Pētnieciskais darbs: "Fraktāļi matemātikā." Kursa darbs: Fraktāļi Fraktāļi reālās pasaules izpētes objektā
Jau rakstījām par to, kā abstraktā matemātiskā haosa teorija ir atradusi pielietojumu visdažādākajās zinātnēs – no fizikas līdz ekonomikai un politoloģijai. Tagad mēs sniegsim vēl vienu līdzīgu piemēru - fraktāļu teoriju. Pat matemātikā jēdzienam “fraktālis” nav stingras definīcijas. Viņi kaut ko tādu saka, protams. Bet “parastais cilvēks” to nevar saprast. Kā būtu ar šo frāzi, piemēram: "Fraktāls ir kopa, kurai ir daļēja Hausdorfa dimensija, kas ir lielāka par topoloģisko." Tomēr viņi, fraktāļi, mūs ieskauj un palīdz izprast daudzas parādības no dažādām dzīves sfērām.
Kur tas viss sākās
Ilgu laiku neviens, izņemot profesionālus matemātiķus, neinteresējās par fraktāļiem. Pirms datoru un ar to saistītās programmatūras parādīšanās. Viss mainījās 1982. gadā, kad tika izdota Benuā Mandelbrota grāmata “Dabas fraktāļu ģeometrija”. Šī grāmata kļuva par bestselleru ne tik daudz vienkāršā un saprotamā materiāla izklāsta dēļ (lai gan šis apgalvojums ir ļoti relatīvs - cilvēks, kuram nav profesionālas matemātiskās izglītības, tajā neko nesapratīs), bet gan datora dēļ. fraktāļu ilustrācijas, kas ir patiesi valdzinošas. Apskatīsim šos attēlus. Viņi tiešām ir tā vērti.
Un tādu attēlu ir daudz. Bet kāds visam šim krāšņumam sakars ar mūsu reālo dzīvi un to, kas mūs ieskauj dabā un ikdienā? Izrādās, ka tas ir vistiešākais.
Bet vispirms teiksim dažus vārdus par pašiem fraktāļiem kā ģeometriskiem objektiem.
Kas ir fraktālis vienkāršā izteiksmē?
Pirmkārt. Kā viņi, fraktāļi, tiek būvēti. Šī ir diezgan sarežģīta procedūra, kas sarežģītajā plaknē izmanto īpašas transformācijas (jums nav jāzina, kas tas ir). Svarīgi ir tikai tas, ka šīs transformācijas tiek atkārtotas (tās notiek, kā saka matemātikā, iterācijas). Šīs atkārtošanās rezultātā rodas fraktāļi (tie, kurus redzējāt iepriekš).
Otrkārt. Fraktāls ir sev līdzīga (precīzi vai aptuveni) struktūra. Tas nozīmē sekojošo. Ja kādam no prezentētajiem attēliem pievienosiet mikroskopu, palielinot attēlu, piemēram, 100 reizes, un aplūkosiet okulārā iekļuvušā fraktāļa gabala fragmentu, jūs atklāsiet, ka tas ir identisks oriģinālajam attēlam. Ja paņemat spēcīgāku mikroskopu, kas palielina attēlu 1000 reižu, jūs atklāsiet, ka iepriekšējā attēla fragmentam, kas iekļuva okulārā, ir tāda pati vai ļoti līdzīga struktūra.
Tas noved pie secinājuma, kas ir ārkārtīgi svarīgs turpmākajam. Fraktālim ir ārkārtīgi sarežģīta struktūra, kas atkārtojas dažādos mērogos. Bet jo vairāk mēs iedziļināmies tās struktūrā, jo sarežģītāka tā kļūst kopumā. Un sākotnējā attēla īpašību kvantitatīvās aplēses var sākt mainīties.
Tagad atstāsim abstrakto matemātiku un pāriesim pie mums apkārt esošajām lietām – tik šķietami vienkāršām un saprotamām.
Fraktālie objekti dabā
Piekrastes līnija
Iedomājieties, ka no Zemes orbītas fotografējat salu, piemēram, Lielbritāniju. Jūs iegūsit tādu pašu attēlu kā ģeogrāfiskajā kartē. Gludas krasta līnijas kontūras ar jūru no visām pusēm.
Uzzināt krasta līnijas garumu ir ļoti vienkārši. Paņemiet parastu pavedienu un uzmanīgi nolieciet to gar salas robežām. Pēc tam izmēra tā garumu centimetros un iegūto skaitli reiziniet ar kartes mērogu - vienā centimetrā ir daudz kilometru. Lūk, rezultāts.
Un tagad nākamais eksperiments. Jūs lidojat lidmašīnā no putna lidojuma un fotografējat piekrasti. Rezultāts ir satelīta fotogrāfijām līdzīgs attēls. Bet šī krasta līnija izrādās iedobta. Jūsu fotogrāfijās parādās nelieli līči, līči un zemes fragmenti, kas izvirzīti jūrā. Tas viss ir taisnība, taču to nevarēja redzēt no satelīta. Piekrastes struktūra kļūst sarežģītāka.
Pieņemsim, ka, pārnākot mājās, jūs, pamatojoties uz savām fotogrāfijām, izveidojāt detalizētu piekrastes karti. Un jūs nolēmāt izmērīt tā garumu, izmantojot to pašu pavedienu, izkārtojot to stingri saskaņā ar jaunajiem saņemtajiem datiem. Jaunā krasta līnijas garums pārsniegs veco. Un ievērojami. Tas ir intuitīvi skaidrs. Galu galā tagad jūsu pavedienam vajadzētu iet apkārt visu līču un līču krastiem, nevis tikai iet gar krastu.
Lūdzu, ņemiet vērā. Mēs attālinājām, un viss kļuva daudz sarežģītāks un mulsinošāks. Tāpat kā fraktāļi.
Un tagad vēl viena iterācija. Tu ej pa to pašu krastu. Un pierakstiet krasta līnijas reljefu. Izrādās, ka līču un līču krasti, kurus jūs fotografējāt no lidmašīnas, nemaz nav tik gludi un vienkārši, kā jūs domājāt savās fotogrāfijās. Viņiem ir sarežģīta struktūra. Un tādējādi, kartējot šo “gājēju” piekrasti, tās garums palielināsies vēl vairāk.
Jā, dabā nav bezgalības. Bet ir pilnīgi skaidrs, ka krasta līnija ir tipisks fraktālis. Tas paliek līdzīgs pats sev, bet tā struktūra kļūst arvien sarežģītāka, rūpīgāk izpētot (atcerieties piemēru ar mikroskopu).
Šī patiešām ir pārsteidzoša parādība. Mēs esam pieraduši pie tā, ka jebkuram ģeometriskam objektam plaknē ar ierobežotu izmēru (kvadrāts, trīsstūris, aplis) ir fiksēts un ierobežots tā robežu garums. Bet šeit viss ir savādāk. Piekrastes līnijas garums limitā izrādās bezgalīgs.
Koks
Bet iedomāsimies koku. Parasts koks. Dažas izplatās liepas. Apskatīsim viņas bagāžnieku. Netālu no saknes. Tas izskatās kā nedaudz deformēts cilindrs. Tie. ir ļoti vienkārša forma.
Pacelsim acis augstāk. No stumbra sāk parādīties zari. Katram zaram tā sākumā ir tāda pati struktūra kā stumbram - cilindrisks, no ģeometrijas viedokļa. Bet visa koka struktūra ir mainījusies. Tas ir kļuvis daudz sarežģītāks.
Tagad apskatīsim šīs filiāles. No tiem stiepjas mazāki zari. To pamatnē tiem ir tāda pati nedaudz deformēta cilindriska forma. Tāpat kā tas pats bagāžnieks. Un tad no tiem atzarojas daudz mazāki zari. Un tā tālāk.
Koks atražo sevi katrā līmenī. Tajā pašā laikā tā struktūra pastāvīgi kļūst sarežģītāka, bet paliek līdzīga pati sev. Vai tas nav fraktālis?
Aprite
Un šeit ir cilvēka asinsrites sistēma. Tam ir arī fraktāļu struktūra. Ir artērijas un vēnas. Caur dažām no tām asinis nonāk sirdī (vēnās), pa citām – no tās (artērijām). Un tad asinsrites sistēma sāk līdzināties tam kokam, par kuru mēs runājām iepriekš. Kuģi, saglabājot savu struktūru, kļūst arvien plānāki un sazaroti. Tie iekļūst visattālākajos mūsu ķermeņa apgabalos, piegādājot skābekli un citas svarīgas sastāvdaļas katrai šūnai. Šī ir tipiska fraktāļu struktūra, kas atkārtojas mazākos un mazākos mērogos.
Upes drenāža
"Volgas upe plūst no tālienes ilgu laiku." Ģeogrāfiskajā kartē tā ir zila līkumota līnija. Nu lielās pietekas ir iezīmētas. Labi, Kama. Ko darīt, ja mēs tālinām? Izrādās, ka šo pieteku ir daudz vairāk. Ne tikai pie pašas Volgas, bet arī pie Okas un Kamas. Un viņiem ir arī savas pietekas, tikai mazākas. Un tiem ir savs. Parādās struktūra, kas ir ļoti līdzīga cilvēka asinsrites sistēmai. Un atkal rodas jautājums. Cik gara ir visa šī ūdensapgādes sistēma? Ja mēra tikai galvenā kanāla garumu, viss ir skaidrs. To var izlasīt jebkurā mācību grāmatā. Kā būtu, ja visu izmērītu? Atkal robežās izrādās bezgalība.
Mūsu Visums
Protams, miljardu gaismas gadu mērogā Visums ir strukturēts viendabīgi. Bet apskatīsim to tuvāk. Un tad mēs redzēsim, ka tajā nav viendabīguma. Kaut kur ir galaktikas (zvaigžņu kopas), kaut kur ir tukšums. Kāpēc? Kāpēc matērijas sadalījums pakļaujas neregulāriem hierarhijas likumiem? Un kas notiek galaktiku iekšienē (vēl viena tālummaiņa). Kaut kur ir vairāk zvaigžņu, kaut kur mazāk. Kaut kur ir planētu sistēmas, piemēram, mūsu Saules sistēmā, un kaut kur nē.
Vai šeit neizpaužas pasaules fraktāļu būtība? Tagad, protams, pastāv milzīga plaisa starp vispārējo relativitātes teoriju, kas izskaidro mūsu Visuma izcelsmi un tā uzbūvi, un fraktāļu matemātiku. Bet kas zina? Iespējams, tas viss kādreiz tiks novests pie “kopsaucēja”, un mēs uz apkārtējo kosmosu skatīsimies ar pavisam citām acīm.
Uz praktiskām lietām
Var sniegt daudz līdzīgu piemēru. Bet atgriezīsimies pie prozaiskākām lietām. Piemēram, ekonomika. Šķiet, ka fraktāļiem ir kāds sakars ar to. Izrādās, ka tam ir daudz sakara. Piemērs tam ir akciju tirgi.
Prakse rāda, ka ekonomiskie procesi bieži vien ir haotiski un neparedzami. Līdz mūsdienām pastāvošajos matemātiskajos modeļos, kas mēģināja aprakstīt šos procesus, netika ņemts vērā viens ļoti svarīgs faktors - tirgus pašorganizēšanās spēja.
Šeit palīgā nāk fraktāļu teorija, kam piemīt “pašorganizēšanās” īpašības, atveidojot sevi dažādu mērogu līmenī. Protams, fraktālis ir tīri matemātisks objekts. Gan dabā, gan ekonomikā tādu nav. Bet ir fraktāļu parādību jēdziens. Tie ir fraktāļi tikai statistiskā nozīmē. Tomēr fraktāļu matemātikas un statistikas simbioze ļauj iegūt diezgan precīzas un adekvātas prognozes. Šī pieeja ir īpaši efektīva, analizējot akciju tirgus. Un tie nav matemātiķu “izgudrojumi”. Ekspertu dati liecina, ka daudzi akciju tirgus dalībnieki tērē daudz naudas, lai samaksātu fraktāļu matemātikas jomas speciālistiem.
Ko dod fraktāļu teorija? Tas postulē vispārēju, globālu cenu noteikšanas atkarību no pagātnes. Protams, lokāli cenu noteikšanas process ir nejaušs. Taču nejaušiem cenu lēcieniem un kritumiem, kas var notikt īslaicīgi, ir iespēja pulcēties klasteros. Kas tiek reproducēti lielos laika mērogos. Tāpēc, analizējot to, kas kādreiz bija, mēs varam prognozēt, cik ilgi šī vai cita tirgus attīstības tendence (pieaugums vai kritums) turpināsies.
Tādējādi globālā mērogā tas vai cits tirgus pats sevi “atražo”. Pieļaujot nejaušas svārstības, ko izraisa virkne ārēju faktoru jebkurā konkrētā laika brīdī. Taču globālās tendences saglabājas.
Secinājums
Kāpēc pasaule ir sakārtota pēc fraktāļu principa? Atbilde var būt tāda, ka fraktāļiem kā matemātiskajam modelim piemīt pašorganizācijas un pašlīdzības īpašība. Turklāt katra to forma (skat. raksta sākumā dotos attēlus) ir vienalga, cik sarežģīta, bet dzīvo savu dzīvi, attīstot līdzīgas formas. Vai tā nedarbojas mūsu pasaule?
Bet sabiedrība. Parādās ideja. Sākumā diezgan abstrakti. Un tad tas "iekļūst masās". Jā, tas kaut kā transformējas. Bet kopumā tas paliek tas pats. Un vairuma cilvēku līmenī tas pārvēršas par dzīves ceļa mērķa uzstādījumu. Šeit ir tā pati PSRS. Nākamajā PSKP kongresā tika pieņemti nākamie laikmeta lēmumi, un viss gāja lejup. Arvien mazākā mērogā. Pilsētu komitejas, partijas komitejas. Un tā tālāk katram cilvēkam. Atkārtota struktūra.
Protams, fraktāļu teorija neļauj mums paredzēt nākotnes notikumus. Un tas diez vai ir iespējams. Taču liela daļa no tā, kas mūs ieskauj un kas notiek mūsu ikdienā, ļauj paskatīties uz to pavisam citām acīm. Apzināts.
Tie ir abstrakti matemātiski objekti, kuriem ir īpašums pašlīdzība. Tas ir, fraktāļa daļas ir līdzīgas pašam fraktālim, un šo daļu daļas ir līdzīgas daļām utt. Tas ir skaidri redzams šajā animācijā. Palielinot tālummaiņu, mēs atkal redzam līdzīgas struktūras.
Tomēr rodas jautājums - Cik universāli ir fraktāļu matemātiskie modeļi, ja tos izmanto reālajā pasaulē? Dažos gadījumos tie ir piemērojami. Piemēram, aprakstot ļoti ievilktas jūras piekrastes, vairākkārt palielinot šādu krastu attēlus, kas iegūti no Kosmosa, mēs iegūsim mazākas struktūras, kas līdzīgas lielajām. Bet, Vai pasaule kopumā ir fraktāls? Tas ir, ieejot dziļāk mikropasaulē un aplūkojot arvien lielākus megapasaules mērogus, vai mēs redzēsim līdzīgas struktūras? Protams, šādi būtu vienkāršāk - nevajag neko jaunu atklāt vai izgudrot, viss ir uzbūvēts tāpat: planētas riņķo ap zvaigznēm, pavadoņi riņķo ap planētām, elektroni riņķo ap kodoliem. Turpinot tālāk, varam pieņemt, ka arī elektroni, protoni un neitroni ir sistēmas, kurās ir centrālais ķermenis un ap to rotē mazāki ķermeņi.
Tomēr tas būtu ļoti garlaicīgi- visur redzēt vienu un to pašu. Nekāda principiāla novitāte... Diez vai Daba ir tik garlaicīga un vienmuļa! Visa mūsu pieredze liecina, ka pastāv ne tikai līdzības, bet arī atšķirības pat starp vissaistītākajiem objektiem (piemēram, starp kristāliem no vienas drūzas, starp sniegpārslām, starp cilvēkiem dvīņiem utt.). Protams, dabā ir universālie likumi, uz kuras atklāšanu tiecas zinošais prāts (tas ir tā galvenais un lielākais mērķis; tas tieši izvirza sevi filozofija, kā cilvēka kognitīvās darbības virsotne). Tāpēc visos matērijas organizācijas līmeņos ir kaut kas kopīgs un līdzīgs: no elementārdaļiņām līdz psihei, apziņai un sabiedrībai. tomēr izpausmes formas universālie likumi dažādos matērijas organizācijas līmeņos un dažādās tās daļās ir atšķirīgi. Tāpēc mēs skatāmies savādāk struktūras dažādās pasaules daļās un tās dažādos līmeņos, lai gan tās ir pakļautas vieniem un tiem pašiem likumiem (kurus mēs ne tuvu neesam pilnībā atklājuši).
Es ierosinu apspriest šo interesanto tēmu, jo īpaši tāpēc, ka mūsu cienījamais Solaris to jau ir izvirzījis savā zinātniskās fantastikas stāstu sērijā "Ingas Aulengas Visums" . Tajos autors pauž domu, ka Visums ir kā daudzšūnu organisma šūna, un citi Visumi ir citas šī organisma šūnas. Vēl viena Solaris ideja ir tāda, ka viens protons ir kā viss Visums. Tas viss ir nekas vairāk kā idejas par pasaules fraktalitāti.
Iepriekš pieminētais videoklips (ar labi izvēlētu mūziku!) rada interesantu sajūtu, iekļūstot “matērijas” dzīlēs, reizē arī paša samazinājuma. Kā teica izcilais fiziķis Ričards Feinmens 1959. gadā, paredzot nanotehnoloģiju attīstību, " tur lejā ir daudz vietas" Un jūs to jūtat fiziski, kad skatāties šo video.
Bet pats galvenais, tas liek aizdomāties fundamentāli jautājumi par saikni starp makro-, mikro- un mega-pasaulēm. Kas notiek, ja mēs pēkšņi dramatiski samazināsim? Mums ierastā makropasaule ar savām problēmām un absurdiem aiziet kaut kur malā, megapasaules reģionā. Un tajā pašā laikā tās procesi, izmēri, laiki un enerģijas mums zaudē nozīmi. It kā viņi mums vairs nebūtu pieejami. Tajā jaunajā mikrokosmosā, kurā mēs “pārvietojamies”, rodas mūsu pašu telpas, laika un enerģijas mērogi. Mūsu dzīve tajā būs tikai mirklis radībām, kas palikušas mūsu bijušajā makropasaulē, mūsu izmērs būs ārpus redzamības robežām pat visspēcīgākajos mikroskopos, un mūsu enerģijas būs... (kuras? vairāk? mazāk?). Tāpēc tai pasaulei gan mēs, gan tā mums būs tik tikko manāmi noslēpumi, kam ir zūdoši maza ietekme vienam uz otru.
Vai varbūt ir otrādi? Un mikro-, makro- un mega-pasaule ir kaut kā cieši saistīta viena ar otru un būtiski ietekmē viena otru, neskatoties uz radikālajām mēroga atšķirībām? Vismaz ar tiem pašiem universālajiem likumiem, par kuriem es runāju iepriekš.
Šis interesantais video liek aizdomāties par to visu.
PAŠVALDĪBAS BUDŽETA IZGLĪTĪBAS IESTĀDES VIDUSSKOLA
Ar. Mečetnoje
Zinātniski praktiskā konference “Matemātikas brīnišķīgā pasaule”
Pētnieciskais darbs “Ceļojums uz fraktāļu pasauli”
Pabeidza: 10. klases skolnieks
Allahverdieva Nailja
Vadītājs: Davidova E.V.
Ievads.
Galvenā daļa:
b) Fraktāļu radīšanas vēsture;
c) Fraktāļu klasifikācija;
d) fraktāļu pielietošana;
e) Fraktāļi dabā;
f) Fraktāļu krāsas.
3. Secinājums.
Ievads.
Kas slēpjas aiz noslēpumainā “fraktāļa” jēdziena? Iespējams, daudziem šis termins asociējas ar skaistiem attēliem, sarežģītiem rakstiem un spilgtiem attēliem, kas radīti, izmantojot datorgrafiku. Bet fraktāļi nav tikai skaistas bildes. Tās ir īpašas struktūras, kas ir pamatā visam, kas mūs ieskauj. Tikai pirms dažām desmitgadēm ielauzušies zinātniskajā pasaulē, fraktāļiem izdevās radīt īstu revolūciju apkārtējās realitātes uztverē. Izmantojot fraktāļus, cilvēks var izveidot ļoti precīzus dabas objektu, sistēmu, procesu un parādību matemātiskos modeļus.
Galvenā daļa
Fraktāļa jēdziens.
Fraktāls(no lat. fractus- sasmalcināta, salauzta, salauzta) ir sarežģīta ģeometriska figūra, kurai ir līdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai. Daudziem dabas objektiem ir fraktāļu īpašības, piemēram, piekrasti, mākoņi, koku vainagi, cilvēku vai dzīvnieku asinsrites sistēma un alveolārā sistēma.
Fraktāļi, īpaši lidmašīnā, ir populāri, pateicoties skaistuma apvienojumam ar vieglu konstruēšanu, izmantojot datoru.
Radīšanas vēsture.
Franču matemātiķis Benuā Mandelbrots, zinātnieks, kurš mūsdienās tiek atzīts par fraktāļu ģeometrijas tēvu, spēja fraktāļu zinātni pacelt jaunā līmenī. Mandelbrots vispirms definēja terminu "fraktāls":
Citāts
"Fraktāls ir struktūra, kas sastāv no daļām, kas savā ziņā ir līdzīgas veselumam"
70. gados Benuā Mandelbrots strādāja par matemātikas analītiķi uzņēmumā IBM. Zinātnieks vispirms domāja par fraktāļiem, pētot troksni elektroniskajos tīklos. No pirmā acu uzmetiena traucējumi datu pārraides laikā notika absolūti haotiski. Mandelbrots attēloja kļūdu rašanos un bija pārsteigts, atklājot, ka jebkurā laika skalā visi fragmenti izskatījās līdzīgi. Nedēļas mērogā trokšņi parādījās tādā pašā secībā kā vienas dienas, stundas vai minūtes skalā. Mandelbrots saprata, ka kļūdu biežums datu pārraidē tiek sadalīts laikā pēc Kantora 19. gadsimta beigās iezīmētā principa. Tad Benuā Mandelbrots sāka nopietni interesēties par fraktāļu izpēti.
Atšķirībā no saviem priekšgājējiem, lai radītu fraktāļus, Mandelbrots izmantoja nevis ģeometriskas konstrukcijas, bet gan dažādas sarežģītības algebriskas transformācijas. Matemātiķis izmantoja apgrieztās iterācijas metodi, kas ietver vienas un tās pašas funkcijas atkārtotu aprēķināšanu. Izmantojot datora iespējas, matemātiķis veica milzīgu skaitu secīgu aprēķinu, kuru rezultātus viņš grafiski attēloja kompleksajā plaknē. Tā radās Mandelbrota komplekts – sarežģīts algebriskais fraktālis, kas mūsdienās tiek uzskatīts par fraktāļu zinātnes klasiku. Dažos gadījumos vienu un to pašu objektu var uzskatīt gan par gludu, gan fraktālu. Lai izskaidrotu, kāpēc tas notiek, Mandelbrots sniedz interesantu vizuālu piemēru. Vilnas diegu bumba, kas noņemta no zināma attāluma, izskatās kā punkts ar izmēru 1. Blakus esošā bumba izskatās kā divdimensiju disks. Paņemot to rokās, var skaidri sajust bumbiņas apjomu – tagad tā tiek uztverta kā trīsdimensiju. Par fraktāļu lodi var uzskatīt tikai no novērotāja viedokļa, izmantojot palielināmo ierīci, vai mušu, kas nolaižas uz nelīdzena vilnas pavediena virsmas. Tāpēc objekta patiesā fraktalitāte ir atkarīga no novērotāja skatpunkta un no izmantotās ierīces izšķirtspējas.
Mandelbrots atzīmēja interesantu modeli - jo tuvāk aplūkosit izmērīto objektu, jo plašāka būs tā robeža. Šo īpašību var skaidri parādīt, izmērot viena no dabiskajiem fraktāliem - piekrastes līniju - garumu. Veicot mērījumus ģeogrāfiskajā kartē, jūs varat iegūt aptuveno garumu, jo netiks ņemti vērā visi nelīdzenumi un līkumi. Ja mērījums tiek veikts, ņemot vērā visus reljefa nelīdzenumus, kas redzami no cilvēka augstuma augstuma, rezultāts būs nedaudz atšķirīgs - krasta līnijas garums ievērojami palielināsies. Un, ja teorētiski iedomājamies, ka mērierīce apbrauks katra oļa nelīdzenumus, tad šajā gadījumā krasta līnijas garums būs gandrīz bezgalīgs.
Fraktāļu klasifikācija.
Fraktāļi ir sadalīti:
ģeometriski: šīs klases fraktāļi ir visredzamākie, tajos uzreiz redzama pašlīdzība. Fraktāļu vēsture sākās tieši ar ģeometriskajiem fraktāļiem, kurus matemātiķi pētīja 19. gadsimtā.
algebrisks: šī fraktāļu grupa saņēma šo nosaukumu, jo fraktāļus veido, izmantojot vienkāršas algebriskas formulas.
stohastisks: veidojas nejaušu izmaiņu gadījumā fraktāļu parametru iteratīvajā procesā. Divdimensiju stohastiskos fraktāļus izmanto reljefa un jūras virsmu modelēšanā.
Ģeometriskie fraktāļi
Šeit sākās fraktāļu vēsture. Šāda veida fraktāļus iegūst, izmantojot vienkāršas ģeometriskas konstrukcijas. Parasti, konstruējot šos fraktāļus, viņi to dara: viņi ņem “sēklu” - aksiomu - segmentu kopumu, uz kura pamata tiks veidots fraktāls. Tālāk šai “sēklai” tiek piemērots noteikumu kopums, kas to pārvērš par kaut kādu ģeometrisku figūru. Tālāk tas pats noteikumu kopums tiek piemērots katrai šī attēla daļai. Ar katru soli figūra kļūs arvien sarežģītāka, un, ja mēs veiksim (vismaz savā prātā) bezgalīgi daudz transformāciju, mēs iegūsim ģeometrisku fraktāli. Klasiskie ģeometrisko fraktāļu piemēri: Koha sniegpārsla, Lista, Sjerpinska trīsstūris, Drakona līnija (1. pielikums).
Algebriskie fraktāļi
Otra lielā fraktāļu grupa ir algebriskā (2. pielikums). Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, pamatojoties uz algebriskām formulām, dažreiz ļoti vienkāršām. Ir vairākas metodes algebrisko fraktāļu iegūšanai.
Diemžēl daudzi 10-11 klases termini, kas saistīti ar kompleksajiem skaitļiem, kas nepieciešami, lai izskaidrotu fraktāļa uzbūvi, man nav zināmi un joprojām ir grūti saprotami, tāpēc man nav iespējams detalizēti aprakstīt šāda veida fraktāļu uzbūvi. .
Sākotnēji fraktāļu daba ir melnbalta, taču, ja pievieno nedaudz iztēles un krāsas, var iegūt īstu mākslas darbu.
Stohastiskie fraktāļi
Tipisks šīs fraktāļu klases pārstāvis ir “Plazma” (3. pielikums). Lai to izveidotu, paņemiet taisnstūri un katram tā stūrim definējiet krāsu. Tālāk mēs atrodam taisnstūra centrālo punktu un krāsojam to ar krāsu, kas ir vienāda ar taisnstūra stūru krāsu vidējo aritmētisko plus kādu nejaušu skaitli. Jo lielāks ir nejaušais skaitlis, jo “nodriskātāks” būs zīmējums. Ja tagad sakām, ka punkta krāsa ir augstums virs jūras līmeņa, tad plazmas vietā iegūsim kalnu grēdu. Tieši pēc šī principa kalni tiek modelēti lielākajā daļā programmu. Izmantojot plazmai līdzīgu algoritmu, tiek uzbūvēta augstuma karte, uzlikti tai dažādi filtri, uzklāta tekstūra un, lūdzu, fotoreālistiski kalni ir gatavi!
Fraktāļu pielietojums
Jau šobrīd fraktāļus plaši izmanto visdažādākajās jomās. Grafiskās informācijas fraktāļu arhivēšanas virziens aktīvi attīstās. Teorētiski fraktāļu arhivēšana var saspiest attēlus līdz punkta izmēram, nezaudējot kvalitāti. Palielinot attēlus, kas saspiesti pēc fraktāļu principa, tiek skaidri parādītas mazākās detaļas, un graudainuma efekts pilnībā nav.
Fraktāļu teorijas principus medicīnā izmanto, lai analizētu elektrokardiogrammas, jo arī sirds ritms ir fraktālis. Aktīvi attīstās asinsrites sistēmas un citu cilvēka ķermeņa iekšējo sistēmu pētījumu virziens. Bioloģijā fraktāļus izmanto, lai modelētu populācijās notiekošos procesus.
Meteorologi izmanto fraktāļu attiecības, lai analizētu gaisa masu kustības intensitāti, kas ļauj precīzāk prognozēt laika apstākļu izmaiņas. Fraktāļu vides fizika ar lieliem panākumiem risina sarežģītu turbulentu plūsmu dinamikas, adsorbcijas un difūzijas procesu izpētes problēmas. Naftas ķīmijas rūpniecībā porainu materiālu modelēšanai izmanto fraktāļus. Fraktāļu teorija tiek efektīvi izmantota finanšu tirgos. Fraktāļu ģeometrija tiek izmantota, lai izveidotu jaudīgas antenas ierīces.
Mūsdienās fraktāļu teorija ir patstāvīga zinātnes nozare, uz kuras pamata dažādās jomās tiek radīti arvien jauni virzieni. Fraktāļu nozīmei ir veltīti daudzi zinātniski darbi.
Bet šie neparastie priekšmeti ir ne tikai ārkārtīgi noderīgi, bet arī neticami skaisti. Tāpēc fraktāļi pamazām atrod savu vietu mākslā. Viņu apbrīnojamā estētiskā pievilcība iedvesmo daudzus māksliniekus veidot fraktāļu gleznas. Mūsdienu komponisti rada mūzikas darbus, izmantojot elektroniskus instrumentus ar dažādām fraktāļu īpašībām. Rakstnieki izmanto fraktāļu struktūru, lai veidotu savus literāros darbus, un dizaineri veido fraktāļu mēbeles un interjera dizainu.
Fraktalitāte dabā
1977. gadā tika izdota Mandelbrota grāmata “Fractals: Form, Randomness and Dimension”, bet 1982. gadā izdota vēl viena monogrāfija – “Dabas fraktāļu ģeometrija”, kuras lappusēs autors demonstrēja uzskatāmus dažādu fraktāļu kopu piemērus un sniedza pierādījumus fraktāļu esamība dabā. Mandelbrots izteica fraktāļu teorijas galveno ideju šādos vārdos:
"Kāpēc ģeometriju bieži sauc par aukstu un sausu? Viens no iemesliem ir tas, ka tā nevar precīzi aprakstīt mākoņa, kalna, koka vai jūras krasta formu. Mākoņi nav sfēras, krasta līnijas nav apļi, un garoza nav gluda. ." , un zibens nepārvietojas taisnā līnijā. Daba mums parāda ne tikai augstāku pakāpi, bet pilnīgi citu sarežģītības pakāpi. Dažādu garumu skalu skaits konstrukcijās vienmēr ir bezgalīgs. Šo konstrukciju esamība mūs izaicina Sarežģīta uzdevuma forma pētīt tās formas, kuras Eiklids noraidīja kā bezformas – matemātiķi šo izaicinājumu atstāja novārtā un deva priekšroku virzīties arvien tālāk no dabas, izgudrojot teorijas, kas to nedara. atbilst jebkam, ko var redzēt vai sajust."
Daudziem dabas objektiem piemīt fraktāļu kopas īpašības (4. pielikums).
Vai tiešām fraktāļi ir universālas struktūras, kas tika ņemtas par pamatu absolūti visa, kas pastāv šajā pasaulē, radīšanai? Daudzu dabas objektu forma ir pēc iespējas tuvāka fraktāļiem. Taču ne visiem pasaulē eksistējošajiem fraktāļiem ir tik regulāra un bezgalīgi atkārtota struktūra kā matemātiķu radītajām kopām. Kalnu grēdām, metāla lūzumu virsmām, vētrainām plūsmām, mākoņiem, putām un daudziem, daudziem citiem dabīgiem fraktāliem trūkst pilnīgi precīzas pašlīdzības. Un būtu absolūti nepareizi uzskatīt, ka fraktāļi ir universālā atslēga visiem Visuma noslēpumiem. Neskatoties uz visu to šķietamo sarežģītību, fraktāļi ir tikai vienkāršots realitātes modelis. Bet starp visām mūsdienās pieejamām teorijām fraktāļi ir visprecīzākais līdzeklis apkārtējās pasaules aprakstam.
Vai tiešām fraktāļi ir universālas struktūras, kas tika ņemtas par pamatu absolūti visa, kas pastāv šajā pasaulē, radīšanai? Daudzu dabas objektu forma ir pēc iespējas tuvāka fraktāļiem. Taču ne visiem pasaulē eksistējošajiem fraktāļiem ir tik regulāra un bezgalīgi atkārtota struktūra kā matemātiķu radītajām kopām. Kalnu grēdām, metāla lūzumu virsmām, vētrainām straumēm, mākoņiem, putām un daudziem, daudziem citiem dabīgiem fraktāliem trūkst pilnīgi precīzas pašlīdzības. Un būtu absolūti nepareizi uzskatīt, ka fraktāļi ir universālā atslēga visiem Visuma noslēpumiem. Neskatoties uz visu to šķietamo sarežģītību, fraktāļi ir tikai vienkāršots realitātes modelis. Bet starp visām mūsdienās pieejamām teorijām fraktāļi ir visprecīzākais līdzeklis apkārtējās pasaules aprakstam.
Fraktāļu krāsas
Fraktāļu skaistumu papildina to spilgtās un lipīgās krāsas. Sarežģītas krāsu shēmas padara fraktāļus skaistus un neaizmirstamus. No matemātiskā viedokļa fraktāļi ir melnbalti objekti, kuru katrs punkts vai nu pieder kopai, vai nepieder tai. Taču mūsdienu datoru iespējas ļauj fraktāļus padarīt krāsainus un košus. Un tā nav vienkārša komplekta blakus esošo zonu iekrāsošana jebkurā secībā.
Analizējot katra punkta vērtību, programma automātiski nosaka konkrēta fragmenta nokrāsu. Punkti, kuros funkcija iegūst nemainīgu vērtību, ir parādīti melnā krāsā. Ja funkcijas vērtībai ir tendence uz bezgalību, tad punkts tiek nokrāsots citā krāsā. Krāsošanas intensitāte ir atkarīga no bezgalības tuvošanās ātruma. Jo vairāk atkārtojumu nepieciešams, lai punktu tuvinātu stabilai vērtībai, jo gaišāks kļūst tā nokrāsa. Un otrādi - punkti, kas ātri steidzas pretī bezgalībai, ir nokrāsoti spilgtās un piesātinātās krāsās.
Secinājums
Kad pirmo reizi dzirdat par fraktāļiem, jūs domājat, kas tie ir?
No vienas puses, tā ir sarežģīta ģeometriska figūra, kurai piemīt pašlīdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai.
Šī koncepcija aizrauj ar savu skaistumu un noslēpumainību, kas izpaužas visnegaidītākajās jomās: meteoroloģijā, filozofijā, ģeogrāfijā, bioloģijā, mehānikā un pat vēsturē.
Dabā neredzēt fraktāli ir gandrīz neiespējami, jo gandrīz katram objektam (mākoņiem, kalniem, krasta līnijai utt.) ir fraktāļu struktūra. Lielākajai daļai tīmekļa dizaineru un programmētāju ir sava fraktāļu galerija (neparasti skaista).
Būtībā fraktāļi atver mūsu acis un ļauj mums paskatīties uz matemātiku no citas perspektīvas. Šķiet, ka parastie aprēķini tiek veikti ar parastajiem “sausajiem” skaitļiem, taču tas mums dod unikālus rezultātus savā veidā, ļaujot mums justies kā dabas radītājam. Fraktāļi skaidri parāda, ka matemātika ir arī skaistuma zinātne.
Ar savu projekta darbu es gribēju runāt par diezgan jaunu matemātikas jēdzienu “fraktālis”. Kas tas ir, kādi veidi pastāv, kur tie tiek izplatīti. Es ļoti ceru, ka fraktāļi jūs ieinteresēja. Galu galā, kā izrādās, fraktāļi ir diezgan interesanti un tie pastāv gandrīz uz katra soļa.
Bibliogrāfija
http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
http://fractals.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
Bondarenko V.A., Doļņikovs V.L. Fraktāļu attēla saspiešana saskaņā ar Barnsley-Sloan. // Automatizācija un telemehānika.-1994.-N5.-l.12-20.
Vatoliņš D. Fraktāļu pielietojums datorgrafikā. // Datorpasaule-Krievija.-1995.-N15.-11.lpp.
Feders E. Fraktāļi. Per. no angļu valodas-M.: Mir, 1991.-254 lpp. (Jens Feder, Plenum Press, Ņujorka, 1988)
Fraktāļu un haosa pielietojums. 1993, Springer-Verlag, Berlīne.
1.pielikums
2. pielikums
3. pielikums
4. pielikums
Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu
Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.
Publicēts http://www.allbest.ru/
Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija
Priekšmets: Fraktāļi- īpašsobjektusdzīvsUnnedzīvojošsmiers
Habarovskas TOGU 2015
- Satura rādītājs
- fraktāļu ģeometriskā fraktāļu grafika
- Fraktāļu vēsture
- Fraktāļu klasifikācija
- Ģeometriskie fraktāļi
- Algebriskie fraktāļi
- Fraktāļu pielietojums
- Fraktāļi un pasaule mums apkārt
- Fraktāļu grafika
- Fraktāļu pielietojums
- Dabas zinātnes
- Radiotehnika
- Datorzinātne
- Ekonomika un finanses
Fraktāļu vēsture
Ļoti bieži mēs sastopamies ar īpašiem objektiem, bet tikai daži cilvēki zina, ka tie ir fraktāļi. Fraktāļi ir unikāli objekti, ko rada haotiskās pasaules neparedzamās kustības. Tie ir atrodami gan mazos objektos, piemēram, šūnu membrānā, gan lielos, piemēram, Saules sistēmā un Galaktikā. Ikdienā fraktāļus varam redzēt tapetēs, uz auduma, datora darbvirsmas ekrānsaudzētājā un dabā - tie ir augi, jūras dzīvnieki un dabas parādības.
Zinātniekus kopš seniem laikiem aizrauj fraktāļi, un arī programmētāji un datorgrafikas speciālisti mīl šos objektus. Fraktāļu atklāšana bija revolūcija cilvēka pasaules uztverē un jaunas mākslas un zinātnes estētikas atklāšana.
Tātad, kas ir fraktāļi? Fraktāls- ģeometriska figūra, kurai ir pašlīdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai kopumā.
Termins fraktāls tika ierosināts 1975. gadā. Benuā Mandelbrots, lai norādītu neregulārās, sev līdzīgās struktūras, par kurām viņš bija norūpējies. Fraktāļu ģeometrijas dzimšana ir viņa grāmatas “Dabas fraktāļu ģeometrija” izdošana 1977. gadā. Viņa darbs bija balstīts uz zinātnieku Puankarē, Fatū, Džūlijas, Kantora un Hausdorfa darbiem, kuri strādāja 1875. gadā? 1925. gadā tajā pašā rajonā. Bet tikai mūsu laikā viņi spēja apvienot savu darbu vienotā sistēmā.
Jēdziens “fraktāls” ir atvasināts no latīņu vārda “fractus”? kas sastāv no fragmentiem. Viena no definīcijām ir šāda: "Fraktāls ir struktūra, kas sastāv no daļām, kas savā ziņā ir līdzīgas veselumam."
Benuā Mandelbrots savos darbos sniedza spilgtus piemērus par fraktāļu izmantošanu, lai izskaidrotu dažas dabas parādības. Viņš pievērsa lielu uzmanību interesantam īpašumam, kas piemīt daudziem fraktāliem. Fakts ir tāds, ka bieži vien fraktāli var sadalīt patvaļīgi mazās daļās, lai katra daļa izrādītos vienkārši samazināta veseluma kopija. Citiem vārdiem sakot, ja mēs skatāmies uz fraktāli caur mikroskopu, mēs būsim pārsteigti, redzot tādu pašu attēlu kā bez mikroskopa. Šī pašlīdzības īpašība krasi atšķir fraktāļus no klasiskās ģeometrijas objektiem.
Mūsdienu zinātniekiem, pētot fraktāļus? ne tikai jauna zināšanu joma. Šis ir jauna veida ģeometrijas atklājums, kas apraksta apkārtējo pasauli un ko var redzēt ne tikai mācību grāmatās, bet arī dabā un neierobežotajā Visumā. Tagad Mandelbrots un citi zinātnieki ir paplašinājuši fraktāļu ģeometrijas jomu, lai to varētu pielietot gandrīz visam pasaulē, sākot no akciju tirgus cenu prognozēšanas līdz jaunu atklājumu veikšanai teorētiskajā fizikā.
Fraktāļu klasifikācija
Ir dažādas fraktāļu klasifikācijas.
Galvenā fraktāļu klasifikācija ir iedalījums ģeometriskajā un algebriskajā.
Ģeometriskajiem fraktāļiem ir precīza pašlīdzība, un algebriskajiem fraktāļiem ir aptuvena pašlīdzība.
Ir arī iedalījums dabiskajos un cilvēka radītajos fraktāļos.
Cilvēka radītie fraktāļi ir tie, kurus izgudroja zinātnieki, tiem piemīt jebkura mēroga fraktāļu īpašības. Dabiskajiem fraktāļiem ir noteikts eksistences apgabala ierobežojums - tas ir, maksimālais un minimālais izmērs, kādā objektam piemīt fraktāļu īpašības.
Vienkāršākie fraktāļi ir ģeometriskie fraktāļi.
Ģeometriskie fraktāļi
Ģeometriskos fraktāļus sauc arī par klasiskajiem, deterministiskajiem vai lineārajiem. Tie ir visvizuālākie, jo tiem ir tā sauktā stingrā pašlīdzība, kas nemainās, mainoties mērogam. Tas nozīmē, ka neatkarīgi no tā, cik tuvu jūs tuvināt fraktāli, jūs joprojām redzat to pašu modeli.
Divdimensiju gadījumā šādus fraktāļus var iegūt, norādot kādu lauztu līniju, ko sauc par ģeneratoru. Vienā algoritma solī katrs no dotās polilīnijas (iniciatora) segmentiem tiek aizstāts ar ģeneratora polilīniju atbilstošā mērogā. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūta fraktāļu līkne. Neskatoties uz šīs līknes šķietamo sarežģītību, tās formu nosaka tikai ģeneratora forma.
Slavenākie ģeometriskie fraktāļi: Koha līkne, Minkovska līkne, Levija līkne, pūķa līkne, Sierpinski salvete un paklājs, Durera piecstūris.
Dažu ģeometrisko fraktāļu uzbūve
1). Koha līkne.
To 1904. gadā izgudroja vācu matemātiķis Helge fon Kohs. Lai to izveidotu, tiek ņemts viens segments, kas sadalīts trīs vienādās daļās, un vidējā saite tiek aizstāta ar vienādmalu trīsstūri bez šīs saites. Nākamajā darbībā mēs atkārtojam darbību katram no četriem iegūtajiem segmentiem. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūta fraktāļu līkne.
2). Sierpinska salvete.
1915. gadā poļu matemātiķis Waclaw Sierpinski nāca klajā ar interesantu objektu. Lai to izveidotu, ņemiet cietu vienādmalu trīsstūri. Pirmajā solī no centra tiek noņemts apgriezts vienādmalu trīsstūris. Otrajā darbībā no atlikušajiem trīs trīsstūriem tiek noņemti trīs apgriezti trīsstūri utt. Saskaņā ar teoriju šim procesam gala nebūs, un trijstūrī nepaliks arī dzīvojamās platības, taču tas arī nesadalīsies - rezultātā būs objekts, kas sastāv tikai no bedrēm.
3). Hartera-Haitveja pūķis.
Hartera pūķi, kas pazīstams arī kā Harter-Haithaway pūķis, vispirms pētīja NASA fiziķi? Džons Hetvejs, Viljams Hārters un Brūss Benkss. To 1967. gadā aprakstīja Martins Gārdners Scientific American slejā "Mathematical Games".
Nākamajā solī katrs no līnijas segmentiem tiek aizstāts ar diviem segmentiem, kas veido vienādsānu taisnstūra trīsstūra sānu malas, kurām sākotnējais segments būtu hipotenūza. Rezultātā segments, šķiet, saliecas taisnā leņķī. Izlieces virziens mainās. Pirmais segments noliecas pa labi (virzoties no kreisās puses uz labo), otrais - pa kreisi, trešais - atkal pa labi utt.
Ģeometrisko fraktāļu piemēri
LīkneKochSalveteSierpinskis
PūķisHarters-Hethavejs
Otra lielā fraktāļu grupa ir algebriskie. Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, pamatojoties uz algebriskām formulām.
Algebriskie fraktāļi
Sarežģītus (algebriskos) fraktāļus nevar izveidot bez datora palīdzības. Lai iegūtu krāsainus rezultātus, šim datoram ir jābūt jaudīgam matemātiskajam kopprocesoram un augstas izšķirtspējas monitoram. Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, pamatojoties uz algebriskām formulām. Šīs formulas matemātiskās apstrādes rezultātā ekrānā tiek parādīts noteiktas krāsas punkts. Rezultāts ir dīvaina figūra, kurā taisnas līnijas pārvēršas līknēs, un pašlīdzības efekti parādās dažādos mēroga līmeņos, lai gan ne bez deformācijām. Gandrīz katrs datora ekrāna punkts ir kā atsevišķs fraktālis.
Slavenākie algebriskie fraktāļi: Mandelbrota un Jūlijas kopas, Ņūtona baseini.
Algebriskajiem fraktāļiem ir aptuvena līdzība. Faktiski, ja palielināsit nelielu jebkura sarežģīta fraktāļa laukumu un pēc tam darāt to pašu ar nelielu šī laukuma daļu, abi palielinājumi ievērojami atšķirsies viens no otra. Abi attēli būs ļoti līdzīgi detaļās, taču tie nebūs pilnīgi identiski.
ALGEBRIKA FRAKTAĻI
Mandelbrota kopas aproksimācijas
Fraktāļi arvien vairāk atrod pielietojumu zinātnē. Galvenais iemesls ir tas, ka tie apraksta reālo pasauli labāk nekā tradicionālā fizika un matemātika.
Fraktāļu pielietojums
1). Haosa teorija: Fraktāļi vienmēr ir saistīti ar vārdu haoss. Haosa teorija ir definēta kā sarežģītu nelineāru dinamisku sistēmu izpēte. Haoss ir paredzamības trūkums. Tas notiek dinamiskās sistēmās, kad divām ļoti tuvām sākotnējām vērtībām sistēma darbojas pilnīgi atšķirīgi. Haotiskas dinamiskas sistēmas piemērs ir laikapstākļi. Šādu sistēmu piemēri ir nemierīgās plūsmas, bioloģiskās populācijas, sabiedrība un tās apakšsistēmas: ekonomiskās, politiskās un citas sociālās sistēmas. Viens no šīs teorijas centrālajiem jēdzieniem ir neiespējamība precīzi paredzēt sistēmas stāvokli. Haosa teorija koncentrējas nevis uz sistēmas nekārtību (sistēmas iedzimta neparedzamība), bet gan uz kārtību, ko tā pārmanto (līdzīgu sistēmu parastā uzvedība). Tādējādi haosa zinātne ir ideju sistēma par dažādām kārtības formām, kur nejaušība kļūst par organizējošo principu.
2). Ekonomika: vērtspapīru tirgus analīze.
3). Astrofizika: galaktiku klasterizācijas procesu apraksts Visumā.
4). Ģeoloģija: minerālu raupjuma izpēte;
5). Kartogrāfija: krasta līniju formu izpēte; plaša upju kanālu tīkla izpēte.
6). Šķidrumu un gāzu mehānika, virsmu fizika:
- sarežģītu plūsmu dinamika un turbulence.
- liesmu modelēšana;
7). Bioloģija un medicīna:
- dzīvnieku populāciju un putnu migrācijas modelēšana;
- epidēmiju modelēšana;
- asinsrites sistēmas struktūras analīze;
- šūnu membrānu sarežģītu virsmu izskatīšana;
- ķermeņa iekšējo procesu apraksts, piemēram, sirdsdarbība.
8). Fraktāļu antenas: Fraktāļu ģeometrijas izmantošanu antenu ierīču projektēšanā pirmo reizi izmantoja amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš toreiz dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana uz ēkām bija aizliegta. Viņš no alumīnija folijas izgrieza Koha līknes formu un ielīmēja to uz papīra lapas, pēc tam pievienoja uztvērējam. Izrādījās, ka šāda antena darbojas ne sliktāk par parasto. Un, lai gan šādas antenas fiziskie darbības principi vēl nav izpētīti, tas netraucēja Koenam dibināt savu uzņēmumu un uzsākt to sērijveida ražošanu.
9). Attēlu saspiešana: fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmu priekšrocības ir ļoti mazs faila izmērs un īss attēla atkopšanas laiks. Vēl viena fraktāļu saspiešanas priekšrocība ir tā, ka, palielinot attēlu, nav pikseļu efekta (punktu lieluma palielināšana līdz izmēriem, kas izkropļo attēlu). Izmantojot fraktāļu kompresiju, pēc palielināšanas attēls bieži izskatās pat labāks nekā iepriekš.
10). Datorgrafika. Mūsdienās datorgrafika piedzīvo intensīvas attīstības periodu. Viņa varēja monitora ekrānā radīt bezgalīgu dažādu fraktāļu formu un ainavu klāstu, iegremdējot skatītāju pārsteidzošā virtuālajā telpā. Mūsdienās ar salīdzinoši vienkāršu algoritmu palīdzību ir kļuvis iespējams izveidot fantastisku ainavu un formu trīsdimensiju attēlus, kurus laika gaitā var pārveidot vēl aizraujošākos attēlos. Fraktāļu tendenci līdzināties kalniem, ziediem un kokiem izmanto daži grafiskie redaktori (piemēram, fraktāļu mākoņi no 3D studijas MAX, fraktāļu kalni programmā World Builder). Fraktāļu modeļi mūsdienās tiek plaši izmantoti datorspēlēs, radot tajās no realitātes grūti atšķiramu vidi.
Divdesmitā gadsimta beigas iezīmējās ne tikai ar pārsteidzoši skaistu un bezgala daudzveidīgu struktūru, ko sauc par fraktāliem, atklāšanu, bet arī ar dabas fraktāļu dabas apzināšanos. Apkārtējā pasaule ir ļoti daudzveidīga, un tās objekti neietilpst stingrajā Eiklīda līniju un virsmu ietvarā.
Fraktāļi un pasaule mums apkārt
« Skaistums vienmēr ir relatīvs... Mums nevajadzētu pieņemt, ka okeāna krasti ir patiesi bezveidīgi tikai tāpēc, ka to forma atšķiras no mūsu uzbūvēto molu regulārās formas; kalnu formu nevar uzskatīt par neregulāru, pamatojoties uz to, ka tie nav regulāri konusi vai piramīdas; tikai tāpēc, ka attālumi starp zvaigznēm ir nevienlīdzīgi, tas nenozīmē, ka tās būtu izkaisītas pa debesīm ar neveiklu roku. Šīs kļūdas pastāv tikai mūsu iztēlē , patiesībā tie nav tādi un nekādi netraucē patiesajām dzīvības izpausmēm uz Zemes ne augu un dzīvnieku valstībā, ne cilvēku vidū. Šie angļu zinātnieka vārdi 17. gs. Ričards Bentlijs norāda, ka ideja apvienot krastu, kalnu un debess objektu formas un pretstatīt tos eiklīda konstrukcijām cilvēku prātos radās ļoti ilgu laiku.
Galileo Galilejs teica, ka "lielā dabas grāmata ir uzrakstīta ģeometrijas valodā". Tagad mēs varam droši teikt, ka tas ir uzrakstīts fraktāļu ģeometrijas valodā.
Tas, ko mēs novērojam dabā, mūs bieži vien aizrauj ar viena un tā paša modeļa bezgalīgu atkārtošanos, palielinot vai samazinot tik reižu, cik vēlamies. Dīvainas piekrastes formas un sarežģīti upju līkumi, kalnu grēdu šķeltas virsmas un mākoņu kontūras, izplatīti koku zari un koraļļu rifi, kautrīgā sveces mirgošana un putojošās kalnu upju straumes - tie visi ir fraktāļi. Daži no tiem, piemēram, mākoņi vai vētrainas straumes, pastāvīgi maina savu formu, citi, piemēram, koki vai kalnu grēdas, saglabā savu struktūru nemainīgu. Visiem fraktāļu struktūru veidiem kopīga ir to pašlīdzība - galvenā īpašība, kas nodrošina pamatlikuma izpildi fraktāļos - vienotības likuma Visuma daudzveidībā.
Cilvēka sistēmas un orgāni arī ir fraktāļu struktūras. Piemēram, asinsvadi zarojas atkārtoti, t.i. ir fraktāļu raksturs. Sirds elektriskā aktivitāte ir fraktāļu process. Kardiologi ir atklājuši, ka sirdspukstu spektrālās īpašības atbilst fraktāļu likumiem, tāpat kā zemestrīcēm un ekonomiskajām parādībām. Gremošanas trakta audos viena viļņota virsma ir iestrādāta citā. Plaušas ir arī piemērs lielai platībai, kas tiek saspiesta mazā telpā. Faktiski visa cilvēka ķermeņa struktūra pēc būtības ir fraktālas; to jau ir atzinuši zinātnieki. Cilvēka genomā ir iestrādāts viena vienkārša, daudzveidīga kompleksa definēšanas princips, kad viena dzīva organisma šūna satur informāciju par visu organismu kopumā.
Fraktāļu struktūras dabā
Šeit ir daži fotoattēlu paraugi:
Kā teica biologs Džons Haldane: "Pasaule ir ne tikai dīvaināka, nekā mēs domājam, bet arī dīvaināka, nekā mēs varam iedomāties." Fraktāļi nav Mandelbrota izgudrojumi. Tie pastāv objektīvi. Dabiskās formās un procesos, zinātnē un mākslā, kas atspoguļo un saprot šo pasauli. Tieši “par mūsu pasaules uzskatu maiņu, pateicoties fraktāļu ģeometrijas idejām”, Benuā Mandelbrotam 1993. gadā tika piešķirta goda Vilka balva fizikā.
Pašlaik fraktāļu gleznas ir ļoti populāras. Tie rada absolūti fantastisku iespaidu. Daudzas plānas līnijas, kas veido vienu veselumu, vai neparasti elementi, kas savīti vienā attēlā. Spilgtas gaismas mirgo un mēreni gludas līnijas. Fraktāls šķiet dzīvs. Tas deg, tas spīd, tas piesaista, un jūs nevarat atraut no tā skatienu, pētot pat vissīkākās un nenozīmīgākās detaļas.
Fraktāļu grafika
Fraktāļu gleznas interjerā
Fraktāļu pielietojums
Dabas zinātnes
Fizikā fraktāļi dabiski rodas, modelējot nelineārus procesus, piemēram, turbulentu šķidruma plūsmu, sarežģītus difūzijas-adsorbcijas procesus, liesmas, mākoņus un tamlīdzīgus. Fraktāļi tiek izmantoti porainu materiālu modelēšanā, piemēram, naftas ķīmijas produktos. Bioloģijā tos izmanto, lai modelētu populācijas un aprakstītu iekšējo orgānu sistēmas (asinsvadu sistēmu). Pēc Koha līknes izveidošanas tika ierosināts to izmantot, aprēķinot krasta līnijas garumu.
Radiotehnika
Fraktāļu ģeometrijas izmantošanu antenu ierīču projektēšanā pirmais izmantoja amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš toreiz dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana uz ēkām bija aizliegta. Neitans no alumīnija folijas izgrieza Koha līknes formu un ielīmēja to uz papīra lapas, pēc tam pievienoja uztvērējam. Koens nodibināja savu uzņēmumu un sāka to sērijveida ražošanu.
Datorzinātne
Attēlu saspiešana
Fraktāļu koks
Ir algoritmi attēlu saspiešanai, izmantojot fraktāļus. To pamatā ir ideja, ka paša attēla vietā var saglabāt saspiešanas karti, kurai šis attēls (vai kāds tuvs) ir fiksēts punkts. Vienu no šī algoritma variantiem izmantoja Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, taču šie algoritmi netika plaši izmantoti.
Datorgrafika
Fraktāļi tiek plaši izmantoti datorgrafikā, lai izveidotu attēlus no dabas objektiem, piemēram, koki, krūmi, kalnu ainavas, jūras virsmas utt. Ir pieejamas daudzas programmas, lai ģenerētu fraktāļu attēlus.
Decentralizēts tīkliem
IP adreses piešķiršanas sistēma Netsukuku tīklā (šis tīkls ir projekts, lai izveidotu sadalītu pašorganizējošu peer-to-peer tīklu, kas spēj nodrošināt milzīga skaita mezglu mijiedarbību ar minimālu centrālā procesora un atmiņas slodzi) fraktālās informācijas saspiešanas princips, lai kompakti uzglabātu informāciju par tīkla mezgliem. Katrs Netsukuku tīkla mezgls glabā tikai 4 KB informācijas par blakus esošo mezglu stāvokli, savukārt jebkurš jauns mezgls pieslēdzas kopējam tīklam bez nepieciešamības centralizēti regulēt IP adrešu sadali, kas, piemēram, ir raksturīga Internets. Tādējādi fraktāļu informācijas saspiešanas princips garantē pilnībā decentralizētu un līdz ar to arī visstabilāko visa tīkla darbību.
Ekonomika un finanses
A. A. Almazovs savā grāmatā “Fraktāļu teorija. Kā mainīt savu skatījumu uz tirgiem” ieteica veidu, kā izmantot fraktāļus, analizējot akciju kotācijas, jo īpaši Forex tirgū.
Katru reizi, kad skatāties uz fraktāliem, jūs domājat par to, cik skaista ir reālā pasaule un matemātikas pasaule, un ka matemātika patiešām ir valoda, kas var aprakstīt gandrīz visu, kas pastāv Visumā.
Bibliogrāfija
1. Mandelbrots B. Dabas fraktāļu ģeometrija. M.: “Datorpētniecības institūts”, 2002. 656 lpp.
2. Morozovs A.D. Ievads fraktāļu teorijā. N. Novgorod: Izdevniecība Nizhny Novgorod. Universitāte, 1999, 140 lpp.
3. Peitgen H.-O., Rihters P. H. Fraktāļu skaistums. M.: “Mir”, 1993. - 176 lpp.
4. Tikhoplavs V.Yu., Tihoplav T.S. Haosa harmonija jeb fraktāļu realitāte. Sanktpēterburga: Izdevniecība “Ves”, 2003. 340 lpp.
5. Feders E. Fraktāļi. M: “Mir”, 1991. 254 lpp.
6. Šrēders M. Fraktāļi, haoss, varas likumi. Miniatūras no bezgalīgas paradīzes. Iževska: “RKhD”, 2001. 528 lpp.
Vietņu saraksts par fraktāļiem
1. http://www.fractals.nsu.ru.
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.
3. http://www.multifractal.narod.ru.
4. http://algolist.manual.ru.
Ievietots vietnē Allbest.ru
Līdzīgi dokumenti
Fraktāļu dimensijas uzskatīšana par vienu no inženierijas virsmas raksturlielumiem. Dabisko fraktāļu apraksts. Negludas (pārlauztas) līnijas garuma mērīšana. Līdzība un mērogošana, pašlīdzība un pašpiederība. Perimetra un laukuma attiecības.
tests, pievienots 23.12.2015
Fraktāļu teorijas rašanās vēsture. Fraktāls ir sev līdzīga struktūra, kuras attēls nav atkarīgs no mēroga. Šis ir rekursīvs modelis, kura katra daļa savā attīstībā atkārto visa modeļa attīstību kopumā. Fraktāļu teorijas praktiskais pielietojums.
zinātniskais darbs, pievienots 12.05.2010
Klasiskie fraktāļi. Pašlīdzība. Sniegpārsla Koha. Sierpinski paklājs. L-sistēmas. Haotiska dinamika. Lorenca atraktors. Mandelbrota un Jūlijas komplekti. Fraktāļu pielietojums datortehnoloģijā.
kursa darbs, pievienots 26.05.2006
Dažu četrstūru iezīmes. Ģeometrisko situāciju modeļu realizācija dinamiskās ģeometrijas vidēs. Dinamiskās vides "Dzīvā ģeometrija" iezīmes, paralelograma, romba, taisnstūra un kvadrātveida modeļu uzbūves iezīmes tajā.
kursa darbs, pievienots 28.05.2013
Pasaules ģeometriskais attēls un fraktāļu teorijas rašanās priekšnoteikumi. Deterministiskās L-sistēmas elementi: alfabēts, inicializācijas vārds un ģenerēšanas noteikumu kopa. Sociālo procesu fraktālās īpašības: sinerģētika un haotiskā dinamika.
kursa darbs, pievienots 22.03.2014
Ģeometrisko likumu izpausmju izpēte dzīvajā dabā un to izmantošana izglītojošā praktiskajā darbībā. Ģeometrisko likumu apraksts un ģeometrisko konstrukciju būtība. Grafiskā izglītība un tās vieta mūsdienu pasaulē.
diplomdarbs, pievienots 24.06.2010
Modeļa jēdziena definīcija, to pielietojuma nepieciešamība zinātnē un sadzīvē. Materiāla raksturojums un ideālās modelēšanas metodes. Matemātisko modeļu klasifikācija (deterministiskie, stohastiskie), to veidošanas procesa posmi.
abstrakts, pievienots 20.08.2015
Simetrijas, proporcionalitātes, proporcionalitātes un vienveidības jēdzienu izpēte detaļu izkārtojumā. Ģeometrisko figūru simetrisko īpašību raksturojums. Simetrijas lomas apraksti arhitektūrā, dabā un tehnoloģijā, loģisko uzdevumu risināšanā.
prezentācija, pievienota 06.12.2011
Zinātnes matematizācijas vēsture. Matematizācijas pamatmetodes. Matematizācijas robežas un problēmas. Matemātisko metožu pielietošanas problēmas dažādās zinātnēs ir saistītas ar pašu matemātiku (modeļu matemātiskā izpēte), ar modelēšanas jomu.
abstrakts, pievienots 24.05.2005
Zelta griezuma izpētes jēdziens un vēsture. Tās atspoguļojuma iezīmes matemātikā, dabā, arhitektūrā un glezniecībā. Zelta griezuma uzbūves kārtība un principi, uzbūve un praktiskās pielietošanas jomas, matemātiskais pamatojums un nozīme.
Krimas Republikas Izglītības, zinātnes un jaunatnes ministrija
Krimas Republikas Krasnoperekopskas rajona pašvaldības budžeta izglītības iestāde "Magazinsky izglītības komplekss"
Virziens: matemātika
FRAKTU MODEĻU ĪPAŠĪBU IZPĒTE
PRAKTISKIEM PIELIETOJUMS
Esmu paveicis darbu:
Pašvaldības veidojuma Krimas Republikas Krasnoperekopskas rajona pašvaldības budžeta izglītības iestādes "Magazinsky izglītības komplekss" 8. klases skolniece
Zinātniskais padomnieks:
Krimas Republikas Krasnoperekopskas rajona pašvaldības budžeta izglītības iestādes "Magazinsky izglītības komplekss" matemātikas skolotājs
Krasnoperekopskas rajons - 2016
Zinātne ir veikusi daudzus izcilus atklājumus un izgudrojumus, kas būtiski mainījuši cilvēces dzīvi: elektrību, atomenerģiju, vakcīnas un daudz ko citu. Tomēr ir atklājumi, kuriem tiek piešķirta maza nozīme, taču tie var ietekmēt un ietekmē mūsu dzīvi. Viens no šiem atklājumiem ir fraktāļi, kas palīdz izveidot saikni starp notikumiem pat haosā.
Amerikāņu matemātiķis Benuā Mandelbrots savā grāmatā “Dabas fraktāļu ģeometrija” rakstīja: “Kāpēc ģeometriju bieži sauc par aukstu un sausu? Viens no iemesliem ir tas, ka tas nespēj precīzi aprakstīt mākoņa, kalna, koka vai jūras krasta formu. Mākoņi nav sfēras, krasta līnijas nav apļi, un garoza nav gluda, un zibens nepārvietojas taisnā līnijā. Daba mums parāda ne tikai augstāku pakāpi, bet arī pavisam citu sarežģītības līmeni. Dažādu garumu skalu skaits konstrukcijās vienmēr ir bezgalīgs. Šo struktūru esamība mums rada izaicinājumu sarežģītajā uzdevumā - izpētīt tās formas, kuras Eiklīds noraidīja kā bezformas - uzdevums izpētīt amorfo morfoloģiju. Taču matemātiķi šo izaicinājumu ir atstājuši novārtā un izvēlējušies arvien tālāk attālināties no dabas, izgudrojot teorijas, kas neatbilst nekam, ko var redzēt vai sajust.
Hipotēze: viss, kas pastāv pasaulē ap mums, ir fraktālis.
Darba mērķis: veidojot objektus, kuru attēli ir līdzīgi dabiskajiem.
Pētījuma objekts: fraktāļus dažādās zinātnes jomās un reālajā pasaulē.
Studiju priekšmets: fraktāļu ģeometrija.
Pētījuma mērķi:
1. fraktāļa jēdziena, tā rašanās vēstures un B. Mandelbrota, G. Koha, V. Sierpinska un citu pētījumu pārzināšana;
3. apstiprinājuma atrašana apkārtējās pasaules fraktalitātes teorijai;
4. fraktāļu izmantošanas izpēte citās zinātnēs un praksē;
5. Eksperimenta veikšana, lai izveidotu savus fraktāļu attēlus.
Pētījuma metodes: analītisks, pētniecisks, eksperimentāls.
Jēdziena "fraktālis" vēsture
Fraktāļu ģeometrija kā jauns virziens matemātikā parādījās 1975. gadā. Fraktāļa jēdzienu matemātikā pirmo reizi ieviesa amerikāņu zinātnieks Benuā Mandelbrots. Fraktāls (no angļu valodas “fraction”) ir daļās sadalīta daļa. Mandelbrota fraktāļa definīcija ir šāda: "Fraktāls ir struktūra, kas sastāv no daļām, kas savā ziņā ir līdzīgas veselumam."
Strādājot IBM pētniecības centrā, kas strādāja pie tālsatiksmes datu pārraides, Benuā saskārās ar grūtu un ļoti svarīgu uzdevumu – saprast, kā paredzēt trokšņu traucējumu rašanos elektroniskajās shēmās. Mandelbrots pamanīja vienu dīvainu modeli – trokšņu grafiki dažādos mērogos izskatījās vienādi. Tika novērots viens un tas pats attēls neatkarīgi no tā, vai tas bija vienas dienas, nedēļas vai stundas trokšņu grafiks. Bija jāmaina diagrammas mērogs, un attēls atkārtojās katru reizi. Pārdomājot dīvaino rakstu nozīmi, Benuā saprata fraktāļu būtību.
Tomēr pirmās idejas par fraktāļu ģeometriju radās 19. gadsimtā.
Tātad Georgs Kantors (Cantor, 1845-1918) - vācu matemātiķis, loģiķis, teologs, bezgalīgo kopu teorijas radītājs, izmantojot vienkāršu atkārtošanas procedūru, līniju pārvērta par nesaistītu punktu kopu. Viņš paņēma līniju un noņem centrālo trešdaļu un pēc tam atkārto to pašu ar atlikušajām sadaļām. To, kas parādījās, sauca par Cantor Dust (1. attēls).
Un itāļu matemātiķis Džuzepe Peano (1858-1932) paņēma līniju un aizstāja to ar 9 segmentiem, kas bija 3 reizes īsāki par sākotnējās līnijas garumu. Tad viņš darīja to pašu ar katru segmentu. Un tā tālāk bezgalīgi. Vēlāk līdzīga konstrukcija tika veikta trīsdimensiju telpā (2. attēls).
Viens no pirmajiem fraktāļu zīmējumiem bija Mandelbrota kopas grafiskā interpretācija, kas dzima, pateicoties Gastona Morisa Džūlijas pētījumiem (3. attēls).
Visus fraktāļus var iedalīt grupās, bet lielākās no tām ir:
Ģeometriskie fraktāļi;
Algebriskie fraktāļi;
Stohastiskie fraktāļi.
Ģeometriskie fraktāļi
Ģeometriskie fraktāļi ir visredzamākie, un tos iegūst ar vienkāršām ģeometriskām konstrukcijām. Paņemiet lauztu līniju (vai virsmu trīsdimensiju gadījumā), ko sauc par ģeneratoru. Pēc tam katrs no segmentiem, kas veido polilīniju, tiek aizstāts ar ģeneratora polilīniju atbilstošā mērogā. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūts ģeometriskais fraktālis. Ģeometrisko fraktāļu piemēri ir:
1) Koha līkne. Divdesmitā gadsimta sākumā, strauji attīstoties kvantu mehānikai, zinātnieki saskārās ar uzdevumu atrast līkni, kas vislabāk parādītu Brauna daļiņu kustību. Lai to izdarītu, līknei bija jābūt šādai īpašībai: nevienā punktā nav pieskares. Matemātiķis Kohs ierosināja vienu šādu līkni: mēs ņemam vienības segmentu, sadalām to trīs vienādās daļās un aizstājam vidējo intervālu ar vienādmalu trīsstūri bez šī segmenta. Rezultātā veidojas lauzta līnija, kas sastāv no četrām saitēm, kuru garums ir 1/3. Nākamajā darbībā mēs atkārtojam darbību katrai no četrām iegūtajām saitēm utt.
Robežlīkne ir Koha līkne (4. attēls) . Veicot līdzīgu transformāciju vienādmalu trīsstūra malās, var iegūt Koha sniegpārslas fraktāļu attēlu.
2) Nodevas līkne . Paņemiet pusi kvadrāta un nomainiet katru pusi ar to pašu fragmentu. Darbību atkārto daudzas reizes, un galu galā iegūst Levy līkni (5. attēls).
3) Minkovska līkne. Pamats ir segments, un ģenerators ir astoņu saišu lauzta līnija (divas vienādas saites turpina viena otru) (6. attēls).
4) Peano līkne (2. attēls).
5) Pūķa līkne (7. attēls).
6) Pitagora koks. Veidota uz figūras, kas pazīstama kā "Pitagora bikses", kur taisnleņķa trijstūra malas ir sakārtotas ar kvadrātiem. Pirmo reizi Pitagora koks tika uzbūvēts, izmantojot parasto zīmēšanas lineālu (8. attēls).
7) Sierpinski laukums. Pazīstams kā Sierpinski "režģis" vai "salvete" (9. attēls). Kvadrāts ir sadalīts ar taisnām līnijām, kas ir paralēlas tā malām, 9 vienādos kvadrātos. Centrālais laukums tiek noņemts no laukuma. Rezultāts ir komplekts, kas sastāv no 8 atlikušajiem “pirmā ranga” lauciņiem. Izdarot tieši to pašu ar katru no pirmā ranga lauciņiem, iegūstam kopu, kas sastāv no 64 otrā ranga lauciņiem. Turpinot šo procesu bezgalīgi, iegūstam bezgalīgu secību jeb Sierpinska kvadrātu.
Algebriskie fraktāļi
Fraktāļi, kas konstruēti, pamatojoties uz algebriskām formulām, tiek klasificēti kā algebriskie fraktāļi. Šī ir lielākā fraktāļu grupa. Tie ietver Mandelbrota fraktāli (3. attēls) , Ņūtona fraktālis (10. attēls), Jūlijas kopums (11. attēls) un daudzi citi.
Daži algebriskie fraktāļi pārsteidzoši atgādina dzīvnieku, augu un citu bioloģisku objektu attēlus, tāpēc tos sauc par biomorfiem.
Stohastiskie fraktāļi
Stohastiskie fraktāļi ir vēl viens liels fraktāļu veids, kas veidojas, atkārtoti atkārtojot nejaušas izmaiņas jebkuros parametros. Šajā gadījumā iegūtie objekti ir ļoti līdzīgi dabiskajiem - asimetriski koki, nelīdzenas krasta līnijas utt.
Tātad, ja paņemat taisnstūri un katram tā stūrim piešķirat krāsu. Pēc tam paņemiet tā centrālo punktu un iekrāsojiet to ar krāsu, kas vienāda ar taisnstūra stūru krāsu vidējo aritmētisko plus kādu nejaušu skaitli. Jo lielāks ir nejaušais skaitlis, jo “nodriskātāks” būs zīmējums. Tādējādi tiks iegūts “plazmas” fraktāls (12. attēls). Un, ja mēs pieņemam, ka punkta krāsa ir augstums virs jūras līmeņa, mēs iegūstam kalnu grēdu, nevis plazmu. Tieši pēc šī principa kalni tiek modelēti lielākajā daļā programmu. Izmantojot plazmai līdzīgu algoritmu, tiek uzbūvēta augstuma karte, tai tiek uzlikti dažādi filtri, uzklāta tekstūra un ir gatavi fotoreālistiski kalni.
Fraktāļu pielietojums
Fraktāļu glezniecība. Laikmetīgās mākslas tendence, kas ir populāra digitālo mākslinieku vidū. Fraktāļu rakstiem ir neparasta un valdzinoša ietekme uz cilvēku, radot spilgtus liesmojošus attēlus. Ar garlaicīgām matemātiskām formulām tiek radītas pasakainas abstrakcijas, bet iztēle tās uztver kā dzīvas (13. attēls). Ikviens var praktizēt ar fraktāļu programmām un ģenerēt savus fraktāļus. Patiesa māksla slēpjas spējā atrast unikālu krāsu un formu kombināciju.
Fraktāļi literatūrā. Starp literārajiem darbiem atrodami tādi, kuriem ir fraktāļu daba, t.i., ligzdota pašlīdzības struktūra:
1. “Šeit ir māja.
Kuru Džeks uzbūvēja.
Un šeit ir kvieši.
Kuru Džeks uzbūvēja
Un šeit ir jautrs zīlīšu putns,
Kas gudri zog kviešus,
Kas glabājas tumšā skapī
Kuru Džeks uzbūvēja..."
Semjuels Maršaks
2. Lielas blusas sakož blusas
Tās blusiņas - mazas,
Kā saka, ad infinitum.
Džonatans Svifts
Fraktāļi medicīnā. Cilvēka ķermenis sastāv no daudzām fraktālēm līdzīgām struktūrām: asinsrites, limfātiskās un nervu sistēmas, muskuļiem, bronhiem u.c. (14., 15. attēls).
Fraktāļi fizikā un mehānikā. Dabas objektu fraktāļu modeļi ļauj simulēt dažādas fiziskas parādības un veikt prognozes.
Amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana bija aizliegta, no alumīnija folijas izgrieza figūru Koha līknes formā, ielīmēja to uz papīra un piestiprināja pie uztvērēja. . Izrādījās, ka šāda antena darbojas ne sliktāk par parasto. Un, lai gan šādas antenas fiziskie principi vēl nav izpētīti, tas netraucēja Koenam izveidot savu uzņēmumu un uzsākt to sērijveida ražošanu. Šobrīd amerikāņu kompānija Fractal Antenna System ražo fraktāļu antenas mobilajiem telefoniem.
Fraktāļi dabā. Daba bieži rada pārsteidzošus un skaistus fraktāļus ar ideālu ģeometriju un tādu harmoniju, ka jūs vienkārši sastingst apbrīnā. Un šeit ir viņu piemēri:
- jūras gliemežvāki;
Ziedkāpostu pasuga (Brassica cauliflora), paparde;
Pāva apspalvojums;
https://pandia.ru/text/80/404/images/image009_13.jpg" align="left" width="237" height="178 src=">
Koks no lapas līdz saknei.
https://pandia.ru/text/80/404/images/image011_13.jpg" alt="7. attēls no 122" align="left" width="168" height="113 src=">!}
Fraktāļi ir visur un visur dabā ap mums. Viss Visums ir uzbūvēts saskaņā ar apbrīnojami harmoniskiem likumiem ar matemātisku precizitāti. Vai pēc tam ir iespējams domāt, ka mūsu planēta ir nejauša daļiņu salikšana?
Praktiskais darbs
Fraktāļu koks. Izmantojot Microsoft Word Drawing rīkjoslu un dažas vienkāršas grupēšanas, kopēšanas un ielīmēšanas transformācijas, es izveidoju savu fraktāļu koku. Mana fraktāļa ģenerators bija pieci segmenti, kas atrodas noteiktā veidā. 
.jpg" width="449 height=303" height="303">
8. attēls. Pitagora koks
9. attēls. Sierpinska laukums
10. attēls. Ņūtona fraktālis
Attēls 11. Jūlijas komplekts
12. attēls. Fraktāls “Plazma”
https://pandia.ru/text/80/404/images/image028_2.jpg" width="480 height=299" height="299">
14. attēls. Cilvēka asinsrites sistēma
15. attēls. Nervu šūnu kopa
Raksti par tēmu
