A St. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye. Példák problémamegoldásra Diszkrét valószínűségi változó megadásának módszerei

„Elfogadom, hogy egy csinos hősnő menekülve egy kanyargós és veszélyes hegyi ösvényen találhatja magát. Kevésbé valószínű, de mégis lehetséges, hogy a szakadékon átívelő híd éppen abban a pillanatban omlik össze, amikor a lány ráteszi a lábát. Rendkívül valószínűtlen, hogy az utolsó pillanatban megragad egy fűszálat, és a szakadék fölött lóg, de még ilyen lehetőség mellett is egyetértek. Elég nehéz, de mégis elhiheted, hogy egy jóképű cowboy éppen akkor megy el mellette, és kisegíti a szerencsétleneket. De hogy abban a pillanatban lesz egy kamerás operatőr, aki készen áll arra, hogy ezeket az izgalmas eseményeket filmre rögzítse - ezt nem hiszem el, köszönöm!

Niels Bohr a cowboy-westernekről

A valószínűségszámítás egyik központi fogalma a valószínűségi változó fogalma:

Véletlenszerű érték- ez egy olyan mennyiség, amely a teszt eredményeként egy és csak egy lehetséges értéket vesz fel, előre ismeretlen és véletlenszerű, előre nem vehető okok függvényében.

A véletlen változókat a latin ábécé betűivel fogjuk jelölni x, Y, Z

A valószínűségi változó a következő:

diszkrét

folyamatos

vegyes (diszkrét-
folyamatos)

Példa: dobókocka. A kiesett szám egy valószínűségi változó, amely egyenlő valószínűséggel felveheti a lehetséges értékek egyikét - 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6.

Példa: tanulók magassága - a tanuló magassága bármilyen értéket felvehet az 1 m és 2,5 m közötti számtartományból. A lehetséges értékek száma végtelen.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye

Egy diszkrét valószínűségi változó megadásához nem elég az összes lehetséges értékét felsorolni, meg kell adni a valószínűségét is.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye Egy valószínűségi változó lehetséges értékei és előfordulásuk valószínűségei közötti megfelelésnek nevezik.

Az eloszlási törvény megadható táblázatban, analitikusan (képlet formájában) vagy grafikusan (eloszlási sokszög formájában).

Tekintsünk egy valószínűségi változót x, amely az értékeket veszi fel x 1, x2, x 3 . x n némi valószínűséggel pi , ahol én= 1..n. Valószínűségek összege pi egyenlő 1.

Egy valószínűségi változó értékeinek megfelelőségi táblázata és az alakzat valószínűségei

hívott egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának közelében vagy éppen az elosztás közelében. Ez a táblázat a diszkrét valószínűségi változó megadásának legkényelmesebb formája.

Ennek a táblázatnak a grafikus ábrázolását ún eloszlási sokszög. Egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeit az abszcissza tengely mentén, a megfelelő valószínűségeket pedig az ordináta tengely mentén ábrázoljuk.

Diszkrét valószínűségi változók numerikus jellemzői

Az eloszlási törvény teljesen jellemzi a diszkrét valószínűségi változót. Ha azonban lehetetlen meghatározni az eloszlási törvényt, vagy ez nem szükséges, akkor korlátozódhatunk az értékek megtalálására, amelyeket egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezünk:

• Várható érték,
• diszperzió,
• Szórás

Ezek a mennyiségek határoznak meg valamilyen átlagos értéket, amely köré egy valószínűségi változó értékei csoportosulnak, és az átlagérték körüli szóródásuk mértékét.

Matematikai elvárás M A diszkrét valószínűségi változó a valószínűségi változó átlagos értéke, amely megegyezik a valószínűségi változó összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összegével.

A matematikai elvárás tulajdonságai:

Egy valószínűségi változó számos, gyakorlatilag fontos tulajdonságának leírásához nem csak a matematikai elvárásait kell ismerni, hanem a lehetséges értékeinek az átlagtól való eltérését is.

Valószínűségi változó varianciája- egy valószínűségi változó terjedésének mértéke, amely megegyezik a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárásával.

A matematikai elvárás tulajdonságait figyelembe véve ez könnyen kimutatható

Természetesnek tűnik, hogy nem egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérését vesszük figyelembe, hanem egyszerűen az eltérést. Ennek az eltérésnek a matematikai elvárása azonban nulla. Ez azzal magyarázható, hogy egyes lehetséges eltérések pozitívak, mások negatívak, és kölcsönös törlésük eredményeként nullát kapunk. A diszperzió mértékének tekinthetjük egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérési modulusának matematikai elvárását, de általában az abszolút értékekkel kapcsolatos cselekvések nehézkes számításokhoz vezetnek.

Diszperziós tulajdonságok:

1. Az állandó szórása nulla.
2. A konstans tényező a diszperziós jelből négyzetre emelve kivehető.
3. Ha egy x és y független valószínűségi változók, akkor e változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével.

Szórás véletlen változó (néha a " egy valószínűségi változó szórása "") -vel egyenlő számnak nevezzük

A szórás tehát, akárcsak a variancia, egy eloszlás szórásának mértéke, de a szórással ellentétben ugyanazokban az egységekben mérjük, amelyeket egy valószínűségi változó értékeinek mérésére használnak.

A tesztek megismétlése. Bernoulli képlet.

Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen feldobott érme fejjel lefelé landol, 1/2. Tehát egy esemény valószínűségének ismeretében megjósolhatjuk, hogy ha egy érmét százszor feldobnak, a címer 50-szer jelenik meg? Nem kell pontosan 50-nek lennie. De valami e körül biztos.

Jacob Bernoulli (1654-1705) szigorúan bebizonyította, hogy annak a valószínűsége, hogy egy esemény DE pontosan jön k alkalommal független n herék





ahol p- egy esemény bekövetkezésének valószínűsége DE, q az ellenkező esemény bekövetkezésének valószínűsége.

flash-library.narod.ru

Módszer diszkrét valószínűségi változók meghatározására 736

TOVÁBBI KAPCSOLÓDÓ ANYAG:

Tegyük fel, hogy egy diszkrét valószínűségi változó érdekel bennünket x. A teljes leíráshoz elegendő minden lehetséges értékét feltüntetni. x 1 , x 2 , . x n(itt n adott egész szám) és a valószínűségek R X= x i>= p i, ahol én = 1, 2, . n amellyel ezeket az értékeket elfogadják. Általában ezeket az értékeket táblázat formájában rögzítik (3.1. táblázat).

A táblázatot egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényének nevezzük (hasonlítsuk össze egy diszkrét statisztikai jellemző variációs sorozatával, hogy meglássuk a kapcsolatot a statisztika és a valószínűségszámítás között).

Mivel e feltételkészlet minden egyes megvalósításához a valószínűségi változó x csak egy értéket vehet ki a lehetséges értékek halmazából, akkor ezek az értékek összeférhetetlen események teljes csoportját képviselik. Ekkor a valószínűségek összeadási szabályának 2. következménye alapján a feltételnek teljesülnie kell. Ezt normalizáló állapotnak nevezik.

Grafikusan egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye ábrázolható szaggatott vonalként - sokszögként (3.2. ábra) (itt is célszerű felidézni a variációs sorozatot).



Rizs. 3.2. Az eloszlás törvényének grafikus ábrázolása
diszkrét valószínűségi változó

Ha egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza végtelen, de megszámlálható, akkor az eloszlási törvény a következő formában jelenik meg (3.2. táblázat):

1_06. előadás: Valószínűségszámítás. Véletlen változók

A valószínűségszámítás tényleges használata során az elemi események terével soha nem foglalkoznak. Ez a koncepció a valószínűségi sémák elméleti alátámasztásához szükséges. Leggyakrabban véletlenszerű sémákat vesznek figyelembe, amelyekben az esemény egy bizonyos szám megjelenése. Az ilyen sémáknál bevezetik a valószínűségi változó fogalmát. Ez a koncepció lesz előadásunk középpontjában. Megvizsgáljuk a valószínűségi változókat, azok megadásának módjait (ún. eloszlási törvényeket), a valószínűségi változók numerikus jellemzőit, valamint a leggyakoribb eloszlási törvényeket.

A valószínűségi változó az elemi események halmazának valós (vagy egész) számok halmazává való leképezése.

A következő sémát feltételezzük: véletlenszerű kísérlet eredményeként kiválasztunk egy elemi eseményt, ebből kiszámítjuk a függvény értékét, és ezt az értéket figyeljük meg. Az említett leképezés meghatározza egy valószínűségi változó bizonyos értékeinek előfordulási valószínűségét.

Például legyen az elemi események halmaza két kockadobásból, ami 36 elemi eredményt ad. Legyen a ξ függvény a kockára dobott értékek összege. Nyilvánvalóan egy ilyen valószínűségi változó értéke 2 és 12 között lehet. Ebben az esetben a 2-es érték egy elemi eseménynek felel meg, és mondjuk a 9-től négyig: (3.6), (4.5), (5.4) és (6.3).

Általában nem elemi eseményeket figyelünk meg és tanulmányozunk, amelyek halmaza teljesen ismeretlen számunkra, hanem valószínűségi változókat. A valószínűségi viselkedés beállításához be kell állítania annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel. Egy általunk figyelembe vett valószínűségi változó példáját a következőképpen definiálhatjuk:

Próbálja meg elkészíteni a valószínűségi táblázatot három kockadobás pontjainak összegéből.

Annak meghatározását, hogy egy valószínűségi változó milyen valószínűséggel veszi fel az értékeit, eloszlási törvényének nevezzük.

Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Az eloszlási törvény beállításának egyik legfontosabb módja az eloszlási függvény beállítása.

Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a függvény

A képen látható
egy példaként figyelembe vett valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

Az egyértelműség kedvéért a függvény grafikonja alatti terület szürkére van árnyékolva. Jól látható, hogy ez a függvény monoton nem csökkenő és darabonként állandó. Olyan pontokon ugrik, amelyeknek a valószínűsége pozitív.

Az ilyen eloszlásfüggvényt gyakran integrálnak nevezik. Ha folytonos és van deriváltja, akkor ezt a deriváltot gyakran eloszlássűrűségnek nevezik. Ha az eloszlásfüggvény, mint a példánkban, darabonként állandó, akkor ugrások halmaza játszhatja a sűrűség szerepét.

Egy tetszőleges eloszlásfüggvény meghatározása nehézkes. Az egyszerűség kedvéért két megközelítést alkalmazunk.

Először is, az ember gyakran korlátozza magát egy valószínűségi változó néhány nagyon egyszerű numerikus jellemzőjére.

Másodszor, gyakran előfordulnak valószínűségi eloszlási osztályok, és gyakran bizonyos "modell-okokból" meg lehet érteni, hogy egy adott eloszlás melyik osztályba tartozik. Ebben az esetben elegendő ennek az elosztásnak a paramétereit megadni.

Most megvizsgáljuk ezeket a megközelítéseket.

A valószínűségi változók jellemzői

Legyen adott egy ξ valószínűségi változó, amely véges számú értéket vesz fel a 1 , a 2 , . a k valószínűségekkel
p 1 , p 2 , . p k. Ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása az összeg Eξ = Σ én Körülbelül 1: k p én a én .

Hogy általánosabb esetben hogyan határozzák meg a matematikai elvárást, arról külön kell beszélni: integrálok használatosak, de azt már megtanították neked, hogy az integrált integrál összegeken keresztül definiálják, és a valószínűségi változóknál bevezethetsz hozzájuk közeli diszkrét valószínűségi változókat. , amelynek matematikai elvárásai az eredeti valószínűségi változó matematikai elvárásánál integrál összegek szerepét töltik be.

A matematikai elvárás, amint ebből a képletből látható, úgy értelmezhető, mint egy tömeghalmaz súlypontja. p én pontokra koncentrálva a én. Tulajdonságait természetesen a súlypont tulajdonságaiként ismerjük:

4. a, azaz ha k= 1, akkor Eξ = a,
5. ha η = cξ , hol c akkor állandó Eη = cEξ ,
6. bármely ξ és η esetén, E(ξ + η) = Eξ + Eη .

Egy valószínűségi változó varianciája ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárása.

Ez a meghatározás eleinte csendes iszonyatot kelt. Valójában ez a képlet nagyon kényelmes szóbeli leírása. A matematikai elvárás szavak azt jelentik, hogy írnunk kell
Dξ = E (.)
négyzet tisztázza
Dξ = E (.) 2
az eltérés már a zárójelben lévő kifejezésre vonatkozik
Dξ = E (. − .) 2
valószínűségi változó matematikai elvárásából befejezi a képlet megírását
Dξ = E (ξ − Eξ) 2

A diszperzió úgy értelmezhető, mint ugyanazon tömeghalmaz tehetetlenségi nyomatéka a súlypontja körül. Tulajdonságai nálunk is jól ismertek:

7. ha egy 1 valószínűségű valószínűségi változó veszi fel az értéket a, akkor Dξ = 0,
8. ha η = cξ , hol c akkor állandó Dη = c 2 Dξ .
9. Egyenlőséget szeretnék D(ξ + η) = Dξ + Dη , de ez csak független valószínűségi változókra igaz.

A ξ és η véletlen változókat függetlennek nevezzük, ha van ilyen aés b független események

Könnyen belátható, ha összegezzük n független és azonos eloszlású valószínűségi változók matematikai elvárásokkal aés diszperzió b, akkor ezek összegére a matematikai elvárás és a variancia, ill. n aés nb, illetve a számtani átlagra - ill aés b/n .

Tehát, ha ki akarunk becsülni egy számot, amely valamilyen valószínűségi változó matematikai elvárása, akkor egy véletlenszerű tesztet rendezhetünk - ezt a valószínűségi változót többször is megfigyeljük, és kiszámítjuk a számtani átlagot. A valódi érték körüli szórása a megfigyelések számának növekedésével csökkenni fog: ha százszor mérjük, akkor tízszeresére csökken (hiszen nem maga a szóródás a fontos, hanem annak gyökere). Ez a tény a statisztikai modellezés egy fontos számítási módszerének hátterében áll.

Vegyük észre, hogy a véletlenszerű események analógiájával megkülönböztethetünk egymástól független és páronként független valószínűségi változókat. A szórások említett tulajdonságához elég, ha a valószínűségi változók páronként függetlenek. Más jellemzőket is használnak, de ezek a legfontosabbak. Most megvizsgálunk néhány fontos eloszlástípust, és minden alkalommal feltüntetjük azok matematikai elvárásait.

Elosztási típusok

Egyenletes eloszlás

A valószínűségi változó egyenletesen oszlik el a [ a,b] , ahol a ha eloszlási függvénye
F(x) egyenlő 0-val x, 1 órakor x > bés lineárisan változik 0 és 1 at között a .

(a + b)/2 , a szórás pedig ( b − a) 2 /12 .

Az ábrán ennek az eloszlásfüggvénynek a diagramja látható a= 0 és b = 1 .

Ez az eloszlási törvény nagyon fontos számunkra, hiszen minden szabványos számítógépes valószínűségi változók (pszeudo-véletlenszámok) érzékelője éppen ilyen valószínűségi változókat modellez, és ezekből jönnek létre a számunkra szükséges valószínűségi változók.

exponenciális eloszlás

Egy valószínűségi változó exponenciálisan vagy exponenciálisan oszlik el, ha nem negatív és F(x) = 1 − exp(−λ x), ahol λ egy pozitív állandó.

Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása λ − 1 , a variancia pedig λ − 2 .

Az ábra ennek az eloszlásfüggvénynek a diagramját mutatja λ = 3 esetén.

Gyakran eleget teszünk ennek az elosztási törvénynek az alkalmazásokban, különösen a rádiótechnika és a kommunikáció területén. Különösen gyakran feltételezik, hogy két előfizető beszélgetési ideje egy exponenciális törvény szerint oszlik meg.

Normális eloszlás

A szabványos valószínűségi eloszlások közül ez a legnépszerűbb, és első pillantásra furcsának tűnhet, hogy egy ilyen összetett képlet a leggyakoribb.

A valószínűségi változó normális eloszlású, vagy Gauss szerint, ha (jobb oldalon K. F. Gauss (1777-1855) portréja látható)



Ez a funkció a paraméterektől függ aés σ. Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása az a, és a variancia σ 2 .



A grafikon egy szabványos függvényt mutat a= 0 és σ = 1 .

E törvény gyakori megjelenésének oka az alkalmazásokban, hogy a valószínűségi változók összeadásakor a valószínűségi változónak tekintett összegük eloszlása ​​nagyon gyakran megközelíti a normálisat.

Feladataink között nem fog előfordulni, de illetlenség lenne nem említeni.

Bernoulli eloszlás

Ez a legegyszerűbb diszkrét eloszlás az idősebb Jacob Bernoulli (1654-1705) svájci matematikusról kapta a nevét (volt egy fiatalabb is, aki Szentpéterváron dolgozott).

Egy valószínűségi változó Bernoulli-eloszlású, ha csak két értéket vesz fel. Általában ezek az értékek 1, aminek a valószínűsége p ,
és 0, amelynek valószínűsége egyenlő q = 1 − p.

Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása az p, és a szórás az pq .

Természetesen egy ilyen ütemezést maga fog összeállítani.

A Bernoulli-törvény nagyon kényelmes mindenféle modellkonstrukcióban, csak kicsit bonyolultabb, mint a sajátos esete - egy érme feldobása, ahol p = 1/2 .

Binomiális eloszlás

ξ véletlenszerű változó az összeggel egyenlő n független azonos Bernoulli valószínűségi változók, binomiális eloszlású. Neki

Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása az np, és a szórás az npq .

Binomiális eloszlás növekvő számú taggal n nagyon hasonlóvá válik a normál eloszláshoz.

Csak a valószínűségi változót kell megfelelő módon normalizálni: ki kell vonni a matematikai elvárást, és el kell osztani a variancia gyökével, azaz ξ helyett vegyük figyelembe
η = (ξ — np)(npq) − 1/2 .

Ha növekedéssel n valószínűség p csökken, és oly módon, hogy a termék megmaradjon vagy stabilizálódjon np, egy másik klasszikus eloszlást kapunk, amelyet most leírunk.

Poisson-eloszlás

Ezt az elosztást Siméon Poisson (1781-1840) francia matematikus, a Szentpétervári Tudományos Akadémia tiszteletbeli tagja javasolta.

Egy ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha

Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása λ, és a variancia is λ.



A Poisson-eloszlás a ritka események sémájára jellemző – amelyben sok a Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, és mindegyik esetében nagyon kicsi a pozitív kimenetel valószínűsége.

Például megjegyezték, hogy a jelöletlen borítékot tartalmazó postafiókba bedobott levelek száma Poisson-eloszlású.

Feladatok

A valószínűségi változó 0 értéket vesz fel 0,3 valószínűséggel, 2 értéket 0,2 valószínűséggel, 4 értéket 0,5 valószínűséggel. Keresse meg annak matematikai elvárását és szórását.

Két valószínűségi változó matematikai elvárása 0, szórása 1. Mennyiben változhat összegük szórása. Készítsen példát az összeg szórásának legnagyobb és legkisebb értékével!

Vizsgakérdések

Véletlen változók és eloszlásfüggvényeik.

Matematikai elvárás és diszperzió. Tulajdonságaik.

www.math.spbu.ru

Oktatási blog - minden a tanuláshoz

A kísérletek megismétlése

A valószínűségelmélet gyakorlati alkalmazása során gyakran találkozhatunk olyan problémákkal, amelyekben ugyanaz a kísérlet vagy hasonló kísérletek többször megismétlődnek. Az egyes kísérletek eredményeként előfordulhat, hogy megjelenik valamilyen A esemény, vagy nem, és nem az egyes kísérletek eredménye, hanem az A esemény összes előfordulásának száma érdekel egy kísérletsorozat eredményeként. Ilyen problémák esetén meg kell tudni határozni egy esemény tetszőleges számú megnyilvánulásának valószínűségét egy kísérletsorozat eredményeként. Egyszerűen megoldhatók abban az esetben, ha a kísérletek függetlenek.

Több kísérletet függetlennek nevezünk, ha az egyes kísérletek egyik vagy másik kimenetelének valószínűsége nem függ attól, hogy a többi kísérlet milyen eredménnyel zárult.

Független kísérletek végezhetők azonos vagy eltérő körülmények között. Az első esetben az A esemény valószínűsége minden kísérletben azonos Р i (А)=const. A második esetben az A esemény valószínűsége tapasztalatról élményre változik Р i (А)=var. Az első eset egy konkrét tétel, a második pedig a kísérletek megismétlésére vonatkozó általános tétel.

Egy adott tétel megfogalmazása a kísérletek megismétlésére:
Ha n független kísérletet végzünk, amelyek mindegyikében A esemény p valószínűséggel következik be, akkor annak valószínűségét, hogy A esemény pontosan m-szer következik be, a következő képlettel fejezzük ki:

ahol q = 1 - p, C n m az összes kombináció száma, azaz. hány módon lehet kiválasztani m-t az n kísérlet közül, amelyekben az A esemény bekövetkezett.

Általános tétel képlete:

ahol z tetszőleges paraméter.

Általánosságban és konkrét esetekben is:

Véletlen változók és eloszlásuk törvényei
Valószínűségi változónak nevezzük azt a mennyiséget, amely egy kísérlet eredményeként ilyen vagy olyan értéket vehet fel, nem tudni előre, hogy melyiket.

A véletlenszerű változóknak két típusa van:
folyamatos;
nem folytonos (diszkrét).

A jövőben megegyezzünk abban, hogy a valószínűségi változókat nagybetűkkel jelöljük, lehetséges értékeit pedig a megfelelő kisbetűkkel.
Példa:
X a három lövéssel elért találatok száma:
x 1 = 0;
x 2 = 1;
x 3 = 2;
x 4 = 3.

Tekintsünk egy nem folytonos X valószínűségi változót x 1 , x 2 , …, x n lehetséges értékekkel. Ezen értékek mindegyike lehetséges, de nem biztos, és az X értéke mindegyiket felveheti bizonyos valószínűséggel
X \u003d x 1;
X \u003d x 2;
X \u003d x 3;
X \u003d x 4.

∑P m,n = 1, mivel az inkompatibilis események egy teljes csoportot alkotnak. Ez a teljes valószínűség valahogy eloszlik az egyes értékek között. Egy valószínűségi változó teljes mértékben le lesz írva valószínűségi szempontból, ha ez az eloszlás adott, azaz. minden esemény pontos valószínűségét közöljük. Ez létrehozza egy valószínűségi változó úgynevezett eloszlási törvényét.

Valószínűségi változó eloszlásának törvénye Minden olyan relációt hívunk, amely kapcsolatot létesít egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a hozzájuk tartozó valószínűségek között.

Egy X nem folytonos valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő formában adható meg:
táblázatos;
elemző;
grafikus.

Az X nem folytonos valószínűségi változó eloszlási törvényének beállításának legegyszerűbb formája egy táblázat.

Véletlen változók. Diszkrét valószínűségi változó.
Várható érték

A második szakasz tovább Valószínűségi elmélet dedikált Véletlen változók , amely láthatatlanul elkísért minket a szó szoros értelmében a témával foglalkozó minden cikkben. És eljött az idő, hogy világosan megfogalmazzuk, mi is ez:

Véletlen hívott érték, amely a teszt eredményeként fog egy és egyetlen véletlenszerű tényezőktől függő, előre nem megjósolható számérték.

A véletlenszerű változók általában kijelöl keresztül * , és értékeik a megfelelő kis betűkkel, alsó indexekkel, például .

* Néha görög betűket is használnak

Találkoztunk egy példával a az első lecke a valószínűségszámításból, ahol valójában a következő valószínűségi változót vettük figyelembe:

- a kockadobás után kieső pontok száma.

Ez a teszt azt eredményezi egy és csak az a vonal, amelyik nem megjósolható (a trükköket nem veszik figyelembe); ebben az esetben a valószínűségi változó a következő értékek egyikét veheti fel:

- a fiúk száma 10 újszülött között.

Teljesen világos, hogy ez a szám nem ismert előre, és a következő tízben születhetnek gyermekek:

vagy fiúk... egy és egyetlen a felsorolt ​​lehetőségek közül.

És a formában tartás érdekében egy kis testnevelés:

- távolugrás táv (egyes egységekben).

Ezt még a sportmester sem tudja megjósolni 🙂

Azonban mik a hipotézisei?

Amint valós számok halmaza végtelen, akkor a valószínűségi változó vehet végtelenül sokértékek valamelyik intervallumból. És ez az alapvető különbsége az előző példákhoz képest.

Ily módon a valószínűségi változókat célszerű 2 nagy csoportra osztani:

1) Diszkrét (időszakos) valószínűségi változó - külön vett, izolált értékeket vesz fel. Ezen értékek száma biztosan vagy végtelen, de megszámlálható.

... érthetetlen kifejezéseket húztak? Sürgősen ismételje meg az algebra alapjai!

2) Folyamatos valószínűségi változó – vesz összes numerikus értékek valamilyen véges vagy végtelen tartományból.

jegyzet : a DSV és az NSV rövidítések népszerűek az oktatási irodalomban

Először elemezzünk egy diszkrét valószínűségi változót, majd - folyamatos.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye

- ez megfelelőség ennek a mennyiségnek a lehetséges értékei és azok valószínűségei között. Leggyakrabban a törvényt táblázatba írják:

A kifejezés elég gyakori sor terjesztés, de bizonyos helyzetekben kétértelműen hangzik, ezért ragaszkodom a "törvényhez".

És most nagyon fontos pont: mivel a valószínűségi változó szükségszerűen elfogadja az egyik érték, akkor kialakulnak a megfelelő események teljes csoportés előfordulásuk valószínűségeinek összege eggyel egyenlő:

vagy ha hajtva írják:

Így például a kocka pontjainak valószínűségeinek eloszlásának törvénye a következő alakú:

Lehet, hogy az a benyomása, hogy egy diszkrét valószínűségi változó csak "jó" egész értékeket vehet fel. Eloszlatjuk az illúziót – bármi lehet:

Néhány játék a következő kifizetési elosztási törvényt tartalmazza:

…valószínűleg már régóta álmodoztál ilyen feladatokról 🙂 Elárulok egy titkot - én is. Főleg a munka befejezése után mezőelmélet.

Megoldás: mivel egy valószínűségi változó három érték közül csak egyet vehet fel, a megfelelő események alakulnak ki teljes csoport, ami azt jelenti, hogy valószínűségeik összege eggyel egyenlő:

Leleplezzük a "pártot":

– így a hagyományos egységek megnyerésének valószínűsége 0,4.

Irányítás: amiről meg kell győződnie.

Válasz:

Nem ritka, hogy az elosztási törvényt önállóan kell összeállítani. Erre a használatra a valószínűség klasszikus meghatározása, szorzási/összeadási tételek az eseményvalószínűségekhezés egyéb chips tervera:

50 sorsjegy van a dobozban, amelyek közül 12 nyerő, és közülük 2 nyer egyenként 1000 rubelt, a többi pedig 100 rubelt. Készítsen egy valószínűségi változó eloszlási törvényét - a nyeremény nagyságát, ha véletlenszerűen kihúznak egy jegyet a dobozból.

Megoldás: amint észrevette, egy valószínűségi változó értékeit szokás elhelyezni növekvő sorrendben. Ezért a legkisebb nyereményekkel kezdjük, nevezetesen a rubelekkel.

Összesen 50 - 12 = 38 ilyen jegy van, és aszerint klasszikus meghatározás:
annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kisorsolt jegy nem nyer.

A többi eset egyszerű. A rubel megnyerésének valószínűsége:

És ehhez:

Ellenőrzés: - és ez különösen kellemes pillanata az ilyen feladatoknak!

Válasz: a szükséges kifizetési elosztási törvény:

A következő feladat önálló döntéshez:

Annak a valószínűsége, hogy a lövő célba talál. Készítsen eloszlási törvényt egy valószínűségi változóhoz - a találatok számához 2 lövés után.

... Tudtam, hogy hiányzik 🙂 Emlékszünk szorzási és összeadási tételek. Megoldás és válasz a lecke végén.

Az eloszlási törvény teljesen leír egy valószínűségi változót, de a gyakorlatban hasznos (és néha hasznosabb), ha csak egy részét ismerjük. numerikus jellemzők .

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása

Mi a kapott eredmény valószínűségi jelentése? Ha elégszer dobsz a kockával, akkor átlagos a kiesett pontok megközelítik a 3,5-öt – és minél több tesztet végez, annál közelebb van. Valójában erről a hatásról már részletesen beszéltem a leckében statisztikai valószínűség.

Most pedig idézzük fel hipotetikus játékunkat:

Felmerül a kérdés: egyáltalán jövedelmező-e ezzel a játékkal játszani? ... kinek vannak benyomásai? Tehát nem lehet azt mondani, hogy „kifejezetten”! De ez a kérdés könnyen megválaszolható a matematikai elvárás kiszámításával, lényegében - súlyozott átlag nyerési valószínűségek:

Így ennek a játéknak a matematikai elvárása vesztes.

Ne bízz a benyomásokban - bízz a számokban!

Igen, itt zsinórban 10, sőt 20-30 alkalommal is lehet nyerni, de hosszú távon óhatatlanul tönkre megyünk. És nem tanácsolom, hogy játssz ilyen játékokat 🙂 Hát, talán csak a móka kedvéért.

A fentiek mindegyikéből az következik, hogy a matematikai elvárás NEM VÉLETLENSZERŰ érték.

Alkotó feladat önálló kutatáshoz:

Mr X az európai rulettet a következő rendszer szerint játszik: állandóan 100 rubelt fogad a pirosra. Állítsd össze egy valószínűségi változó eloszlásának törvényét - a kifizetődőségét. Számítsa ki a nyeremény matematikai elvárását, és kerekítse kopejkára. Hogyan átlagos minden száz tétnél veszít a játékos?

Referencia : Az európai rulett 18 piros, 18 fekete és 1 zöld szektort ("nulla") tartalmaz. A „piros” kiesése esetén a játékos dupla tétet kap, ellenkező esetben a kaszinó bevételébe kerül

Sok más rulettrendszer létezik, amelyekhez saját valószínűségi táblázatokat készíthet. De ez az a helyzet, amikor nincs szükségünk elosztási törvényekre és táblázatokra, mert az biztos, hogy a játékos matematikai elvárása pontosan ugyanaz lesz. Csak rendszerről rendszerre változik diszperzió, amelyről a lecke 2. részében fogunk tudni.

De előtte hasznos lesz az ujjait a számológép billentyűin nyújtani:

A valószínűségi változót a saját valószínűség-eloszlási törvénye adja meg:

Keresse meg, ha ez ismert. Futtasson ellenőrzést.

Aztán rátérünk a dolgozószobára diszkrét valószínűségi változó diszperziójaés ha lehetséges,

Mit tartalmaz az orvosi vizsgálat (a 302n számú rendelet alapján) A 302n számú rendelet szerinti orvosi vizsgálat során mindenkinek el kell végeznie: a vizelet klinikai elemzését; […]

Állami program a külföldön élő honfitársaknak az Orosz Föderációba történő önkéntes letelepítését segítő Lépésről lépésre útmutató az állam résztvevői számára […]

Kitaláljuk, mekkora legyen a 2-es csoportba tartozó rokkant nyugdíjminimum.Most az állam többféleképpen segíti a társadalmilag nem védett rétegeket. Különleges bánás […]

Kockázati helyzetben ismerjük egy adott alternatíva kimenetelét és azt, hogy ezek az eredmények milyen valószínűséggel fordulhatnak elő. Vagyis ismerjük a kimenetelek valószínűségi eloszlását, így ábrázolhatók (modellezhetők) formában valószínűségi változó. Ebben a részben felidézzük a valószínűségelméletből származó információkat a valószínűségi változókról és azok meghatározásának módszereiről, amelyek szükségesek lesznek a könyv anyagának további tanulmányozásához.

A klasszikus definíció szerint a véletlen érték olyan mennyiség, amelynek értéke tapasztalatonként véletlenszerűen változhat. Ez azt jelenti, hogy minden "tesztben" egyetlen értéket vehet fel egy bizonyos halmazból. Ugyanakkor lehetetlen megjósolni, hogy milyen értéket vesz fel.

A véletlen változókat diszkrétre és folytonosra osztjuk. Egy diszkrét önéletrajz csak véges vagy megszámlálható értékkészletet vehet fel. Egy folytonos SW bármilyen értéket vehet valamilyen zárt vagy nyitott intervallumból, beleértve a végtelent is.

3.2.2. Valószínűségi változó eloszlási törvénye

A valószínűségi változót az eloszlási törvénye határozza meg. elosztási törvény beállítottnak minősül, ha:

• egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza (beleértve a végtelent is) és
• annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó ennek a halmaznak egy tetszőleges tartományába esik, vagy egy törvény (képlet), amely lehetővé teszi egy ilyen valószínűség kiszámítását.

Valójában a valószínűség egy olyan mutató, amely egy valószínűségi változó előfordulásának lehetőségét jellemzi egy adott területen.

Egy valószínűségi változó különböző értékeinek valószínűségének meghatározásának leggyakoribb és legáltalánosabb módja a beállítás valószínűségi eloszlási függvények, melynek rövidítése: elosztási függvény.

Egy X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F(x) függvény, amely beállítja annak valószínűségét, hogy a CV egy adott x értéknél kisebb értéket vesz fel, azaz:

F(x) = P(X< x)

X ("x big") - egy valószínűségi változót jelöl,

x ("x kicsi") - egy adott érték egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmazából.

Az eloszlási függvény nem csökkenő. Ha x a mínusz végtelen felé hajlik, akkor nullára, ha pedig x plusz végtelenre, akkor egyre.

Egy valószínűségi változó eloszlási törvényének ábrázolási formája különböző lehet, és attól függ, hogy diszkrét vagy folytonos.

Az eloszlásfüggvény definíciójából a következő függőségek következnek:

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel az a-tól b-ig terjedő intervallumban:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó legalább egy értéket vesz fel:

3.2.3. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának ábrázolásának módjai

Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvényével vagy egy eloszlási sorral (táblázattal) teljesen megadható. Megjeleníthetők táblázatos, elemző vagy grafikus formában.

Tegyük fel, hogy egy X valószínűségi változó három lehetséges értéket vehet fel: 25 , 45 és 50 25%, 35% és 40% valószínűséggel. Ennek az SW-nek a terjesztési sorozata így fog kinézni:

Ugyanazon valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, amely azt mutatja, hogy egy adott értéket nem lép túl, a következőképpen írható fel:

A 3.1. ábra grafikus módszereket mutat be ennek a diszkrét X valószínűségi változónak az eloszlási törvényének beállítására.

3.1. ábra.

A p j valószínűségi eloszlás sorozat grafikonján az egyes lehetséges x j értékek realizációit oszlopok ábrázolják, amelyek magassága megegyezik a valószínűséggel. Az összes M oszlop magasságának összege (az összes valószínűség) egyenlő eggyel, mivel lefedik az összes lehetséges x értéket:

Néha az oszlopok helyett egy szaggatott vonalat húznak, amely összeköti a CB értékeinek megvalósításának valószínűségét.

Annak a valószínűsége, hogy egy diszkrét valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint a, egyenlő az a-nál kisebb kimenetek valószínűségeinek összegével:

Definíció szerint ez egyenlő az eloszlásfüggvény értékével az x = a pontban. Ha a koordinátasíkon ábrázoljuk az eloszlásfüggvény értékeit úgy, hogy az x "fut" minden értéken mínusz végtelentől plusz végtelenig, akkor megkapjuk az eloszlási függvény diagramját. Diszkrét SW esetén lépcsős. A mínusz végtelentől az első lehetséges x 1 értékig tartó intervallumban ez egyenlő nullával, mivel ezen az intervallumon nem lehet semmilyen értéket elfogadni.

Továbbá x j minden lehetséges értéke megnöveli az eloszlásfüggvényt a p j érték előfordulási valószínűségével megegyező mértékben. Két egymást követő x j és x j+1 értéke között az eloszlásfüggvény nem változik, mivel nincs más lehetséges x értéke, és nincsenek ugrások. Végül az utolsó lehetséges x M érték pontján p M valószínűségi értékkel ugrás következik be, és az eloszlásfüggvény eléri az eggyel egyenlő határértéket. Továbbá a grafikon ezen a szinten az x tengellyel párhuzamosan halad. Soha nem emelkedik magasabbra, mivel a valószínűség nem lehet nagyobb egynél.

3.2.4. Folyamatos valószínűségi változó eloszlásának ábrázolásának módjai

Folyamatos valószínűségi változó eloszlási függvénye is megadja, rendszerint elemző formában jelenik meg. Ezenkívül teljes mértékben leírható az f(x) valószínűségi sűrűségfüggvénnyel, amely az F(x) eloszlásfüggvény első deriváltja:

Valószínűségi sűrűségfüggvény nemnegatív, és végtelen határú integrálja eggyel egyenlő.

Vegyünk példának egy folytonos valószínűségi változót, amely a normál törvény szerint eloszlik.

A valószínűségi sűrűségfüggvényét analitikusan a következő képlet adja meg:

Itt m X és σ X eloszlási paraméterek. m X az elosztási központ helyét, σ X pedig ehhez a "központhoz" viszonyított diszperziót jellemzi.

"Valószínűségszámítás az iskolában" - Összetett események. Számos teszt. Az elemi események terének tetszőleges részhalmaza. Valószínűség. Egy bizonyos feltételrendszer megvalósítása. független események. Valószínűségszorzó tétel. Termékszabály. Az esemény legvalószínűbb előfordulásának száma. Összeadási tétel az inkompatibilis események valószínűségére.

"Véletlen esemény valószínűsége" - Elemi események. Egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Egy kocka dobása. Egy véletlenszerű kísérlet elemi eseményei. A valószínűségek összege. Kedvező elemi események. Vadász. Labdarúgó mérkőzés. Elemi események táblázata. A megfelelő érme feldobásával. Egyenértékű elemi események.

"Valószínűségek összeadása és szorzása" - A valószínűségek szorzási és összeadási tételei. Annak a valószínűsége, hogy legalább egy esemény bekövetkezik. Különleges eset. független események. Szorzási tétel. Teljes valószínűségi képlet. A valószínűségek összeadásának tétele. A cél eltalálásának valószínűsége. Valószínűségszorzó tétel. Minden esemény. Feltételes valószínűség.

"Valószínűségelmélet a vizsgára" - Annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 6. Dobás. Kedvező esemény A. Termékszabály (szorzási szabály). A táska 2 fekete és 3 fehér golyót tartalmaz. A permutációk, elhelyezések, kombinációk közötti különbség. Egy esemény valószínűsége. Oktatási segédletek. A közepére írt szám.

„Esemény bekövetkezésének valószínűsége” – Természetes szám. Egy esemény valószínűségének meghatározása. Kísérlet. A valószínűség becslésének lehetősége. Kombinációk. Valószínűség. Hely. Az ellenkező esemény valószínűsége. Egy esemény valószínűsége. Az esetek száma. A kombinatorika elemei. Az elemek száma. A valószínűségelmélet elemei. Az események valószínűségének statisztikai meghatározása.

"Véletlen változó" - Bernoulli képlet. Keskeny téglalap. Az eloszlásfüggvény megalkotásához kiszámoljuk annak több értékét. Az eloszlásfüggvény egy nem csökkenő függvény. Az SW eloszlási törvénye tetszőleges arány. Egy feladat. Véletlenszerű változó (CV). Az SW értékek különböző intervallumai. A függvény mintegy jellemzi azt a sűrűséget, amellyel az SW eloszlik.

Összesen 23 előadás a témában

A diszkrét valószínűségi változók megadásának módjai nem általánosak – nem alkalmazhatók például folytonos valószínűségi változókra. Valóban, az X valószínűségi változó lehetséges értékei teljesen kitöltsék az (a;b) intervallumot. Lehet-e listát készíteni az X összes lehetséges értékéről? Nem. Szükségünk van egy általános módszerre bármilyen típusú valószínűségi változó megadására. Ebből a célból bevezetjük egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlási függvényeit.

Eloszlási függvény Az eloszlásfüggvényt F(x) függvénynek nevezzük, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó a teszt eredményeként x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X

X 1. 3. 3. Meghatározzuk annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel" title="(!LANG: Az 1. eloszlási függvény tulajdonságai. 1. Az eloszlási függvény értékei a következő szegmenshez tartoznak: 0 F(x) 1. 2. 2. F (x) - nem csökkenő függvény, azaz F (x 2) F (x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel" class="link_thumb"> 4 !} Az eloszlásfüggvény tulajdonságai Az eloszlásfüggvény értékei a következő intervallumhoz tartoznak: 0 F(x) F(x) - nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó felveszi az (a; b) intervallumban lévő értéket, egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon: P (a x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó felvesz egy értéket az (a; b) intervallumban, egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon: P (a "\u003e x 1. 3 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel, következtetés" title = "(!LANG: Az 1. eloszlási függvény tulajdonságai. 1. Az eloszlásfüggvény értékei a következő intervallumhoz tartoznak: 0 F( x ) 1. 2. 2. F (x) - nem csökkenő függvény, azaz F (x 2) F (x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó felveszi a érték"> title="Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1. 1. Az eloszlásfüggvény értékei a következő intervallumhoz tartoznak: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) egy nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel, levonva"> !}

Példa 1. Egy X valószínűségi változót egy 0 eloszlásfüggvény ad meg x -1-nél F(x) = x/4+1/4 at Határozza meg annak valószínűségét, hogy a tesztelés eredményeként X a következőhöz tartozó értéket veszi fel intervallum (0; 2): P(0

4. 4. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó egy meghatározott értéket vesz fel, 0. Így érdemes figyelembe venni annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó egy intervallumba esik, még akkor is, ha az tetszőlegesen kicsi. Például az érdekli őket, hogy az alkatrészek méretei nem lépik túl a megengedett határokat, de nem vetik fel a tervezési mérettel való egyezés valószínűségét.

De téves azt gondolni, hogy a P(X=x 1) valószínűség egyenlősége 0-val azt jelenti, hogy az X=x 1 esemény lehetetlen (ha nem korlátozzuk a valószínűség klasszikus definíciójára). A teszt eredményeként a valószínűségi változó szükségszerűen a lehetséges értékek egyikét veszi fel; különösen ez az érték egyenlő lehet x 1-gyel.

5. 5. Ha egy valószínűségi változó lehetséges értékei az (a;b) intervallumhoz tartoznak, akkor 1) F(x) = 0 x a esetén; 2) F(x) = 1 x b esetén. ] Ha egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékei a teljes x tengelyen helyezkednek el, akkor a következő határviszonyok érvényesek: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+

Folytonos valószínűségi változó valószínűségeinek eloszlásának sűrűsége A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvény segítségével történő beállításának módja nem az egyetlen. Egy folytonos valószínűségi változót egy másik függvény segítségével is megadhatunk, amelyet eloszlássűrűségnek vagy valószínűségi sűrűségnek neveznek (ezt néha differenciálfüggvénynek nevezik).

Az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége az f (x) függvény - az F (x) eloszlásfüggvény első deriváltja: f (x) \u003d F "(x). Ezért az eloszlásfüggvény az antiderivált az eloszlási sűrűséghez.

π/2. Határozzuk meg az f(x) eloszlási sűrűséget! 0 x π/2 esetén." title="(!LANG:Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0 esetén F(x) = sinx 0 π/2 esetén. Keresse meg az f(x) eloszlássűrűséget 0 x π/2 esetén." class="link_thumb"> 18 !} Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Határozzuk meg az f(x) eloszlási sűrűséget! 0 x π/2 esetén. π/2. Határozzuk meg az f(x) eloszlási sűrűséget! 0 x π/2."> π/2 esetén. Határozza meg az f(x) eloszlási sűrűséget. 0 x π/2."> π/2 esetén. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2 esetén." title="(!LANG:Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0 esetén F(x) = sinx 0 π/2 esetén. Keresse meg az f(x) eloszlássűrűséget 0 x π/2 esetén."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2 esetén."> !}

Az eloszlássűrűség tulajdonságai Az eloszlássűrűség nemnegatív függvény: f(x) 0. Az eloszlássűrűség diagramját eloszlási görbének nevezzük Az eloszlássűrűség nem megfelelő integrálja a - és tartományban egyenlő 1-gyel. f(x) dx = 1. -

Az eloszlássűrűség valószínűségi jelentése Az f(x) függvény minden x pontra meghatározza a valószínűségi eloszlás sűrűségét. Kellően kicsi x-hez. F(x + x) - F(x) f(x)x. Mert az F (x + x) - F (x) különbség meghatározza (lásd fent) annak valószínűségét, hogy X az (x; x + x) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel, akkor ez a valószínűség tehát megközelítőleg egyenlő a szorzattal a valószínűségi sűrűség m-ben x az x intervallum hosszával.

II. VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉK, ELOSZTÁSI FUNKCIÓJA

2.1. Véletlenszerű változó, beállítási módjai

Véletlen mennyiséget nevezzük, amely a vizsgálat eredményeként felvehet egy-egy számértéket, és nem tudni előre, hogy melyiket.

Ha valamilyen mennyiségnél a mérést többször megismételjük gyakorlatilag azonos körülmények között, akkor azt tapasztaljuk, hogy minden alkalommal némileg eltérő eredményeket kapunk. Ez kétféle ok befolyása: 1) a főbbek, amelyek meghatározzák az eredmény fő jelentőségét; 2) másodlagos, ami eltérésüket okozza.

Ezen okok együttes fellépése során kiderül, hogy a szükségszerűség és a véletlen fogalma szorosan összefügg, de a szükség felülmúlja a véletlenet.

Így a valószínűségi változók lehetséges értékei bizonyos numerikus halmazokhoz tartoznak.

Véletlen, hogy ezeken a halmazokon a mennyiségek tetszőleges értéket vehetnek fel, de hogy melyiket nem lehet előre megmondani.

Egy véletlen változó egy véletlenszerű eseményhez kapcsolódik.

Ha egy véletlenszerű esemény az minőségi jellemző teszteket, akkor a valószínűségi változó az mennyiségi jellemző .

A véletlenszerű változókat nagy latin betűkkel, értéküket pedig nagybetűkkel jelöljük.
.

Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó
értelmét veszi fel Áll valamiből:

stb.

A véletlen változókat eloszlási törvények adják meg.

Valószínűségi változó eloszlási törvénye egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei közötti megfelelés.

Az eloszlási törvények háromféleképpen adhatók meg: táblázatos, grafikus, analitikus. A beállítás módja a valószínűségi változó típusától függ.

A valószínűségi változóknak két fő típusa van: diszkrét és folytonos eloszlású valószínűségi változók.

2.2. Diszkrét és folytonos valószínűségi változók

Ha egy adott valószínűségi változó értékei diszkrét (véges vagy végtelen) számsort alkothatnak
akkor magát a valószínűségi változót nevezzük diszkrét.

Ha az értékek, amelyeket ez a valószínűségi változó felvehet, kitöltik a numerikus tengely véges vagy végtelen rését (a, c) Ó, akkor a valószínűségi változót hívjuk folyamatos.

Egy diszkrét típusú valószínűségi változó minden értéke egy bizonyos valószínűségnek felel meg ; egy folytonos típusú valószínűségi változó tartományából minden (a, c) intervallum is egy bizonyos valószínűségnek felel meg
az a tény, hogy a valószínűségi változó által elfogadott érték ebbe az intervallumba esik.

2.3. Valószínűségi változó eloszlási törvénye

Azt a relációt, amely így vagy úgy kapcsolatot hoz létre egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei között, az ún. elosztási törvény valószínűségi változó.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét általában a közeli elosztás:

Ahol
, ahol az összegzés kiterjed az adott valószínűségi változó lehetséges értékeinek teljes (véges vagy végtelen) halmazára.

A folytonos valószínűségi változó eloszlásának törvénye kényelmesen megadható a segítségével valószínűségi sűrűségfüggvények
.

Annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó által felvett érték az (a, c) intervallumba esik, az egyenlőség határozza meg

A függvény grafikonját ún eloszlási görbe . Geometriailag annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó az (a, c) intervallumba essen, egyenlő a megfelelő görbe vonalú trapéz területével, amelyet az eloszlási görbével határol a tengely Óés közvetlen x=a, x=b.

1. feladat. A valószínűségi változó értékeinek valószínűsége adott: a 10-es érték valószínűsége 0,3; 2. érték - valószínűség 0,4; érték 8 - valószínűség 0,1; érték 4 – valószínűség 0,2. Szerkesszünk meg egy valószínűségi változó eloszlássorozatát.

Megoldás. Egy valószínűségi változó értékeit növekvő sorrendbe rendezve egy eloszlási sorozatot kapunk:

Szálljunk repülőre énekkar pontok (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) és (10; 0,3). Az egymást követő pontokat egyenes szakaszokkal összekötve kapjuk poligon (vagy poligon ) a valószínűségi változó eloszlása

2. feladat. Két darab egyenként 5000 rubel értékű és egy 30 000 rubel értékű tárgy kerül lejátszásra. Készítse el a nyeremény elosztásának törvényét annak a személynek, aki 50-ből egy jegyet vásárolt.

Megoldás. A kívánt valószínűségi változó egy win, és három értéket vehet fel: 0, 5000 és 30 000 rubel. Az első eredménynek 47, a másodiknak két, a harmadiknak pedig egy eset kedvez. Nézzük meg a valószínűségüket:

; ; .

A valószínűségi változó eloszlási törvénye a következőképpen alakul:

Próbaként azt találjuk

3. feladat. A valószínűségi változóra vonatkozik az eloszlási törvény, amelynek sűrűsége , és

Szükséges: 1) Keresse meg az a együtthatót; 2) ábrázolja a sűrűségeloszlást
; 3) határozza meg az (1; 2) intervallumba való beleesés valószínűségét!

Megoldás. 1) Mivel ennek a valószínűségi változónak az összes értéke az intervallumban van, akkor

, ahol

, vagy

, azaz
.

2) Az intervallumban a függvény grafikonja egy parabola, és ezen az intervallumon kívül maga az abszcissza szolgál gráfként.

3) Az egyenlőségből megtudható annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó az (1; 2) intervallumba esik.

2.4. Binomiális eloszlás

Adjunk elő egy bizonyos számot n független kísérletek, és mindegyikben azonos valószínűséggel történhet valamilyen esemény R. Vegyünk egy valószínűségi változót, amely az események előfordulásának száma A ban ben n kísérletek. Elosztási törvényének van a formája

Értékek
Valószínűségek

Ahol
, a Bernoulli képlet alapján számítjuk ki.

Az elosztási törvényt, amelyet egy ilyen táblázat jellemez, ún binomiális .

Egy feladat. Az érmét 5 alkalommal dobják fel. Állítsa össze egy valószínűségi változó eloszlási törvényét - a címer elvesztésének számát.

Megoldás. A valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tudva, hogy egy próba során a címer kiesésének valószínűsége , akkor megkapjuk a a valószínűségi változó a Bernoulli-képlet segítségével:

Az elosztási törvénynek megvan a formája

Értékek
Valószínűségek

Nézzük meg:

III. VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉK VÁRÁSA ÉS VÁLTOZÁSA

3.1. Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása

A valószínűségi változó legkimerítőbb jellemzője a valószínűségi eloszlás törvénye. Azonban nem mindig szükséges a teljes elosztási törvény ismerete. Néha meg lehet boldogulni egy vagy több olyan számmal, amely az eloszlási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi, például olyan számmal, amely egy valószínűségi változó "átlagértékét" jelenti, vagy olyan számmal, amely a számok átlagos méretét mutatja. egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérése. Az ilyen számokat hívják numerikus jellemzők valószínűségi változó. Numerikus karakterisztikával sok probléma megoldható az eloszlási törvény alkalmazása nélkül.

A valószínűségi változók egyik legfontosabb numerikus jellemzője a matematikai elvárás.

Ha ismert egy diszkrét valószínűségi változó, amelynek eloszlási törvénye alakja

Értékek
Valószínűségek

akkor matematikai elvárás Egy diszkrét mennyiség (vagy átlagértékét) számnak nevezzük

Így egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása megegyezik a változó lehetséges értékeinek és valószínűségeinek szorzatának összegével.

1. példa. Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását, ismerve eloszlásának törvényét!

Megoldás.

A matematikai várakozás tulajdonságai.

Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:

Állandó érték matematikai elvárása TÓL TŐL egyenlő ezzel az értékkel:

Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:

A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik e változók matematikai elvárásainak szorzatával:

3.2. Valószínűségi változó szórása és szórása.

2. példa Határozza meg a valószínűségi változók matematikai elvárását és ismerve eloszlásuk törvényeit

P

Érdekes eredményt kaptunk: a és a mennyiségek eloszlásának törvényei eltérőek, de a matematikai elvárásaik megegyeznek.

Rajzból b látható, hogy a mennyiség értéke inkább a matematikai elvárás köré koncentrálódik
mint a mennyiség értékei, amelyek a matematikai elvárásaihoz képest szétszórtak (szórtak)
(kép a).

Egy valószínűségi változó értékeinek szóródási fokának fő numerikus jellemzője a matematikai elvárásokhoz képest
a szórás, amelyet a
.

Meghatározás. eltérés a valószínűségi változó és a matematikai elvárása közötti különbségnek nevezzük, i.e.
.

Az eltérés és négyzete
szintén valószínűségi változók.

Meghatározás. Diszkrét diszperzió A valószínűségi változót az eltérés négyzetének matematikai elvárásának nevezzük:

Diszperziós tulajdonságok.

Diszperziós állandó TÓL TŐL 0:

.

.

Az eltérések kiszámításához a képlet kényelmesebb

3. példa Egy diszkrét valószínűségi változó a törvény szerint oszlik el:

Megoldás. Először megtaláljuk.

és akkor
.

A rendelkezésünkre álló képlet szerint

Egy valószínűségi változó szórása variancia négyzetgyökének nevezzük:

.

IV. GYAKORLATI FELADATOK AZ ÖNIRÁNYÍTÁSHOZ

Kombinatorika

Hány különböző ötjegyű szám készíthető az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből, feltéve, hogy egyetlen számjegy sem ismétlődik a számban?

Hány lehetőség van három nyeremény kiosztására, ha 7 csapat vesz részt a sorsoláson?

Hányféleképpen lehet két hallgatót kiválasztani a konferenciára, ha 33 fő van a csoportban?

Egyenletek megoldása

a)
. b)
.

Hány 5-tel osztható négyjegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 5, 7 számjegyekből, ha minden szám nem tartalmazhat azonos számjegyeket?

15 fős csoportból egy művezetőt és 4 fős brigádtagot kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

A morze betűk szimbólumokból (pontokból és kötőjelekből) állnak. Hány betű ábrázolható, ha minden betűnek legfeljebb öt karakterből kell állnia?

Hányféleképpen épülhet fel a négyszínű szalag hét különböző színű szalagból?

Hányféleképpen lehet kilenc jelölt közül négy személyt kiválasztani négy különböző pozícióra?

Hányféleképpen választhatsz 6 kártya közül 3-at?

Az érettségi előtt egy 30 fős diákcsoport fényképet cserélt. Hány fényképet adtak ki.

Hányféleképpen lehet 10 vendéget tíz helyen leültetni az ünnepi asztalhoz?

Hány meccset kell játszania 20 futballcsapatnak egy egyfordulós bajnokságban?

Hányféleképpen lehet 12 főt csapatokra osztani, ha minden csapatban 6 fő van?

Valószínűségi elmélet

Egy urnában 7 piros és 6 kék golyó található. Egyszerre két golyót vesznek ki az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó piros (A esemény)?

Kilenc különböző könyv található véletlenszerűen egy polcon. Határozza meg annak valószínűségét, hogy négy bizonyos könyv kerül egymás mellé (C esemény).

10 jegyből 2 nyerő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 5 véletlenszerűen vett jegy közül egy nyer!

Egy kártyapakliból (52 kártya) véletlenszerűen 3 lapot húznak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy három, hetes, ász.

A gyermek a kettéosztott ábécé öt betűjével játszik A, K, R, W, Y. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a betűk véletlenszerű elrendezésével egymás után megkapja a „tető” szót.

Egy dobozban 6 fehér és 4 piros golyó található. Véletlenszerűen két golyót veszünk. Mennyi a valószínűsége, hogy azonos színűek?

Az első urnában 6 fekete és 4 fehér golyó, a másodikban 5 fekete és 7 fehér golyó található. Minden urnából egy golyót kell húzni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó fehér?

Véletlenszerű változó, egy valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája

Írja fel az elosztási törvényt a célba hat lövéssel elért találatok számára, ha az egy lövéssel való eltalálás valószínűsége 0,4!

0,3 annak a valószínűsége, hogy a tanuló megtalálja a számára szükséges könyvet a könyvtárban. Készítsen elosztási törvényt arról, hogy hány könyvtárat fog felkeresni, ha négy könyvtár van a városban.

A vadász az első találat előtt rálövi a vadat, de legfeljebb négy lövést sikerül leadnia. Határozzuk meg a tévesztések számának szórását, ha annak valószínűsége, hogy egy lövéssel célba találunk, 0,7!

Határozzuk meg egy X valószínűségi változó matematikai elvárását, ha eloszlásának törvényét a táblázat adja meg:

Az üzem négy automata vezetékkel rendelkezik. Annak valószínűsége, hogy a műszak alatt az első sort nem kell módosítani, 0,9, a második - 0,8, a harmadik - 0,75, a negyedik - 0,7. keresse meg a műszak alatti korrekciót nem igénylő sorok számának matematikai elvárását.

Határozzuk meg egy X valószínűségi változó varianciáját, ismerve eloszlásának törvényét:

Danko P.E. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. Két részben. II. rész / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozsevnyikov. - M.: Felsőiskola, 1986. - 415 p. Vygodsky M.Ya. A felsőbb matematika kézikönyve. – M.: Nauka, 1975. – 872 p. További: Griguletsky V.G. Matematika közgazdasági szakos hallgatóknak. 2. rész / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. - Krasznodar, 2002. - 348 p. Malykhin V.I. Matematika a közgazdaságtanban. – M.: Infra-M, 1999. – 356 p. Gusak A.A. Felső matematika. 2 kötetben, V.2. - Tankönyv egyetemisták számára. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 p. Griguletsky V.G. Felső matematika / V.G. Griguletsky, Z.V. Jascsenko. – Krasznodar, 1998.-186 p. Gmurman V.E. Útmutató a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika problémák megoldásához. - M.: Felsőiskola, 2000. - 400 p.

Facebook

Twitter

Kapcsolatban áll

osztálytársak

Google Plusz