A2 b2 rövidített szorzóképlet. Rövidített szorzóképletek példákkal. ! Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat
Matematikai kifejezések (képletek) rövidített szorzás(az összeg és a különbség négyzete, az összeg és a különbség kocka, a négyzetek különbsége, a kockák összege és különbsége) rendkívül pótolhatatlanok az egzakt tudományok számos területén. Ez a 7 karakteres bejegyzés pótolhatatlan kifejezések egyszerűsítéséhez, egyenletek megoldásához, polinomok szorzásához, törtek csökkentéséhez, integrálok megoldásához és még sok máshoz. Tehát nagyon hasznos lesz kitalálni, hogyan szerezték be, mire valók, és ami a legfontosabb, hogyan emlékezzünk rájuk, majd alkalmazzuk őket. Aztán jelentkezés rövidített szorzóképletek a gyakorlatban a legnehezebb az lesz, hogy megnézzük, mi van xés mi van. Nyilvánvalóan nincsenek korlátozások aÉs b nem, ami azt jelenti, hogy bármilyen numerikus vagy szó szerinti kifejezés lehet.
És hát itt vannak:
Első x 2 - 2-kor = (x - y) (x + y).Számolni négyzetek különbsége két kifejezés esetén ezeknek a kifejezéseknek a különbségét meg kell szorozni az összegükkel.
Második (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Megtalálni négyzetes összeg két kifejezést, az első kifejezés négyzetéhez hozzá kell adni az első kifejezés szorzatának kétszeresét a másodikkal és a második kifejezés négyzetével.
Harmadik (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Számolni különbség négyzet két kifejezést, akkor az első kifejezés négyzetéből ki kell vonni az első kifejezés szorzatának kétszeresét a másodikkal és a második kifejezés négyzetével.
Negyedik (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 év + 3x 2 + 3-nál. Számolni összeg kocka két kifejezést, az első kifejezés kockájához hozzá kell adni az első és a második kifejezés négyzetének háromszorosát, plusz háromszor az első kifejezés és a második négyzetének szorzatát, plusz a kockát második kifejezés.
Ötödik (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 év + 3x 2 -3-kor. Számolni különbség kocka két kifejezést, az első kifejezés kockájából ki kell vonni az első kifejezés négyzetének szorzatát a második szorzatával plusz háromszor az első kifejezés szorzatával és a második négyzetének mínusz a második kockájával. kifejezés.
hatodik x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Számolni kockák összege Két kifejezés esetén az első és a második kifejezés összegét meg kell szorozni a kifejezések különbségének hiányos négyzetével.
hetedik x 3 -3-kor \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Számítás elkészítéséhez kocka különbségek két kifejezés esetén az első és a második kifejezés különbségét meg kell szorozni e kifejezések összegének hiányos négyzetével.
Nem nehéz megjegyezni, hogy az összes képletet az ellenkező irányú számításokhoz (jobbról balra) használják.
Ezeknek a törvényszerűségeknek a létezése körülbelül 4 ezer évvel ezelőtt ismert volt. Széles körben használták az ókori Babilon és Egyiptom lakói. De azokban a korszakokban verbálisan vagy geometriailag fejezték ki őket, és nem használtak betűket a számításokban.
Elemezzük összeg négyzet bizonyíték(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Ez matematikai szabályszerűség bizonyította a Kr.e. 3. században Alexandriában dolgozó ókori görög tudós, Euklidész, ennek képletének bizonyítására a geometriai módszert alkalmazta, hiszen az ókori Hellász tudósai sem használtak betűket a számok jelölésére. Mindenhol nem „a 2-t”, hanem „egy négyzetet az a szakaszon”, nem „ab”, hanem „az a és b szegmensek közé zárt téglalapot” használtak.
Kifejezés ( a + b) 2 az négyzetes összeg számok aÉs b. Definíció szerint a kifejezés ( a + ba + b)(a + b). Ezért az összeg négyzetéből arra következtethetünk
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
azaz két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első és a második szám szorzatának kétszerese, plusz a második szám négyzete.
összeg négyzet képlet
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Polinom a 2 + 2ab + b 2-t az összeg négyzetének kiterjesztésének nevezzük.
Mivel aÉs b jelöljünk tetszőleges számokat vagy kifejezéseket, akkor a szabály lehetőséget ad arra, hogy minden olyan kifejezést négyzetre írjunk, amely két tag összegének tekinthető.
Példa. 3. négyzetesítési kifejezés x 2 + 2xy.
Megoldás: hogy ne végezzünk további átalakításokat, az összeg négyzetének képletét használjuk. Meg kell kapnunk az első szám négyzetének összegét, az első szám és a második és a második szám négyzetének szorzatának kétszeresét:
(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2
Most a monomok szorzásának és hatványozásának szabályait használva leegyszerűsítjük az eredményül kapott kifejezést:
(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2
A különbség négyzete
Kifejezés ( a - b) 2 az különbség négyzet számok aÉs b. Kifejezés ( a - b) 2 két polinom szorzata ( a - b)(a - b). Ezért a különbség négyzetéből arra következtethetünk
(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,
vagyis két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, mínusz az első és a második szám szorzatának kétszerese, plusz a második szám négyzete.
A szabályból következik, hogy a teljes különbség négyzet képlet, köztes átalakítások nélkül, így fog kinézni:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Polinom a 2 - 2ab + b 2-t a különbség négyzetes kiterjesztésének nevezzük.
Ez a szabály azon kifejezések rövidített négyzetesítésére vonatkozik, amelyek két szám különbségeként ábrázolhatók.
Példa. Fejezd ki a különbség négyzetét hármas számmal:
(2a 2 - 5ab 2) 2
Megoldás: a különbség négyzetének képletével azt kapjuk, hogy:
(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
Most alakítsuk át a kifejezést szabványos polinommá:
(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4
A négyzetek különbsége
Kifejezés a 2 - b 2 van négyzetek különbsége számok aÉs b. Kifejezés a 2 - b A 2 egy rövidített módszer, amellyel két szám összegét megszorozzuk a különbségükkel:
(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,
azaz két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő e számok négyzeteinek különbségével.
A szabályból következik, hogy a teljes négyzetek különbségi képleteígy néz ki:
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
Ez a szabály az olyan kifejezések rövidített szorzására vonatkozik, amelyek ábrázolhatók: az egyik két szám összege, a másik pedig ugyanazon számok különbsége.
Példa. A szorzat konvertálása binomiálissá:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)
Megoldás:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9
A példában a jobbról balra húzódó négyzetek különbségének képletét alkalmaztuk, vagyis a képlet jobb oldalát adtuk, és balra alakítottuk át:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
A gyakorlatban mindhárom figyelembe vett képletet balról jobbra és jobbról balra egyaránt alkalmazzák, a helyzettől függően.
Polinom szorzása polinommal
! Nak nek megszorozni egy polinomot egy polinommal, meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.
Légy óvatos! Minden kifejezésnek megvan a maga jele.
Rövidített szorzóképletek A polinomok általában 7 (hét) gyakran előforduló esetek a polinomok szorzására.
Definíciók ésRövidített szorzóképletek. asztal
2. táblázat: A rövidített szorzóképletek definíciói (kattintson a nagyításhoz)
Három rövidített szorzási képlet négyzetekhez
1. Összeg négyzet képlet.
összeg négyzet két kifejezés egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszeresével és a második kifejezés négyzetével.
A képlet jobb megértéséhez először egyszerűsítsük a kifejezést (bontsa ki az összeg négyzetének képletét)
Most faktorizáljunk (hajtsuk össze a képletet)
A faktorálás műveletsora:
- határozza meg, mely monomok négyzetesek ( 5 És 3 m);
- ellenőrizze, hogy a kettős szorzatuk a képlet közepén van-e (2 5 3m = 30 m);
- írd le a választ (5 + 3 m) 2.
2. Különbség négyzetes képlet
A különbség négyzete két kifejezésből egyenlő az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.
Először is egyszerűsítsük a kifejezést (bontsa ki a képletet):
És akkor fordítva, figyelembe vesszük (összecsukjuk a képletet):
3. Négyzetek különbségének képlete
Két kifejezés összegének és különbségének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével.
Hajtsa be a képletet (végezze el a szorzást)
Most bővítsük ki a képletet (tényezzük)
Négy rövidített szorzóképlet a kockákhoz
4. Két szám összegének kockájának képlete
A két kifejezés összegének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával, plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosával a másodikkal plusz az első kifejezés szorzatával és a második négyzetével plusz a második kockájával. kifejezés.
A műveletek sorrendje a képlet „hajtogatásakor”:
- keresse meg a kockára vágott monomokat (itt 4xÉs 1 );
- ellenőrizze az átlagos feltételeket a képletnek való megfelelés érdekében;
- írd le a választ.
5. Két szám különbségének kockájának képlete
A két kifejezés különbségének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a kocka a második kifejezés.
6. Kockaösszeg képlete
Két kifejezés kockáinak összege egyenlő az első és a második kifejezés összegének e kifejezések különbségének hiányos négyzetének szorzatával.
És vissza:
7. A kockák különbsége képlet
A két kifejezés kockái közötti különbség egyenlő az első és a második kifejezés különbségének és e kifejezések összegének hiányos négyzetének szorzatával.
Rövidített szorzóképletek alkalmazása. asztal
Példa a képletek gyakorlati használatára (szóbeli számolás).
Egy feladat: Határozzuk meg egy négyzet területét, amelynek oldala a = 71 cm.
Megoldás: S = a 2. Az összeg-négyzet képlet segítségével megvan
71 2 \u003d (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 \u003d 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2
Válasz: 5041 cm2
Az algebrai polinomok számításakor a számítások egyszerűsítése érdekében használjuk rövidített szorzóképletek . Összesen hét ilyen képlet létezik. Mindegyiket fejből kell ismerni.
Emlékeztetni kell arra is, hogy a képletekben a és b helyett lehetnek számok és bármilyen más algebrai polinom is.
A négyzetek különbsége
Két szám négyzetének különbsége egyenlő e számok különbségének és összegének szorzatával.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
összeg négyzet
Két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Vegye figyelembe, hogy ezzel a csökkentett szorzóképlettel könnyen megtehető keresse meg a nagy számok négyzeteit számológép vagy hosszú szorzás nélkül. Magyarázzuk meg egy példával:
Keresse meg a 112 2 számot.
Bontsuk fel a 112-t olyan számok összegére, amelyek négyzetére jól emlékszünk.2
112 = 100 + 1
A számok összegét zárójelbe írjuk, és a zárójelek fölé négyzetet teszünk.
112 2 = (100 + 12) 2
Használjuk a négyzetösszeg képletet:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Ne feledje, hogy a négyzetösszeg képlet minden algebrai polinomra is érvényes.
(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Figyelem!!!
(a + b) 2 nem egyenlő a 2 + b 2-vel
A különbség négyzete
Két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első és a második szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Érdemes megjegyezni egy nagyon hasznos átalakítást is:
(a - b) 2 = (b - a) 2
A fenti képletet a zárójelek egyszerű bővítésével bizonyítjuk:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
összeg kocka
A két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával, plusz az első szám négyzetének háromszorosával, a másodikkal plusz az első szám szorzatával, a második négyzetével plusz a második kockájával.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Megjegyezni ezt a "szörnyű" képletet meglehetősen egyszerű.
Tanuld meg, hogy a 3 az első.
A középen lévő két polinom együtthatója 3.
BAN BENne feledjük, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Könnyen belátható, hogy a képletben az a fok csökkenése és a b fok növekedése tapasztalható. Ezt ellenőrizheti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Figyelem!!!
(a + b) 3 nem egyenlő a 3 + b 3-mal
különbség kocka
A két szám különbségének kockája egyenlő az első szám kockájával mínusz az első szám négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első szám és a második szám négyzetének szorzatának háromszorosa mínusz a második kockája .
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Ezt a képletet az előzőként emlékeznek meg, de csak a „+” és „-” jelek váltakozását figyelembe véve. A 3 első tagját egy "+" előzi meg (a matematika szabályai szerint nem írjuk). Ez azt jelenti, hogy a következő tag előtt "-", majd ismét "+" stb.
(a-b) 3 = + egy 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
A kockák összege ( Nem tévesztendő össze az összegkockával!)
A kockák összege egyenlő két szám összegének és a különbség nem teljes négyzetének szorzatával.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
A kockák összege két zárójel szorzata.
Az első zárójel két szám összege.
A második zárójel a számok különbségének nem teljes négyzete. A különbség nem teljes négyzetét kifejezésnek nevezzük:
A 2 - ab + b 2
Ez a négyzet hiányos, mivel középen a duplaszorzat helyett a számok közönséges szorzata található.
Cube Difference (nem tévesztendő össze a különbségkockával!!!)
A kockák különbsége egyenlő két szám különbségének az összeg nem teljes négyzetével való szorzatával.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Legyen óvatos karakterek írásakor.Emlékeztetni kell arra, hogy a fenti képleteket jobbról balra is használjuk.
Egyszerű módja annak, hogy megjegyezzük a rövidített szorzóképleteket, vagy... Pascal háromszögét.
Nehéz megjegyezni a rövidített szorzás képleteit? Az eseten könnyű segíteni. Csak emlékeznie kell arra, hogyan ábrázolják az olyan egyszerű dolgot, mint a Pascal-háromszög. Akkor ezekre a képletekre mindig és mindenhol emlékezni fog, vagy inkább ne emlékezzen, hanem visszaállítsa.
Mi az a Pascal-háromszög? Ez a háromszög azokból az együtthatókból áll, amelyek az alak binomiális tetszőleges hatványának polinommá való bővítésébe lépnek.
Bontsuk fel például:
Ebben a rekordban könnyű megjegyezni, hogy az elején van az első, a végén pedig a második szám kocka. De ami a közepén van, azt nehéz megjegyezni. És még az is, hogy minden következő tagban az egyik tényező mértéke folyamatosan csökken, a második pedig növekszik - könnyű észrevenni és megjegyezni, nehezebb megjegyezni az együtthatókat és az előjeleket (plusz vagy mínusz?).
Tehát először az esélyek. Nem kell őket memorizálni! A jegyzetfüzet margójára gyorsan megrajzoljuk Pascal háromszögét, és itt vannak - az együtthatók, már előttünk. Hárommal kezdjük a rajzolást, egy felül, kettő alul, jobbra és balra - igen, máris háromszöget kaptunk:
Az első sor egy egyessel nulla. Aztán jön az első, második, harmadik és így tovább. A második sor megszerzéséhez ismét hozzá kell adni az éleket, és középre kell írni a két szám hozzáadásával kapott számot fölé:
A harmadik sort írjuk: ismét az egység szélei mentén, és ismét, hogy a következő számot egy új sorban kapja, adja hozzá a felette lévő számokat az előzőhöz:
Amint azt már sejtette, minden sorban megkapjuk a binomiális polinomra való felosztásából származó együtthatókat:
Nos, még könnyebb megjegyezni az előjeleket: az első ugyanaz, mint a kiterjesztett binomiálisban (kiírjuk az összeget, ami pluszt jelent, a különbséget, ami azt jelenti, hogy mínusz), majd az előjelek váltakoznak!
Ez egy nagyon hasznos dolog - Pascal háromszöge. Élvezd!
Rövidített szorzóképletek.
A rövidített szorzás képleteinek tanulmányozása: két kifejezés összegének négyzete és különbségének négyzete; két kifejezés négyzeteinek különbsége; két kifejezés összegének kockája és különbségének kockája; két kifejezés kockáinak összegei és különbségei.
Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.
A kifejezések egyszerűsítésére, a polinomok faktorizálására és a polinomok szabványos formára való redukálására rövidített szorzási képleteket használnak. Rövidített szorzóképletek, amelyeket fejből kell tudni.
Legyen a, b R. Ezután:
1. Két kifejezés összegének négyzete a az első kifejezés négyzete plusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Két kifejezés különbségének négyzete az az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. A négyzetek különbsége két kifejezés egyenlő e kifejezések különbségének és összegének szorzatával.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. összeg kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockája plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa a második és az első kifejezés szorzata a második négyzete plusz a második kifejezés kockája háromszorosa.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. különbség kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a második kifejezés kockájának szorzata.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kockák összege két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés összegének e kifejezések különbségének hiányos négyzetével.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. A kockák különbsége két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés különbségének e kifejezések összegének hiányos négyzetével.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.
1. példa
Kiszámítja
a) A két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet segítségével megkaptuk
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) A két kifejezés négyzetes különbségének képletével megkapjuk
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 = 9604
2. példa
Kiszámítja
A két kifejezés négyzeteinek különbségére vonatkozó képlet segítségével megkapjuk
3. példa
Kifejezés egyszerűsítése
(x - y) 2 + (x + y) 2
Két kifejezés összegének és különbségének négyzetére a képleteket használjuk
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Rövidített szorzóképletek egy táblázatban:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
kapcsolódó cikkek
