Matematika, amit szeretek. Polinom osztás Hogyan oldjuk meg a polinom osztást

Bizonyítékot kapunk arra, hogy egy polinomokból álló helytelen tört egy polinom és egy megfelelő tört összegeként ábrázolható. Részletesen elemezzük a polinomok sarokkal való osztására és oszloppal való szorzására vonatkozó példákat.

Tétel

Legyen Pk (x), Qn (x) az x változóban lévő k és n fokú polinomok, ahol k ≥ n . Ekkor a P k polinom (x) csak a következő módon ábrázolható:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
ahol S k-n (x)- k-n fokú polinom, U n- 1(x)- n-nél nem magasabb fokú polinom 1 , vagy nulla.

Bizonyíték

A polinom definíciója szerint:
;
;
;
,
ahol p i , q i - ismert együtthatók, s i , u i - ismeretlen együtthatók.

Bemutatjuk a jelölést:
.
Csere be (1) :
;
(2) .
A jobb oldalon lévő első tag egy k fokú polinom. A második és harmadik tag összege legfeljebb k fokos polinom - 1 . Egyenlítsük ki az együtthatókat x k-nél:
p k = s k-n q n.
Ezért s k-n = p k / q n .

Alakítsuk át az egyenletet (2) :
.
Vezessük be a jelölést: .
Mivel s k-n = p k / q n, akkor az x k együtthatója nulla. Ezért - ez egy legfeljebb k fokos polinom - 1 , . Ekkor az előző egyenlet a következőképpen írható át:
(3) .

Ennek az egyenletnek ugyanaz a formája, mint az egyenletnek (1) , csak k értéke lett 1 Kevésbé. Ezt az eljárást k-n-szer megismételve a következő egyenletet kapjuk:
,
amelyből meghatározzuk az U n- polinom együtthatóit 1(x).

Tehát meghatároztuk az összes ismeretlen s i , u l együtthatót. Ráadásul s k-n ≠ 0 . A lemma bevált.

Polinomok felosztása

Az egyenlet mindkét oldalának felosztása (1) a Q n (x), kapunk:
(4) .
A decimális számokhoz hasonlóan S k-n (x) a tört egész részének vagy privátnak nevezzük, U n- 1(x)- az osztály többi része. A polinomok azon törtrészét, amelyben a polinom fokszáma a számlálóban kisebb, mint a nevezőben lévő polinom fokszáma, megfelelő törtnek nevezzük. A polinomok azon törtrészét, amelyben a polinom fokszáma a számlálóban nagyobb vagy egyenlő, mint a nevezőben lévő polinom fokszáma, helytelen törtnek nevezzük.

Az egyenlet (4) megmutatja, hogy a polinomok bármely helytelen törtrésze leegyszerűsíthető, ha egy egész rész és egy megfelelő tört összegeként ábrázolja.

Az egész decimális számok lényegükben polinomok, amelyekben a változó egyenlő a számmal 10 . Vegyük például a 265847 számot. Ez a következőképpen ábrázolható:
.
Vagyis egy ötödik fokú polinomról van szó 10 . A 2, 6, 5, 8, 4, 7 számok a szám 10 hatványaiban kifejezett bővülési együtthatói.

Ezért a polinomok alkalmazhatók a sarokkal való osztás szabályára (ezt néha oszlopos osztásnak is nevezik), amelyet a számok osztására alkalmaznak. Az egyetlen különbség az, hogy polinomok osztásakor nem kell a kilencnél nagyobb számokat magasabb számjegyekre konvertálni. Tekintsük a polinomok sarokkal való felosztását konkrét példák segítségével.

Példa polinomok sarokkal való elosztására

.

Itt a számláló egy negyedfokú polinom. A nevező egy másodfokú polinom. Amennyiben 4 ≥ 2 , akkor a tört nem helyes. Az egész részt úgy jelöljük ki, hogy a polinomokat elosztjuk egy sarokkal (egy oszlopban):

Adjuk meg a felosztás folyamatának részletes leírását. Az eredeti polinomokat a bal és jobb oldali oszlopokba írjuk. A nevezőpolinom alatt a jobb oldali oszlopban vízszintes vonalat (sarkot) húzunk. Ez alatt a vonal alatt egy szögben a tört egész része lesz.

1.1 Megtaláljuk az egész rész első tagját (a sarok alatt). Ehhez a számláló legmagasabb tagját elosztjuk a nevező legmagasabb tagjával: .

1.2 Szorozni 2x2 x-en 2-3 x + 5:
. Az eredményt a bal oldali oszlopba írjuk:

1.3 A bal oldali oszlopban lévő polinomok különbségét vesszük:

.

Így kaptunk egy köztes eredményt:
.

A jobb oldalon lévő tört helytelen, mert a polinom foka a számlálóban ( 3 ) nagyobb vagy egyenlő, mint a polinom mértéke a nevezőben ( 2 ). Megismételjük a számításokat. Csak most a tört számlálója a bal oldali oszlop utolsó sorában található.
2.1 Ossza el a számláló rangidős tagját a nevező rangidős tagjával: ;

2.2 Megszorozzuk a nevezővel: ;

2.3 És vonjuk ki a bal oldali oszlop utolsó sorából: ;


Köztes eredmény:
.

Ismételjük meg a számításokat, mivel a jobb oldalon hibás tört található.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Így kaptunk:
.
A jobb oldali tört számlálójában a polinom foka kisebb, mint a nevező polinom foka, 1 < 2 . Ezért a tört helyes.

;
2 x 2 - 4 x + 1 az egész rész;
x- 8 - az osztály többi része.

2. példa

Jelölje ki a tört egész részét, és keresse meg az osztás maradékát:
.

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint az előző példában:

Itt az osztás maradéka nulla:
.

Polinomok szorzása oszloppal

A polinomokat meg is szorozhatja egy oszloppal, hasonlóan az egész számok szorzásához. Nézzünk konkrét példákat.

Példa polinomok szorzására oszloppal

Keresse meg a polinomok szorzatát:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

3
;
;
;
.

Megjegyezzük, hogy csak az együtthatók írhatók fel, és az x változó hatványai elhagyhatók. Ekkor a polinomok oszlopával való szorzás így fog kinézni:

2. példa

Keresse meg a polinomok szorzatát egy oszlopban:
.

Ha polinomokat szorozunk egy oszloppal, fontos, hogy az x változó azonos hatványait írjuk egymás alá. Ha x egyes hatványait kihagyjuk, akkor azokat kifejezetten nullával szorozva kell felírni, vagy szóközt kell hagyni.

Ebben a példában néhány fokot kihagytunk. Ezért kifejezetten, nullával szorozva írjuk őket:
.
A polinomokat megszorozzuk egy oszloppal.

1 Az eredeti polinomokat egymás alá írjuk egy oszlopba, és húzunk egy vonalat.

2.1 A második polinom legalacsonyabb tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk.

2.2 A második polinom következő tagja nulla. Ezért az első polinom szorzata is egyenlő nullával. A null sor elhagyható.

2.3 A második polinom következő tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

2.3 A második polinom következő (legnagyobb) tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

3 Miután a második polinom összes tagját megszoroztuk az elsővel, húzunk egy vonalat, és hozzáadjuk az azonos x hatványú tagokat:
.

Emlékezzünk vissza, hogy egy a természetes szám elosztása b természetes számmal azt jelenti, hogy az a számot a következő formában ábrázoljuk:

ahol a c hányados és az r maradék nemnegatív egész számok, és az r maradék kielégíti az egyenlőtlenséget:

Ha polinomokat osztunk el egymással, akkor hasonló helyzet áll elő.

Valójában, ha összeadás, kivonás és szorzás műveleteket hajt végre polinomokon, az eredmény mindig polinom lesz. Különösen, ha két nem nulla polinomot szorozunk, a szorzat foka egyenlő lesz a tényezők fokszámainak összegével.

Ennek eredményeként azonban polinomok felosztása polinomot nem mindig kapjuk meg.

Azt mondják, hogy egy polinom teljesen (maradék nélkül) osztható egy másik polinommal ha az osztás eredménye polinom.

Ha az egyik polinom nem osztható egy másik polinommal, akkor mindig meg lehet csinálni polinomok felosztása maradékkal, aminek eredményeként a hányados és a maradék is polinom lesz.

Meghatározás . Polinom felosztása a(x) egy polinomhoz b(x) a maradékkal- polinom ábrázolását jelenti a(x) mint

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

hol van a polinom c(x) egy hányados, és a polinom r(x) a maradék, és a maradék mértéke kielégíti az egyenlőtlenséget:

Fontos megjegyezni, hogy a képlet

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

egy identitás , azaz egyenlőség az x változó összes értékére érvényes.

Ha egy polinomot osztunk (maradékkal vagy anélkül) a hányadosban lévő kisebb fokú polinommal, akkor olyan polinomot kapunk, amelynek foka megegyezik az osztó és az osztó fokai közötti különbséggel.

A polinomok maradékkal való osztásának egyik módja az polinomok felosztása "sarokkal", ami teljes analógiája annak, hogyan történik egész számok osztásakor.

Most rátérünk ennek a polinomosztási módszernek a leírására.

Példa. Miután előzőleg a polinomokat a változó csökkenő hatványaiba rendeztük, elosztjuk a polinomot

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

polinomhoz

x 2 - x + 1 .

Megoldás . Leírjuk a polinomok „sarokkal” történő osztásának algoritmusát lépésenként:

1. Feloszt az osztalék első futamideje 2x 4 az osztó első tagjához x 2. Kapunk közlegény első tagja 2x 2 .
2. Szorozni közlegény első tagja 2x 2 on osztó x 2 - x+ 1, és a szorzás eredménye

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

osztható alá írjuk 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

3. Az osztalékból kivonjuk az alatta írt polinomot. Kapunk első maradék

x 3 + 3x 2 - 8x .

Ha ez a maradék egyenlő nullával, vagy olyan polinom lenne, amelynek foka kisebb, mint az osztó foka (ebben az esetben kisebb, mint 2), akkor az osztási folyamat befejeződött. Ez azonban nem így van, és a megosztottság folytatódik.

4. Feloszt a maradék első tagja x 3 az osztó első tagjához x 2. Kapunk második tagja magán x .
5. Szorozni második tagja magán x be osztó x 2 - x + 1 , és a szorzás eredménye

x 3 - x 2 +x

írd az első alá x 3 + 3x 2 - 8x .

6. Az első maradékból kivonjuk az alatta írt polinomot. Kapunk második maradék

4x 2 - 9x + 1 .

Ha ez a maradék egyenlő nullával, vagy ha olyan polinomról lenne szó, amelynek foka kisebb, mint az osztó foka, akkor az osztási folyamat befejeződött. Ez azonban nem így van, és a megosztottság folytatódik.

7. Feloszt a második maradék első tagja 4x 2 on első osztó tag x 2. Kapunk harmadik tagja magán 4 .
8. Szorozni harmadik tagja magán 4 on osztó x 2 - x + 1 , és a szorzás eredménye

Kezdjük néhány meghatározással. $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(ni)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ alakú kifejezés (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Például a $4x^(14)+87x^2+4x-11$ kifejezés egy polinom, amelynek foka $14$. A következőképpen jelölhető: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Az $a_0$ együtthatót a $P_n(x)$ polinom vezető együtthatójának nevezzük. Például a $4x^(14)+87x^2+4x-11$ polinom esetében a vezető együttható $4$ (az $x^(14)$ előtti szám). Az $a_n$ számot a $P_n(x)$ polinom szabad tagjának nevezzük. Például $4x^(14)+87x^2+4x-11$ esetén a metszéspont $(-11)$. Most térjünk rá arra a tételre, amelyre tulajdonképpen az ezen az oldalon található anyag bemutatása is alapszik.

Bármely két $P_n(x)$ és $G_m(x)$ polinomhoz megtalálhatjuk a $Q_p(x)$ és $R_k(x)$ polinomokat úgy, hogy az egyenlőség

\begin(egyenlet) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(egyenlet)

és $k< m$.

A „$P_n(x)$ polinom elosztása a $G_m(x)$ polinommal” kifejezés azt jelenti, hogy „a $P_n(x)$ polinomot az (1) alakban ábrázoljuk”. A $P_n(x)$ polinomot oszthatónak, a $G_m(x)$ polinomot osztónak, a $Q_p(x)$ polinomot a $P_n(x)$ hányadosának nevezzük, osztva $G_m(x)$-tal, és a $ R_k(x)$ polinom - maradék $P_n(x)$ elosztása után $G_m(x)$-val. Például $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ és $G_4(x)=3x^4+4x^2+ polinomokhoz 2 $-ért megkaphatja ezt az egyenlőséget:

$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Itt a $P_6(x)$ polinom osztható, a $G_4(x)$ polinom osztó, a $Q_2(x)=4x^2+x$ polinom a $P_6(x)$ hányadosa osztva $G_4(x) $, és a $R_3(x)=2x^3+1$ polinom a maradék $P_6(x)$ és $G_4(x)$ elosztása után. Megjegyzem, hogy a maradék foka (azaz 3) kisebb, mint az osztó foka (azaz 4), ezért az egyenlőség feltétele teljesül.

Ha $R_k(x)\equiv 0$, akkor a $P_n(x)$ polinomról azt mondjuk, hogy maradék nélkül osztható a $G_m(x)$ polinommal. Például a $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ polinom maradék nélkül osztható a $3x^4+15$ polinommal, mivel az egyenlőség teljesül:

$21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Itt a $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ polinom osztható; polinom $G_4(x)=3x^4+15$ - osztó; és a $Q_2(x)=7x^2+2x$ polinom a $P_6(x)$ hányadosa osztva $G_4(x)$-val. A maradék nulla.

Egy polinom polinomra való felosztásához gyakran használják az "oszloppal" vagy más néven "sarokkal" való osztást. Példákkal elemezzük ennek a módszernek a megvalósítását.

Mielőtt rátérnék a példákra, bemutatok még egy kifejezést. Ő nem általánosan elfogadott, és kizárólag az anyag bemutatásának kényelmét szolgáljuk. Ennek az oldalnak a végéig a $P_n(x)$ polinom vezető elemét az $a_(0)x^(n)$ kifejezésnek nevezzük. Például a $4x^(14)+87x^2+4x-11$ polinom vezető eleme $4x^(14)$.

1. példa

Oszd el a $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$-t $5x^2-x+2$-tal az "oszlopos" osztás segítségével.

Tehát van két polinomunk: $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ és $G_2(x)=5x^2-x+2$. Az első mértéke 5 dollár, a másodiké 2 dollár. A $P_5(x)$ polinom az osztó, a $G_2(x)$ polinom pedig az osztó. Az a feladatunk, hogy megtaláljuk a hányadost és a maradékot. A probléma lépésről lépésre megoldódik. Ugyanazt a jelölést fogjuk használni, mint a számok osztásakor:

Első lépés

Osszuk el a $P_5(x)$ polinom legmagasabb elemét (azaz $10x^5$) a $Q_2(x)$ polinom legmagasabb elemével (azaz $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Az eredményül kapott $2x^3$ kifejezés a hányados első eleme:



Szorozza meg a $5x^2-x+2$ polinomot $2x^3$-tal, hogy megkapja:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Írjuk fel az eredményt:

Most vonjuk ki a $10x^5-2x^4+4x^3$ polinomot a $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ polinomból:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$



Itt ér véget az első lépés. A kapott eredményt kibővített formában írhatjuk fel:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Mivel a $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (azaz 4) polinom foka nagyobb, mint a $5x^2-x+2$ polinom fokszáma (azaz 2), a a folyamatfelosztást folytatni kell. Térjünk át a második lépésre.

Második lépés

Most a $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ és a $5x^2-x+2$ polinomokkal fogunk dolgozni. Ugyanúgy, mint az első lépésben, az első polinom vezető elemét (azaz $5x^4$) elosztjuk a második polinom vezető elemével (azaz $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Az eredményül kapott $x^2$ kifejezés a hányados második eleme. Adjuk hozzá a $x^2$ hányadoshoz



Szorozzuk meg a $5x^2-x+2$ polinomot $x^2$-tal, hogy megkapjuk:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Írjuk fel az eredményt:



Most vonjuk ki a $5x^4-x^3+2x^2$ polinomot a $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ polinomból:

$5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Ezt a polinomot már a sor alá adjuk:



Itt ér véget a második lépés. A kapott eredmény kiterjesztett formában írható fel:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Mivel a $-15x^3+23x^2-2x+5$ (azaz 3) polinom foka nagyobb, mint a $5x^2-x+2$ polinom fokszáma (azaz 2), folytatjuk az osztást. folyamat. Térjünk át a harmadik lépésre.

Harmadik lépés

Most a $-15x^3+23x^2-2x+5$ és a $5x^2-x+2$ polinomokkal fogunk dolgozni. Az előző lépésekhez hasonlóan az első polinom vezető elemét (azaz $-15x^3$) elosztjuk a második polinom vezető elemével (azaz $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Az eredményül kapott $(-3x)$ kifejezés a hányados harmadik eleme. Adjunk hozzá a hányadoshoz $-3x$



Szorozzuk meg a $5x^2-x+2$ polinomot $(-3x)$-val, hogy megkapjuk:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Írjuk fel az eredményt:



Most vonjuk ki a $-15x^3+3x^2-6x$ polinomot a $-15x^3+23x^2-2x+5$ polinomból:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Ezt a polinomot már a sor alá adjuk:



Itt ér véget a harmadik lépés. A kapott eredmény kiterjesztett formában írható fel:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Mivel a $20x^2+4x+5$ (azaz 2) polinom foka megegyezik a $5x^2-x+2$ polinom fokszámával (azaz 2), folytatjuk az osztási folyamatot. Térjünk át a negyedik lépésre.

Negyedik lépés

Most a $20x^2+4x+5$ és a $5x^2-x+2$ polinomokkal fogunk dolgozni. Az előző lépésekhez hasonlóan az első polinom vezető elemét (azaz $20x^2$) elosztjuk a második polinom vezető elemével (azaz $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Az eredményül kapott $4$ szám a hányados negyedik eleme. Adjunk hozzá a hányadoshoz $4$



Szorozza meg a $5x^2-x+2$ polinomot $4$-tal, hogy megkapja:

4 $\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Írjuk fel az eredményt:



Most kivonjuk a $20x^2-4x+8$ polinomot a $20x^2+4x+5$ polinomból.

Ez a cikk a racionális törteket, az egész számok kiválasztását tárgyalja. A törtek helyesek és rosszak. Ha a számláló kisebb, mint a nevező egy törtben, az megfelelő tört, és fordítva.

Vegyünk példákat a helyes törtekre: 1 2, 9 29, 8 17, helytelen: 16 3, 21 20, 301 24.

Kiszámoljuk a csökkenthető törteket, azaz 12 16 az 3 4, 21 14 az 3 2.

Az egész rész kiválasztásakor a számlálónak a nevezővel való elosztása történik. Ekkor egy ilyen tört egy egész szám és egy tört rész összegeként ábrázolható, ahol a tört rész az osztás maradékának és a nevezőnek az aránya.

1. példa

Keresse meg a maradékot, ha 27-et osztunk 4-gyel.

Megoldás

Oszloppal kell osztani, akkor azt kapjuk

Tehát 27 4 \u003d egész rész + n és m többi része és bányász \u003d 6 + 3 4

Válasz: maradék 3.

2. példa

Válassza ki a 331 12 és 41 57 teljes részeket.

Megoldás

A nevezőt egy sarok segítségével elosztjuk a számlálóval:





Ezért azt kaptuk, hogy 331 12 \u003d 27 + 7 12.

A második tört helyes, ami azt jelenti, hogy az egész rész egyenlő nullával.

Válasz: 27 és 0 egész részek.

Tekintsük a polinomok osztályozását, más szóval egy tört racionális függvényt. Akkor tekinthető helyesnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező mértéke, ellenkező esetben hibásnak minősül.

1. definíció

Polinom osztása polinommal a szöggel való osztás elve szerint történik, és a függvénynek az egész és a tört részek összegeként való ábrázolása.

A polinom lineáris binomiálisra osztásához Horner sémáját használjuk.

3. példa

Ossza el x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2-t a 2 x 2 monomimmal.

Megoldás

Az osztás tulajdonságát felhasználva azt írjuk

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Gyakran az ilyen típusú transzformációt integrálok vételekor hajtják végre.

4. példa

Polinom felosztása polinommal: 2 x 3 + 3 x 3 + x.

Megoldás

Az osztásjel a 2 x 3 + 3 x 3 + x alak törtrészeként írható fel. Most ki kell választania a teljes részt. Ezt úgy tesszük, hogy elosztjuk egy oszloppal. Ezt értjük



Így azt kapjuk, hogy az egész rész értéke - 2 x + 3, akkor az egész kifejezést a következőképpen írjuk fel: 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

5. példa

Oszd meg és keresd meg a maradékot, miután 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 - t elosztod x 3 + 2 x 2 - 1 - gyel .

Megoldás

Rögzítsük a 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 alak törtrészét.

A számláló foka nagyobb, mint a nevezőé, ami azt jelenti, hogy hibás törtünk van. Oszloppal való osztás segítségével válassza ki a teljes részt. Ezt értjük



Ismételjük meg az osztást, és kapjuk:



Innen azt kapjuk, hogy a maradék - 65 x 2 + 10 x - 3, tehát:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2x2-1

Vannak esetek, amikor szükség van egy tört átalakításra is, hogy felfedni lehessen a maradékot az osztás során. Ez így néz ki:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 xx 3 - 3 - 2 xx 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Ez azt jelenti, hogy a maradék 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3-mal való osztásakor - 3 x 2 + 6 x - 4 értéket kap. Az eredmény gyors megtalálásához rövidített szorzási képleteket használnak.

6. példa

Osszuk el 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3-mal.

Megoldás

Írjuk fel az osztást törtként. Azt kapjuk, hogy 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Ne feledje, hogy a számlálóban a kifejezés hozzáadható az összegkockák képletével. Nálunk ez van

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Az adott polinom maradék nélkül osztható.

A megoldáshoz egy kényelmesebb megoldási módszert használnak, és a polinom polinomokkal való osztása a leguniverzálisabb, ezért gyakran használják egész rész kiválasztásánál. A végső bejegyzésnek tartalmaznia kell az osztás eredményeként kapott polinomot.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Nyilatkozat

maradék hiányos privát.

Megjegyzés

Bármely $A(x)$ és $B(x)$ polinomhoz (a $B(x)$ mértéke nagyobb, mint 0) egyedi $Q(x)$ és $R(x)$ polinomok állnak rendelkezésre az állítás feltétele.

1. A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinomnak $x^(2) + 1$-val való elosztása után: $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1) (x^(2) + 1) +3x + 4,$
2. A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinom $x^(4) + 1$-val való elosztása után: $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinom $x^(6) + 1$-val való elosztása után $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Nyilatkozat

Bármely két $A(x)$ és $B(x)$ polinomhoz (ahol a $B(x)$ polinom foka nem nulla), létezik $A(x)$ polinomábrázolás a következő formában $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, ahol $Q(x)$ és $R(x)$ polinomok, és a $R(x)$ mértéke kisebb, mint a $B(x).$ foka

Bizonyíték

Az állítást indukcióval igazoljuk a $A(x).$ polinom fokára. Jelölje $n$. Ha $n = 0$, az állítás igaz: $A(x)$ a következőképpen ábrázolható: $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Most bizonyítsuk be az állítást $n \ leqm$ fokú polinomok. Bizonyítsuk be az állítást $k= n+1.$ fokú polinomokra

Legyen a $B(x)$ polinom foka egyenlő $m$-val. Tekintsünk három esetet: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ és mindegyikre bizonyítsd be az állítást.

1. $k< m$
   A $A(x)$ polinom a következőképpen ábrázolható

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Az állítás megtörtént.

2. $k = m$
   Legyen a $A(x)$ és $B(x)$ polinomok alakja

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \pontok + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(ahol ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \pontok + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(ahol ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   Legyen az $A(x)$ mint

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   Vegye figyelembe, hogy a $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ polinom foka legfeljebb $n+1$, akkor ez a reprezentáció a kívánt egyet, és az állítás teljesül.

3. $k > m$
   Az $A(x)$ polinomot ábrázoljuk az alakban

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (ahol) \: a_(n+1) \neq 0.$

   Tekintsük a $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1) polinomot. A $ $A"-ként ábrázolható. (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, ahol a $R"(x)$ polinom foka kisebb, mint $m$, akkor a $A(x) reprezentációja $ átírható mint

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Vegye figyelembe, hogy a $xR"(x)$ polinom foka kisebb, mint $m+1$, azaz kisebb, mint $k$. Ekkor $xR"(x)$ kielégíti az induktív feltevést, és $ xR"-ként ábrázolható. (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, ahol a $R""(x)$ polinom foka kisebb, mint $m$. Írja át az $A reprezentációt (x)$ hogyan

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   A $R""(x) + a_(0)$ polinom mértéke kisebb, mint $m$, így az állítás igaz.

Az állítás bebizonyosodott.

Ebben az esetben az $R(x)$ polinomot hívjuk maradék$A(x)$ $B(x)$ és $Q(x)$ elosztásából - hiányos privát.

Ha $R(x)$ maradéka nulla polinom, akkor $A(x)$ osztható $B(x)$-val.

Facebook
Twitter
Kapcsolatban áll
osztálytársak
Google+