संख्या 8 से आधार 4 का लघुगणक। लघुगणक क्या है। किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें

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जैसा कि आप जानते हैं, जब भावों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b *a c = a b+c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज़ द्वारा तैयार किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक घातांक की एक तालिका बनाई। यह वे ही थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए काम किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां आपको सरल जोड़ द्वारा बोझिल गुणन को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट बिताते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करना है। सरल एवं सुलभ भाषा में.

गणित में परिभाषा

एक लघुगणक निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति है: log a b=c, अर्थात, किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या (अर्थात, कोई भी सकारात्मक) का लघुगणक "b" से उसके आधार "a" को घात "c" माना जाता है। ” जिसके लिए अंततः मूल्य “बी” प्राप्त करने के लिए आधार “ए” को ऊपर उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करके लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी शक्ति ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक शक्ति तक आपको 8 प्राप्त हो। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें संख्या 3 मिलती है! और यह सच है, क्योंकि 2 की घात 3 का उत्तर 8 होता है।

लघुगणक के प्रकार

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना है। लघुगणकीय अभिव्यक्ति के तीन अलग-अलग प्रकार हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. किसी भी संख्या b से आधार a>1 का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लघुगणक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एकल लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें हल करते समय उनके गुणों और क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में कई नियम-बाधाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा का विषय नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं का सम मूल निकालना भी असंभव है। लघुगणक के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप लंबी और क्षमता वाले लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के साथ भी आसानी से काम करना सीख सकते हैं:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि किसी भी डिग्री पर "1" और "0" हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b >0, तो यह पता चलता है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, कार्य समीकरण 10 x = 100 का उत्तर खोजने के लिए दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको संख्या दस को बढ़ाकर एक घात चुननी होगी जिससे हमें 100 प्राप्त होगा। यह, निश्चित रूप से, 10 2 = है 100.

आइए अब इस अभिव्यक्ति को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करें। हमें लघुगणक 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए एकत्रित होती हैं जिस तक किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लघुगणक के आधार में प्रवेश करना आवश्यक होता है।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी दिमाग और गुणन सारणी का ज्ञान है तो कुछ घातांकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, बड़े मूल्यों के लिए आपको एक पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है जिससे संख्या a बढ़ा दी गई है। चौराहे पर, कोशिकाओं में संख्या मान होते हैं जो उत्तर (एसी = बी) होते हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 वाली पहली सेल लें और इसे वर्गित करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारी दो कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समानता के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को चार के बराबर 81 के आधार 3 लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक घातों के लिए नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम इसे लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लघुगणक 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक अनुभागों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, नीचे दिए गए समीकरणों के उदाहरण और समाधान देखेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में दो मात्राओं की तुलना भी की गई है: वांछित संख्या का आधार दो का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 x = √9) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों स्वीकार्य की सीमा इस फ़ंक्शन को तोड़कर मान और अंक निर्धारित किए जाते हैं। परिणामस्वरूप, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि किसी समीकरण के उत्तर में होता है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट होता है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मान ज्ञात करने की आदिम समस्याओं को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल पाता है। हालाँकि, जब लघुगणक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम समीकरणों के उदाहरण बाद में देखेंगे; आइए पहले प्रत्येक संपत्ति को अधिक विस्तार से देखें।

1. मुख्य पहचान इस तरह दिखती है: एक logaB =B. यह तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद का लघुगणक निम्नलिखित सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2। इस मामले में, अनिवार्य शर्त है: डी, ​​एस 1 और एस 2 > 0; a≠1. आप उदाहरण और समाधान के साथ इस लघुगणकीय सूत्र का प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए कि log a s 1 = f 1 है और log a s 2 = f 2 है, तो a f1 = s 1, a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (के गुण डिग्री ), और फिर परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1/ एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित प्राकृतिक अभिधारणाओं पर आधारित हैं। आइए सबूत देखें.

मान लीजिए a b = t लॉग करें, तो यह a t = b निकलता है। यदि हम दोनों भागों को घात m तक बढ़ाएँ: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n, इसलिए log a q b n = (n*t)/t, फिर log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

लघुगणक पर सबसे आम प्रकार की समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित परीक्षा का एक आवश्यक हिस्सा भी हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही ढंग से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, लेकिन प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में कम किया जा सकता है। यदि आप लंबी लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो आप उन्हें सरल बना सकते हैं। आइए जल्दी से उनके बारे में जानें।

लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करना होगा कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक उदाहरण अभिव्यक्ति में प्राकृतिक लघुगणक या दशमलव हो सकता है।

यहां उदाहरण हैं एलएन100, एलएन1026। उनका समाधान इस तथ्य पर आधारित है कि उन्हें उस शक्ति को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके लिए आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक को हल करने के लिए, आपको लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करने की आवश्यकता है। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक शक्ति की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। आपको बस आधार का गुणनखंड करना होगा और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना होगा।

एकीकृत राज्य परीक्षा से असाइनमेंट

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में कई लघुगणक समस्याएं। आमतौर पर, ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे जटिल और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान आवश्यक है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान एकीकृत राज्य परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. समाधान:
आइए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सरल बनाएं लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें पता चलता है कि 2x-1 = 2 4, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5.

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को सकारात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, जब किसी अभिव्यक्ति का घातांक जो लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है और उसका आधार गुणक के रूप में निकाला जाता है, तो लघुगणक के अंतर्गत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे और अधिक सरलता से समझाएं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिससे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "पच्चीस से आधार पाँच का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? कौन सी शक्ति किसी भी नंबर को एक बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? सबसे पहले, पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? इससे हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक घात है, जिसका अर्थ है कि वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की घात है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समानता को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\).x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे चतुर लोग कहेंगे: "X दो से थोड़ा कम है।" इस संख्या को वास्तव में कैसे लिखें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), जैसे कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह संक्षिप्त है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर की संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह फॉर्मूला कैसे आया।

आइए हम लघुगणक की परिभाषा का एक संक्षिप्त विवरण याद करें:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के अन्य गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो की जगह \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं.

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हम \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम कहीं भी किसी भी आधार के साथ दो को लघुगणक के रूप में लिख सकते हैं (चाहे वह किसी समीकरण में हो, किसी अभिव्यक्ति में हो, या किसी असमानता में हो) - हम बस आधार वर्ग को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64)\)... यहां हम आधार को घन में एक तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

लोगारित्मकिसी दी गई संख्या का वह घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए, कहा जाता है आधारइस संख्या को प्राप्त करने के लिए लघुगणक. उदाहरण के लिए, 100 का आधार 10 लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग करना होगा (10 2 = 100)। अगर एन- एक दिया गया नंबर, बी– आधार और एल- फिर लघुगणक बी एल = एन. संख्या एनइसे बेस एंटीलोगारिथ्म भी कहा जाता है बीनंबर एल. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 का प्रतिलघुगणक 100 के बराबर है। इसे संबंध लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी एन = एलऔर एंटीलॉग बी एल = एन.

लघुगणक के मूल गुण:

एक के अलावा कोई भी सकारात्मक संख्या लघुगणक के लिए आधार के रूप में काम कर सकती है, लेकिन दुर्भाग्य से यह पता चला है कि यदि बीऔर एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी कोई परिमेय संख्या होती है एल, क्या बी एल = एन. हालाँकि, एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करना संभव है एल, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 एल= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है एलतर्कसंगत संख्याओं द्वारा किसी भी आवश्यक सटीकता के साथ अनुमान लगाया जा सकता है। दिए गए उदाहरण से यह पता चलता है एललगभग 0.3010 के बराबर है, और 2 के आधार 10 लघुगणक का यह अनुमान दशमलव लघुगणक की चार-अंकीय तालिकाओं में पाया जा सकता है। आधार 10 लघुगणक (या आधार 10 लघुगणक) का उपयोग गणनाओं में इतना सामान्यतः किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक के आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर, log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार के लिए लघुगणक इ, लगभग 2.71828 के बराबर एक पारलौकिक संख्या कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक. वे मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण और विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोगों पर कार्यों में पाए जाते हैं। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन ln का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, ln2 = 0.6931, क्योंकि इ 0,6931 = 2.

साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।

किसी संख्या का नियमित लघुगणक एक घातांक होता है जिसमें दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत पता चलता है कि लॉग1 = 0, लॉग10 = 1, लॉग100 = 2, आदि। पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए 10. इसी प्रकार, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, आदि। सभी नकारात्मक पूर्णांक घातों के लिए 10. शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच संलग्न होते हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक में दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और एक दशमलव, जो 0 और 1 के बीच संलग्न होता है। पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. घटाने के बाद, हमें log0.2 = – 0.6990 मिलता है। हालाँकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है; एक सामान्य नियम भी तैयार किया जा सकता है: किसी दिए गए नंबर को 10 की घात से गुणा करके प्राप्त सभी संख्याओं में दिए गए नंबर के मंटिसा के बराबर समान मंटिसा होता है। अधिकांश तालिकाएँ 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा को दर्शाती हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा को तालिका में दिए गए संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।

अधिकांश तालिकाएँ चार या पाँच दशमलव स्थानों के साथ लघुगणक देती हैं, हालाँकि सात अंकों की तालिकाएँ और इससे भी अधिक दशमलव स्थानों वाली तालिकाएँ हैं। ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों से है। लॉग3.59 को खोजने के लिए, सबसे पहले, हम ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ आगे बढ़ते हैं वह स्तंभ जिसके शीर्ष पर संख्या 9 है; इस स्तंभ और पंक्ति 35 का प्रतिच्छेदन 5551 है, इसलिए लॉग3.59 = 0.5551। चार महत्वपूर्ण अंकों वाली किसी संख्या का मंटिसा ज्ञात करने के लिए, आपको प्रक्षेप का उपयोग करना होगा। कुछ तालिकाओं में, तालिकाओं के प्रत्येक पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए अनुपात से प्रक्षेप की सुविधा होती है। आइए अब log736.4 खोजें; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच स्थित है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर एक पंक्ति मिलती है जिसके बाईं ओर 73 और स्तंभ 6 है। इस पंक्ति और इस स्तंभ के चौराहे पर है संख्या 8669। रैखिक भागों में हमें स्तंभ 4 मिलता है पंक्ति 73 और स्तंभ 4 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 2 है। 8669 में 2 जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, लॉग736.4 = 2.8671.

प्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ और गुण सामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान होते हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर कोई विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक 5.432; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 के बराबर हैं; 3.9949 और 6.2975. यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें तो इन लघुगणक के बीच संबंध स्पष्ट हो जाएगा: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्या संख्या 10 के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक कुछ नहीं है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग543.2 - लॉग5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है. लेकिन 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एआप संख्याओं के गुणनफल के बराबर संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं एकिसी भी डिग्री के लिए एनसंख्या 10 यदि एल.एन ए ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, अर्थात। एलएन( एґ10एन) = लॉग ए + एनएलएन10 = एलएन ए + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलघुगणक के बारे में बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार वे एक घातीय फ़ंक्शन या एक घातांक के बारे में बात करते हैं। अगर एक्स= लॉग य, वह य = पूर्व, और यका प्रतिपादक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफ़िक सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं य= ऍक्स्प एक्स). घातांक संख्या के प्रतिलघुगणक की भूमिका निभाता है एक्स.

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं इ. यदि लॉग करें बी ० ए = एक्स, वह बी एक्स = ए, और इसलिए लॉग करें सी बी एक्स=लॉग सीएया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग सीए, या एक्स=लॉग सीए/लकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग बी ० ए. इसलिए, आधार लघुगणक तालिका से इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करें सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलआधार से सीआधार तक बी. उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करना या लघुगणक की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण करना, सामान्य लघुगणक की तालिका से प्राकृतिक लघुगणक ढूंढना या विपरीत संक्रमण करना, कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, लॉग105.432 = लॉग इ 5.432/लॉग इ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे एक साधारण लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, सामान्य लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।

विशेष टेबल.

लघुगणक का आविष्कार मूल रूप से इसलिए किया गया था ताकि, उनके गुणों का उपयोग करके लॉग किया जा सके अब=लॉग ए+ लॉग बीऔर लॉग करें ए/बी=लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी, गुणनफल को योग में और भागफल को अंतर में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि लॉग एऔर लॉग करें बीज्ञात हैं, तो जोड़ और घटाव का उपयोग करके हम उत्पाद और भागफल का लघुगणक आसानी से पा सकते हैं। हालाँकि, खगोल विज्ञान में, अक्सर लॉग के मान दिए जाते हैं एऔर लॉग करें बीलॉग ढूंढने की आवश्यकता है( ए + बी) या लॉग( ए – बी). निःसंदेह, कोई भी सबसे पहले लघुगणक की तालिकाओं से पता लगा सकता है एऔर बी, फिर संकेतित जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं का संदर्भ लेते हुए, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं को तीन बार संदर्भित करने की आवश्यकता होगी। 1802 में जेड लियोनेली ने तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योगों और अंतरों को जोड़ने के लिए लघुगणक - जिससे स्वयं को तालिकाओं तक एक पहुंच तक सीमित करना संभव हो गया।

1624 में, आई. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक ए/एक्स, कहाँ ए– कुछ सकारात्मक स्थिरांक मान. इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।

आनुपातिक लघुगणक पर ए=1 कहलाते हैं कोलोगैरिथ्मऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफल से निपटना होता है। किसी संख्या का कोलोगैरिथ्म एनपारस्परिक संख्या के लघुगणक के बराबर; वे। कोलॉग एन= लॉग1/ एन= – लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. कोलोगारिथ्म का उपयोग करने का लाभ यह है कि जैसे भावों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पी क्यू/आरधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग करें पी+ लॉग क्यू+कोलॉग आरमिश्रित योग और अंतर लॉग की तुलना में इसे खोजना आसान है पी+ लॉग क्यू-लकड़ी का लट्ठा आर.

कहानी।

लघुगणक की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसका पता प्राचीन बेबीलोनियन गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में लगाया जा सकता है। उन दिनों, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए पूर्णांकों की सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों के तालिका मानों के बीच प्रक्षेप का उपयोग किया जाता था। बहुत बाद में, आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) ने तत्कालीन ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के कणों की संख्या की ऊपरी सीमा खोजने के लिए 108 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज़ ने घातांकों की उस संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करती है: शक्तियों का उत्पाद घातांकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और आधुनिक युग की शुरुआत में, गणितज्ञों ने तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों की ओर रुख करना शुरू कर दिया। एम. स्टिफ़ेल ने अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:

स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संख्याओं का योग नीचे की पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के उत्पाद के बराबर है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर चार नियम तैयार किए: शीर्ष रेखा पर योग नीचे की रेखा पर उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर घटाव निचली रेखा पर विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर गुणन नीचे की रेखा पर घातांक से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर विभाजन निचली रेखा पर रूटिंग से मेल खाता है।

जाहिरा तौर पर, स्टिफ़ेल के नियमों के समान नियमों ने जे. नेपर को औपचारिक रूप से अपने काम में लघुगणक की पहली प्रणाली पेश करने के लिए प्रेरित किया। लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित। लेकिन नेपियर के विचार तभी से उत्पादों को रकम में परिवर्तित करने की समस्या में व्यस्त थे, अपने काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे वेधशाला में उनके सहायकों के पास एक विधि थी जो बनाई गई थी उत्पादों को रकम में परिवर्तित करना संभव है। नेपियर को प्राप्त संदेश में चर्चा की गई विधि त्रिकोणमितीय सूत्रों के उपयोग पर आधारित थी

इसलिए नेपर की तालिकाओं में मुख्य रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लघुगणक शामिल थे। हालाँकि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, लेकिन उनके सिस्टम में लघुगणक प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7 द्वारा निभाई गई थी, जो लगभग 1/ के बराबर थी। इ.

नेपर से स्वतंत्र रूप से और लगभग उसके साथ ही, जे. बर्गी द्वारा प्राग में लघुगणक की एक प्रणाली का आविष्कार और प्रकाशन किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति तालिकाएँ. ये आधार (1 + 10 -4) ґ10 4 के प्रति लघुगणक की तालिकाएँ थीं, जो संख्या का काफी अच्छा अनुमान था इ.

नेपर प्रणाली में, संख्या 10 7 का लघुगणक शून्य माना जाता था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) ने नेपियर का दौरा किया, तो दोनों इस बात पर सहमत हुए कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना और एक के लघुगणक को शून्य मानना ​​​​अधिक सुविधाजनक होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती गईं, उनके लघुगणक भी बढ़ते गए। इस प्रकार हमने दशमलव लघुगणक की आधुनिक प्रणाली प्राप्त की, जिसकी तालिका ब्रिग्स ने अपने काम में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620). आधार के लिए लघुगणक इ, हालांकि नेपर द्वारा पेश किए गए बिल्कुल सही नहीं हैं, फिर भी उन्हें अक्सर नेपर कहा जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषतावादी" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।

पहले लघुगणक में, ऐतिहासिक कारणों से, संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग किया जाता था 1/ इऔर इ. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक का विचार हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जुड़ा होने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं सदी में यह दिखाया गया कि इस वक्र, अक्ष से घिरा क्षेत्र एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = ए(चित्र 1 में यह क्षेत्र बोल्डर और विरल बिंदुओं से ढका हुआ है) अंकगणितीय प्रगति में वृद्धि होती है जब एतेजी से बढ़ता है. यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक के साथ संचालन के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपेरियन लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने को जन्म दिया।

लघुगणकीय कार्य.

एक समय था जब लघुगणक को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के लिए धन्यवाद, एक लघुगणक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= लॉग एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2, ए. व्युत्क्रम या घातांकीय फलन का ग्राफ़ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, और जिनके भुज अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, क्रमशः चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2, बी. (वक्र य=लॉग एक्सऔर य = 10एक्सआकार में वक्र के समान य= लॉग एक्सऔर य = पूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए।

केपीआई; और, इसी तरह, संख्या -1 के प्राकृतिक लघुगणक (2) के रूप की जटिल संख्याएँ हैं क + 1)अनुकरणीय, कहाँ क- पूर्णांक। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर की पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा प्रदान की जाती है। अगर एफ(एक्स) - एक वास्तविक संख्या का निरंतर कार्य एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (पराबैंगनी) = एफ (यू) + एफ (वी), वह एफ(एक्स) को संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सपर आधारित बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।

अनुप्रयोग।

लॉगरिदम का उपयोग मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया गया था, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, घातों और मूलों की गणना न केवल लघुगणक की प्रकाशित तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कम्प्यूटेशनल उपकरण जिसका संचालन सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। रूलर लघुगणकीय पैमानों से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर होने के लिए चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लघुगणक के योग या अंतर को आलेखित करना संभव है, जिससे सीधे पैमाने से संबंधित संख्याओं के उत्पादों या भागफल को पढ़ना संभव हो जाता है। आप संख्याओं को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करने के लाभों का भी लाभ उठा सकते हैं। ग्राफ़ बनाने के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों पर लॉगरिदमिक स्केल मुद्रित होने वाला पेपर)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है y = kxn, तो इसका लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा य=लॉग क + एनलकड़ी का लट्ठा एक्स- लॉग के संबंध में समीकरण रैखिक यऔर लॉग करें एक्स. इसके विपरीत, यदि किसी कार्यात्मक निर्भरता का लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, तो यह निर्भरता एक शक्ति है। सेमी-लॉग पेपर (जहां y-अक्ष में एक लघुगणकीय पैमाना होता है और x-अक्ष में एक समान पैमाना होता है) तब उपयोगी होता है जब आपको घातीय कार्यों की पहचान करने की आवश्यकता होती है। प्रपत्र के समीकरण वाई = केबी आरएक्सयह तब घटित होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा, या बैंक बैलेंस, जनसंख्या की मात्रा, रेडियोधर्मी सामग्री, या वर्तमान में उपलब्ध धन के आनुपातिक दर से घटती या बढ़ती है। यदि ऐसी निर्भरता अर्ध-लघुगणक कागज पर अंकित की जाती है, तो ग्राफ़ एक सीधी रेखा जैसा दिखेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, मोलस्क के गोले मुड़े होते हैं नॉटिलस, पहाड़ी भेड़ के सींग और तोते की चोंच। ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल के रूप में जाने जाने वाले वक्र के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं, क्योंकि एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या एल.एन आर= लॉग ए + bq. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी ज्यामितीय प्रगति में बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है। इस तरह के वक्र की सर्वव्यापकता, और इसलिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की, इस तथ्य से अच्छी तरह से चित्रित होती है कि यह एक विलक्षण कैमरे के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में इतने दूर और पूरी तरह से अलग क्षेत्रों में होता है।