Logaritmalar aynı üslerle nasıl karşılaştırılır? Logaritmalar: örnekler ve çözümler. Üslü logaritmadan çıkarma

Logaritmaların ne zaman karşılaştırılacağı sorusuyla ilgili bölümde....(+)? yazar tarafından verilmiştir Ele en iyi cevap Veya bunu tek bir tabana indirgeyemezsiniz, ancak logaritmik fonksiyonun özelliklerini kullanabilirsiniz.
Logaritmik bir fonksiyonun tabanı 1'den büyükse fonksiyon artar ve x > 1 için taban ne kadar küçükse grafik o kadar yüksekte yer alır,
0 için< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve 1'den küçükse fonksiyon azalandır,
Ayrıca x > 1 için taban ne kadar küçükse grafik de o kadar yüksek olur,
0 için< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Bu şekilde ortaya çıkacak:

Yanıtlayan: sıska[guru]
Logaritmaları aynı tabana (örneğin bir doğal sayıya) indirgeyin ve ardından karşılaştırın.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Yanıtlayan: Nöropatolog[guru]
Yeni bir tabana geçmek için şu formülü kullanın: log(a)b=1/log(b)a.
Daha sonra logaritma gibi kesirlerin paydalarını aynı tabanla karşılaştırın.
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan kesir daha büyüktür.
Örneğin log(7)16 ve log(3)16
1/log(16)7 ve 1/log(16)3
log(16)7>log(16)3 olduğundan 1/log(16)7 olur< 1/log(16)3.

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: log A X ve kayıt A sen. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

1. kayıt A X+ günlük A sen=günlük A (X · sen);
2. kayıt A X- günlük A sen=günlük A (X : sen).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log 2 48 – log 2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log 3 135 – log 3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde tüm bu kurallar anlamlıdır: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde de uygulamayı öğrenin; Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

[Resmin başlığı]

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Sahibiz:

[Resmin başlığı]

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritma günlüğü verilsin A X. Daha sonra herhangi bir sayı için Cöyle ki C> 0 ve C≠ 1, eşitlik doğrudur:

[Resmin başlığı]

Özellikle şunu koyarsak C = X, şunu elde ederiz:

[Resmin başlığı]

İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

[Resmin başlığı]

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

[Resmin başlığı]

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

[Resmin başlığı]

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, sayı N argümandaki duruş derecesinin bir göstergesi haline gelir. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna denir: temel logaritmik özdeşlik.

Aslında sayı gelse ne olur? Böyle bir güce yükseltin ki sayı B bu güce sayıyı verir A? Bu doğru: aynı numarayı alıyorsunuz A. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

[Resmin başlığı]

Log 25 64 = log 5 8'in basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

[Resmin başlığı]

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak sorunlarla karşılaşıyorlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri düzey" öğrenciler için bile sorunlar yaratıyorlar.

1. kayıt A A= 1 logaritmik bir birimdir. Bir kez ve tamamen hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan itibaren bire eşittir.
2. kayıt A 1 = 0 logaritmik sıfırdır. Temel A Herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir tane içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü A 0 = 1 tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Denklemleri ve eşitsizlikleri ve modüllerle ilgili problemleri çözerken, bulunan kökleri sayı doğrusuna yerleştirmeniz gerekir. Bildiğiniz gibi bulunan kökler farklı olabilir. Şu şekilde olabilirler: , veya şu şekilde olabilirler: , .

Buna göre sayılar rasyonel değil de irrasyonel ise (ne olduğunu unuttuysanız konuya bakın) veya karmaşık matematiksel ifadeler ise bunları sayı doğrusuna yerleştirmek oldukça sorunludur. Üstelik sınav sırasında hesap makinesi kullanamazsınız ve yaklaşık hesaplamalar bir sayının diğerinden küçük olduğunu %100 garanti etmez (ya karşılaştırılan sayılar arasında fark varsa?).

Elbette, pozitif sayıların her zaman negatif olanlardan daha büyük olduğunu ve bir sayı ekseni hayal edersek, karşılaştırma yaparken en büyük sayıların en küçük sayılara göre sağda olacağını biliyorsunuz: ; ; vesaire.

Ama her şey her zaman bu kadar kolay mıdır? Sayı doğrusunda işaretlediğimiz yer, .

Örneğin bir sayıyla nasıl karşılaştırılabilirler? Bu sürtüşme...)

Öncelikle nasıl ve neyi karşılaştıracağımızı genel hatlarıyla konuşalım.

Önemli: Eşitsizlik işaretinin değişmeyeceği şekilde dönüşüm yapılması tavsiye edilir! Yani, dönüşümler sırasında negatif bir sayıyla çarpmak istenmez ve yasaktır parçalardan biri negatifse kare.

Kesirlerin karşılaştırılması

Bu yüzden iki kesri karşılaştırmamız gerekiyor: ve.

Bunun nasıl yapılacağına dair birkaç seçenek var.

Seçenek 1. Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

Bunu sıradan bir kesir şeklinde yazalım:

- (gördüğünüz gibi pay ve paydayı da azalttım).

Şimdi kesirleri karşılaştırmamız gerekiyor:

Artık iki şekilde karşılaştırmaya devam edebiliriz. Yapabiliriz:

1. her iki kesri de uygunsuz olarak sunarak her şeyi ortak bir paydaya getirin (pay, paydadan büyüktür):

   Hangi sayı daha büyük? Doğru, payı daha büyük olan, yani ilki.

2. “haydi atalım” (her kesirden bir tane çıkardığımızı ve buna göre kesirlerin birbirine oranının değişmediğini düşünün) ve kesirleri karşılaştırın:

   Bunları da ortak bir paydada buluşturuyoruz:

   Önceki durumdakiyle tamamen aynı sonucu elde ettik; ilk sayı ikinciden daha büyük:

   Bir de doğru çıkarmış mıyız diye kontrol edelim mi? Birinci hesaplama ile ikinci hesaplamadaki pay farkını hesaplayalım:
   1)
   2)

Kesirleri nasıl karşılaştıracağımızı ve onları ortak bir paydaya nasıl getireceğimizi düşündük. Başka bir yönteme geçelim - kesirleri karşılaştırmak, onları ortak bir paya getirmek.

Seçenek 2. Kesirleri ortak bir paya indirgeyerek karşılaştırma.

Evet evet. Bu bir yazım hatası değil. Bu yöntem okulda kimseye nadiren öğretilir, ancak çoğu zaman çok uygundur. Özünü hızlı bir şekilde anlamanız için size yalnızca bir soru soracağım - "hangi durumlarda bir kesrin değeri en büyüktür?" Tabii “pay mümkün olduğu kadar büyük, payda mümkün olduğu kadar küçük olduğunda” diyeceksiniz.

Örneğin, bunun kesinlikle doğru olduğunu söyleyebilir misiniz? Aşağıdaki kesirleri karşılaştırmamız gerekirse: ? Ayrıca işareti hemen doğru bir şekilde koyacağınızı düşünüyorum, çünkü ilk durumda parçalara, ikincisinde ise bütünlere bölünürler, bu da ikinci durumda parçaların çok küçük olduğu anlamına gelir ve buna göre: . Gördüğünüz gibi buradaki paydalar farklı ama paylar aynı. Ancak bu iki kesri karşılaştırmak için ortak bir payda aramanıza gerek yok. Yine de... onu bulun ve karşılaştırma işaretinin hâlâ yanlış olup olmadığına bakın?

Ama işaret aynı.

Asıl görevimize dönelim - karşılaştırın ve... Karşılaştıracağız ve... Bu kesirleri ortak bir paydaya değil, ortak bir paya indirgeyelim. Bunu basitçe yapmak için pay ve payda ilk kesri ile çarpın. Şunu elde ederiz:

Ve. Hangi kesir daha büyük? Doğru, ilki.

Seçenek 3: Çıkarma işlemini kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Çıkarma işlemi kullanılarak kesirler nasıl karşılaştırılır? Evet, çok basit. Bir kesirden diğerini çıkarıyoruz. Sonuç pozitifse, ilk kesir (eksi) ikinciden (çıkarılan) daha büyüktür ve eğer negatifse, o zaman tam tersi.

Bizim durumumuzda, ilk kesiri ikinciden çıkarmaya çalışalım: .

Zaten anladığınız gibi, sıradan bir kesire de dönüştürüyoruz ve aynı sonucu elde ediyoruz - . İfademiz şu şekli alır:

Daha sonra yine de ortak bir paydaya indirgemeye başvurmak zorunda kalacağız. Soru şu: ilk olarak kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürmek mi, yoksa ikinci şekilde sanki birimi "çıkarmak" gibi mi? Bu arada, bu eylemin tamamen matematiksel bir gerekçesi var. Bakmak:

İkinci seçeneği daha çok seviyorum çünkü ortak bir paydaya indirgendiğinde payı çarpmak çok daha kolay oluyor.

Ortak paydada buluşturalım:

Burada asıl önemli olan hangi sayıdan, nereden çıkardığımız konusunda kafanızın karışmamasıdır. Çözümün ilerleyişine dikkatlice bakın ve kazara işaretleri karıştırmayın. Birinci sayıyı ikinci sayıdan çıkardık ve olumsuz cevap aldık, öyle mi?.. Doğru, ilk sayı ikinciden büyük.

Anladım? Kesirleri karşılaştırmayı deneyin:

Dur dur. Ortak bir paydaya ulaşmak veya çıkarmak için acele etmeyin. Bakın: bunu kolayca ondalık kesire dönüştürebilirsiniz. Ne kadar sürecek? Sağ. Sonuçta daha ne var?

Bu başka bir seçenektir - kesirleri ondalık sayıya dönüştürerek karşılaştırmak.

Seçenek 4: Bölmeyi kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Evet evet. Ve bu da mümkündür. Mantık basittir: Daha büyük bir sayıyı daha küçük bir sayıya böldüğümüzde elde ettiğimiz cevap birden büyük bir sayıdır; daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıya böldüğümüzde ise cevap ile - arasındaki aralığa düşer.

Bu kuralı hatırlamak için herhangi iki asal sayıyı karşılaştırma amacıyla alın, örneğin ve. Daha ne var biliyor musun? Şimdi ikiye bölelim. Cevabımız şudur. Buna göre teori doğrudur. Eğer bölersek, elde ettiğimiz sonuç birden küçüktür, bu da aslında daha az olduğunu doğrular.

Bu kuralı sıradan kesirlere uygulamaya çalışalım. Hadi karşılaştıralım:

İlk kesri ikinciye bölün:

Yavaş yavaş kısaltalım.

Elde edilen sonuç daha azdır, yani temettü bölenden daha azdır, yani:

Kesirleri karşılaştırmak için olası tüm seçeneklere baktık. Onları nasıl görüyorsunuz? 5:

• ortak bir paydaya indirgeme;
• ortak bir paya indirgeme;
• ondalık kesir biçimine indirgeme;
• çıkarma;
• bölüm.

Eğitilmeye hazır mısınız? Kesirleri en uygun şekilde karşılaştırın:

Cevapları karşılaştıralım:

1. (- ondalık sayıya dönüştürün)
2. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve paydaya göre azaltın)
3. (tüm parçayı seçin ve kesirleri aynı pay prensibine göre karşılaştırın)
4. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve paydaya göre azaltın).

2. Derecelerin karşılaştırılması

Şimdi sadece sayıları değil, derecenin () olduğu ifadeleri de karşılaştırmamız gerektiğini hayal edin.

Elbette kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Sonuçta, dereceyi çarpma ile değiştirirsek şunu elde ederiz:

Bu küçük ve ilkel örnekten yola çıkarak kural şöyledir:

Şimdi aşağıdakileri karşılaştırmayı deneyin: . Ayrıca kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Çünkü üssün yerine çarpmayı koyarsak...

Genel olarak her şeyi anlıyorsunuz ve bu hiç de zor değil.

Zorluklar ancak karşılaştırıldığında derecelerin farklı temelleri ve göstergeleri olduğu zaman ortaya çıkar. Bu durumda ortak bir noktaya varmaya çalışmak gerekiyor. Örneğin:

Elbette biliyorsunuz ki buna göre ifade şu şekilde oluyor:

Parantezleri açalım ve elde ettiğimiz sonuçları karşılaştıralım:

Derecenin tabanının () birden küçük olması biraz özel bir durumdur.

Eğer, o zaman iki dereceden büyük olan, indeksi küçük olandır.

Bu kuralı kanıtlamaya çalışalım. İzin vermek.

ile arasındaki fark olarak bazı doğal sayıları tanıtalım.

Mantıklı değil mi?

Şimdi bir kez daha şu duruma dikkat edelim - .

Sırasıyla: . Buradan, .

Örneğin:

Anladığınız gibi derecelerin tabanlarının eşit olduğu durumu ele aldık. Şimdi tabanın ile ile arasında olduğunu ancak üslerin eşit olduğunu görelim. Burada her şey çok basit.

Bir örnek kullanarak bunu nasıl karşılaştıracağımızı hatırlayalım:

Tabii ki, matematiği hızlı bir şekilde yaptınız:

Bu nedenle, karşılaştırma için benzer problemlerle karşılaştığınızda, hızlı bir şekilde hesaplayabileceğiniz basit, benzer bir örneği aklınızda bulundurun ve bu örneğe dayanarak, daha karmaşık bir örnekte işaretler koyun.

Dönüşümleri gerçekleştirirken, çarparsanız, eklerseniz, çıkarırsanız veya bölerseniz, tüm eylemlerin hem sol hem de sağ taraflarla yapılması gerektiğini unutmayın (eğer çarparsanız her ikisini de çarpmanız gerekir).

Ek olarak, herhangi bir manipülasyon yapmanın kârsız olduğu durumlar da vardır. Örneğin karşılaştırmanız gerekiyor. Bu durumda güce yükseltmek ve işareti buna göre düzenlemek o kadar da zor değil:

Hadi pratik yapalım. Dereceleri karşılaştırın:

Yanıtları karşılaştırmaya hazır mısınız? İşte elde ettiklerim:

1. - aynı
2. - aynı
3. - aynı
4. - aynı

3. Sayıları köklerle karşılaştırma

Öncelikle köklerin ne olduğunu hatırlayalım. Bu kaydı hatırlıyor musunuz?

Bir reel sayının kuvvetinin kökü, eşitliğin geçerli olduğu sayıdır.

Kökler Negatif ve pozitif sayılar için tek derece mevcuttur ve eşit kökler- yalnızca olumlu olanlar için.

Kök değeri genellikle sonsuz bir ondalık sayı olduğundan doğru hesaplamayı zorlaştırır, dolayısıyla kökleri karşılaştırabilmek önemlidir.

Ne olduğunu ve neyle yenildiğini unuttuysanız - . Her şeyi hatırlıyorsanız, adım adım kökleri karşılaştırmayı öğrenelim.

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

Bu iki kökü karşılaştırmak için herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek yok, sadece "kök" kavramını analiz etmeniz yeterli. Neden bahsettiğimi anlıyor musun? Evet, bununla ilgili: Aksi takdirde, radikal ifadeye eşit bir sayının üçüncü kuvveti olarak yazılabilir.

Daha ne? veya? Elbette bunu hiçbir zorluk yaşamadan karşılaştırabilirsiniz. Bir kuvvete yükselttiğimiz sayı ne kadar büyük olursa, değer de o kadar büyük olur.

Bu yüzden. Bir kural türetelim.

Köklerin üsleri aynıysa (bizim durumumuzda bu), o zaman radikal ifadeleri (ve) karşılaştırmak gerekir - radikal sayı ne kadar büyükse, kökün değeri eşit üslerle o kadar büyük olur.

Hatırlamak zor mu? O zaman aklınızda bir örnek tutun ve... Bu kadarı mı?

Kök kare olduğundan köklerin üsleri aynıdır. Bir sayının () radikal ifadesi diğerinden () büyüktür, bu da kuralın gerçekten doğru olduğu anlamına gelir.

Ya radikal ifadeler aynıysa ancak köklerin dereceleri farklıysa? Örneğin: .

Daha büyük dereceli bir kök çıkarıldığında daha küçük bir sayının elde edileceği de oldukça açıktır. Örnek olarak şunu ele alalım:

O zaman ilk kökün değerini, ikincinin değerini ise şöyle gösterelim:

Bu denklemlerde daha fazlasının olması gerektiğini kolaylıkla görebilirsiniz, dolayısıyla:

Köklü ifadeler aynı ise(bizim durumumuzda), ve köklerin üsleri farklı(bizim durumumuzda bu ve), o zaman üsleri karşılaştırmak gerekir(Ve) - gösterge ne kadar yüksek olursa bu ifade o kadar küçük olur.

Aşağıdaki kökleri karşılaştırmaya çalışın:

Sonuçları karşılaştıralım mı?

Bunu başarıyla çözdük :). Başka bir soru ortaya çıkıyor: Ya hepimiz farklıysak? Hem derece hem de radikal ifade? Her şey o kadar karmaşık değil, sadece kökten “kurtulmamız” gerekiyor. Evet evet. Sadece ondan kurtul)

Derecelerimiz ve radikal ifadelerimiz farklıysa, köklerin üslerinin en küçük ortak katını bulmamız (hakkındaki bölümü okuyun) ve her iki ifadenin de en küçük ortak katının üssünü yükseltmemiz gerekir.

Hepimiz kelimelerin ve kelimelerin içindeyiz. İşte bir örnek:

1. Köklerin göstergelerine bakıyoruz - ve. En küçük ortak katları ise .
2. Her iki ifadeyi de bir kuvvete yükseltelim:
3. İfadeyi dönüştürelim ve parantezleri açalım (daha fazla ayrıntı bu bölümde):
4. Yaptıklarımızı sayalım ve bir işaret koyalım:

4. Logaritmaların karşılaştırılması

Böylece yavaş ama emin adımlarla logaritmaları nasıl karşılaştıracağımız sorusuna geldik. Eğer bunun nasıl bir hayvan olduğunu hatırlamıyorsanız öncelikle bölümdeki teoriyi okumanızı tavsiye ederim. Onu okudun mu? Daha sonra birkaç önemli soruyu yanıtlayın:

1. Logaritmanın argümanı nedir ve temeli nedir?
2. Bir fonksiyonun artacağını veya azalacağını ne belirler?

Her şeyi hatırlıyorsanız ve bu konuda mükemmel bir şekilde ustalaştıysanız, başlayalım!

Logaritmaları birbirleriyle karşılaştırmak için yalnızca 3 tekniği bilmeniz gerekir:

• aynı esasa göre indirim;
• aynı argümana indirgeme;
• üçüncü sayıyla karşılaştırma.

Başlangıçta logaritmanın tabanına dikkat edin. Az olursa fonksiyonun azaldığını, fazlaysa arttığını hatırlıyor musunuz? Kararlarımız buna göre olacak.

Halihazırda aynı tabana veya argümana indirgenmiş logaritmaların bir karşılaştırmasını ele alalım.

Başlangıç ​​olarak sorunu basitleştirelim: Karşılaştırılan logaritmaları dahil edelim eşit gerekçeler. Daha sonra:

1. for fonksiyonu, tanım gereği o zaman ("doğrudan karşılaştırma") anlamına gelen aralıkta artar.
2. Örnek:- gerekçeler aynı, argümanları buna göre karşılaştırıyoruz: , bu nedenle:
3. at fonksiyonu, tanım gereği, ardından ("ters karşılaştırma") anlamına gelen aralıkta azalır. - tabanlar aynı, argümanları buna göre karşılaştırıyoruz: ancak, fonksiyon azalan olduğundan logaritmaların işareti "ters" olacaktır: .

Şimdi nedenlerin farklı olduğu ancak argümanların aynı olduğu durumları düşünün.

1. Taban daha büyük.
   • . Bu durumda “ters karşılaştırma” yöntemini kullanırız. Örneğin: - argümanlar aynıdır ve. Tabanları karşılaştıralım: Ancak logaritmanın işareti “ters” olacaktır:
2. A tabanı boşluktadır.
   • . Bu durumda “doğrudan karşılaştırma”yı kullanırız. Örneğin:
   • . Bu durumda “ters karşılaştırma” yöntemini kullanırız. Örneğin:

Her şeyi genel bir tablo biçiminde yazalım:

, burada	, burada

Buna göre, zaten anladığınız gibi, logaritmaları karşılaştırırken aynı tabana veya argümana ulaşmamız gerekiyor, bir tabandan diğerine geçme formülünü kullanarak aynı tabana ulaşıyoruz.

Ayrıca logaritmaları üçüncü sayıyla karşılaştırabilir ve buna dayanarak neyin daha az, neyin daha fazla olduğu hakkında bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, bu iki logaritmayı nasıl karşılaştıracağınızı düşünün.

Küçük bir ipucu - karşılaştırma için, argümanı eşit olacak bir logaritma size çok yardımcı olacaktır.

Düşünce? Birlikte karar verelim.

Bu iki logaritmayı sizinle rahatlıkla karşılaştırabiliriz:

Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Yukarıyı görmek. Bunu yeni çözdük. Hangi işaret olacak? Sağ:

Kabul etmek?

Birbirimizle karşılaştıralım:

Aşağıdakileri almalısınız:

Şimdi tüm sonuçlarımızı bir araya getirin. Olmuş?

5. Trigonometrik ifadelerin karşılaştırılması.

Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nedir? Neden birim çembere ihtiyacımız var ve bunun üzerindeki trigonometrik fonksiyonların değeri nasıl bulunur? Bu soruların cevaplarını bilmiyorsanız bu konudaki teoriyi okumanızı şiddetle tavsiye ederim. Ve eğer biliyorsanız, trigonometrik ifadeleri birbirleriyle karşılaştırmak sizin için zor değil!

Biraz hafızamızı tazeleyelim. Bir birim trigonometrik daire ve içine yazılı bir üçgen çizelim. Becerebildin mi? Şimdi üçgenin kenarlarını kullanarak kosinüsü hangi tarafa ve sinüsü hangi tarafa çizdiğimizi işaretleyin. (elbette sinüsün karşı tarafın hipotenüse oranı olduğunu ve kosinüsün bitişik kenar olduğunu hatırlıyor musunuz?). Sen mi çizdin? Harika! Son dokunuş, ona nerede sahip olacağımızı, nerede ve benzeri şeyleri koymaktır. Onu yere koydun mu? Phew) Hadi senin ve benim başımıza gelenleri karşılaştıralım.

Vay be! Şimdi karşılaştırmaya başlayalım!

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor ve. Bu açıları, kutulardaki komutları kullanarak (nerede, nerede işaretledik) birim çember üzerine noktalar yerleştirerek çizin. Becerebildin mi? İşte elde ettiğim şey.

Şimdi çember üzerinde işaretlediğimiz noktalardan eksene bir dik bırakalım... Hangisi? Hangi eksen sinüslerin değerini gösterir? Sağ, . Almanız gereken şey bu:

Bu resme bakıldığında hangisi daha büyük: yoksa? Tabii çünkü nokta noktanın üstündedir.

Benzer şekilde kosinüslerin değerini karşılaştırıyoruz. Sadece eksene dik olanı indiriyoruz... Aynen öyle. Buna göre hangi noktanın sağda (veya sinüslerde olduğu gibi daha yüksek) olduğuna bakıyoruz, o zaman değer daha büyük.

Muhtemelen teğetleri nasıl karşılaştıracağınızı zaten biliyorsunuzdur, değil mi? Bilmeniz gereken tek şey teğetin ne olduğudur. Peki teğet nedir?) Doğru, sinüsün kosinüse oranı.

Teğetleri karşılaştırmak için önceki durumda olduğu gibi bir açı çizeriz. Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

Sen mi çizdin? Artık sinüs değerlerini de koordinat ekseninde işaretliyoruz. Fark ettin mi? Şimdi kosinüs değerlerini koordinat çizgisi üzerinde belirtin. Olmuş? Hadi karşılaştıralım:

Şimdi yazdıklarınızı analiz edin. - büyük bir segmenti küçük bir segmente bölüyoruz. Cevap kesinlikle birden büyük bir değer içerecektir. Sağ?

Ve küçüğü büyük olana böldüğümüzde. Cevap tam olarak birden küçük bir sayı olacaktır.

Peki hangi trigonometrik ifade daha büyük değere sahiptir?

Sağ:

Artık anladığınız gibi, kotanjantları karşılaştırmak aynı şeydir, yalnızca tersi yönde: kosinüs ve sinüsü tanımlayan bölümlerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna bakarız.

Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri kendiniz karşılaştırmaya çalışın:

Örnekler.

Yanıtlar.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. ORTALAMA SEVİYE.

Hangi sayı daha büyük: veya? Cevap açıktır. Ve şimdi: veya? Artık çok açık değil, değil mi? Yani: veya?

Çoğunlukla hangi sayısal ifadenin daha büyük olduğunu bilmeniz gerekir. Örneğin bir eşitsizliği çözerken eksen üzerindeki noktaları doğru sıraya yerleştirmek için.

Şimdi size bu sayıları nasıl karşılaştıracağınızı öğreteceğim.

Sayıları karşılaştırmanız gerekiyorsa ve aralarına bir işaret koyarız (Latince Versus kelimesinden türetilmiş veya vs. - Against olarak kısaltılmıştır): . Bu işaret, bilinmeyen eşitsizlik işaretinin () yerine geçer. Daha sonra sayıların arasına hangi işaretin yerleştirilmesi gerektiği belli olana kadar aynı dönüşümleri gerçekleştireceğiz.

Sayıları karşılaştırmanın özü şudur: İşarete sanki bir çeşit eşitsizlik işaretiymiş gibi davranırız. Ve bu ifadeyle genellikle eşitsizliklerle yaptığımız her şeyi yapabiliriz:

• her iki tarafa da herhangi bir sayı ekleyin (ve elbette çıkarma da yapabiliriz)
• "her şeyi bir tarafa taşıyın", yani karşılaştırılan ifadelerden birini her iki parçadan çıkarın. Çıkarılan ifadenin yerinde kalacak: .
• aynı sayıyla çarpın veya bölün. Bu sayı negatifse eşitsizlik işareti tersine çevrilir: .
• her iki tarafı da aynı güce yükseltin. Eğer bu kuvvet çift ise her iki parçanın da aynı işarete sahip olduğundan emin olmanız gerekir; her iki parça da pozitifse, bir kuvvete yükseltildiğinde işaret değişmez, ancak negatifse ters yönde değişir.
• her iki parçadan da aynı derecenin kökünü çıkarın. Eğer çift dereceli bir kök çıkarıyorsak, öncelikle her iki ifadenin de negatif olmadığından emin olmalıyız.
• diğer eşdeğer dönüşümler.

Önemli: Eşitsizlik işaretinin değişmeyeceği şekilde dönüşüm yapılması tavsiye edilir! Yani dönüşümler sırasında negatif bir sayı ile çarpmak istenmez ve parçalardan biri negatifse karesi alınamaz.

Birkaç tipik duruma bakalım.

1. Üs alma.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, kökten kurtulmak için bunun karesini alabiliriz:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Burada da bunun karesini alabiliriz, ancak bu yalnızca karekökten kurtulmamıza yardımcı olacaktır. Burada her iki kök de kaybolacak kadar yükseltmek gerekiyor. Bu, bu derecenin üssünün hem (birinci kökün derecesi) hem de ile bölünebilir olması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla bu sayının inci kuvvetine yükseltilir:

2. Eşleni ile çarpma.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her farkı eşlenik toplamla çarpıp bölelim:

Açıkçası, sağ taraftaki payda soldaki paydan daha büyüktür. Bu nedenle sağdaki kesir soldakinden daha küçüktür:

3. Çıkarma

Bunu hatırlayalım.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Elbette her şeyin karesini alabilir, yeniden gruplayabilir ve tekrar karesini alabiliriz. Ancak daha akıllıca bir şey yapabilirsiniz:

Sol tarafta her terimin sağ taraftaki her terimden daha az olduğu görülebilir.

Buna göre sol taraftaki tüm terimlerin toplamı sağ taraftaki tüm terimlerin toplamından küçüktür.

Ama dikkat et! Daha ne olsun diye sorduk...

Sağ taraf daha büyük.

Örnek.

Rakamları karşılaştırın ve...

Çözüm.

Trigonometri formüllerini hatırlayalım:

Noktaların trigonometrik dairenin hangi çeyreğinde olduğunu ve yalan söylediğini kontrol edelim.

4. Bölüm.

Burada ayrıca basit bir kural kullanıyoruz: .

Veya, yani.

İşaret değiştiğinde: .

Örnek.

Karşılaştırmak: .

Çözüm.

5. Sayıları üçüncü sayıyla karşılaştırın

Eğer ve ise (geçişlilik yasası).

Örnek.

Karşılaştırmak.

Çözüm.

Sayıları birbiriyle değil sayıyla karşılaştıralım.

Bu çok açık.

Diğer tarafta, .

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her iki sayı da daha büyük, ancak daha küçüktür. Birinden büyük, diğerinden küçük olacak bir sayı seçelim. Örneğin, . Hadi kontrol edelim:

6. Logaritmalarla ne yapmalı?

Özel birşey yok. Logaritmalardan nasıl kurtulacağınız konu içerisinde detaylı olarak anlatılmaktadır. Temel kurallar şunlardır:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kama y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Logaritmalarla ilgili farklı tabanlara ve aynı argümana sahip bir kural da ekleyebiliriz:

Bu şu şekilde açıklanabilir: Taban ne kadar büyük olursa, aynı şeyi elde etmek için o kadar az yükseltilmesi gerekecektir. Taban daha küçükse, karşılık gelen fonksiyon monoton olarak azalan olduğundan bunun tersi doğrudur.

Örnek.

Sayıları karşılaştırın: ve.

Çözüm.

Yukarıdaki kurallara göre:

Ve şimdi ileri seviyenin formülü.

Logaritmaları karşılaştırma kuralı daha kısaca yazılabilir:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Örnek.

Hangi sayının daha büyük olduğunu karşılaştırın: .

Çözüm.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Üs alma

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitifse, kökten kurtulmak için kareleri alınabilir.

2. Eşleniğiyle çarpma

Eşlenik, kareler farkı formülünün ifadesini tamamlayan bir faktördür: - eşlenik için ve tam tersi, çünkü .

3. Çıkarma

4. Bölüm

Ne zaman ya da bu

İşaret değiştiğinde:

5. Üçüncü sayıyla karşılaştırma

Eğer ve sonra

6. Logaritmaların karşılaştırılması

Temel Kurallar:

Farklı tabanlara ve aynı argümana sahip logaritmalar:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Logaritmanın monotonluğunun özellikleri. Logaritmaların karşılaştırılması. Cebir 11. sınıf. Matematik öğretmeni tarafından tamamlandı: Liliya Anasovna Kinzyabulatova, Noyabrsk, 2014.

y= log a x , burada a>0; a≠1. a) a> 1 ise y= log a x – artan b) 0 ise

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ① Monotonluk özelliği Log a b log a c'yi karşılaştırın bazlar a'dır. Eğer a> 1 ise, o zaman y= log a t artıyor, bu durumda b> c = > log a b > log a c'den; 0 ise c => log a b log 1/3 8;

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b bazlarıyla karşılaştırın, sayılar b'ye eşittir 1) a> 1 ise; с > 1, bu durumda y=log a t, y=log с t – yaş. a) Eğer a> c, b>1 ise log a b log c b

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b tabanlarıyla karşılaştırın, sayılar farklıdır, sayılar b'ye eşittir 2) Eğer 0 c, b>1 ise, log a b > log c b b) If a

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b bazlarıyla karşılaştırın, sayılar farklıdır, sayılar b'ye eşittir Örnekler log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Günlük 0,3 0,6

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ③ Farklı monotonluktaki fonksiyonlar a>1 y=log a x – 0 artar 1 ise log a c > log b d b) Eğer 0 ise 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ⑤ Değerlendirme yöntemi günlüğü 3 5 günlüğü 4 17 1 > > > >

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ⑦ Segmentin ortasıyla karşılaştırma log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

Facebook

heyecan

Temas halinde

Sınıf arkadaşları

Google+