Matemātika, kas man patīk. Polinoma dalīšana Kā atrisināt polinoma dalījumu

Ir sniegts pierādījums, ka nepareizu daļskaitli, kas sastāv no polinomiem, var attēlot kā polinoma un pareizas daļas summu. Detalizēti tiek analizēti piemēri polinomu dalīšanai ar stūri un reizināšanai ar kolonnu.

Teorēma

Ļaujiet P k (x), Qn (x) ir polinomi mainīgajā x ar attiecīgi k un n pakāpēm ar k ≥ n . Tad polinoms P k (x) var attēlot tikai šādā veidā:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
kur S k-n (x)- polinoms ar pakāpi k-n , U n- 1(x)- polinoms, kura pakāpe nav augstāka par n- 1 , vai nulle.

Pierādījums

Pēc polinoma definīcijas:
;
;
;
,
kur p i , q i - zināmie koeficienti, s i , u i - nezināmie koeficienti.

Ieviesīsim apzīmējumu:
.
Aizstāt iekšā (1) :
;
(2) .
Pirmais vārds labajā pusē ir polinoms ar pakāpi k. Otrā un trešā vārda summa ir polinoms, kura pakāpe ir ne vairāk kā k - 1 . Pielīdzināt koeficientus pie x k :
p k = s k-n q n .
Tādējādi s k-n = p k / q n .

Pārveidosim vienādojumu (2) :
.
Ieviesīsim apzīmējumu: .
Tā kā s k-n = p k / q n , tad koeficients pie x k ir vienāds ar nulli. Tāpēc - tas ir polinoms, kura pakāpe ir ne vairāk kā k - 1 , . Tad iepriekšējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:
(3) .

Šim vienādojumam ir tāda pati forma kā vienādojumam (1) , kļuva tikai k vērtība 1 mazāk. Atkārtojot šo procedūru k-n reizes, iegūstam vienādojumu:
,
no kura nosakām polinoma U n- koeficientus 1(x).

Tātad, mēs esam noteikuši visus nezināmos koeficientus s i , u l . Turklāt s k-n ≠ 0 . Lemma ir pierādīta.

Polinomu dalījums

Sadalot abas vienādojuma puses (1) uz Q n (x), mēs iegūstam:
(4) .
Pēc analoģijas ar decimālskaitļiem S k-n (x) sauc par daļskaitļa veselo skaitļa daļu vai privāto, U n- 1(x)- divīzijas atlikums. Polinomu daļu, kurā polinoma pakāpe skaitītājā ir mazāka par polinoma pakāpi saucējā, sauc par pareizu daļu. Polinomu daļu, kurā polinoma pakāpe skaitītājā ir lielāka vai vienāda ar polinoma pakāpi saucējā, sauc par nepareizo daļu.

Vienādojums (4) parāda, ka jebkuru nepareizu polinomu daļu var vienkāršot, attēlojot to kā veselas skaitļa daļas un pareizas daļas summu.

To pamatā veseli skaitļi decimālskaitļi ir polinomi, kuros mainīgais ir vienāds ar skaitli 10 . Piemēram, ņemsim skaitli 265847. To var attēlot šādi:
.
Tas ir, tas ir piektās pakāpes polinoms no 10 . Skaitļi 2, 6, 5, 8, 4, 7 ir skaitļa izplešanās koeficienti 10 pakāpēs.

Tāpēc polinomus var piemērot likumam par dalīšanu ar stūri (dažkārt to sauc par dalīšanu ar kolonnu), kas tiek piemērots skaitļu dalīšanai. Vienīgā atšķirība ir tā, ka, dalot polinomus, skaitļi, kas ir lielāki par deviņiem, nav jāpārvērš uz lielākiem cipariem. Apsveriet polinomu sadalīšanas procesu ar stūri, izmantojot konkrētus piemērus.

Piemērs polinomu dalīšanai ar stūri

.

Šeit skaitītājs ir ceturtās pakāpes polinoms. Saucējs ir otrās pakāpes polinoms. Ciktāl 4 ≥ 2 , tad daļa nav pareiza. Mēs izvēlamies veselo skaitļu daļu, sadalot polinomus ar stūri (kolonnā):

Sniegsim detalizētu sadalīšanas procesa aprakstu. Sākotnējie polinomi ir ierakstīti kreisajā un labajā kolonnā. Zem saucēja polinoma labajā kolonnā mēs novelkam horizontālu līniju (stūri). Zem šīs līnijas leņķī būs vesela daļskaitļa daļa.

1.1 Mēs atrodam pirmo veselā skaitļa daļas locekli (zem stūra). Lai to izdarītu, mēs dalām skaitītāja lielāko daļu ar saucēja lielāko daļu: .

1.2 Pavairot 2x2 uz x 2–3 x + 5:
. Rezultāts tiek ierakstīts kreisajā kolonnā:

1.3 Mēs ņemam polinomu starpību kreisajā kolonnā:

.

Tātad, mēs saņēmām starprezultātu:
.

Labajā pusē esošā daļa ir nepareiza, jo polinoma pakāpe skaitītājā ( 3 ) ir lielāks vai vienāds ar polinoma pakāpi saucējā ( 2 ). Mēs atkārtojam aprēķinus. Tikai tagad daļskaitļa skaitītājs atrodas kreisās kolonnas pēdējā rindā.
2.1 Skaitītāja vecāko locekli dala ar saucēja vecāko locekli: ;

2.2 Reizinām ar saucēju: ;

2.3 Un atņemiet no kreisās kolonnas pēdējās rindas: ;


Starprezultāts:
.

Mēs atkārtojam aprēķinus vēlreiz, jo labajā pusē ir nepareiza daļa.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Tātad mēs saņēmām:
.
Polinoma pakāpe labās daļas skaitītājā ir mazāka par saucēja polinoma pakāpi, 1 < 2 . Tāpēc frakcija ir pareiza.

;
2 x 2 - 4 x + 1 ir visa daļa;
x- 8 - nodaļas atlikusī daļa.

2. piemērs

Atlasiet daļskaitļa veselo skaitļu daļu un atrodiet dalījuma atlikušo daļu:
.

Mēs veicam tādas pašas darbības kā iepriekšējā piemērā:

Šeit atlikušā dalījuma daļa ir nulle:
.

Polinomu reizināšana ar kolonnu

Varat arī reizināt polinomus ar kolonnu, līdzīgi kā reizināt veselus skaitļus. Apskatīsim konkrētus piemērus.

Piemērs polinomu reizināšanai ar kolonnu

Atrodiet polinomu reizinājumu:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Rezultāts tiek ierakstīts kolonnā, saskaņojot x pakāpes.

3
;
;
;
.

Ņemiet vērā, ka var pierakstīt tikai koeficientus un var izlaist mainīgā x pakāpes. Tad reizināšana ar polinomu kolonnu izskatīsies šādi:

2. piemērs

Atrodiet polinomu reizinājumu kolonnā:
.

Reizinot polinomus ar kolonnu, ir svarīgi viens zem otra rakstīt vienādus mainīgā x pakāpjus. Ja daži x pakāpes ir izlaisti, tie ir skaidri jāraksta, reizinot ar nulli, vai jāatstāj atstarpes.

Šajā piemērā daži grādi ir izlaisti. Tāpēc mēs tos rakstām skaidri, reizinot ar nulli:
.
Mēs reizinām polinomus ar kolonnu.

1 Mēs ierakstām oriģinālos polinomus vienu zem otra kolonnā un novelkam līniju.

2.1 Mēs reizinām otrā polinoma zemāko daļu ar pirmo polinomu:
.
Rezultāts tiek ierakstīts kolonnā.

2.2 Otrā polinoma nākamais loceklis ir vienāds ar nulli. Tāpēc arī tā reizinājums ar pirmo polinomu ir vienāds ar nulli. Nulles rindiņu var izlaist.

2.3 Mēs reizinām otrā polinoma nākamo vārdu ar pirmo polinomu:
.
Rezultāts tiek ierakstīts kolonnā, saskaņojot x pakāpes.

2.3 Mēs reizinām otrā polinoma nākamo (augstāko) vārdu ar pirmo polinomu:
.
Rezultāts tiek ierakstīts kolonnā, saskaņojot x pakāpes.

3 Pēc tam, kad visi otrā polinoma termini ir reizināti ar pirmo, mēs novelkam līniju un pievienojam terminus ar vienādām pakāpēm x:
.

Atgādiniet, ka naturāla skaitļa a dalīšana ar naturālu skaitli b nozīmē skaitļa a attēlošanu formā:

kur koeficients c un atlikums r ir nenegatīvi veseli skaitļi, un atlikums r apmierina nevienādību:

Ja sadalām polinomus vienu ar otru, tad rodas līdzīga situācija.

Patiešām, veicot saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbības ar polinomiem, rezultāts vienmēr būs polinoms. Jo īpaši, reizinot divus polinomus, kas nav nulles, reizinājuma pakāpe būs vienāda ar faktoru pakāpju summu.

Tomēr rezultātā polinomu dalījums polinoms ne vienmēr tiek iegūts.

Viņi saka, ka viens polinoms ir pilnībā (bez atlikuma) dalāms ar citu polinomu ja dalīšanas rezultāts ir polinoms.

Ja viens polinoms nedalās ar citu polinomu, tad vienmēr var tikt izdarīts polinomu dalīšana ar atlikumu, kā rezultātā gan koeficients, gan atlikums būs polinomi.

Definīcija . Dalīt polinomu a(x) uz polinomu b(x) ar atlikušo daļu- tas nozīmē attēlot polinomu a(x) kā

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

kur ir polinoms c(x) ir koeficients , un polinoms r(x) ir atlikums, un atlikuma pakāpe apmierina nevienlīdzību:

Ir svarīgi atzīmēt, ka formula

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

ir identitāte , t.i. vienādība ir derīga visām mainīgā x vērtībām.

Dalot (ar vai bez atlikuma) polinomu ar mazākas pakāpes polinomu koeficientā, iegūst polinomu, kura pakāpe ir vienāda ar starpību starp dividendes un dalītāja pakāpēm.

Viens veids, kā sadalīt polinomus ar atlikumu, ir polinomu dalīšana ar "stūri", kas ir pilnīga analoģija tam, kā tas notiek, dalot veselus skaitļus.

Tagad mēs pievēršamies šīs polinomu dalīšanas metodes aprakstam.

Piemērs. Iepriekš sakārtojot polinomus mainīgā lieluma pakāpēs, sadalām polinomu

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

uz polinomu

x 2 - x + 1 .

Risinājums. Aprakstīsim algoritmu polinomu dalīšanai ar “stūri” pa soļiem:

1. Sadaliet pirmais dividenžu termiņš 2x 4 uz dalītāja pirmo termiņu x 2. Mēs saņemam pirmais privātpersonas biedrs 2x 2 .
2. Pavairot pirmais privātpersonas biedrs 2x 2 uz sadalītājs x 2 - x+ 1, un reizināšanas rezultāts

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

rakstiet zem dalāmā 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

3. Mēs atņemam no dividendes polinomu, kas rakstīts zem tās. Mēs saņemam pirmais atlikums

x 3 + 3x 2 - 8x .

Ja šis atlikums būtu vienāds ar nulli vai būtu polinoms, kura pakāpe ir mazāka par dalītāja pakāpi (šajā gadījumā mazāka par 2), tad dalīšanas process būtu pabeigts. Tomēr tas tā nav, un šķelšanās turpinās.

4. Sadaliet atlikušo daļu pirmais termiņš x 3 uz dalītāja pirmo termiņu x 2. Mēs saņemam otrais ierindas dalībnieks x .
5. Pavairot otrais ierindas dalībnieks x ieslēgts sadalītājs x 2 - x + 1 , un reizināšanas rezultāts

x 3 - x 2 +x

rakstiet zemāk par pirmo x 3 + 3x 2 - 8x .

6. Mēs atņemam no pirmā atlikuma polinomu, kas rakstīts zem tā. Mēs saņemam otrais atlikums

4x 2 - 9x + 1 .

Ja šis atlikums būtu vienāds ar nulli vai ja tas būtu polinoms, kura pakāpe ir mazāka par dalītāja pakāpi, tad dalīšanas process būtu pabeigts. Tomēr tas tā nav, un šķelšanās turpinās.

7. Sadaliet otrais atlikuma pirmais termiņš 4x 2 uz pirmā dalītāja termins x 2. Mēs saņemam trešais privātā dalībnieks 4 .
8. Pavairot trešais privātā dalībnieks 4 uz sadalītājs x 2 - x + 1 , un reizināšanas rezultāts

Sāksim ar dažām definīcijām. Izteiksme formā $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(ni)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Piemēram, izteiksme $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ir polinoms, kura pakāpe ir $14$. To var apzīmēt šādi: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Koeficientu $a_0$ sauc par polinoma $P_n(x)$ vadošo koeficientu. Piemēram, polinomam $4x^(14)+87x^2+4x-11$ vadošais koeficients ir $4$ (skaitlis pirms $x^(14)$). Skaitli $a_n$ sauc par polinoma $P_n(x)$ brīvo locekli. Piemēram, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ pārtveršana ir $(-11)$. Tagad pievērsīsimies teorēmai, uz kuru faktiski tiks balstīta materiāla prezentācija šajā lapā.

Jebkuriem diviem polinomiem $P_n(x)$ un $G_m(x)$ var atrast tādus polinomus $Q_p(x)$ un $R_k(x)$, ka vienādība

\begin(vienādojums) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(vienādojums)

un $k< m$.

Frāze "daliet polinomu $P_n(x)$ ar polinomu $G_m(x)$" nozīmē "attēlot polinomu $P_n(x)$ formā (1)". Polinomu $P_n(x)$ sauksim par dalāmu, polinomu $G_m(x)$ par dalītāju, polinomu $Q_p(x)$ par $P_n(x)$ dalījumu ar $G_m(x)$, un polinoms $ R_k(x)$ - atlikums pēc $P_n(x)$ dalīšanas ar $G_m(x)$. Piemēram, polinomiem $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ un $G_4(x)=3x^4+4x^2+ 2 $ jūs varat iegūt šo vienādību:

12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Šeit polinoms $P_6(x)$ ir dalāms, polinoms $G_4(x)$ ir dalītājs, polinoms $Q_2(x)=4x^2+x$ ir $P_6(x)$ koeficients, dalīts ar $G_4(x) $, un polinoms $R_3(x)=2x^3+1$ ir atlikums pēc $P_6(x)$ dalīšanas ar $G_4(x)$. Atzīmēju, ka atlikuma pakāpe (t.i. 3) ir mazāka par dalītāja pakāpi (t.i. 4), tāpēc vienlīdzības nosacījums ir izpildīts.

Ja $R_k(x)\equiv 0$, tad tiek teikts, ka polinoms $P_n(x)$ dalās ar polinomu $G_m(x)$ bez atlikuma. Piemēram, polinoms $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ dalās ar polinomu $3x^4+15$ bez atlikuma, jo spēkā ir vienādība:

21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Šeit polinoms $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ ir dalāms; polinoms $G_4(x)=3x^4+15$ - dalītājs; un polinoms $Q_2(x)=7x^2+2x$ ir $P_6(x)$ dalījums ar $G_4(x)$. Atlikušais ir nulle.

Lai sadalītu polinomu polinomā, bieži tiek izmantots dalījums ar "kolonnu" vai, kā to sauc arī, "stūris". Mēs analizēsim šīs metodes ieviešanu ar piemēriem.

Pirms pāriet pie piemēriem, es ievadīšu vēl vienu terminu. Viņš nav vispārpieņemts, un mēs to izmantosim tikai materiāla prezentēšanas ērtībai. Līdz šīs lapas beigām polinoma $P_n(x)$ vadošo elementu sauksim par izteiksmi $a_(0)x^(n)$. Piemēram, polinoma $4x^(14)+87x^2+4x-11$ vadošais elements ir $4x^(14)$.

1. piemērs

Sadaliet $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ ar $5x^2-x+2$, izmantojot "kolonnu" dalījumu.

Tātad mums ir divi polinomi, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ un $G_2(x)=5x^2-x+2$. Pirmās pakāpe ir 5 $, bet otrā – 2 $. Polinoms $P_5(x)$ ir dividende, un polinoms $G_2(x)$ ir dalītājs. Mūsu uzdevums ir atrast koeficientu un atlikumu. Problēma tiks atrisināta soli pa solim. Mēs izmantosim to pašu apzīmējumu kā skaitļu dalīšanai:

Pirmais solis

Sadaliet polinoma $P_5(x)$ (t.i., $10x^5$) augstāko elementu ar polinoma $Q_2(x)$ augstāko elementu (t.i., $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Rezultātā iegūtā izteiksme $2x^3$ ir koeficienta pirmais elements:



Reiziniet polinomu $5x^2-x+2$ ar $2x^3$, lai iegūtu:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Pierakstīsim rezultātu:

Tagad atņemiet polinomu $10x^5-2x^4+4x^3$ no polinoma $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$:

$10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$



Šeit pirmais solis beidzas. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā veidā:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Tā kā polinoma $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (ti, 4) pakāpe ir lielāka par polinoma $5x^2-x+2$ (ti, 2) pakāpi, procesa dalīšana ir jāturpina. Pāriesim pie otrā posma.

Otrais solis

Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ un $5x^2-x+2$. Tādā pašā veidā kā pirmajā solī, mēs sadalām pirmā polinoma vadošo elementu (t.i., $5x^4$) ar otrā polinoma vadošo elementu (t.i., $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Iegūtā izteiksme $x^2$ ir koeficienta otrais elements. Pievienojiet koeficientam $x^2$



Reiziniet polinomu $5x^2-x+2$ ar $x^2$, lai iegūtu:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Pierakstīsim rezultātu:



Tagad atņemiet polinomu $5x^4-x^3+2x^2$ no polinoma $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:

$5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Mēs pievienojam šo polinomu jau zem rindas:



Šeit beidzas otrais solis. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā veidā:

$10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Tā kā polinoma $-15x^3+23x^2-2x+5$ (ti, 3) pakāpe ir lielāka par polinoma $5x^2-x+2$ (ti, 2) pakāpi, mēs turpinām dalīšanu. process. Pāriesim uz trešo soli.

Trešais solis

Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $-15x^3+23x^2-2x+5$ un $5x^2-x+2$. Tādā pašā veidā kā iepriekšējās darbībās, mēs sadalām pirmā polinoma vadošo elementu (t.i., $-15x^3$) ar otrā polinoma vadošo elementu (t.i., $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Rezultātā iegūtā izteiksme $(-3x)$ ir koeficienta trešais elements. Pieskaitīsim koeficientam $-3x$



Reiziniet polinomu $5x^2-x+2$ ar $(-3x)$, lai iegūtu:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Pierakstīsim rezultātu:



Tagad atņemiet polinomu $-15x^3+3x^2-6x$ no polinoma $-15x^3+23x^2-2x+5$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Mēs pievienojam šo polinomu jau zem rindas:



Šeit beidzas trešais solis. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā veidā:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Tā kā polinoma $20x^2+4x+5$ (ti, 2) pakāpe ir vienāda ar polinoma $5x^2-x+2$ (ti, 2) pakāpi, mēs turpinām dalīšanas procesu. Pārejam uz ceturto soli.

Ceturtais solis

Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $20x^2+4x+5$ un $5x^2-x+2$. Tādā pašā veidā kā iepriekšējās darbībās, mēs sadalām pirmā polinoma vadošo elementu (t.i., $20x^2$) ar otrā polinoma vadošo elementu (t.i., $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Iegūtais skaitlis $4$ ir koeficienta ceturtais elements. Pieskaitīsim koeficientam $4$



Reiziniet polinomu $5x^2-x+2$ ar $4$, lai iegūtu:

4 $ \cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $

Pierakstīsim rezultātu:



Tagad mēs atņemam polinomu $20x^2-4x+8$ no polinoma $20x^2+4x+5$.

Šajā rakstā tiks aplūkotas racionālās daļskaitļi, tā veselo skaitļu daļu atlase. Daļskaitļi ir pareizi un nepareizi. Ja skaitītājs daļskaitlī ir mazāks par saucēju, tā ir pareiza daļa un otrādi.

Apsveriet pareizu daļskaitļu piemērus: 1 2, 9 29, 8 17, nepareizās: 16 3, 21 20, 301 24.

Mēs aprēķināsim daļas, kuras var samazināt, tas ir, 12 16 ir 3 4, 21 14 ir 3 2.

Izvēloties veselā skaitļa daļu, tiek veikts skaitītāja dalīšanas process ar saucēju. Tad šādu daļskaitli var attēlot kā vesela skaitļa un daļdaļas summu, kur daļdaļa tiek uzskatīta par dalījuma atlikuma un saucēja attiecību.

1. piemērs

Atrodiet atlikušo daļu, kad 27 dala ar 4.

Risinājums

Ir nepieciešams veikt dalījumu ar kolonnu, tad mēs to iegūstam

Tātad, 27 4 \u003d veselā skaitļa daļa + pārējā n un m un kalnraču \u003d 6 + 3 4

Atbilde: atlikums 3.

2. piemērs

Izvēlieties veselas daļas 331 12 un 41 57 .

Risinājums

Mēs dalām saucēju ar skaitītāju, izmantojot stūri:





Tāpēc mums ir 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Otrā daļa ir pareiza, kas nozīmē, ka veselā skaitļa daļa ir vienāda ar nulli.

Atbilde: veselu skaitļu daļas 27 un 0 .

Apsveriet polinomu klasifikāciju, citiem vārdiem sakot, daļēju racionālu funkciju. To uzskata par pareizu, ja skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi, pretējā gadījumā to uzskata par nepareizu.

1. definīcija

Polinoma dalīšana ar polinomu notiek saskaņā ar dalīšanas ar leņķi principu un funkcijas attēlojumu kā veselu skaitļu un daļēju daļu summu.

Lai sadalītu polinomu lineārā binomā, tiek izmantota Hornera shēma.

3. piemērs

Sadaliet x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 ar monomālu 2 x 2.

Risinājums

Izmantojot dalīšanas īpašību, mēs to rakstām

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Bieži vien šāda veida transformācijas tiek veiktas, ņemot integrāļus.

4. piemērs

Sadaliet polinomu ar polinomu: 2 x 3 + 3 ar x 3 + x.

Risinājums

Dalījuma zīmi var uzrakstīt kā daļskaitli no formas 2 x 3 + 3 x 3 + x. Tagad jums ir jāizvēlas visa daļa. Mēs to darām, dalot ar kolonnu. Mēs to sapratām



Tātad, mēs iegūstam, ka veselā skaitļa daļai ir vērtība - 2 x + 3, tad visa izteiksme tiek uzrakstīta kā 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

5. piemērs

Sadaliet un atrodiet atlikumu pēc 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 dalīšanas ar x 3 + 2 x 2 - 1 .

Risinājums

Fiksēsim daļskaitli no formas 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, kas nozīmē, ka mums ir nepareiza daļdaļa. Izmantojot dalīšanu ar kolonnu, atlasiet visu daļu. Mēs to sapratām



Atkārtoti veiksim sadalīšanu un iegūsim:



No šejienes mēs iegūstam, ka atlikums ir - 65 x 2 + 10 x - 3, tātad:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Ir gadījumi, kad nepieciešams papildus veikt daļskaitļu konvertēšanu, lai dalot varētu atklāt atlikumu. Tas izskatās šādi:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 xx 3 - 3 - 2 xx 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Tas nozīmē, ka atlikums, dalot 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 ar x 3 - 3, iegūst vērtību - 3 x 2 + 6 x - 4. Lai ātri atrastu rezultātu, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas.

6. piemērs

Sadaliet 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 ar 2 x + 3 .

Risinājums

Iedalījumu rakstīsim kā daļskaitli. Mēs iegūstam, ka 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Ņemiet vērā, ka skaitītājā izteiksmi var pievienot, izmantojot summas kuba formulu. Mums tas ir

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Dotais polinoms dalās bez atlikuma.

Risinājumam tiek izmantota ērtāka risinājuma metode, un polinoma dalīšana ar polinomu tiek uzskatīta par universālāko, tāpēc to bieži izmanto, izvēloties veselu daļu. Pēdējā ierakstā jāiekļauj dalīšanas iegūtais polinoms.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Paziņojums, apgalvojums

atlikumu nepilnīgs privātais.

komentēt

Jebkuriem polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ ($B(x)$ pakāpe ir lielāka par 0) ir unikāli polinomi $Q(x)$ un $R(x)$ no apgalvojuma nosacījums.

1. Atlikums pēc polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalīšanas ar $x^(2) + 1$ ir $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1) (x^(2) + 1) +3x + 4,$
2. Atlikums pēc polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalīšanas ar $x^(4) + 1$ ir $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = 1 \cpunkts (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4,$
3. Atlikums pēc polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalīšanas ar $x^(6) + 1$ ir $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cpunkts (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Paziņojums, apgalvojums

Jebkuriem diviem polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ (kur polinoma $B(x)$ pakāpe nav nulle), pastāv polinoma attēlojums $A(x)$ formā. $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, kur $Q(x)$ un $R(x)$ ir polinomi un $R(x)$ pakāpe ir mazāka par $B(x).$ pakāpe

Pierādījums

Apgalvojumu pierādīsim ar indukciju par polinoma $A(x).$ pakāpi. Apzīmē to ar $n$. Ja $n = 0$, apgalvojums ir patiess: $A(x)$ var attēlot kā $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Tagad ļaujiet apgalvojumam pierādīt, ka polinomi ar pakāpi $n \ leqm$. Pierādīsim apgalvojumu polinomiem ar pakāpi $k= n+1.$

Lai polinoma $B(x)$ pakāpe ir vienāda ar $m$. Apsveriet trīs gadījumus: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ un pierādiet apgalvojumu par katru no tiem.

1. $k< m$
   Polinomu $A(x)$ var attēlot kā

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Apgalvojums ir izteikts.

2. $k = m$
   Ļaujiet polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ būt formā

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \punkti + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(kur ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \punkti + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(kur ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   Atveidosim $A(x)$ kā

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   Ņemiet vērā, ka polinoma $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ pakāpe ir ne vairāk kā $n+1$, tad šis attēlojums ir vēlamo un apgalvojums ir apmierināts.

3. $k > m$
   Mēs attēlojam polinomu $A(x)$ formā

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \punkti + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (kur) \: a_(n+1) \neq 0.$

   Apsveriet polinomu $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ var attēlot kā $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, kur polinoma $R"(x)$ pakāpe ir mazāka par $m$, tad $A(x) attēlojums $ var pārrakstīt kā

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Ņemiet vērā, ka polinoma $xR"(x)$ pakāpe ir mazāka par $m+1$, t.i., mazāka par $k$. Tad $xR"(x)$ apmierina induktīvo pieņēmumu un to var attēlot kā $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, kur polinoma $R""(x)$ pakāpe ir mazāka par $m$. Pārrakstiet $A attēlojumu (x)$ kā

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) = $

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   Polinoma $R""(x) + a_(0)$ pakāpe ir mazāka par $m$, tāpēc apgalvojums ir patiess.

Apgalvojums ir pierādīts.

Šajā gadījumā tiek izsaukts polinoms $R(x)$ atlikumu dalot $A(x)$ ar $B(x)$ un $Q(x)$ - nepilnīgs privātais.

Ja $R(x)$ atlikusī daļa ir nulles polinoms, tad tiek uzskatīts, ka $A(x)$ dalās ar $B(x)$.

Facebook
Twitter
Saskarsmē ar
klasesbiedriem
Google Plus