, खरगोशों का एक जोड़ा रख दिया। दूसरे जोड़े को जन्म देता है, और खरगोश उसके जन्म के बाद दूसरे महीने से बच्चे को जन्म देते हैं। समाधान। यह स्पष्ट है कि यदि हम खरगोशों के पहले जोड़े को नवजात शिशु मानते हैं, तो दूसरे महीने में भी हमारे पास एक जोड़ा होगा; तीसरे महीने के लिए - 1+1=2; चौथे पर - 2 + 1 = 3 जोड़े (दो उपलब्ध जोड़ियों के कारण, केवल एक जोड़ा ही संतान पैदा करता है); 5वें महीने में - 3+2=5 जोड़े (तीसरे महीने में पैदा हुए केवल 2 जोड़े ही 5वें महीने में संतान को जन्म देंगे); 6वें महीने में - 5 + 3 = 8 जोड़े (क्योंकि केवल वे जोड़े जो चौथे महीने में पैदा हुए थे, संतान पैदा करेंगे), आदि।

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फाइबोनैचि समस्या का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।