私が好きな数学。多項式の除算多項式の除算を解く方法

多項式で構成される不適切な分数は、多項式と適切な分数の合計として表すことができるという証明が与えられます。コーナーによる多項式の除算と列による乗算の例を詳細に分析します。

コンテンツ

定理

Pkとします（バツ）、Qn （バツ）は、それぞれ次数kおよびnの変数xの多項式であり、k≥nです。次に、多項式P k （バツ）次の方法でのみ表すことができます。
(1) P k （x）= S k-n（x）Q n（x）+ U n-1（x）,
ここで、S k-n （バツ）-次数k-nの多項式、U n- 1（x）-次数がn以下の多項式- 1 、またはゼロ。

証拠

多項式の定義によると：
;
;
;
,
ここで、p i、q i-既知の係数、s i、ui-未知の係数。

表記法を紹介しましょう：
.
で代用 (1) :
;
(2) .
右側の最初の項は、次数kの多項式です。第2項と第3項の合計は、最大でk-の次数の多項式です。 1 。 x kでの係数を等しくします：
p k = s k-n qn。
したがって、s k-n = p k / qn。

方程式を変換してみましょう (2) :
.
表記法を紹介しましょう：。
s k-n = p k / q nであるため、xkでの係数はゼロに等しくなります。したがって、これは最大でk次の多項式です。 1 、。次に、前の方程式を次のように書き直すことができます。
(3) .

この方程式は、方程式と同じ形式です。 (1) 、kの値のみが 1 以下。この手順をk-n回繰り返すと、次の式が得られます。
,
そこから多項式Un-の係数を決定します 1（x）.

したがって、すべての未知の係数s i、ulを決定しました。さらに、sk-n≠ 0 。補題は証明されています。

多項式の除算

方程式の両辺を割る (1) Qnに（バツ）、我々が得る：
(4) .
10進数との類推により、S k-n （バツ）分数の整数部分またはプライベートと呼ばれます、U n- 1（x）-部門の残りの部分。分子の多項式の次数が分母の多項式の次数よりも小さい多項式の分数は、適切な分数と呼ばれます。分子の多項式の次数が分母の多項式の次数以上である多項式の分数は、不適切な分数と呼ばれます。

方程式 (4) は、多項式の不適切な分数を整数部分と適切な分数の合計として表すことで簡略化できることを示しています。

基本的に、整数の10進数は多項式であり、変数は数値と同じです。 10 。たとえば、番号265847を考えてみましょう。これは次のように表すことができます。
.
つまり、次の5次の多項式です。 10 。数値2、6、5、8、4、7は、10の累乗での数値の展開の係数です。

したがって、多項式は、数値の除算に適用されるコーナーによる除算の規則（列による除算と呼ばれることもあります）に適用できます。唯一の違いは、多項式を除算するときに、9桁を超える数値をより高い桁に変換する必要がないことです。特定の例を使用して、多項式をコーナーで除算するプロセスを検討してください。

多項式をコーナーで除算する例

ここで、分子は4次の多項式です。分母は2次の多項式です。限り 4 ≥ 2 、その場合、分数は正しくありません。多項式を（列の）コーナーで除算して整数部分を選択します。

除算プロセスの詳細を説明しましょう。元の多項式は、左と右の列に書き込まれます。分母多項式の下の右の列に、水平線（角）を描画します。この線の下に、ある角度で、分数の整数部分があります。

1.1 整数部分の最初のメンバー（隅の下）を見つけます。これを行うには、分子の最高項を分母の最高項で除算します。

1.2 かける 2x2 xに 2-3 x + 5:
。結果は左側の列に書き込まれます。

1.3 左の列の多項式の差を取ります。

.

したがって、中間結果が得られました。
.

分子の多項式の次数（ 3 ）は、分母の多項式の次数以上です（ 2 ）。計算を繰り返します。現在、分数の分子は左の列の最後の行にあります。
2.1 分子の上級メンバーを分母の上級メンバーで除算します。;

2.2 分母を掛けます：;

2.3 そして、左の列の最後の行から減算します。

中間結果：
.

右側に不適切な分数があるため、計算を繰り返します。
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

だから私たちは得ました：
.
右分数の分子の多項式の次数は、分母の多項式の次数よりも小さくなります。 1 < 2 。したがって、分数は正しいです。

;
2 x 2-4 x + 1全体です。
バツ- 8 -部門の残りの部分。

例2

分数の整数部分を選択し、除算の余りを見つけます。
.

前の例と同じアクションを実行します。

ここで、除算の余りはゼロです。
.

列による多項式の乗算

整数の乗算と同様に、多項式に列を乗算することもできます。具体的な例を考えてみましょう。

多項式に列を掛ける例

多項式の積を求めます。
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
結果は、xの累乗を揃えて列に書き込まれます。

3
;
;
;
.

係数のみを書き留めることができ、変数xの累乗は省略できることに注意してください。次に、多項式の列による乗算は次のようになります。

例2

列内の多項式の積を見つけます。
.

多項式に列を掛けるときは、変数xの同じ累乗を相互に書き込むことが重要です。 xの累乗が省略されている場合は、ゼロを掛けて明示的に記述するか、スペースを残してください。

この例では、いくつかの度が省略されています。したがって、ゼロを掛けて明示的に記述します。
.
多項式に列を掛けます。

1 元の多項式を列に並べて書き込み、線を引きます。

2.1 2番目の多項式の最低項に最初の多項式を掛けます。
.
結果は列に書き込まれます。

2.2 2番目の多項式の次の項はゼロに等しくなります。したがって、最初の多項式によるその積もゼロに等しくなります。ヌル行は省略できます。

2.3 2番目の多項式の次の項に最初の多項式を掛けます。
.
結果は、xの累乗を揃えて列に書き込まれます。

2.3 2番目の多項式の次の（最も高い）項に最初の多項式を掛けます。
.
結果は、xの累乗を揃えて列に書き込まれます。

3 2番目の多項式のすべての項に最初の多項式を掛けた後、線を引き、同じ累乗xの項を追加します。
.

自然数aを自然数bで割ることは、次の形式で数aを表すことを意味することを思い出してください。

ここで、商cと剰余rは非負の整数であり、剰余rは不等式を満たします。

多項式を互いに除算すると、同様の状況が発生します。

実際、多項式に対して加算、減算、および乗算演算を実行すると、結果は常に多項式になります。特に、2つの非ゼロ多項式を乗算する場合、積の次数は因子の次数の合計に等しくなります。

しかし、結果として多項式の除算多項式が常に得られるとは限りません。

彼らは1つの多項式が別の多項式で完全に（剰余なしで）割り切れる除算の結果が多項式の場合。

ある多項式が別の多項式で割り切れない場合は、 いつもできる剰余を伴う多項式の除算、その結果、商と剰余の両方が多項式になります。

意味。多項式を除算する a(バツ）多項式に b(バツ）残りの部分-多項式を表すことを意味します a(バツ）なので

a(バツ) = b(バツ) c(バツ) + r(バツ) ,

多項式はどこですか c(バツ）は商であり、多項式 r(バツ）は剰余であり、剰余の次数は不等式を満たします。

式に注意することが重要です

a(バツ) = b(バツ) c(バツ) + r(バツ)

は身元、つまり変数xのすべての値に有効な等式。

多項式を（余りの有無にかかわらず）商で次数の小さい多項式で除算すると、次数が被除数と除数の差に等しい多項式が得られます。

多項式を剰余で除算する1つの方法は次のとおりです。「コーナー」による多項式の除算、これは整数を除算するときにどのように発生するかと完全に類似しています。

ここで、多項式を除算するこの方法の説明に移ります。

例。以前に変数の累乗を減らすように多項式を配置したので、多項式を除算します

2バツ 4 - バツ 3 + 5バツ 2 - 8バツ + 1

多項式に

バツ 2 - バツ + 1 .

解決。多項式を「コーナー」で除算するためのアルゴリズムを段階的に説明しましょう。

分ける 配当の最初の期間 2バツ 4 除数の最初の項に バツ 2.2。我々が得る プライベートの最初のメンバー 2バツ 2 .
かける プライベートの最初のメンバー 2バツ 2オン 仕切り バツ 2 - バツ+ 1、および乗算の結果

2バツ 4 - 2バツ 3 + 2バツ 2

除算の下で書く 2バツ 4 - バツ 3 + 5バツ 2 - 8バツ + 1 .

その下に書かれた多項式を被除数から引きます。我々が得る 最初の残り

バツ 3 + 3バツ 2 - 8バツ .

この剰余がゼロに等しい場合、または次数が除数の次数よりも小さい（この場合は2未満）多項式である場合、除算プロセスは完了します。ただし、そうではなく、分割は継続されます。

分ける 残りの最初の項 バツ 3 除数の最初の項に バツ 2.2。我々が得る プライベートの2番目のメンバー バツ。
かける プライベートの2番目のメンバー xオン 仕切り バツ 2 - バツ + 1 , と乗算の結果

バツ 3 - バツ 2 +バツ

最初の下に書くバツ 3 + 3バツ 2 - 8バツ .

最初の剰余から、その下に書かれた多項式を引きます。我々が得る 2番目の余り

4バツ 2 - 9バツ + 1 .

この剰余がゼロに等しい場合、または次数が除数の次数よりも小さい多項式である場合、除算プロセスは完了します。ただし、そうではなく、分割は継続されます。

分ける 2番目の剰余の最初の項 4バツ 2オン 最初の除数項 バツ 2.2。我々が得る プライベートの3番目のメンバー 4 .
かける プライベートの3番目のメンバー 4オン 仕切り バツ 2 - バツ + 1 , と乗算の結果

いくつかの定義から始めましょう。 $ P_n（x）= \ sum \ Limits_（i = 0）^（n）a_（i）x ^（ni）= a_（0）x ^（n）+ a_（1）x ^の形式の式（n-1）+ a_（2）x ^（n-2）+ \ ldots + a_（n-1）x + a_n $。たとえば、式$ 4x ^（14）+ 87x ^ 2 + 4x-11 $は、次数が$ 14 $の多項式です。 $ P_（14）（x）= 4x ^（14）+ 87x ^ 2 + 4x-11 $と表すことができます。

係数$ a_0 $は、多項式$ P_n（x）$の先行係数と呼ばれます。たとえば、多項式$ 4x ^（14）+ 87x ^ 2 + 4x-11 $の場合、先行係数は$ 4 $（$ x ^（14）$の前の数値）です。数$ a_n $は、多項式$ P_n（x）$の自由なメンバーと呼ばれます。たとえば、$ 4x ^（14）+ 87x ^ 2 + 4x-11 $の場合、切片は$（-11）$です。それでは、定理に目を向けましょう。実際、このページの資料の表示はこの定理に基づいています。

任意の2つの多項式$ P_n（x）$と$ G_m（x）$について、等式となるような多項式$ Q_p（x）$と$ R_k（x）$を見つけることができます。

\ begin（equation）P_n（x）= G_m（x）\ cdot Q_p（x）+ R_k（x）\ end（equation）

および$ k< m$.

「多項式$ P_n（x）$を多項式$ G_m（x）$で除算する」という句は、「多項式$ P_n（x）$を（1）の形式で表す」ことを意味します。多項式$ P_n（x）$を除算、多項式$ G_m（x）$を除数、多項式$ Q_p（x）$を$ P_n（x）$の商を$ G_m（x）$で割ったものと呼びます。多項式$ R_k（x）$-$ P_n（x）$を$ G_m（x）$で割った後の余り。たとえば、多項式の場合、$ P_6（x）= 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 $および$ G_4（x）= 3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2 $あなたはこの平等を得ることができます：

$$ 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 =（3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2）（4x ^ 2 + x）+ 2x ^ 3 + 1 $$

ここで、多項式$ P_6（x）$は除算可能であり、多項式$ G_4（x）$は除数であり、多項式$ Q_2（x）= 4x ^ 2 + x $は$ P_6（x）$を除算した商です。 $ G_4（x）$であり、多項式$ R_3（x）= 2x ^ 3 + 1 $は、$ P_6（x）$を$ G_4（x）$で割った後の余りです。剰余の次数（つまり3）は除数の次数（つまり4）よりも小さいため、等式条件が満たされていることに注意してください。

$ R_k（x）\ equiv 0 $の場合、多項式$ P_n（x）$は、剰余なしで多項式$ G_m（x）$で除算できると言われます。たとえば、多項式$ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $は、等式が成り立つため、剰余なしで多項式$ 3x ^ 4 + 15 $で割り切れます。

$$ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x =（3x ^ 4 + 15）\ cdot（7x ^ 2 + 2x）$$

ここで、多項式$ P_6（x）= 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $は除算可能です。多項式$ G_4（x）= 3x ^ 4 + 15 $-除数; 多項式$ Q_2（x）= 7x ^ 2 + 2x $は、$ P_6（x）$を$ G_4（x）$で割った商です。余りはゼロです。

多項式を多項式に除算するには、「列」または「コーナー」とも呼ばれる除算がよく使用されます。このメソッドの実装を例を挙げて分析します。

例に移る前に、もう1つの用語を紹介します。彼 一般的に受け入れられていません、および資料を提示するためにのみ使用します。このページの終わりまで、多項式$ P_n（x）$の先頭要素を式$ a_（0）x ^（n）$と呼びます。たとえば、多項式$ 4x ^（14）+ 87x ^ 2 + 4x-11 $の場合、先頭の要素は$ 4x ^（14）$です。

例1

「列」除算を使用して、$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $を$ 5x ^ 2-x + 2 $で除算します。

したがって、$ P_5（x）= 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $と$ G_2（x）= 5x ^ 2-x + 2 $の2つの多項式があります。最初の次数は$ 5 $で、2番目の次数は$ 2 $です。多項式$ P_5（x）$は被除数であり、多項式$ G_2（x）$は除数です。私たちの仕事は商と余りを見つけることです。問題は段階的に解決されます。数値の除算と同じ表記を使用します。

最初の一歩

多項式$ P_5（x）$の最高の要素（つまり$ 10x ^ 5 $）を多項式$ Q_2（x）$の最高の要素（つまり$ 5x ^ 2 $）で除算します。

$$ \ frac（10x ^ 5）（5x ^ 2）= 2x ^（5-2）= 2x ^ 3。 $$

結果の式$ 2x ^ 3 $は、商の最初の要素です。

多項式$ 5x ^ 2-x + 2 $に$ 2x ^ 3 $を掛けると、次のようになります。

$$ 2x ^ 3 \ cdot（5x ^ 2-x + 2）= 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $$

結果を書き留めましょう：

次に、多項式$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $から多項式$ 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $を引きます。

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5-（10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3）= 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $$

ここで最初のステップが終了します。得られた結果は、拡張形式で記述できます。

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 =（5x ^ 2-x + 2）\ cdot 2x ^ 3 + 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x +5 $$

多項式の次数$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $（つまり、4）は、多項式の次数$ 5x ^ 2-x + 2 $（つまり、2）よりも大きいため、プロセス分割を継続する必要があります。 2番目のステップに進みましょう。

第二段階

ここで、多項式$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $と$ 5x ^ 2-x + 2 $を使用します。最初のステップと同じ方法で、最初の多項式の先頭要素（つまり、$ 5x ^ 4 $）を2番目の多項式の先頭要素（つまり、$ 5x ^ 2 $）で除算します。

$$ \ frac（5x ^ 4）（5x ^ 2）= x ^（4-2）= x ^ 2。 $$

結果の式$ x ^ 2 $は、商の2番目の要素です。商に追加$ x ^ 2 $

多項式$ 5x ^ 2-x + 2 $に$ x ^ 2 $を掛けると、次のようになります。

$$ x ^ 2 \ cdot（5x ^ 2-x + 2）= 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $$

結果を書き留めましょう：

次に、多項式$ 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $を多項式$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $から減算します。

$$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5-（5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2）=-15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $$

この多項式をすでに次の行の下に追加します。

ここで2番目のステップが終了します。得られた結果は、拡張形式で書き込むことができます。

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 =（5x ^ 2-x + 2）\ cdot（2x ^ 3 + x ^ 2）-15x ^ 3 + 23x ^ 2 -2x + 5 $$

多項式の次数$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $（つまり、3）は、多項式の次数$ 5x ^ 2-x + 2 $（つまり、2）よりも大きいため、除算を続行します。処理する。 3番目のステップに進みましょう。

3番目のステップ

ここで、多項式$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $と$ 5x ^ 2-x + 2 $を使用します。前の手順と同じように、最初の多項式の先頭要素（つまり、$ -15x ^ 3 $）を2番目の多項式の先頭要素（つまり、$ 5x ^ 2 $）で除算します。

$$ \ frac（-15x ^ 3）（5x ^ 2）=-3x ^（2-1）=-3x ^ 1 = -3x。 $$

結果の式$（-3x）$は、商の3番目の要素です。商に$ -3x $を追加しましょう

多項式$ 5x ^ 2-x + 2 $に$（-3x）$を掛けると、次のようになります。

$$ -3x \ cdot（5x ^ 2-x + 2）=-15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $$

結果を書き留めましょう：

次に、多項式$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $から多項式$ -15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $を引きます。

$$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5-（-15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x）= 20x ^ 2 + 4x + 5 $$

この多項式をすでに次の行の下に追加します。

ここで3番目のステップが終了します。得られた結果は、拡張形式で書き込むことができます。

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 =（5x ^ 2-x + 2）\ cdot（2x ^ 3 + x ^ 2-3x）+ 20x ^ 2 + 4x +5 $$

多項式$ 20x ^ 2 + 4x + 5 $（つまり2）の次数は多項式$ 5x ^ 2-x + 2 $（つまり2）の次数に等しいので、除算プロセスを続行します。 4番目のステップに進みましょう。

4番目のステップ

次に、多項式$ 20x ^ 2 + 4x + 5 $と$ 5x ^ 2-x + 2 $を使用します。前の手順と同じように、最初の多項式の先頭要素（つまり、$ 20x ^ 2 $）を2番目の多項式の先頭要素（つまり、$ 5x ^ 2 $）で除算します。

$$ \ frac（20x ^ 2）（5x ^ 2）= 4x ^（2-2）= 4x ^ 0 = 4。 $$

結果の数値$ 4 $は、商の4番目の要素です。商に$ 4 $を追加しましょう

多項式$ 5x ^ 2-x + 2 $に$ 4 $を掛けると、次のようになります。

$$ 4 \ cdot（5x ^ 2-x + 2）= 20x ^ 2-4x + 8 $$

結果を書き留めましょう：

ここで、多項式$ 20x ^ 2 + 4x + 5 $から多項式$ 20x ^ 2-4x + 8 $を引きます。

この記事では、有理分数、整数部分の割り当てについて検討します。分数は正しいと間違っています。分子が分数の分母よりも小さい場合、それは適切な分数であり、その逆も同様です。

適切な分数の例を考えてみましょう：1 2、9 29、8 17、不適切：16 3、21 20、30124。

減らすことができる分数を計算します。つまり、1216は34、2114は32です。

整数部を選択すると、分子を分母で割る処理が行われます。次に、そのような分数は、整数と小数部分の合計として表すことができます。ここで、小数部分は、除算の余りと分母の比率と見なされます。

例1

27を4で割った余りを求めます。

解決

列で除算する必要があります。そうすると、

したがって、27 4 \ u003d整数部分+残りのnとmおよびマイナー\ u003d 6 + 3 4

答え：残り3。

例2

パーツ全体33112および4157を選択します。

解決

コーナーを使用して、分母を分子で除算します。

したがって、331 12 \ u003d 27 + 712となります。

2番目の分数は正しいです。これは、整数部分がゼロに等しいことを意味します。

答え：整数部分27および0。

多項式の分類、言い換えれば、分数有理関数を考えてみましょう。分子の次数が分母の次数よりも小さい場合は正しいと見なされ、そうでない場合は正しくないと見なされます。

定義1

多項式による多項式の除算角度による除算の原理、および整数部分と小数部分の合計としての関数の表現に従って発生します。

多項式を線形二項式に分割するには、ホーナー法を使用します。

例3

x 9 + 7 x 7-3 2 x3-2を単項式2x2で除算します。

解決

除算のプロパティを使用して、次のように記述します。

x 9 + 7 x 7-3 2 x 3-2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2-3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2-2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5-3 4 x + 1 2-2 2x-2。

多くの場合、このタイプの変換は、積分を取るときに実行されます。

例4

多項式を多項式で除算します：2 x 3 +3 x 3 + x。

解決

除算記号は、2 x 3 + 3 x 3 + xの形式の分数として記述できます。次に、パーツ全体を選択する必要があります。これを行うには、列で割ります。私たちはそれを得る

したがって、整数部分の値は-2 x + 3であることがわかり、式全体は2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + -2 x + 3 x 3 + xと記述されます。

例5

2 x 6-x 5 + 12 x 3-72 x 2 +3をx3 + 2 x 2-1で割った後の余りを割り、求めます。

解決

2 x 6-x 5 + 12 x 3-72 x 2 + 3 x 3 + 2 x2-1の形式の分数を修正しましょう。

分子の次数が分母の次数よりも大きいため、分数が不適切です。列による除算を使用して、パーツ全体を選択します。私たちはそれを得る

もう一度除算をして、次の値を取得しましょう。

ここから、余りは--65 x 2 + 10 x -3であることがわかります。したがって、次のようになります。

2 x 6-x 5 + 12 x 3-72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2-1 = 2 x 3-5 x 2 + 10 x-6 + -65 x 2 + 10 x-3 x 3 + 2 x 2-1

除算時に余りを表示できるようにするために、分数変換を追加で実行する必要がある場合があります。次のようになります。

3 x 5 + 2 x 4-12 x 2-4 x 3-3 = 3 x 2 x 3-3-3 x 2 x 3-3 + 3 x 5 + 2 x 4-12 x 2-4 x 3- 3 = = 3 x 2 x 3-3 + 2 x 4-3 x 2-4 x 3-3 = 3 x 2 + 2 x 4-3 x 2-4 x 3-3 = = 3 x 2 + 2 xx 3-3-2 xx 3-3 + 2 x 4-3 x 2-4 x 3-3 = = 3 x 2 + 2 x（x 3-3）-3 x 2 + 6 x-4 x 3-3 = 3 x 2 + 2 x + -3 x 2 + 6 x-4 x 3-3

これは、3 x 5 + 2 x 4-12 x 2-4をx3-3で割ったときの余りが、値-3 x 2 + 6x-4になることを意味します。結果をすばやく見つけるために、省略された乗算式が使用されます。

例6

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x +27を2x +3で割ります。

解決

分数として除算を書いてみましょう。 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x +3が得られます。分子では、合計キューブ式を使用して式を追加できることに注意してください。私たちはそれを持っています

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 =（2 x + 3）3 2 x + 3 =（2 x + 3）2 = 4 x 2 + 12 x + 9

与えられた多項式は剰余なしで除算できます。

解法には、より便利な解法が使用され、多項式の多項式による除算が最も一般的であると考えられているため、整数部分を選択するときによく使用されます。最後のエントリには、除算の結果の多項式が含まれている必要があります。

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声明

残り 不完全なプライベート.

任意の多項式$ A（x）$および$ B（x）$（$ B（x）$の次数が0より大きい）の場合、からの一意の多項式$ Q（x）$および$ R（x）$があります。アサーションの条件。

多項式$ x ^（4）+ 3x ^（3）+ 5 $を$ x ^（2）+ 1 $で割った余りは、$ 3x + 4 $：$ x ^（4）+ 3x ^（3）です。 +5 =（x ^（2）+ 3x +1）（x ^（2）+ 1）+ 3x + 4. $
多項式$ x ^（4）+ 3x ^（3）+ 5 $を$ x ^（4）+ 1 $で割った余りは、$ 3x ^（3）+ 4 $：$ x ^（4）+ 3xです。 ^（3）+5 = 1 \ cdot（x ^（2）+ 1）+ 3x ^（3）+ 4. $
多項式$ x ^（4）+ 3x ^（3）+ 5 $を$ x ^（6）+ 1 $で割った余りは、$ x ^（4）+ 3x ^（3）+ 5 $：$ xです。 ^（4）+ 3x ^（3）+5 = 0 \ cdot（x ^（6）+ 1）+ x ^（4）+ 3x ^（3）+5。$

声明

任意の2つの多項式$ A（x）$と$ B（x）$（多項式$ B（x）$の次数がゼロ以外）の場合、次の形式の多項式表現$ A（x）$が存在します。 $ A（x）= Q（x）B（x）+ R（x）$、ここで$ Q（x）$と$ R（x）$は多項式であり、$ R（x）$の次数は$ B（x）。$の次数

証拠

多項式$ A（x）の次数の帰納法によってアサーションを証明します。$それを$ n $で表します。 $ n = 0 $の場合、ステートメントは真です。$ A（x）$は$ A（x）= 0 \ cdot B（x）+ A（x）。$として表すことができます。次数$ n \ leqm $の多項式。次数$ k = n +1。$の多項式のアサーションを証明しましょう。

多項式の次数$ B（x）$を$ m $に等しくします。 3つのケースを考えてみましょう：$ k< m$, $k = m$ и $k >m $し、それぞれのアサーションを証明します。

$ k< m$
多項式$ A（x）$は、次のように表すことができます。
$ A（x）= 0 \ cdot B（x）+ A（x）。$
アサーションが作成されました。
$ k = m $
多項式$ A（x）$と$ B（x）$の形式を
$ A（x）= a_（n + 1）x ^（n + 1）+ a_（n）x ^（n）+ \ dots + a_（1）x + a_（0）、\：\ mbox（where ）\：a_（n + 1）\ neq 0; $
$ B（x）= b_（n + 1）x ^（n + 1）+ b_（n）x ^（n）+ \ dots + b_（1）x + b_（0）、\：\ mbox（where ）\：b_（n + 1）\ neq 0. $
$ A（x）$を次のように表現しましょう
$ A（x）= \ dfrac（a_（n + 1））（b_（n + 1））B（x）-\ Big（\ dfrac（a_（n + 1））（b_（n + 1）） B（x）-A（x）\ Big）。$
多項式の次数$ \ dfrac（a_（n + 1））（b_（n + 1））B（x）-A（x）$は最大で$ n + 1 $であることに注意してください。この場合、この表現は次のようになります。希望するものであり、アサーションは満たされています。
$ k> m $
多項式$ A（x）$を次の形式で表します
$ A（x）= x（a_（n + 1）x ^（n）+ a_（n）x ^（n-1）+ \ dots + a_（1））+ a_（0）、\：\ mbox （ここで）\：a_（n + 1）\ neq 0. $
多項式$ A "（x）= a_（n + 1）x ^（n）+ a_（n）x ^（n-1）+ \ dots + a_（1）。$は$ A"として表すことができます。（x）= Q "（x）B（x）+ R"（x）$、ここで多項式$ R "（x）$の次数は$ m $未満であり、$ A（x）の表現$は次のように書き換えることができます
$ A（x）= x（Q "（x）B（x）+ R"（x））+ a_（0）= xQ "（x）B（x）+ xR"（x）+ a_（0）。$
多項式の次数$ xR "（x）$は$ m + 1 $未満、つまり$ k $未満であることに注意してください。この場合、$ xR"（x）$は帰納的仮定を満たし、$ xR "として表すことができます。（x）= Q ""（x）B（x）+ R ""（x）$、ここで多項式の次数$ R ""（x）$は$ m $未満です。$ Aの表現を書き直してください。（x）$どのように
$ A（x）= xQ "（x）B（x）+ Q" "（x）B（x）+ R" "（x）+ a_（0）= $
$ =（xQ "（x）+ xQ" "（x））B（x）+ R" "（x）+ a_（0）。$
多項式$ R ""（x）+ a_（0）$の次数は$ m $未満であるため、ステートメントは真です。