A2b2省略された乗算式。 例を含む省略された乗算式。 ！ 多項式を多項式で乗算するには、一方の多項式の各項にもう一方の多項式の各項を乗算し、結果の積を加算する必要があります。
数式（式） 省略乗算（和と差の二乗、和と差の立方体、二乗の差、立方体の和と差）は、正確な科学の多くの分野で非常にかけがえのないものです。 これらの7文字のエントリは、式の簡略化、方程式の解法、多項式の乗算、分数の削減、積分の解法など、かけがえのないものです。 したがって、それらがどのように取得されるか、それらが何のためにあるか、そして最も重要なことに、それらを覚えてから適用する方法を理解することは非常に役立ちます。 次に適用します 省略された乗算式実際には、最も難しいのは何であるかを確認することです バツそして何を持っていますか。 明らかに制限はありません aと bいいえ。これは、任意の数値式またはリテラル式にすることができることを意味します。
そして、ここにあります：
初め x 2 --2で =（x --y）（x + y）。計算するには 二乗の差 2つの式では、これらの式の差にそれらの合計を掛ける必要があります。
2番 （x + y）2 = x 2 + 2xy + y 2。 見つけるには 二乗和 2つの式の場合、最初の式の2乗に、最初の式と2番目の式の積の2倍と2番目の式の2乗を加算する必要があります。
三番 （x-y）2 = x 2 --2xy + y 2。 計算するには 二乗の差 2つの式の場合、最初の式の2乗から、最初の式の2倍と2番目の式の2乗と2番目の式の2乗を減算する必要があります。
第4 （x + y）3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 +3で。計算するには 合計キューブ 2つの式の場合、最初の式の3倍に、最初の式と2番目の式の2乗の積の3倍に加えて、最初の式と2番目の式の2乗の積の3倍に加えて、 2番目の式。
5番目 （x-y）3 = x 3 -3x 2 y + 3x 2 -3時。 計算するには 差分キューブ 2つの式の場合、最初の式の3倍から2番目の式の2乗の積の3倍に、最初の式と2番目の2乗の積の3倍から2番目の3乗を引いたものを引く必要があります。表現。
6番目 x 3 + y 3 =（x + y）（x 2 --xy + y 2）計算するには 立方体の合計 2つの式では、最初の式と2番目の式の合計に、これらの式の差の不完全な2乗を掛ける必要があります。
7番目 x 3 -3時 \ u003d（x-y）（x 2 + xy + y 2）計算するには キューブの違い 2つの式では、最初の式と2番目の式の差に、これらの式の合計の不完全な2乗を掛ける必要があります。
すべての数式が反対方向（右から左）の計算に使用されることを覚えておくのは難しいことではありません。
これらの規則性の存在は約4000年前に知られていました。 それらは古代バビロンとエジプトの住民によって広く使われていました。 しかし、それらの時代には、それらは口頭または幾何学的に表現され、計算に文字を使用しませんでした。
分析してみましょう 合計二乗証明（a + b）2 = a 2 + 2ab + b2。
これ 数学的規則性紀元前3世紀にアレクサンドリアで働いていた古代ギリシャの科学者ユークリッドは、古代ヘラスの科学者も数字を表すために文字を使用しなかったため、この式を証明する幾何学的方法を使用したことを証明しました。 それらはどこでも「a2」ではなく「セグメントaの正方形」、「ab」ではなく「セグメントaとbの間に囲まれた長方形」を使用していました。
表現 （ a + b）2は 二乗和数字 aと b。 定義上、式（ a + ba + b)(a + b）。 したがって、合計の2乗から、次のように推測できます。
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
つまり、2つの数値の合計の二乗は、最初の数値の二乗に、最初の数値と2番目の数値の積の2倍、および2番目の数値の2乗を加えたものに等しくなります。
二乗和の式
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
多項式 a 2 + 2ab + b 2は、合計の2乗の展開と呼ばれます。
なぜなら aと b任意の数または式を示す場合、ルールにより、2つの項の合計と見なすことができる任意の式を省略して二乗することができます。
例。二乗式3 バツ 2 + 2xy.
解決：追加の変換を行わないために、合計の2乗の式を使用します。 最初の数の2乗の合計、最初の数と2番目の数の積の2倍、および2番目の数の2乗の合計を取得する必要があります。
(3バツ 2 + 2xy) 2 = (3バツ 2) 2 + 2(3バツ 2 2 xy) + (2xy) 2
ここで、単項式の乗算とべき乗の規則を使用して、結果の式を単純化します。
(3バツ 2) 2 + 2(3バツ 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9バツ 4 + 12バツ 3 y + 4バツ 2 y 2
差の二乗
表現 （ a - b）2は 二乗の差数字 aと b。 表現 （ a - b）2は2つの多項式の積です（ a - b)(a - b）。 したがって、差の二乗から、次のように結論付けることができます。
(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,
つまり、2つの数値の差の二乗は、最初の数値の二乗から、最初の数値と2番目の数値の積の2倍に、2番目の数値の二乗を引いたものに等しくなります。
ルールから、合計 差二乗式、中間変換なしでは、次のようになります。
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
多項式 a 2 - 2ab + b 2は二乗の差の展開と呼ばれます。
この規則は、2つの数値の差として表すことができる式の省略された2乗に適用されます。
例。差の二乗を三項式として表現します。
(2a 2 - 5ab 2) 2
解決：差の二乗の式を使用すると、次のことがわかります。
(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
次に、式を標準形式の多項式に変換しましょう。
(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4
二乗の差
表現 a 2 - b 2は 二乗の差数字 aと b。 表現 a 2 - b 2は、2つの数値の合計にそれらの差を掛ける簡単な方法です。
(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,
つまり、2つの数値の合計とそれらの差の積は、これらの数値の2乗の差に等しくなります。
ルールから、合計 二乗の差の式そのように見えます：
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
この規則は、表現できるそのような式の省略された乗算に適用されます。1つは、2つの数値の合計として、もう1つは同じ数値の差としてです。
例。製品を二項式に変換します。
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)
解決：
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9
この例では、右から左への二乗の差の式を適用しました。つまり、式の右側が与えられ、それを左に変換しました。
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
実際には、状況に応じて、考慮される3つの式すべてが左から右および右から左の両方に適用されます。
多項式による多項式の乗算
! に 多項式に多項式を掛ける、1つの多項式の各項に他の多項式の各項を乗算し、結果の積を加算する必要があります。
気をつけて！ 各用語には独自の記号があります。
省略された乗算式多項式は、原則として、多項式の乗算で頻繁に発生する7つのケースです。
定義と省略された乗算式。 テーブル
表2.省略された乗算式の定義（クリックして拡大）
正方形の3つの省略された乗算式
1. 二乗和の式。
合計二乗 2つの式の2乗は、最初の式の2乗に、最初の式と2番目の式の2乗に、2番目の式の2乗を加えたものに等しくなります。
式をよりよく理解するために、最初に式を単純化しましょう（合計の2乗の式を展開します）
それでは、因数分解してみましょう（数式を折りたたむ）
因数分解するときの一連のアクション：
- どの単項式が二乗されるかを決定します（ 5 と 3m);
- それらの二重積が式の真ん中にあるかどうかを確認します（2 5 3m = 30m);
- 答えを書き留める （5 + 3m）2.
2. 二乗の差の式
差の二乗 2つの式の2乗は、最初の式の2乗から最初の式と2番目の式の積の2倍を引いたものに、2番目の式の2乗を加えたものに等しくなります。
まず、式を単純化してみましょう（式を展開します）。
そしてその逆に、それを因数分解します（式を折りたたむ）：
3. 二乗の差の式
2つの式の合計とそれらの差の積は、これらの式の2乗の差に等しくなります。
数式を折ります（乗算を行います）
それでは、数式を展開してみましょう（因数分解します）
キューブの4つの省略された乗算式
4. 2つの数の合計の立方体の式
2つの式の合計の立方体は、最初の式の立方体に最初の式の2乗の3倍に2番目の式を掛けたものに、最初の式の積に2番目の2乗を掛けたものに2番目の3乗を加えたものに等しくなります。表現。
数式を「折りたたむ」ときの一連のアクション：
- 立方体にされた単項式を見つけます（ここに 4xと 1 );
- 式に準拠しているかどうか平均条件を確認します。
- 答えを書き留めてください。
5. 2つの数の差の立方体の式
2つの式の差の立方体は、最初の式の3乗から最初の式と2番目の式の積の3倍を引いたものに、最初の式と2番目の式の2乗の積から3倍を引いたものに等しくなります。 2番目の式の。
6. 立方体の合計の式
2つの式の3乗の合計は、1番目と2番目の式の合計と、これらの式の差の不完全な2乗の積に等しくなります。
帰ってきた：
7. 立方体の式の違い
2つの式の3乗の差は、1番目と2番目の式の差と、これらの式の合計の不完全な2乗の積に等しくなります。
省略された乗算式の適用。 テーブル
数式を実際に使用する例（口頭でのカウント）。
仕事：辺がa = 71cmの正方形の面積を見つけます。
解決： S = a2。 合計二乗式を使用すると、次のようになります。
71 2 \ u003d（70 + 1）2 \ u003d 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 \ u003d 4900 + 140 + 1 \ u003d 5041 cm 2
答え： 5041 cm 2
代数多項式を計算するとき、計算を単純化するために、 省略された乗算式 。 全部で7つのそのような公式があります。 それらはすべて心から知る必要があります。
また、数式のaとbの代わりに、数値と他の代数多項式の両方が存在する可能性があることも覚えておく必要があります。
二乗の差
2つの数値の二乗の差は、これらの数値の差とそれらの合計の積に等しくなります。
a 2-b 2 =（a --b）（a + b）
合計二乗
2つの数値の合計の二乗は、最初の数値の二乗に最初の数値と2番目の数値の積の2倍を加えたものに、2番目の数値の二乗を加えたものに等しくなります。
（a + b）2 = a 2 + 2ab + b 2
この縮小された乗算式を使用すると、次のことが簡単になります。 大きな数の正方形を見つける電卓や長い掛け算を使わずに。 例を挙げて説明しましょう。
1122を検索します。
112を、よく覚えている平方数の合計に分解してみましょう。2
112 = 100 + 1
数字の合計を角かっこで囲み、角かっこの上に正方形を置きます。
112 2 = (100 + 12) 2
合計二乗式を使用してみましょう：
112 2 =（100 + 12）2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544
二乗和の公式は、すべての代数多項式にも有効であることに注意してください。
（8a + c）2 = 64a 2 + 16ac + c 2
警告！！！
（a + b）2 a 2 + b2と等しくない
差の二乗
2つの数値の差の二乗は、最初の数値の二乗から、最初と2番目の積の2倍を引いたものに、2番目の数値の二乗を加えたものに等しくなります。
（a --b）2 = a 2-2ab + b 2
非常に便利な変換を覚えておくことも価値があります。
（a --b）2 =（b --a）2
上記の式は、括弧を展開するだけで証明されます。
（a --b）2 = a 2-2ab + b 2 = b 2-2ab + a 2 =（b --a）2
合計キューブ
2つの数値の合計の立方体は、最初の数値の3乗に、最初の数値の2乗の3倍に2番目の数値を掛けたものに、1番目の2乗の2乗と2番目の3乗の積の3倍を加えたものに等しくなります。
（a + b）3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
この「ひどい」見た目の式を覚えているのは非常に簡単です。
3が最初に来ることを学びます。
中央の2つの多項式の係数は3です。
のゼロ乗の数値は1であることに注意してください（a 0 = 1、b 0 = 1）。 式では、次数aが減少し、次数bが増加していることが簡単にわかります。 これを確認できます：
（a + b）3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
警告！！！
（a + b）3 a 3 + b3と等しくない
差分キューブ
2つの数値の差の立方体は、最初の数値の3乗から最初の数値の2乗の3倍を引いたものに、2番目の数値に最初の数値と2番目の2乗の積の3倍を引いたものから2番目の数値の3倍を引いたものに等しくなります。 。
（a-b）3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2-b 3
この式は前の式と同じように記憶されていますが、「+」と「-」の記号の交代のみが考慮されています。 3の最初のメンバーの前には「+」が付いています（数学の規則に従って、私たちはそれを書きません）。 これは、次のメンバーの前に「-」、次に「+」などが続くことを意味します。
（a --b）3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \ u003d a 3-3a 2 b + 3ab 2-b 3
立方体の合計（ 合計キューブと混同しないでください！）
立方体の合計は、2つの数値の合計と差の不完全な2乗の積に等しくなります。
a 3 + b 3 =（a + b）（a 2-ab + b 2）
立方体の合計は、2つの括弧の積です。
最初の括弧は2つの数値の合計です。
2番目の括弧は、数値の差の不完全な2乗です。 差の不完全な二乗は、次の式と呼ばれます。
A 2-ab + b 2
この正方形は不完全です。なぜなら、真ん中には二重の積ではなく、通常の数の積があるからです。
キューブの違い（違いのキューブと混同しないでください!!!）
立方体の差は、2つの数値の差と合計の不完全な2乗の積に等しくなります。
a 3-b 3 \ u003d（a --b）（a 2 + ab + b 2）
文字を書くときは注意してください。上記のすべての式も右から左に使用されていることを覚えておく必要があります。
省略された乗算式を覚える簡単な方法、または...パスカルの三角形。
省略された乗算の式を覚えるのは難しいですか？ ケースは簡単に手伝うことができます。 パスカルの三角形のような単純なものがどのように描かれているかを覚えておく必要があります。 そうすれば、これらの数式をいつでもどこでも覚えることができます。むしろ、覚えていないで、復元してください。
パスカルの三角形とは何ですか？ この三角形は、形式の二項式の任意の累乗を多項式に展開する係数で構成されます。
それを分解してみましょう、例えば：
このレコードでは、最初に最初の立方体があり、最後に2番目の数の立方体があることを覚えておくのは簡単です。 しかし、真ん中にあるものを覚えるのは難しいです。 そして、次の各項で1つの因子の次数が常に減少し、2番目の因子の次数が増加するという事実でさえ、気づきやすく、覚えやすく、係数と符号（プラスまたはマイナス？）を覚えるのがより困難です。
だから、最初にオッズ。 あなたはそれらを暗記する必要はありません！ ノートブックの余白に、パスカルの三角形をすばやく描画します。ここに、すでに目の前にある係数があります。 3つ、上に1つ、下に2つ、右と左に描画を開始します。そうです、すでに三角形が取得されています。
1行の最初の行はゼロです。 次に、1番目、2番目、3番目などが続きます。 2行目を取得するには、端に沿ってもう一度1行を追加する必要があります。中央に、その上に2つの数値を加算して得られた数値を書き込みます。
3番目の行を記述します。これもユニットの端に沿って、新しい行の次の番号を取得するには、前の行のその上の番号を追加します。
ご想像のとおり、各行で二項式を多項式に分解した係数を取得します。
ええと、記号を覚えるのはさらに簡単です。最初の記号は拡張された二項式の場合と同じです（合計はプラスを意味し、差はマイナスを意味します）、次に記号が交互になります。
これはとても便利なことです-パスカルの三角形。 楽しみ！
省略された乗算式。
省略された乗算の式の研究：2つの式の合計の2乗と差の2乗。 2つの式の二乗の差。 合計の立方体と2つの式の差の立方体。 2つの式の立方体の合計と差。
例を解くときの省略された乗算式の適用。
式を単純化し、多項式を因数分解し、多項式を標準形式にするために、簡略化された乗算式が使用されます。 あなたが心で知る必要がある省略された乗算式.
a、b Rとします。次に：
1. 2つの式の合計の2乗は最初の式の2乗に最初の式と2番目の式の2倍の積を加えたものに2番目の式の2乗を加えたもの。
（a + b）2 = a 2 + 2ab + b 2
2. 2つの式の差の2乗は最初の式の2乗から、最初の式と2番目の式の積の2倍を引いたものに、2番目の式の2乗を加えたもの。
（a --b）2 = a 2-2ab + b 2
3. 二乗の差 2つの式は、これらの式の差とそれらの合計の積に等しくなります。
a 2-b 2 \ u003d（a --b）（a + b）
4. 合計キューブ 2つの式のは、最初の式の3乗に最初の式の2乗を掛けたものに2番目の式を掛けたものに、最初の式の積に2番目の2乗を掛けたものに2番目の式の3乗を掛けたものに等しくなります。
（a + b）3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. 差分キューブ 2つの式の積は、最初の式の3乗から最初の式の2乗の積の3倍を引いたものに、2番目の式の3倍に1番目の式と2番目の式の2乗から2番目の式の3乗を引いたものに等しくなります。
（a-b）3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2-b 3
6. 立方体の合計 2つの式は、最初の式と2番目の式の合計と、これらの式の差の不完全な2乗の積に等しくなります。
a 3 + b 3 \ u003d（a + b）（a 2-ab + b 2）
7. キューブの違い 2つの式の積は、最初の式と2番目の式の差と、これらの式の合計の不完全な2乗の積に等しくなります。
a 3-b 3 \ u003d（a --b）（a 2 + ab + b 2）
例を解くときの省略された乗算式の適用。
例1
計算する
a）2つの式の合計の二乗の式を使用すると、次のようになります。
（40 + 1）2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b）2つの式の差の二乗の式を使用すると、次のようになります。
98 2 \ u003d（100-2）2 \ u003d 100 2-2100 2 + 2 2 \ u003d 10000-400 + 4 \ u003d 9604
例2
計算する
2つの式の二乗の差の式を使用して、次のようになります。
例3
式の簡略化
（x --y）2 +（x + y）2
2つの式の合計の2乗と差の2乗の式を使用します
（x --y）2 +（x + y）2 \ u003d x 2-2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \ u003d 2x 2 + 2y 2
1つのテーブルの省略された乗算式：
（a + b）2 = a 2 + 2ab + b 2
（a --b）2 = a 2-2ab + b 2
a 2-b 2 =（a --b）（a + b）
（a + b）3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
（a-b）3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2-b 3
a 3 + b 3 \ u003d（a + b）（a 2-ab + b 2）
a 3-b 3 \ u003d（a --b）（a 2 + ab + b 2）
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