家薬

フォトニック結晶の製造方法。フォトニック結晶の数学モデルフォトニック結晶とは

イリヤ・ポリシュチュク氏、物理数理科学博士、MIPT教授、国立研究センター「クルチャトフ研究所」主任研究員

情報処理および通信システムにおけるマイクロエレクトロニクスの使用は、世界を根本的に変えました。フォトニック結晶とそれに基づくデバイスの物理分野における研究活動のブームがもたらす影響は、半世紀以上前の集積マイクロエレクトロニクスの創出に匹敵する重要性を持つことは疑いの余地がありません。新しいタイプの材料により、半導体エレクトロニクスの要素の「イメージと類似性」に光マイクロ回路を作成することが可能になり、今日フォトニック結晶で開発された、情報を送信、保存、処理する根本的に新しい方法が応用できるようになるでしょう。未来の半導体エレクトロニクスにおいて。この研究分野が世界最大の研究センター、ハイテク企業、軍産複合体において最も注目されている分野の一つであることは驚くべきことではありません。もちろんロシアも例外ではありません。さらに、フォトニック結晶は効果的な国際協力の対象となっています。例として、ロシアの Kintech Lab LLC と有名なアメリカの企業ゼネラル・エレクトリック社との間の 10 年以上にわたる協力について触れてみましょう。

フォトニック結晶の歴史

歴史的に、三次元格子上の光子散乱の理論は、フォトニック結晶のノードが原子そのものである X 線範囲にある ~0.01 ～ 1 nm の波長領域から集中的に発展し始めました。 1986年、カリフォルニア大学ロサンゼルス校のイーライ・ヤブロノビッチは、特定のスペクトル帯域の電磁波が伝播できない、通常の結晶と同様の三次元誘電体構造を作成するというアイデアを提案しました。このような構造はフォトニックバンドギャップ構造またはフォトニック結晶と呼ばれます。 5年後、このようなフォトニック結晶は、高屈折率の材料にミリメートルサイズの穴を開けることによって作られた。後にヤブロノバイトという名前が付けられたこのような人工結晶は、ミリ波放射を透過せず、実際にはバンドギャップを持つフォトニック構造を実装しました（ちなみに、フェーズドアンテナアレイも同じクラスの物理オブジェクトに分類できます）。

特定の周波数帯域の電磁波 (特に光) が 1、2、または 3 方向に伝播するフォトニック構造を使用して、これらの波を制御する光集積デバイスを作成できます。現在、フォトニック構造のイデオロギーは、非閾値半導体レーザー、希土類イオンベースのレーザー、高 Q 共振器、光導波路、スペクトルフィルター、偏光子の作成の基礎となっています。フォトニック結晶の研究は現在、ロシアを含む20カ国以上で実施されており、この分野の出版物の数、シンポジウム、科学会議、学校の数も飛躍的に増加している。

フォトニック結晶内で起こるプロセスを理解するには、フォトニック結晶を半導体結晶と比較し、電荷キャリアである電子と正孔の移動に伴う光子の伝播を比較することができます。たとえば、理想的なシリコンでは、原子はダイヤモンドのような結晶構造に配置されており、固体のバンド理論によれば、結晶全体を伝播する荷電キャリアが原子核の周期的な電場ポテンシャルと相互作用します。これが、許容バンドと禁止バンドの形成の理由です。量子力学では、バンドギャップと呼ばれるエネルギー範囲に対応するエネルギーを持つ電子の存在が禁止されています。従来の結晶と同様に、フォトニック結晶には対称性の高い単位格子構造が含まれています。さらに、通常の結晶の構造が結晶格子内の原子の位置によって決まるとすれば、フォトニック結晶の構造は媒質の誘電率の周期的な空間変調によって決まります（変調スケールは波長に匹敵します）相互作用する放射線の影響）。

光伝導体、絶縁体、半導体、超伝導体

類推を続けると、フォトニック結晶は導体、絶縁体、半導体、超伝導体に分類できます。

フォトニック導体は広い分解能帯域を持っています。これらは、光が吸収されずに長距離を伝わる透明な物体です。フォトニック結晶の別のクラスであるフォトニック絶縁体は、広いバンドギャップを持っています。この条件は、たとえば広範囲の誘電体多層膜ミラーによって満たされます。光がすぐに熱に減衰する従来の不透明媒体とは異なり、フォトニック絶縁体は光を吸収しません。フォトニック半導体に関しては、絶縁体よりもバンドギャップが狭い。

フォトニック結晶導波路は、フォトニックテキスタイルの製造に使用されます (写真)。このような繊維は登場したばかりであり、その応用分野さえまだ完全には理解されていません。たとえば、インタラクティブな衣服やソフトディスプレイの作成に使用できます。

写真: emt-photoniccrystal.blogspot.com

フォトニックバンドとフォトニック結晶の概念が光学分野で確立されたのはここ数年であるという事実にもかかわらず、屈折率の層状変化を伴う構造の特性は物理学者には長い間知られていました。このような構造の最初の実際に重要な用途の 1 つは、独自の光学特性を持つコーティングの製造でした。これは、高効率のスペクトルフィルターを作成し、光学素子 (このような光学素子はコーティングされた光学素子と呼ばれます) や反射率が近い誘電体ミラーからの不要な反射を低減するために使用されます。 100%。 1D フォトニック構造の他のよく知られた例には、分布フィードバックを備えた半導体レーザーや、物理パラメータ (プロファイルまたは屈折率) の周期的な縦変調を備えた光導波路が含まれます。

普通の水晶は、自然がとても惜しみなく私たちに与えてくれます。フォトニック結晶は自然界では非常にまれです。したがって、フォトニック結晶のユニークな特性を活用したい場合は、フォトニック結晶を成長させるためのさまざまな方法を開発する必要があります。

フォトニック結晶の成長方法

可視波長範囲での 3 次元フォトニック結晶の作成は、過去 10 年間にわたって材料科学における最優先事項の 1 つであり、ほとんどの研究者はこれに対して 2 つの根本的に異なるアプローチに焦点を当ててきました。そのうちの 1 つは、シードテンプレートメソッド、つまりテンプレートメソッドを使用します。この方法は、合成されたナノシステムの自己組織化のための前提条件を作成します。 2番目の方法はナノリソグラフィーです。

最初のグループの方法の中で最も広く普及しているのは、周期的な細孔を持つ固体を作成するためのテンプレートとして単分散コロイド球を使用する方法です。これらの方法により、金属、非金属、酸化物、半導体、ポリマーなどをベースとしたフォトニック結晶を得ることが可能になります。最初の段階では、同様のサイズのコロイド球が 3 次元 (場合によっては 2 次元) フレームワークの形で均一に「詰め込まれ」、その後、天然オパールの類似物であるテンプレートとして機能します。第 2 段階では、テンプレート構造の空隙に液体が含浸され、その後、さまざまな物理化学的影響を受けて固体のフレームに変わります。テンプレートの空隙を物質で充填する他の方法には、電気化学的方法または CVD (化学蒸着) 法のいずれかがあります。

最終段階では、テンプレート (コロイド球) がその性質に応じて溶解または熱分解プロセスを使用して除去されます。得られた構造は、元のコロイド結晶の逆レプリカ、または「逆オパール」と呼ばれることがよくあります。

実際に使用するには、フォトニック結晶の無欠陥領域が 1000 μm2 を超えてはなりません。したがって、石英とポリマーの球状粒子の秩序の問題は、フォトニック結晶を作成する際に最も重要な問題の 1 つです。

2 番目のグループの方法では、一光子フォトリソグラフィーと二光子フォトリソグラフィーにより、200 nm の解像度で 3 次元フォトニック結晶を作成でき、一光子フォトリソグラフィーと二光子フォトリソグラフィーにより、一光子フォトリソグラフィーと二光子フォトリソグラフィーにより、1 光子フォトリソグラフィーと 2 光子フォトリソグラフィーに敏感なポリマーなどの一部の材料の特性を利用できます。二光子照射があり、この放射線にさらされると特性が変化する可能性があります。電子ビームリソグラフィーは、高価ではありますが、高速で 2 次元フォトニック結晶を製造する方法です。この方法では、電子ビームにさらされると特性が変化するフォトレジストの特定の位置にビームが照射されて空間マスクが形成されます。照射後、フォトレジストの一部は洗い流され、残った部分は次の技術サイクルでエッチングのマスクとして使用されます。この方法の最大分解能は 10nm です。イオンビームリソグラフィーも原理的には同様ですが、電子ビームの代わりにイオンビームが使用されます。電子ビームリソグラフィに対するイオンビームリソグラフィの利点は、フォトレジストが電子ビームよりもイオンビームに対して敏感であることと、電子ビームリソグラフィでは可能な最小領域サイズを制限する「近接効果」がないことです。

フォトニック結晶を成長させる他の方法についてもいくつか触れてみましょう。これらには、フォトニック結晶の自発的形成方法、エッチング方法、およびホログラフィック方法が含まれる。

フォトニックの未来

予測を立てることは危険であると同時に誘惑的でもあります。しかし、フォトニック結晶デバイスの将来についての予測は非常に楽観的です。フォトニック結晶の利用範囲は事実上無尽蔵です。現在、フォトニック結晶のユニークな特徴を利用したデバイスや材料がすでに世界市場に登場しています（あるいは近い将来登場する予定です）。これらはフォトニック結晶を備えたレーザー (低閾値レーザーおよび無閾値レーザー) です。フォトニック結晶に基づく導波路（従来のファイバと比較してよりコンパクトで損失が低い）。負の屈折率を持つ材料により、光を波長より小さい点に集中させることが可能になります。物理学者の夢はスーパープリズムです。光ストレージおよび論理デバイス。フォトニック結晶に基づいたディスプレイ。フォトニック結晶は色の操作も行います。赤外線から紫外線まで、高いスペクトル範囲を備えたフォトニック結晶上の折り曲げ可能な大型ディスプレイがすでに開発されており、各ピクセルはフォトニック結晶であり、厳密に定義された方法で空間に配置されたシリコン微小球のアレイです。光超伝導体が作成されています。このような超伝導体を使用して光学温度センサーを作成すると、高周波で動作し、光絶縁体や半導体と組み合わせることができます。

人類は依然としてフォトニック結晶の技術的利用を計画していますが、シーマウス (Aphrodite aculeata) は長い間フォトニック結晶を実際に使用してきました。この虫の毛皮には顕著な虹色現象があり、赤から緑、青までの可視スペクトル領域全体で 100% に近い効率で光を選択的に反射することができます。このような特殊な「オンボード」光コンピュータは、このワームが深さ 500 m まで生き延びるのに役立ちます。人間の知性は、フォトニック結晶のユニークな特性を利用する上でさらに前進すると言っても過言ではありません。

膨大な数の著作、そして最近では単行本が、フォトニック結晶の異常な特性に特化しています。フォトニック結晶とは、誘電パラメータ (屈折率を意味します) の周期的な変化により、伝播する電磁波 (光) の特性が実際の結晶内を伝播する電子の特性に類似する人工媒体であることを思い出してください。したがって、「フォトニック結晶」という用語は、光子と電子の類似性を強調しています。光子の特性を量子化すると、フォトニック結晶内を伝播する電磁波のスペクトルに、光子の状態密度がゼロとなる禁制帯が現れる可能性があるという事実が得られます。

絶対バンドギャップを持つ3次元フォトニック結晶は、マイクロ波領域の電磁波に対して初めて実現されました。絶対バンドギャップの存在は、特定の周波数帯域の電磁波が特定の結晶中をどの方向にも伝播できないことを意味します。これは、この周波数帯域に対応するエネルギーを持つ光子の状態密度が結晶内のどの点でもゼロであるためです。実際の結晶と同様に、フォトニック結晶は、バンドギャップの存在と特性の観点から、導体、半導体、絶縁体、超伝導体になることができます。フォトニック結晶のバンドギャップに「欠陥」がある場合、半導体のバンドギャップにある対応する不純物によって電子または正孔が捕獲されるのと同様に、フォトンは「欠陥」によって「捕獲」される可能性があります。。

このようにバンドギャップ内にエネルギーを持った伝播波を欠陥モードと呼びます。

フォトニック結晶メタマテリアルの屈折

すでに述べたように、フォトニック結晶の異常な特性は、結晶の基本セルの寸法がその中を伝播する波の長さと同じである場合に観察されます。可視光領域における理想的なフォトニック結晶は、サブミクロン技術を使用しなければ製造できないことは明らかです。現代の科学技術のレベルでは、このような三次元結晶を作成することが可能です。

フォトニック結晶の用途は、光アイソレータ、光ゲート、スイッチ、マルチプレクサなど、非常に多岐にわたります。実用的な観点から非常に重要な構造の1つはフォトニック結晶光ファイバーです。それらはまず、高密度パックに集められたガラス毛細管のセットから作られ、次に従来のフードに掛けられました。その結果、特徴的なサイズが約 1 ミクロンで規則的に配置された穴を含む光ファイバーが完成しました。その後、さまざまな構成と異なる特性を備えた光学フォトニック結晶ライトガイドが得られました（図9）。

フォトニック結晶ライトガイドを作成するための新しい穴あけ方法が、無線工学および電子研究所とロシア科学アカデミーの光ファイバー科学センターで開発されました。まず、厚い石英ワークピースに任意の母材を備えた機械的な穴を開け、次にワークピースを絞り加工します。その結果、高品質のフォトニック結晶ファイバーが誕生しました。このような光ガイドでは、さまざまな形状やサイズの欠陥を簡単に作成できるため、その中でいくつかの光モードが同時に励起される可能性があり、その周波数はフォトニック結晶のバンドギャップ内にあります。特に欠陥は中空チャネルの形をとることがあり、そのため光は石英内ではなく空気中を伝播するため、フォトニック結晶ライトガイドの長いセクションでの損失を大幅に減らすことができます。フォトニック結晶ライトガイド内での可視光および赤外放射の伝播には、ラマン散乱、高調波混合、高調波生成などのさまざまな物理現象が伴い、最終的にはスーパーコンティニュームの生成につながります。

物理的効果と応用の可能性を研究するという観点から見ても、同様に興味深いのは、1 次元および 2 次元のフォトニック結晶です。厳密に言えば、これらの構造はフォトニック結晶ではありませんが、電磁波が特定の方向に伝播する場合、フォトニック結晶であると考えることができます。典型的な一次元フォトニック結晶は、屈折率が大きく異なる少なくとも 2 つの物質の層からなる多層周期構造です。電磁波が法線に沿って伝播すると、そのような構造では特定の周波数のバンドギャップが現れます。構造の層の 1 つが他の層とは異なる屈折率を持つ物質で置き換えられるか、1 つの層の厚さが変更されると、その層はバンドギャップ内の周波数の波を捕捉できる欠陥になります。。

誘電体非磁性構造に磁気欠陥層が存在すると、その構造内を伝播する波のファラデー回転が倍増して、媒体の光透過性が増加します。

一般的に言えば、フォトニック結晶に磁性層が存在すると、主にマイクロ波領域でその特性が大きく変化する可能性があります。実際のところ、マイクロ波領域では、特定の周波数帯域における強磁性体の透磁率が負であるため、メタマテリアルの作成での使用が容易になります。このような物質を金属非磁性層、または個々の導体または導体の周期的構造からなる構造と結合させることにより、負の値の磁気定数および誘電率を有する構造を生成することが可能である。その一例は、ロシア科学アカデミーの無線工学電子研究所で作成された、静磁スピン波の「負の」反射と屈折を検出するように設計された構造です。この構造は、表面に金属導体を備えたイットリウム鉄ガーネットの膜です。強磁性薄膜中を伝播する静磁気スピン波の特性は、外部磁場に強く依存します。一般に、このような波のタイプの 1 つは後進波であるため、このタイプの波の波ベクトルとポインティングベクトルのスカラー積は負になります。

フォトニック結晶における逆方向波の存在は、結晶自体の特性の周期性にも起因します。特に、波数ベクトルが最初のブリルアンゾーンにある波については、直接波の場合と同様に、また、同じ波が 2 番目のブリルアンゾーンにある場合、つまり後方波の場合と同様に、伝播条件を満たすことができます。メタマテリアルと同様に、フォトニック結晶も伝播波において「負の」屈折などの異常な特性を示すことがあります。

ただし、フォトニック結晶は、マイクロ波領域だけでなく光周波数領域でも「負の」屈折現象が発生するメタマテリアルとなる可能性があります。実験では、ブリルアンゾーンの中心付近の最初のバンドギャップの周波数よりも高い周波数の波に対するフォトニック結晶における「負の」屈折の存在が確認されています。これは、負の群速度の影響と、その結果としての波の負の屈折率によるものです。実際、この周波数範囲では波が反転します。

フォトニック結晶 (PC) は、空間内の誘電率の周期的変化を特徴とする構造です。 PC の光学特性は、連続メディアの光学特性とは大きく異なります。フォトニック結晶内の放射線の伝播は、媒体の周期性により、周期的なポテンシャルの影響下にある通常の結晶内の電子の動きと同様になります。その結果、フォトニック結晶中の電磁波は、通常の結晶中の電子のブロッホ波と同様のバンドスペクトルと座標依存性を持ちます。特定の条件下では、天然結晶の禁制電子バンドと同様に、PC のバンド構造にギャップが形成されます。特定の特性 (要素の材質、サイズ、格子周期) に応じて、偏光と方向に関係なく放射線の伝播が不可能な完全に禁止された周波数ゾーンと、部分的に禁止された周波数ゾーン (ストップゾーン) の両方が決まります。選択した方向でのみ可能です。

フォトニック結晶は、基本的な観点からも、数多くの応用分野からも興味深いものです。フォトニック結晶に基づいて、光フィルター、導波路（特に光ファイバー通信回線）、および熱放射の制御を可能にするデバイスが作成および開発されており、励起閾値を低減したレーザー設計がフォトニック結晶に基づいて提案されています。

反射、透過、吸収スペクトルの変化に加えて、金属誘電体フォトニック結晶は特定のフォトニック状態密度を持っています。状態密度の変化は、フォトニック結晶内に配置された原子または分子の励起状態の寿命に大きく影響し、その結果、発光の特性が変化する可能性があります。たとえば、フォトニック結晶内に位置する指示薬分子の遷移周波数がバンドギャップ内に収まる場合、この周波数での発光は抑制されます。

FC は、1 次元、2 次元、3 次元の 3 つのタイプに分類されます。

1次元、2次元、3次元のフォトニック結晶。異なる色は、異なる誘電率を持つ材料に対応します。

異なる材料で作られた交互の層を備えた FC は 1 次元です。

ブラッグ多層膜ミラーとしてレーザーに使用される 1 次元 PC の電子像。

2 次元 PC は、より多様な形状を持つことができます。これらには、たとえば、無限長の円柱の配列 (横方向のサイズが縦方向のサイズよりもはるかに小さい) や円柱状の穴の周期的なシステムが含まれます。

三角格子を持つ 2 次元の順方向および逆方向のフォトニック結晶の電子画像。

3 次元 PC の構造は非常に多様です。このカテゴリーで最も一般的なのは人工オパール、つまり球状ディフューザーの規則正しいシステムです。オパールには、ダイレクトオパールとインバースオパールの 2 つの主なタイプがあります。ダイレクトオパールからリバースオパールへの移行は、すべての球状要素を空洞 (通常は空気) に置き換えることによって実行され、これらの空洞の間の空間は何らかの材料で満たされます。

以下は、自己組織化された球状ポリスチレン微粒子をベースとした立方格子を持つストレートオパールである PC の表面です。

自己組織化された球状ポリスチレン微粒子をベースとした立方格子を備えた PC の内面。

次の構造は、多段階の化学プロセスの結果として合成された逆オパールです。ポリマー球状粒子の自己集合、得られた材料の空隙への物質の含浸、化学エッチングによるポリマーマトリックスの除去です。

石英の逆オパールの表面。写真は走査型電子顕微鏡を使用して取得されました。

別のタイプの 3 次元 PC は、直方体を通常は直角に交差させて形成される丸太型構造です。

金属直方体で作られたFCの電子写真。

製造方法

FC の実際の使用は、FC を製造するための普遍的で簡単な方法が存在しないため、大幅に制限されています。現在、FC を作成するためのいくつかのアプローチが実装されています。 2 つの主なアプローチを以下に説明します。

1 つ目は、いわゆる自己組織化または自己集合法です。フォトニック結晶の自己組織化では、液体中に存在し、液体が蒸発すると体積内に沈降するコロイド粒子 (最も一般的なのは単分散シリコン粒子またはポリスチレン粒子) を使用します。それらが互いに「堆積」すると、三次元 PC が形成され、条件に応じて面心立方晶または六方晶系の結晶格子に整列します。この方法は非常に時間がかかり、FC の形成には数週間かかる場合があります。その欠点には、堆積プロセス中に発生する欠陥の割合が十分に制御されていないことも含まれます。

自己組織化法の一種にいわゆるハニカム法がある。この方法では、粒子を含む液体を小さな細孔を通して濾過し、これらの細孔を通る液体の流れの速度によって決定される速度で PC を形成できます。従来の蒸着法と比較して、この方法ははるかに高速ですが、使用時の欠陥の割合が高くなります。

記載された方法の利点には、大きなサイズの PC サンプル (面積が数平方センチメートルまで) の形成が可能になるという事実が含まれます。

PCの製造方法として2番目にポピュラーなのがエッチング法です。 2D PC の製造には、通常、さまざまなエッチング方法が使用されます。これらの方法は、誘電体または金属の表面上に形成され、エッチング領域の幾何学的形状を画定するフォトレジストマスク（例えば、半球の配列を画定する）の使用に基づいている。このマスクは、標準的なフォトリソグラフィー法を使用して作成でき、その後フォトレジストを使用してサンプル表面を化学エッチングします。したがって、この場合、フォトレジストが存在する領域ではフォトレジスト表面のエッチングが発生し、フォトレジストのない領域では誘電体または金属のエッチングが発生する。このプロセスは、所望のエッチング深さに達するまで継続され、その後フォトレジストが洗い流されます。

この方法の欠点は、フォトリソグラフィープロセスを使用することですが、その最良の空間解像度はレイリー基準によって決まります。したがって、この方法は、通常スペクトルの近赤外領域にあるバンドギャップを持つ PC の作成に適しています。ほとんどの場合、必要な解像度を達成するには、フォトリソグラフィーと電子ビームリソグラフィーを組み合わせて使用します。この方法は、高価ではありますが、疑似 2 次元 PC を製造するための精度の高い方法です。この方法では、電子ビームにさらされると特性が変化するフォトレジストを特定の位置に照射して空間マスクを形成します。照射後、フォトレジストの一部は洗い流され、残った部分は次の技術サイクルでエッチングのマスクとして使用されます。この方法の最大分解能は約 10 nm です。

電気力学と量子力学の類似点

マクスウェル方程式の解は、線形媒体の場合、自由電荷と電流源がない場合、周波数に応じた複素振幅を持つ時間調和関数の重ね合わせとして表すことができます。、ここで、またはのいずれかがあります。

フィールドは実数であるため、とは正の周波数で時間調和した関数の重ね合わせとして書くことができます。

調和関数を考慮すると、時間微分を含まないマクスウェル方程式の周波数形式に進むことができます。

ここで、これらの方程式に含まれる場の時間依存性は、として表されます。媒体は等方性であり、透磁率はであると仮定します。

場を明示的に表現し、方程式の両側からローターを取り出し、2 番目の方程式を最初の方程式に代入すると、次の結果が得られます。

ここで、は真空中の光の速度です。

言い換えれば、固有値の問題が生じます。

オペレーターにとって

ここで、依存関係は検討中の構造によって決まります。

結果の演算子の固有関数 (モード) は条件を満たさなければなりません。

として位置

この場合、ローターの発散は常にゼロであるため、条件は自動的に満たされます。

演算子は線形です。これは、同じ周波数を持つ固有値問題の解の線形結合も解になることを意味します。この場合、演算子はエルミート関数である、つまり任意のベクトル関数に対してであることがわかります。

ここで、スカラー積は次のように定義されます。

演算子はエルミートであるため、その固有値は実数であることになります。 0" align="absmiddle"> では、固有値は負ではないため、周波数は実数であることもわかります。

異なる周波数に対応する固有関数のスカラー積は常に 0 に等しくなります。周波数が等しい場合、これは必ずしも当てはまりませんが、常に、互いに直交する固有関数の線形結合のみを使用できます。さらに、互いに直交するエルミート演算子の固有関数から基底を構築することも常に可能です。

逆に、場をで表現すると、一般化された固有値問題が得られます。

この場合、方程式の両側に演算子がすでに存在します (方程式の左側の演算子で除算すると、非エルミートになります)。場合によっては、この定式化の方が便利です。

方程式内の固有値を置き換える場合、新しい解は周波数に対応することに注意してください。この事実はスケーラビリティと呼ばれ、実用上非常に重要です。ミクロンオーダーの特徴的な寸法を持つフォトニック結晶の製造は技術的に困難です。ただし、テスト目的であれば、センチメートルモードで動作する、センチメートルオーダーの周期と素子サイズを持つフォトニック結晶のモデルを作成することが可能です（この場合、センチメートルの周波数範囲では、シミュレートされた材料とほぼ同じ誘電率を持ちます)。

上記の理論と量子力学を類似させてみましょう。量子力学では、複素数値をとるスカラー波動関数を考慮します。電気力学ではベクトルであり、複雑な依存関係は便宜上のみ導入されています。この事実の結果、特に、電子のバンド構造とは対照的に、フォトニック結晶内の光子のバンド構造は、異なる偏光を有する波ごとに異なることになる。

量子力学と電気力学の両方で、エルミート演算子の固有値の問題が解決されます。量子力学では、エルミート演算子は観測可能な量に対応します。

そして最後に、量子力学では、演算子が和として表される場合、固有値方程式の解は次のように書くことができます。つまり、問題は 3 つの 1 次元方程式に分割されます。電気力学では、オペレーターは 3 つの座標すべてを「接続」するため、たとえそれらが離れていたとしても、これは不可能です。このため、電気力学では、非常に限られた数の問題に対してのみ解析的解決策を利用できます。特に、PC のバンドスペクトルの正確な解析ソリューションは、主に 1 次元 PC に対して見つかります。このため、フォトニック結晶の特性を計算する際に数値モデリングが重要な役割を果たします。

ゾーン構造

フォトニック結晶は、関数の周期性によって特徴付けられます。

任意の翻訳ベクトル。次のように表されます。

ここで、はプリミティブ変換ベクトル、は整数です。

ブロッホの定理により、演算子の固有関数は、FC と同じ周期性を持つ関数を掛けた平面波の形状を持つように選択できます。

ここで、は周期関数です。この場合、値は最初のブリルアンゾーンに属するように選択できます。

この式を定式化された固有値問題に代入すると、固有値方程式が得られます。

固有関数は周期的であり、条件を満たさなければなりません。

各ベクトル値は、離散的な周波数のセットを持つモードの無限のセットに対応することがわかります。これらの周波数には、インデックスを使用して昇順に番号を付けます。演算子はに継続的に依存するため、固定インデックスの周波数も継続的に依存します。連続した関数の集合が PC のバンド構造を構成します。 PC のバンド構造を研究すると、その光学特性に関する情報を得ることができます。 FC に追加の対称性が存在すると、既約と呼ばれるブリルアンゾーンの特定の部分領域に制限することができます。この既約ゾーンに属するの解は、ブリルアンゾーン全体の解を再現します。

左：正方格子に詰め込まれた円柱からなる2次元フォトニック結晶。右: 正方格子に対応する最初のブリルアンゾーン。青い三角形は既約ブリルアンゾーンに対応します。 G, Mそしてバツ- 正方格子の対称性の高い点。

波数ベクトルの実際の値に対応するモードがない周波数間隔は、バンドギャップと呼ばれます。このようなゾーンの幅は、フォトニック結晶の誘電率のコントラスト（フォトニック結晶の構成元素の誘電率の比）が増加するにつれて増加する。このようなフォトニック結晶内でバンドギャップ内にある周波数の放射線が発生した場合、その中を伝播することはできません（波数ベクトルの複素数値に相当します）。このような波の振幅は結晶内で指数関数的に減衰します (エバネッセント波)。これは、フォトニック結晶の特性の 1 つである自然放出を制御する (特にその抑制) 能力の基礎です。このような放射線が外部からフォトニック結晶に入射すると、フォトニック結晶から完全に反射されます。この効果は、反射フィルタ、および高反射壁を備えた共振器や導波路にフォトニック結晶を使用するための基礎となります。

一般に、低周波数モードは主に誘電率の高い層に集中し、高周波数モードは主に誘電率の低い層に集中します。したがって、最初のゾーンは誘電体と呼ばれることが多く、その次のゾーンは空気と呼ばれます。

層に垂直な波の伝播に対応する 1 次元 PC のバンド構造。 3 つのケースすべてで、各層の厚さは 0.5 です。ある、どこある・FC期間。左: 各層の誘電率は同じです ε = 13. 中央: 交互層の誘電率には値があります ε = 12 および ε = 13. 右: ε = 1 および ε = 13.

次元が 3 未満の PC の場合、すべての方向に対して完全なバンドギャップは存在しません。これは、PC が均一である 1 つまたは 2 つの方向が存在するためです。直観的には、これは、これらの方向に沿って波がバンドギャップの形成に必要な多重反射を受けないという事実によって説明できます。

それにもかかわらず、PC に入射する波をあらゆる角度で反射する 1 次元 PC を作成することは可能です。

周期を持つ一次元PCのバンド構造ある、交互の層の厚さは 0.2 です。あると0.8 ある、それらの誘電率は ε = 13 および ε = 1 となります。図の左側の部分は、層 (0、0、0) に垂直な波の伝播方向に対応します。 k z)、右側 - レイヤーに沿った方向 (0、 k y、0)。禁制帯は層に垂直な方向にのみ存在します。ときは注意してください。 k y > 0 の場合、2 つの異なる偏光に対して縮退が除去されます。

以下は、オパールの形状を有する PC のバンド構造です。この PC は、約 1.5 μm の波長で完全なバンドギャップと 1 つのストップバンドを持ち、波長 2.5 μm で反射最大値を持つことがわかります。逆オパールの製造段階の 1 つでシリコンマトリックスのエッチング時間を変更し、それによって球の直径を変えることにより、特定の波長範囲でバンドギャップを局所化することができます。著者らは、同様の特性を持つ構造が通信技術でも使用できることに注目しています。バンドギャップ周波数の放射は PC ボリューム内に局在化することができ、必要なチャネルが提供されると、実質的に損失なく伝播できます。このようなチャネルは、例えば、特定の線に沿ってフォトニック結晶の要素を除去することによって形成することができる。チャネルが曲がると、電磁波も進行方向を変え、チャネルの形状を繰り返します。したがって、このような PC は、発光デバイスと信号を処理する光学マイクロチップ間の伝送ユニットとして使用されることが想定されています。

実験的に測定された GL 方向の反射率スペクトルと、面心立方格子を持つ逆シリコン (Si) オパールの平面波展開法によって計算されたバンド構造の比較 (最初のブリルアンゾーンが挿入図に示されています)。シリコンの体積分率は 22%。格子周期 1.23 μm

一次元 PC の場合、最小の誘電率コントラストでもバンドギャップを形成するには十分です。三次元誘電体 PC についても、同様の結論を導くことができるようです。つまり、ブリルアンゾーンの境界にベクトルが存在する場合、たとえ誘電率のコントラストがどれほど小さくても、完全なバンドギャップが存在すると仮定することになります。はすべての方向で同一の弾性率を持ちます (球面ブリルアンゾーンに相当します)。しかし、球状のブリルアンゾーンを持つ三次元結晶は自然界には存在しません。一般に、それはかなり複雑な多角形の形状をしています。したがって、異なる周波数では異なる方向のバンドギャップが存在することがわかります。誘電体のコントラストが十分に大きい場合にのみ、異なる方向のストップバンドが重なり、すべての方向に完全なバンドギャップを形成できます。球面に最も近い (したがって、ブロッホベクトルの方向から最も独立している) のは、面心立方晶 (FCC) およびダイヤモンド格子の最初のブリルアンゾーンであり、このような構造を持つ 3 次元 PC は、全体の形成に最も適しています。スペクトルのバンドギャップ。同時に、このような PC のスペクトルに完全なバンドギャップが現れるには、大きな誘電率コントラストが必要です。相対的なスリット幅をと表すと、5\%" align="absmiddle"> の値を達成するには、ダイヤモンドと fcc 格子にそれぞれコントラストが必要です。さまざまな用途でフォトニック結晶スペクトルのバンドギャップを使用するには、実験で得られたすべての PC は不完全であり、構造内の欠陥によってバンドギャップが大幅に減少する可能性があることに留意して、バンドギャップを十分に広くできる必要があります。

立方体の面心格子の最初のブリルアンゾーンと高い対称性の点。

結論として、固体のバンド構造を考えるとき、PC の光学特性と量子力学における電子の特性の類似性にもう一度注目してみましょう。ただし、光子と電子の間には大きな違いがあります。電子は相互に強い相互作用を持っています。したがって、「電子」問題では、原則として、問題の次元が大幅に増大する多電子効果を考慮する必要があり、そのため精度が不十分な近似の使用を余儀なくされることがよくありますが、PC では非線形光学応答が無視できる要素で構成されます。、この困難はありません。

現代の光学における有望な方向性は、フォトニック結晶を使用した放射線制御です。特に、サンディア研究所は、金属フォトニック結晶の近赤外領域で高い発光選択性を実現しながら、同時に中赤外領域での強い発光を抑制するログパイル型フォトニック結晶の研究を行っています（<20мкм). В этих работах было показано, что для таких ФК излучение в среднем ИК диапазоне сильно подавлено из-за наличия в спектре ФК полной фотонной щели. Однако качество полной фотонной щели падает с ростом температуры из-за увеличения поглощения в вольфраме, что приводит к низкой селективности излучения при высоких температурах.

熱平衡における放射に関するキルヒホッフの法則によれば、灰色の物体 (または表面) の放射率はその吸収率に比例します。したがって、金属 PC の放射率に関する情報を得るには、その吸収スペクトルを調べることができます。 PCを含む可視領域(nm)での発光構造の高い選択性を達成するには、可視領域での吸収が高く、IRでの吸収が抑制される条件を選択する必要があります。

私たちの研究 http では、格子周期、タングステン要素のサイズ、層の数など、すべての幾何学的パラメータが変化したときの、タングステン要素とオパール幾何学構造を備えたフォトニック結晶の吸収スペクトルの変化を詳細に分析しました。フォトニック結晶サンプル。また、フォトニック結晶の製造中に生じる欠陥が吸収スペクトルに与える影響についても解析を行った。

2014 G.