Sadales līnijas Sv. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Problēmu risināšanas piemēri Diskrēta gadījuma lieluma noteikšanas metodes

“Varu atzīt, ka glīta varone, bēgot, var nonākt līkumotā un bīstamā kalnu takā. Mazāk ticams, bet tomēr iespējams, ka tilts pāri bezdibenim sabruks tieši tajā brīdī, kad viņa spēs uz tā kāju. Ļoti maz ticams, ka pēdējā brīdī viņa paķers kādu zāles stiebru un pakārsies pāri bezdibenim, bet pat ar šādu iespēju varu piekrist. Tas ir diezgan grūti, bet tomēr var ticēt, ka glīts kovbojs tieši tajā laikā paies garām un palīdzēs nelaimīgajam. Bet, ka tajā brīdī būtu operators ar kameru, kas ir gatavs iemūžināt visus šos aizraujošos notikumus filmā - neticēsi, paldies!

Nīls Bors par kovboju vesterniem

Viens no galvenajiem varbūtības teorijas jēdzieniem ir gadījuma lieluma jēdziens:

Izlases vērtība- tas ir lielums, kas testa rezultātā iegūs vienu un tikai vienu iespējamo vērtību, kas iepriekš nav zināma un ir atkarīga no nejaušiem cēloņiem, kurus nevar ņemt vērā iepriekš.

Nejaušos lielumus apzīmēsim ar latīņu alfabēta burtiem X, Y, Z

Nejaušais mainīgais ir:

diskrēts

nepārtraukts

jaukts (diskrēts-
nepārtraukts)

Piemērs: kauliņi. Nokritušais skaitlis ir nejaušs lielums, kas ar vienādu varbūtību var iegūt vienu no iespējamām vērtībām — 1, 2, 3, 4, 5 vai 6*.

Piemērs: studentu augstums - skolēna augums var iegūt jebkuru vērtību no 1 m līdz 2,5 m. Iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums

Lai norādītu diskrētu gadījuma lielumu, nepietiek tikai uzskaitīt visas tā iespējamās vērtības, ir jānorāda arī to varbūtība.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums sauc par atbilstību starp gadījuma lieluma iespējamām vērtībām un to rašanās varbūtību.

Sadales likumu var norādīt tabulā, analītiski (formulas veidā) vai grafiski (izplatījuma daudzstūra formā).

Apsveriet nejaušu mainīgo X, kas ņem vērtības x 1, x2, x 3 . x n ar zināmu varbūtību pi , kur i= 1..n. Varbūtību summa pi vienāds ar 1.

Gadījuma lieluma vērtību atbilstības tabula un to formas varbūtības

sauca tuvu diskrēta gadījuma lieluma sadalījumam vai tikai tuvu izplatīšanai. Šī tabula ir ērtākais diskrēta gadījuma mainīgā norādīšanas veids.

Šīs tabulas grafisko attēlojumu sauc sadales daudzstūris. Diskrētā gadījuma lieluma iespējamās vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un atbilstošās varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi.

Diskrētu gadījuma lielumu skaitliskās īpašības

Sadales likums pilnībā raksturo diskrētu gadījuma lielumu. Taču, ja sadalījuma likumu noteikt nav iespējams vai tas nav nepieciešams, var aprobežoties ar vērtību atrašanu, ko sauc par nejaušā lieluma skaitliskiem raksturlielumiem:

• Paredzamā vērtība,
• Izkliede,
• Standarta novirze

Šie lielumi nosaka kādu vidējo vērtību, ap kuru tiek grupētas nejaušā lieluma vērtības, un to izkliedes pakāpi ap šo vidējo vērtību.

Matemātiskās cerības M diskrētais gadījuma lielums ir nejaušā lieluma vidējā vērtība, kas vienāda ar nejaušā lieluma visu iespējamo vērtību un to varbūtību reizinājumu summu.

Matemātiskās cerības īpašības:

Lai aprakstītu daudzas praktiski svarīgas nejauša lieluma īpašības, ir jāzina ne tikai tā matemātiskā prognoze, bet arī tā iespējamo vērtību novirze no vidējās vērtības.

Gadījuma lieluma dispersija- nejauša lieluma izkliedes mērs, kas vienāds ar nejaušā lieluma kvadrātiskās novirzes matemātisko cerību no tā matemātiskās cerības.

Ņemot vērā matemātiskās gaidas īpašības, to ir viegli parādīt

Šķiet dabiski ņemt vērā nevis nejauša lieluma novirzi kvadrātā no tā matemātiskās cerības, bet gan vienkārši novirzi. Tomēr šīs novirzes matemātiskā cerība ir nulle. Tas izskaidrojams ar to, ka dažas iespējamās novirzes ir pozitīvas, citas ir negatīvas, un to savstarpējās atcelšanas rezultātā tiek iegūta nulle. Par izkliedes mēru varētu ņemt nejauša lieluma novirzes moduļa matemātisko cerību no tā matemātiskās cerības, taču parasti darbības, kas saistītas ar absolūtajām vērtībām, noved pie apgrūtinošiem aprēķiniem.

Izkliedes īpašības:

1. Konstantes izkliede ir nulle.
2. Konstanto koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, to kvadrātā.
3. Ja x un y neatkarīgi gadījuma lielumi, tad šo mainīgo summas dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu.

Standarta novirze nejaušs mainīgais (dažreiz termins " nejauša lieluma standartnovirze "") sauc par skaitli, kas vienāds ar

Tāpēc standarta novirze, tāpat kā dispersija, ir sadalījuma izkliedes mērs, bet atšķirībā no dispersijas tiek mērīta tajās pašās vienībās, kuras izmanto nejauša lieluma vērtību mērīšanai.

Pārbaužu atkārtošana. Bernulli formula.

Varbūtība, ka nejauša monētas mešana piezemēsies otrādi, ir 1/2. Tātad, zinot kāda notikuma iespējamību, varam paredzēt, ka, monētu metot simts reizes, ģerbonis parādīsies 50 reizes? Tam nav jābūt tieši 50. Bet kaut kas ap to ir skaidrs.

Jēkabs Bernulli (1654-1705) stingri pierādīja, ka varbūtība, ka notikums BET nāk tieši k reizes neatkarības laikā n tests ir





kur lpp- notikuma varbūtība BET, q ir pretēja notikuma varbūtība.

flash-library.narod.ru

Metode diskrēto gadījuma lielumu noteikšanai 736

VAIRĀK SAISTĪTO MATERIĀLU:

Pieņemsim, ka mūs interesē diskrēts gadījuma mainīgais X. Lai to pilnībā aprakstītu, pietiek norādīt visas iespējamās vērtības. X 1 , X 2 , . x n(šeit n ir dots vesels skaitlis) un varbūtības R X= x i>= p i, kur i = 1, 2, . n ar kurām šīs vērtības tiek pieņemtas. Parasti visas šīs vērtības tiek reģistrētas tabulas veidā (3.1. tabula).

Tabulu sauc par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu (salīdziniet to ar diskrētas statistikas pazīmes variāciju sēriju, lai redzētu saikni starp statistiku un varbūtību teoriju).

Tā kā katrai šīs nosacījumu kopas īstenošanai nejaušais mainīgais X var izņemt tikai vienu vērtību no iespējamo vērtību kopas, tad šīs vērtības ir vesela nesaderīgu notikumu grupa. Tad, pamatojoties uz varbūtību saskaitīšanas noteikuma 2. secinājumu, nosacījums ir jāizpilda. To sauc par normalizējošo stāvokli.

Grafiski diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu var attēlot kā lauztu līniju - daudzstūri (3.2. att.) (šeit atkal der atgādināt variāciju sēriju).



Rīsi. 3.2. Sadales likuma grafiskais attēlojums
diskrētais gadījuma mainīgais

Ja diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību kopa ir bezgalīga, bet saskaitāma, tad sadalījuma likumam būs šāda forma (3.2. tabula):

Lekcija 1_06: Varbūtību teorija. nejaušie mainīgie

Faktiski izmantojot varbūtību teoriju, elementāru notikumu telpa nekad netiek aplūkota. Šī koncepcija ir nepieciešama varbūtības shēmu teorētiskajam pamatojumam. Visbiežāk tiek apsvērtas nejaušas shēmas, kurās notikums ir noteikta skaitļa parādīšanās. Šādām shēmām tiek ieviests nejaušā mainīgā lieluma jēdziens. Šī koncepcija būs mūsu lekcijas uzmanības centrā. Aplūkosim gadījuma lielumus, to precizēšanas veidus (tā sauktos sadalījuma likumus), gadījuma lielumu skaitliskos raksturlielumus, kā arī izplatītākos sadalījuma likumus.

Nejaušais mainīgais ir elementāru notikumu kopas kartēšana reālu (vai veselu) skaitļu kopā

Tiek pieņemta šāda shēma: nejauša eksperimenta rezultātā tiek izvēlēts viens no elementārajiem notikumiem, no tā tiek aprēķināta funkcijas vērtība un šī vērtība tiek ievērota. Minētā kartēšana nosaka gadījuma lieluma noteiktu vērtību rašanās varbūtības.

Piemēram, pieņemsim, ka elementāro notikumu kopa sastāv no diviem kauliņa metieniem, kas dod 36 elementārus rezultātus. Lai funkcija ξ tiek definēta kā uz kauliņiem izmesto vērtību summa. Acīmredzot šāda nejauša lieluma vērtības var būt no 2 līdz 12. Šajā gadījumā vērtība 2 atbilst vienam elementāram notikumam, un, teiksim, vērtība 9 - četri: (3.6), (4.5), (5.4) un (6.3.).

Parasti tiek novēroti un pētīti nevis elementāri notikumi, kuru kopa mums ir pilnīgi nezināma, bet gan nejauši mainīgie. Lai iestatītu to varbūtības uzvedību, ir jāiestata varbūtība, ka nejaušajam mainīgajam ir noteikta vērtība. Mēs varam definēt mūsu uzskatītā nejaušā mainīgā piemēru šādi:

Mēģiniet izveidot trīs kauliņa metienu punktu summas varbūtību tabulu.

To varbūtību noteikšanu, ar kādu nejaušs mainīgais iegūst savas vērtības, sauc par tā sadalījuma likumu.

Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija

Viens no svarīgākajiem sadales likuma iestatīšanas veidiem ir sadalījuma funkcijas iestatīšana.

Gadījuma lieluma ξ sadalījuma funkcija ir funkcija

Attēlā redzams
gadījuma lieluma sadalījuma funkcija, kas tiek uzskatīta par piemēru.

Skaidrības labad laukums zem funkcijas diagrammas ir iekrāsots pelēkā krāsā. Ir skaidri redzams, ka šī funkcija ir monotoni nesamazinoša un pa daļām nemainīga. Tam ir lēcieni punktos, kas atbilst vērtībām, kuru varbūtība ir pozitīva.

Šādu sadalījuma funkciju bieži sauc par integrāli. Ja tas ir nepārtraukts un tam ir atvasinājums, tad šo atvasinājumu bieži sauc par sadalījuma blīvumu. Ja sadalījuma funkcija, kā mūsu piemērā, ir pa daļām nemainīga, tad lēcienu kopa var spēlēt blīvuma lomu.

Patvaļīgas sadales funkcijas definēšana ir apgrūtinoša. Vienkāršības labad tiek izmantotas divas pieejas.

Pirmkārt, bieži vien var aprobežoties ar dažiem ļoti vienkāršiem nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.

Otrkārt, bieži sastopamas varbūtības sadalījumu klases, un bieži vien dažu "modeļa" iemeslu dēļ var saprast, kurai klasei attiecīgais sadalījums pieder. Šajā gadījumā pietiek norādīt šī sadalījuma parametrus.

Tagad mēs apsvērsim šīs pieejas.

Nejaušo lielumu raksturojums

Dots gadījuma lielums ξ, ņemot ierobežotu skaitu vērtību a 1 , a 2 , . a k ar varbūtībām
lpp 1 , lpp 2 , . lpp k. Šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība ir summa Eξ = Σ i Apmēram 1: k lpp i a i .

Par to, kā tiek noteikta matemātiskā cerība vispārīgākam gadījumam, jārunā atsevišķi: tiek izmantoti integrāļi, bet jums jau ir mācīts, ka integrālis tiek definēts ar integrālsummas palīdzību, un gadījuma mainīgajiem varat ieviest diskrētus gadījuma lielumus tuvu tiem. , kuras matemātiskās cerības spēlēs integrālo summu lomu sākotnējā gadījuma mainīgā matemātiskajā sagaidīšanā.

Matemātiskās cerības, kā redzams no šīs formulas, var interpretēt kā masu kopas smaguma centru lpp i koncentrējas punktos a i. Protams, tās īpašības mums ir labi zināmas kā smaguma centra īpašības:

4. a, t.i., ja k= 1, tad Eξ = a,
5. ja η = cξ , kur c tad ir nemainīgs Eη = cEξ ,
6. jebkuram ξ un η, E(ξ + η) = Eξ + Eη .

Gadījuma lieluma dispersija ir matemātiskā sagaidāmā šī nejaušā lieluma novirze kvadrātā no tā matemātiskās cerības.

Šī definīcija sākumā izraisa klusas šausmas. Patiesībā šis ir ļoti ērts formulas verbāls apraksts. Vārdi matemātiskās cerības nozīmē, ka mums ir jāraksta
Dξ = E (.)
kvadrāts precizē
Dξ = E (.) 2
novirze attiecas jau uz izteiksmi iekavās
Dξ = E (. − .) 2
nejaušā mainīgā no tā matemātiskās cerības pabeidz formulas rakstīšanu
Dξ = E (ξ − Eξ) 2

Izkliedi var interpretēt kā vienas un tās pašas masu kopas inerces momentu ap tās smaguma centru. Tā īpašības mums ir arī labi zināmas:

7. ja gadījuma lielums ar varbūtību 1 pieņem vērtību a, tad Dξ = 0,
8. ja η = cξ , kur c tad ir nemainīgs Dη = c 2 Dξ .
9. Es gribētu vienlīdzību D(ξ + η) = Dξ + Dη , bet tas attiecas tikai uz neatkarīgu gadījuma lielumu.

Gadījuma lielumus ξ un η sauc par neatkarīgiem, ja tādi ir a un b neatkarīgi notikumi

To ir viegli redzēt, ja mēs apkopojam n neatkarīgi un identiski sadalīti nejauši mainīgie ar matemātiskām cerībām a un dispersija b, tad to summai matemātiskā cerība un dispersija ir attiecīgi n a un nb, un vidējam aritmētiskajam - attiecīgi a un b/n .

Tātad, ja mēs vēlamies novērtēt kādu skaitli, kas ir kāda gadījuma lieluma matemātiskā cerība, mēs varam organizēt izlases testu - novērot šo gadījuma lielumu daudzas reizes un aprēķināt vidējo aritmētisko. Tā izkliede ap patieso vērtību samazināsies, palielinoties novērojumu skaitam: ja to mērīsiet simts reizes, tas samazināsies desmitkārtīgi (jo svarīga ir nevis pati izkliede, bet gan tās sakne). Šis fakts ir svarīgas statistiskās modelēšanas skaitļošanas metodes pamatā.

Ņemiet vērā, ka pēc analoģijas ar nejaušiem notikumiem var atšķirt savstarpēji neatkarīgus un pa pāriem neatkarīgus gadījuma lielumus. Minētajai dispersiju īpašībai pilnīgi pietiek ar to, ka nejaušie mainīgie ir neatkarīgi pa pāriem. Tiek izmantoti citi raksturlielumi, taču tie ir vissvarīgākie. Tagad mēs apsvērsim dažus svarīgus sadalījumu veidus un katru reizi norādīsim to matemātiskās cerības.

Izplatīšanas veidi

Vienveidīgs sadalījums

Nejaušais lielums ir vienmērīgi sadalīts intervālā [ a,b] , kur a ja tā sadales funkcija
F(x) ir vienāds ar 0 x, 1 plkst x > b un lineāri mainās no 0 līdz 1 at a .

(a + b)/2 , un dispersija ir ( b − a) 2 /12 .

Attēlā parādīts šīs sadalījuma funkcijas diagramma a= 0 un b = 1 .

Šis sadalījuma likums mums ir ļoti svarīgs, jo visi standarta nejaušo mainīgo (pseidogadījuma skaitļu) datoru sensori modelē tieši šādus gadījuma lielumus, un no tiem tiek izveidoti mums nepieciešamie nejaušie mainīgie.

eksponenciālais sadalījums

Gadījuma lielums tiek sadalīts eksponenciāli vai eksponenciāli, ja tas nav negatīvs un F(x) = 1 − exp(−λ x), kur λ ir pozitīva konstante.

Šāda nejauša lieluma matemātiskā cerība ir λ − 1 , un dispersija ir λ − 2 .

Attēlā parādīts šīs sadalījuma funkcijas grafiks λ = 3.

Mēs bieži atbilstam šim izplatīšanas likumam lietojumos, jo īpaši radiotehnikas un sakaru jomā. Jo īpaši bieži tiek pieņemts, ka divu abonentu sarunas laiks tiek sadalīts saskaņā ar eksponenciālu likumu.

Normāls sadalījums

Šis ir vispopulārākais no standarta varbūtības sadalījumiem, un no pirmā acu uzmetiena var šķist dīvaini, ka tik sarežģīta formula ir visizplatītākā.

Nejaušais lielums ir sadalīts normāli vai saskaņā ar Gausu, ja (labajā pusē ir K. F. Gausa (1777-1855) portrets)



Šī funkcija ir atkarīga no parametriem a un σ. Šāda nejauša mainīgā matemātiskā sagaidāmība ir a, un dispersija ir σ 2 .



Diagrammā parādīta standarta funkcija ar a= 0 un σ = 1 .

Šī likuma biežas parādīšanās lietojumos iemesls ir tas, ka, saskaitot gadījuma lielumus, to summas sadalījums, kas tiek uzskatīts par gadījuma lielumu, ļoti bieži tuvojas normālam.

Mūsu uzdevumos tas nenotiks, taču būtu nepiedienīgi to nepieminēt.

Bernulli izplatība

Šis vienkāršākais diskrētais sadalījums ir nosaukts Šveices matemātiķa Džeikoba Bernulli Vecākā (1654-1705) vārdā (bija arī jaunāks, kurš strādāja Sanktpēterburgā).

Nejaušais mainīgais ir Bernulli sadalīts, ja tam ir tikai divas vērtības. Parasti šīs vērtības ir 1, kuras varbūtība ir lpp ,
un 0, kuru varbūtība ir vienāda ar q = 1 − lpp.

Šāda nejauša mainīgā matemātiskā sagaidāmība ir lpp, un dispersija ir pq .

Protams, jūs pats izveidosit šādu grafiku.

Bernulli likums ir ļoti ērts visu veidu modeļu konstrukcijām, tas ir tikai nedaudz sarežģītāks par tā konkrēto gadījumu - monētas mešanu, kur lpp = 1/2 .

Binomiālais sadalījums

Gadījuma lielums ξ vienāds ar summu n neatkarīgi identiski Bernulli nejaušie mainīgie, ir binomiāls sadalījums. Viņai

Šāda nejauša mainīgā matemātiskā sagaidāmība ir np, un dispersija ir npq .

Binomiāls sadalījums ar pieaugošu terminu skaitu n kļūst ļoti līdzīgs normālam sadalījumam.

Atliek tikai piemērotā veidā normalizēt nejaušo mainīgo: atņemt matemātisko cerību un dalīt ar dispersijas sakni, t.i., ξ vietā ņemt vērā
η = (ξ — np)(npq) − 1/2 .

Ja ar izaugsmi n varbūtība lpp samazinās, un tādā veidā, ka produkts tiek saglabāts vai stabilizēts np, mēs iegūstam citu klasisko sadalījumu, kuru mēs tagad aprakstīsim.

Poisson sadalījums

Šo sadalījumu ierosināja franču matemātiķis Sīmeons Puasons (1781-1840), Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas goda loceklis.

Nejaušam lielumam ξ ir Puasona sadalījums, ja

Šāda gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir λ, un dispersija arī ir λ.



Puasona sadalījums ir raksturīgs retu notikumu shēmai, kurā ir daudz gadījuma lielumu ar Bernulli sadalījumu un ļoti maza pozitīva iznākuma iespējamība katram.

Piemēram, ir atzīmēts, ka pastkastītē ar nemarķētu aploksni iemesto vēstuļu skaitam ir Puasona sadalījums.

Vingrinājumi

Nejaušais lielums ņem vērtības 0 ar varbūtību 0,3, 2 ar varbūtību 0,2, 4 ar varbūtību 0,5. Atrodiet tā matemātisko cerību un dispersiju.

Divu gadījuma lielumu matemātiskā cerība ir 0 un dispersija 1. Cik lielā mērā var mainīties to summas dispersija. Izveidojiet piemēru ar lielāko un mazāko summas dispersijas vērtību.

Eksāmenu jautājumi

Nejaušie lielumi un to sadalījuma funkcijas.

Matemātiskās cerības un dispersija. To īpašības.

www.math.spbu.ru

Izglītojošs blogs - viss mācībām

Eksperimentu atkārtošana

Praktiski pielietojot varbūtības teoriju, bieži rodas problēmas, kurās vienu un to pašu eksperimentu vai līdzīgus eksperimentus atkārto vairāk nekā vienu reizi. Katra eksperimenta rezultātā kāds notikums A var parādīties un var arī neparādīties, un mūs interesē nevis katra atsevišķā eksperimenta rezultāts, bet gan kopējais notikuma A gadījumu skaits eksperimentu sērijas rezultātā. Šādās problēmās ir jāspēj noteikt jebkura konkrēta notikuma izpausmju skaita iespējamību eksperimentu sērijas rezultātā. Tie tiek atrisināti pavisam vienkārši gadījumā, ja eksperimenti ir neatkarīgi.

Vairākus eksperimentus sauc par neatkarīgiem, ja katra eksperimenta viena vai otra iznākuma iespējamība nav atkarīga no tā, kādi rezultāti bijuši citiem eksperimentiem.

Neatkarīgus eksperimentus var veikt tādos pašos vai dažādos apstākļos. Pirmajā gadījumā notikuma A varbūtība visos eksperimentos ir vienāda Р i (А)=const. Otrajā gadījumā notikuma A varbūtība mainās no pieredzes uz pieredzi Р i (А)=var. Pirmais gadījums ir konkrēta teorēma, bet otrais ir vispārīgā teorēma par eksperimentu atkārtošanu.

Konkrētas teorēmas formulēšana par eksperimentu atkārtošanu:
Ja tiek veikti n neatkarīgi eksperimenti, kuros katrā notikumā A notiek ar varbūtību p, tad varbūtību, ka notikums A notiek tieši m reizes, izsaka ar formulu:

kur q = 1 - p, C n m ir visu kombināciju skaits, t.i. veidu skaits, kādos iespējams izvēlēties m no n eksperimentiem, kuros noticis notikums A.

Vispārējā teorēmas formula:

kur z ir patvaļīgs parametrs.

Gan kopumā, gan konkrētā gadījumā:

Nejaušie lielumi un to sadalījuma likumi
Nejaušais lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, iepriekš nav zināms, kuru.

Nejaušie mainīgie ir divu veidu:
nepārtraukts;
pārtraukts (diskrēts).

Nākotnē vienosimies nejaušos mainīgos apzīmēt ar lielajiem burtiem, bet to iespējamās vērtības ar atbilstošajiem mazajiem burtiem.
Piemērs:
X ir trāpījumu skaits ar trim sitieniem:
x 1 = 0;
x 2 = 1;
x 3 = 2;
x 4 = 3.

Apsveriet pārtrauktu gadījuma lielumu X ar iespējamām vērtībām x 1 , x 2 , …, x n . Katra no šīm vērtībām ir iespējama, bet nav noteikta, un X vērtība var ņemt katru no tām ar zināmu varbūtību
X \u003d x 1;
X \u003d x 2;
X \u003d x 3;
X \u003d x 4.

∑P m,n = 1, jo nesaderīgi notikumi veido pilnīgu grupu. Šī kopējā varbūtība ir kaut kādā veidā sadalīta starp atsevišķām vērtībām. Gadījuma lielums tiks pilnībā aprakstīts no varbūtības viedokļa, ja tiks dots šis sadalījums, t.i. ir norādīta precīza katra notikuma iespējamība. Tas nosaka tā saukto nejaušā lieluma sadalījuma likumu.

Gadījuma lieluma sadalījuma likums Tiek izsaukta jebkura sakarība, kas izveido saikni starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām un tām atbilstošajām varbūtībām.

Nepārtraukta gadījuma lieluma X sadalījuma likumu var dot šādās formās:
tabulas;
analītisks;
grafisks.

Vienkāršākā gadījuma lieluma X sadalījuma likuma iestatīšanas forma ir tabula.

nejaušie mainīgie. Diskrēts nejaušības lielums.
Paredzamā vērtība

Otrā sadaļa tālāk varbūtības teorija veltīta nejaušie mainīgie , kas mūs nemanāmi pavadīja burtiski katrā rakstā par tēmu. Un ir pienācis laiks skaidri formulēt, kas tas ir:

Nejauši sauca vērtību, kas testa rezultātā tiks viens un vienīgais skaitliska vērtība, kas ir atkarīga no nejaušiem faktoriem un nav iepriekš paredzama.

Nejaušie mainīgie parasti ir iecelt cauri * , un to vērtības atbilstošajos mazajos burtos ar apakšindeksiem, piemēram, .

* Dažkārt lietoti, kā arī grieķu burti

Mēs saskārāmies ar piemēru pirmā nodarbība varbūtības teorijā, kur mēs faktiski ņēmām vērā šādu nejaušo mainīgo:

- punktu skaits, kas izkritīs pēc kauliņa mešanas.

Šī testa rezultāts būs viens vienīgais līnija, kura nav paredzama (triki netiek ņemti vērā); šajā gadījumā nejaušajam mainīgajam var būt viena no šīm vērtībām:

- zēnu skaits starp 10 jaundzimušajiem.

Ir pilnīgi skaidrs, ka šis skaitlis nav iepriekš zināms, un nākamajos desmit bērni var piedzimt:

Vai zēni - viens un vienīgais no uzskaitītajām iespējām.

Un, lai uzturētu formu, neliela fiziskā audzināšana:

- tāllēkšanas distance (dažās vienībās).

Pat sporta meistars to nespēj paredzēt 🙂

Tomēr kādas ir jūsu hipotēzes?

Tiklīdz reālo skaitļu kopa bezgalīgs, tad nejaušais mainīgais var ņemt bezgala daudz vērtības no kāda intervāla. Un šī ir tā būtiskā atšķirība no iepriekšējiem piemēriem.

Pa šo ceļu, gadījuma lielumus vēlams sadalīt 2 lielās grupās:

1) Diskrēts (ar pārtraukumiem) gadījuma mainīgais - ņem atsevišķi ņemtas, izolētas vērtības. Šo vērtību skaits noteikti vai bezgalīgs, bet saskaitāms.

... tika savilkti nesaprotami termini? Steidzami atkārtojiet algebras pamati!

2) Nepārtraukts gadījuma mainīgais - ņem visi skaitliskās vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga diapazona.

Piezīme : mācību literatūrā populāri ir saīsinājumi DSV un NSV

Vispirms analizēsim diskrētu gadījuma mainīgo, tad - nepārtraukts.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums

- tas ir atbilstība starp iespējamām šī daudzuma vērtībām un to varbūtībām. Visbiežāk likums ir rakstīts tabulā:

Termins ir diezgan izplatīts rinda izplatīšana, bet dažās situācijās izklausās neviennozīmīgi, un tāpēc pieturēšos pie "likuma".

Un tagad ļoti svarīgs punkts: kopš nejaušā mainīgā lieluma obligāti pieņems viena no vērtībām, tad veidojas atbilstošie notikumi pilna grupa un to rašanās varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

vai, ja rakstīts salocīts:

Tā, piemēram, likumam par punktu varbūtību sadalījumu uz kauliņa ir šāda forma:

Jums var rasties iespaids, ka diskrēts gadījuma mainīgais var iegūt tikai "labas" veselas vērtības. Kliedēsim ilūziju – tās var būt jebkas:

Dažām spēlēm ir šāds izmaksu sadales likums:

…droši vien jau sen sapņoji par šādiem uzdevumiem 🙂 Atklāšu noslēpumu - es arī. Īpaši pēc darba pabeigšanas lauka teorija.

Risinājums: tā kā nejaušam mainīgajam var būt tikai viena no trim vērtībām, veidojas attiecīgie notikumi pilna grupa, kas nozīmē, ka to varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

Mēs atklājam "partizānu":

– tātad varbūtība laimēt nosacītās vienības ir 0,4.

Kontrole: kas jums jāpārliecinās.

Atbilde:

Tas nav nekas neparasts, kad sadales likums ir jāsastāda neatkarīgi. Šim lietojumam klasiskā varbūtības definīcija, reizināšanas / saskaitīšanas teorēmas notikumu varbūtībām un citas mikroshēmas tervera:

Kastītē ir 50 loterijas biļetes, no kurām 12 laimē, un 2 no tām laimē 1000 rubļus, bet pārējās - 100 rubļus. Sastādiet nejaušā lieluma sadalījuma likumu - laimesta lielumu, ja no kastes nejauši tiek izvilkta viena biļete.

Risinājums: kā jūs pamanījāt, ir ierasts ievietot nejauša lieluma vērtības augoša secība. Tāpēc mēs sākam ar mazākajiem laimestiem, proti, rubļiem.

Kopumā ir 50 - 12 = 38 šādas biļetes, un saskaņā ar klasiskā definīcija:
ir iespējamība, ka nejauši izlozēta biļete neuzvarēs.

Pārējie gadījumi ir vienkārši. Rubļu laimēšanas varbūtība ir:

Un priekš:

Pārbauda: - un šis ir īpaši patīkams šādu uzdevumu brīdis!

Atbilde: nepieciešamais izmaksu sadales likums:

Neatkarīgam lēmumam šāds uzdevums:

Varbūtība, ka šāvējs trāpīs mērķī, ir . Izveidojiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam - sitienu skaitam pēc 2 kadriem.

... Es zināju, ka tev viņa pietrūkst 🙂 Mēs atceramies reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Sadales likums pilnībā apraksta gadījuma lielumu, taču praksē ir lietderīgi (un dažreiz arī lietderīgāk) zināt tikai daļu no tā. skaitliskās īpašības .

Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība

Kāda ir iegūtā rezultāta varbūtības nozīme? Ja metīsi kauliņu pietiekami daudz reižu, tad nozīmē kritušie punkti būs tuvu 3,5 - un jo vairāk testu veiksi, jo tuvāk. Patiesībā es jau detalizēti runāju par šo efektu nodarbībā par statistiskā varbūtība.

Tagad atcerēsimies mūsu hipotētisko spēli:

Rodas jautājums: vai vispār ir izdevīgi spēlēt šo spēli? ... kam ir iespaidi? Tātad jūs nevarat teikt "no rokas"! Bet uz šo jautājumu var viegli atbildēt, aprēķinot matemātisko cerību, būtībā - vidējais svērtais laimesta iespējamība:

Tādējādi šīs spēles matemātiskās cerības zaudēšana.

Neticiet iespaidiem - uzticieties skaitļiem!

Jā, šeit var uzvarēt 10 vai pat 20-30 reizes pēc kārtas, bet ilgtermiņā mēs neizbēgami tiksim izpostīti. Un es tev neieteiktu tādas spēles spēlēt 🙂 Nu, varbūt tikai prieka pēc.

No visa iepriekš minētā izriet, ka matemātiskā cerība NAV NEJAUŠA vērtība.

Radošs uzdevums patstāvīgam pētījumam:

X kungs spēlē Eiropas ruleti pēc šādas sistēmas: viņš pastāvīgi liek 100 rubļus uz sarkano. Sastādiet gadījuma lieluma sadalījuma likumu - tā atlīdzību. Aprēķiniet laimesta matemātisko cerību un noapaļojiet to līdz kapeikām. Kā vidēji vai spēlētājs zaudē par katru simts likmi?

Atsauce : Eiropas rulete satur 18 sarkanus, 18 melnus un 1 zaļu sektoru ("nulle"). “sarkanā” izkrišanas gadījumā spēlētājam tiek izmaksāta dubultā likme, pretējā gadījumā tā tiek novirzīta kazino ienākumiem

Ir daudzas citas ruletes sistēmas, kurām varat izveidot savas varbūtības tabulas. Bet tas ir gadījums, kad mums nav vajadzīgi nekādi sadales likumi un tabulas, jo noteikti ir noteikts, ka spēlētāja matemātiskās cerības būs tieši tādas pašas. Tikai izmaiņas no sistēmas uz sistēmu dispersija, par ko uzzināsim nodarbības 2. daļā.

Bet pirms tam būs noderīgi izstiept pirkstus uz kalkulatora taustiņiem:

Nejaušais lielums tiek noteikts ar savu varbūtības sadalījuma likumu:

Uzziniet, vai tas ir zināms. Palaidiet pārbaudi.

Tad mēs pievēršamies pētījumam diskrēta gadījuma lieluma izkliede un, ja iespējams,

Ko ietver medicīniskā pārbaude (ar rīkojumu 302n) Veicot medicīnisko pārbaudi saskaņā ar rīkojumu Nr. 302n, ikvienam ir jāveic: urīna klīniskā analīze; […]

Valsts programma, lai palīdzētu ārzemēs dzīvojošo tautiešu brīvprātīgai pārvietošanai uz Krievijas Federāciju Soli pa solim rokasgrāmata valsts dalībniekiem […]

Izdomājam, kādam jābūt minimālās pensijas apmēram 2.grupas invalīdam.Tagad valsts dažādos veidos sniedz palīdzību sociāli neaizsargātajiem iedzīvotāju slāņiem. Īpaša piesardzība […]

Riska situācijā mēs zinām konkrētas alternatīvas rezultātus un varbūtību, ar kādu šie rezultāti var rasties. Tas ir, mēs zinām rezultātu varbūtības sadalījumu, tāpēc tos var attēlot (modelēt) formā nejaušais mainīgais. Šajā sadaļā atgādinām informāciju no varbūtības teorijas par gadījuma lielumiem un to noteikšanas metodēm, kas būs nepieciešamas turpmākai grāmatas materiāla izpētei.

Saskaņā ar klasisko definīciju nejauša vērtība ir lielums, kura vērtība var nejauši mainīties atkarībā no pieredzes. Tas nozīmē, ka katrā "pārbaudē" tas var ņemt vienu vērtību no noteiktas kopas. Tajā pašā laikā nav iespējams paredzēt, kādu vērtību tas aizņems.

Nejaušie mainīgie ir sadalīti diskrētos un nepārtrauktos. Diskrēts CV var iegūt tikai ierobežotu vai saskaitāmu vērtību kopu. Nepārtraukts SW var iegūt jebkuru vērtību no kāda slēgta vai atvērta intervāla, ieskaitot bezgalīgu intervālu.

3.2.2. Gadījuma lieluma sadalījuma likums

Gadījuma lielumu nosaka tā sadalījuma likums. sadales likums tiek uzskatīts par iestatītu, ja:

• nejauša lieluma iespējamo vērtību kopa (ieskaitot bezgalīgu) un
• gadījuma lieluma varbūtība iekrist šīs kopas patvaļīgā apgabalā vai likums (formula), kas ļauj aprēķināt šādu varbūtību.

Faktiski varbūtība ir rādītājs, kas raksturo gadījuma lieluma rašanās iespēju noteiktā apgabalā.

Visizplatītākais un izplatītākais veids, kā noteikt nejauša lieluma dažādu vērtību varbūtības, ir iestatīšana varbūtības sadalījuma funkcijas, kas ir saīsināts kā sadales funkcija.

Gadījuma lieluma X sadalījuma funkcija ir funkcija F(x) , kas nosaka varbūtību, ka CV saņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu vērtību x, tas ir:

F(x) = P(X< x)

X ("x liels") - apzīmē nejaušu mainīgo,

x ("x mazs") - konkrēta vērtība no nejauša lieluma iespējamo vērtību kopas.

Sadales funkcija nesamazinās. Kad x tiecas uz mīnus bezgalību, tas tiecas uz nulli, un, kad x tiecas uz plus bezgalību, tas tiecas uz vienu.

Gadījuma lieluma sadalījuma likuma attēlojuma forma var būt dažāda un atkarīga no tā, vai tas ir diskrēts vai nepārtraukts.

No sadales funkcijas definīcijas izriet šādas atkarības:

varbūtība, ka gadījuma mainīgais pieņems vērtības intervālā no a līdz b:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

varbūtība, ka nejaušam mainīgajam būs vērtības, kas nav mazākas par a:

3.2.3. Veidi, kā attēlot diskrēta gadījuma lieluma sadalījumu

Diskrēts nejaušības lielums var pilnībā norādīt ar sadalījuma funkciju vai sadalījuma rindu (tabulu). Tos var attēlot tabulas, analītiskā vai grafiskā formā.

Pieņemsim, ka nejaušam mainīgajam X var būt trīs iespējamās vērtības 25, 45 un 50 ar varbūtību attiecīgi 25%, 35% un 40%. Šī SW izplatīšanas sērija izskatīsies šādi:

Tā paša gadījuma lieluma sadalījuma funkciju, kas parāda varbūtību nepārsniegt noteiktu vērtību, var uzrakstīt šādi:

3.1. attēlā parādītas grafiskās metodes šī diskrētā gadījuma lieluma X sadalījuma likuma noteikšanai.

3.1.att.

Varbūtību sadalījuma rindas p j grafikā katras iespējamās vērtības x j realizācijas attēlo stabiņi, kuru augstums ir vienāds ar varbūtību. Visu M joslu (t.i., visu varbūtību) augstumu summa ir vienāda ar vienu, jo tās aptver visas iespējamās x vērtības:

Dažreiz kolonnu vietā tiek novilkta lauzta līnija, kas savieno CB vērtību realizācijas varbūtības.

Varbūtība, ka diskrētam gadījuma mainīgajam būs vērtība, kas mazāka par a, ir vienāda ar visu iznākumu varbūtību summu, kas ir mazāka par a:

Pēc definīcijas tas ir vienāds ar sadalījuma funkcijas vērtību punktā x = a. Ja koordinātu plaknē uzzīmējam sadalījuma funkcijas vērtības kā x "iet" cauri visām vērtībām no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai, mēs iegūstam sadalījuma funkcijas grafiku. Diskrētam SW tas ir pakāpiens. Intervālā no mīnus bezgalības līdz pirmajai iespējamajai vērtībai x 1 tas ir vienāds ar nulli, jo šajā intervālā nav iespējams pieņemt nevienu vērtību.

Turklāt katra iespējamā x j vērtība palielina sadalījuma funkciju par summu, kas vienāda ar šīs vērtības p j rašanās varbūtību. Starp divām secīgām vērtībām x j un x j+1 sadalījuma funkcija nemainās, jo nav citu iespējamo x vērtību un nav lēcienu. Galu galā pēdējās iespējamās vērtības x M punktā notiek lēciens par varbūtības vērtību p M , un sadalījuma funkcija sasniedz robežvērtību, kas vienāda ar vienu. Turklāt grafiks šajā līmenī iet paralēli x asij. Tas nekad nepaceļas augstāk, jo varbūtība nevar būt lielāka par vienu.

3.2.4. Veidi, kā attēlot nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījumu

Nepārtraukts gadījuma mainīgais tiek sniegta arī ar sadales funkciju, kas parasti tiek parādīta analītiskā formā. Turklāt to var pilnībā aprakstīt ar varbūtības blīvuma funkciju f(x) , kas ir sadalījuma funkcijas F(x) pirmais atvasinājums:

Varbūtības blīvuma funkcija ir nenegatīvs, un tā integrālis bezgalīgās robežās ir vienāds ar vienu.

Kā piemēru ņemiet nepārtrauktu gadījuma lielumu, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu.

Tās varbūtības blīvuma funkciju analītiski uzrāda šādas formas formula:

Šeit m X un σ X ir sadalījuma parametri. m X raksturo sadales centra atrašanās vietu, bet σ X - izkliedi attiecībā pret šo "centru".

"Varbūtību teorija skolā" - Sarežģīti notikumi. Vairāki testi. Patvaļīga elementāru notikumu telpas apakškopa. Varbūtība. Noteiktu nosacījumu kopuma īstenošana. neatkarīgi notikumi. Varbūtības reizināšanas teorēma. Produkta noteikums. Visticamākais notikuma gadījumu skaits. Saskaitīšanas teorēma nesaderīgu notikumu varbūtībām.

"Nejauša notikuma varbūtība" - elementāri notikumi. Simetriska monēta tiek izmesta divas reizes. Viena kauliņa mešana. Izlases eksperimenta elementārie notikumi. Varbūtību summa. Labvēlīgi elementāri notikumi. Šāvējs. Futbola mačs. Elementāru notikumu tabula. Metot pareizo monētu. Līdzvērtīgi elementāri notikumi.

"Varbūtību saskaitīšana un reizināšana" - Varbūtību reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas. Varbūtība, ka notiks vismaz viens notikums. Īpašs gadījums. neatkarīgi notikumi. Reizināšanas teorēma. Kopējās varbūtības formula. Varbūtību saskaitīšanas teorēma. Varbūtība trāpīt mērķī. Varbūtības reizināšanas teorēma. Katrs pasākums. Nosacītā varbūtība.

"Eksāmena varbūtības teorija" - varbūtība, ka izmesto punktu summa ir 6. Mešana. Labvēlīgs notikums A. Produkta noteikums (reizināšanas noteikums). Somā ir 2 melnas un 3 baltas bumbiņas. Atšķirība starp permutācijām, izvietojumiem, kombinācijām. Notikuma varbūtība. Mācību līdzekļi. Skaitlis, kas rakstīts vidū.

"Notikuma iestāšanās varbūtība" — naturāls skaitlis. Notikuma varbūtības noteikšana. Eksperimentējiet. Varbūtības novērtēšanas iespēja. Kombinācijas. Varbūtība. Vieta. Pretēja notikuma varbūtība. Notikuma varbūtība. Lietu skaits. Kombinatorikas elementi. Elementu skaits. Varbūtības teorijas elementi. Notikumu varbūtības statistiskā definīcija.

"Nejaušs mainīgais" - Bernulli formula. Šaurs taisnstūris. Lai izveidotu sadalījuma funkciju, mēs aprēķinām vairākas tās vērtības. Sadales funkcija ir nesamazinoša funkcija. SW sadalījuma likums ir jebkura attiecība. Uzdevums. Nejaušs mainīgais (CV). Dažādi SW vērtību intervāli. Funkcija it kā raksturo blīvumu, ar kādu SW tiek sadalīts.

Kopā tēmā 23 prezentācijas

Diskrētā gadījuma lieluma noteikšanas veidi nav vispārīgi - tie nav piemērojami, piemēram, nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem. Patiešām, ļaujiet nejaušā lieluma X iespējamām vērtībām pilnībā aizpildīt intervālu (a; b). Vai ir iespējams izveidot visu iespējamo X vērtību sarakstu? Nē. Mums ir nepieciešams vispārīgs veids, kā norādīt jebkāda veida nejaušos mainīgos. Šim nolūkam tiek ieviestas nejauša lieluma varbūtības sadalījuma funkcijas.

Sadalījuma funkcija Sadalījuma funkciju sauc par funkciju F(x), kas nosaka varbūtību, ka nejaušais lielums X testa rezultātā iegūs vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X

X 1. 3. 3. Tiek noteikta varbūtība, ka gadījuma lielums iegūs vērtību" title="(!LANG: Sadalījuma funkcijas īpašības 1. 1. Sadalījuma funkcijas vērtības pieder segmentam: 0 F(x) 1. 2. 2. F (x) - nesamazinoša funkcija, t.i., F (x 2) F (x 1), ja x 2 > x 1. 3. 3. Varbūtība, ka gadījuma lielums tiks noslēgts" class="link_thumb"> 4 !} Sadalījuma funkcijas īpašības Sadalījuma funkcijas vērtības pieder pie intervāla: 0 F(x) F(x) - nesamazinoša funkcija, t.i., F(x 2) F(x 1), ja x 2 > x Varbūtība, ka nejaušs mainīgais pieņems intervālā (a; b) ietverto vērtību, kas vienāda ar sadalījuma funkcijas pieaugumu šajā intervālā: P (a x 1. 3. 3. Varbūtība, ka gadījuma lielums iegūs vērtību, kas ietverta intervālā (a; b), ir vienāda ar sadalījuma funkcijas pieaugumu šajā intervālā: P (a "\u003e x 1. 3 3. Varbūtība, ka gadījuma lielums iegūs vērtību, secināts" title = "(!LANG: Sadalījuma funkcijas īpašības 1. 1. Sadalījuma funkcijas vērtības pieder intervālam: 0 F( x ) 1. 2. 2. F (x) - nesamazinoša funkcija, t.i., F (x 2) F (x 1), ja x 2 > x 1. 3. 3. Varbūtība, ka gadījuma mainīgais pieņems vērtību"> title="Sadalījuma funkcijas īpašības 1. 1. Sadalījuma funkcijas vērtības pieder pie intervāla: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) ir nesamazinoša funkcija, t.i., F(x 2) F(x 1), ja x 2 > x 1. 3. 3. Varbūtība, ka gadījuma mainīgais iegūs vērtību, secināts"> !}

1. piemērs. Nejaušais lielums X tiek dots ar sadalījuma funkciju 0 pie x -1 F(x) = x/4+1/4 pie Atrodiet varbūtību, ka testēšanas rezultātā X iegūs vērtību, kas pieder pie intervāls (0; 2): P(0

4. 4. Varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma lielums X iegūs vienu noteiktu vērtību, ir 0. Tādējādi ir jēga ņemt vērā varbūtību, ka nejaušais mainīgais iekrīt intervālā, pat ja tas ir patvaļīgi mazs. Piemēram, viņus interesē varbūtība, ka detaļu izmēri nepārsniegs atļautās robežas, bet nerada jautājumu par to sakritības iespējamību ar projekta izmēru.

Taču ir nepareizi uzskatīt, ka varbūtības P(X=x 1) vienādība ar 0 nozīmē, ka notikums X=x 1 nav iespējams (ja neaprobežojas ar klasisko varbūtības definīciju). Pārbaudes rezultātā nejaušajam mainīgajam noteikti būs viena no iespējamām vērtībām; jo īpaši šī vērtība var būt vienāda ar x 1.

5. 5. Ja gadījuma lieluma iespējamās vērtības pieder intervālam (a;b), tad 1) F(x) = 0 x a; 2) F(x) = 1 x b. ] Ja nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamās vērtības atrodas uz visas x ass, tad ir spēkā šādas robežattiecības: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+

Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtību sadalījuma blīvums Nepārtraukta gadījuma lieluma iestatīšanas metode ar sadalījuma funkcijas palīdzību nav vienīgā. Nepārtrauktu gadījuma lielumu var norādīt arī, izmantojot citu funkciju, ko sauc par sadalījuma blīvumu vai varbūtības blīvumu (dažreiz sauktu par diferenciālo funkciju).

Nepārtraukta gadījuma lieluma X varbūtības sadalījuma blīvums ir funkcija f (x) - sadalījuma funkcijas F (x) pirmais atvasinājums: f (x) \u003d F "(x). Tādējādi sadalījuma funkcija ir antiatvasinājums. sadalījuma blīvumam.

π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2." title="(!LANG:Piemērs. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma X 0 sadalījuma funkcija, ja x 0 F(x) = sinx ja 0 π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x ). 0 — x π/2." class="link_thumb"> 18 !} Piemērs. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma X 0 sadalījuma funkcija pie x 0 F(x) = sinx pie 0 π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2. π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2."> π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2."> π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2." title="(!LANG:Piemērs. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma X 0 sadalījuma funkcija, ja x 0 F(x) = sinx ja 0 π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x ). 0 — x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Piemērs. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma X 0 sadalījuma funkcija pie x 0 F(x) = sinx pie 0 π/2. Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x). 0 x π/2."> !}

Sadalījuma blīvuma īpašības Sadalījuma blīvums ir nenegatīva funkcija: f(x) 0. Sadalījuma blīvuma grafiku sauc par sadalījuma līkni Nepareizs sadalījuma blīvuma integrālis diapazonā no - līdz ir vienāds ar 1. f(x) dx = 1. -

Sadalījuma blīvuma varbūtības nozīme Funkcija f(x) nosaka varbūtības sadalījuma blīvumu katram punktam x. Pietiekami mazam x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Jo starpība F (x + x) - F (x) nosaka (skatīt iepriekš) varbūtību, ka X pieņems vērtību, kas pieder intervālam (x; x + x), tad šī varbūtība ir aptuveni vienāda ar reizinājumu. no varbūtības blīvuma m. x pēc intervāla x garuma.

II. NEJAUŠA VĒRTĪBA, TĀS IZPLATĪŠANAS FUNKCIJA

2.1. Nejaušs mainīgais, tā iestatīšanas veidi

Nejauši tiek izsaukts lielums, kurš pārbaudes rezultātā var iegūt vienu vai otru skaitlisko vērtību, un iepriekš nav zināms, kuru.

Ja kādam daudzumam tā mērījumu atkārto daudzas reizes praktiski identiskos apstākļos, tad tiks konstatēts, ka katru reizi tiek iegūti nedaudz atšķirīgi rezultāti. Tā ir divu veidu cēloņu ietekme: 1) galvenie, kas nosaka rezultāta galveno nozīmi; 2) sekundāri, izraisot to diverģenci.

Šo cēloņu kopīgā darbībā nepieciešamības un nejaušības jēdzieni izrādās cieši saistīti, bet nepieciešamais ņem virsroku pār nejaušo.

Tādējādi iespējamās nejaušo mainīgo vērtības pieder dažām skaitliskām kopām.

Tas ir nejauši, ka šajās kopās daudzumi var iegūt jebkuru vērtību, bet kuru nevar pateikt iepriekš.

Nejaušs mainīgais ir saistīts ar nejaušu notikumu.

Ja nejaušs notikums ir kvalitātes īpašība testus, tad nejaušais mainīgais ir tā kvantitatīvā īpašība .

Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem un to vērtība - ar lielajiem burtiem.
.

Varbūtība, ka nejaušais mainīgais
iegūs jēgu pastāvēt par:

utt.

Nejaušus lielumus nosaka sadalījuma likumi.

Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir atbilstība, kas noteikta starp gadījuma lieluma iespējamām vērtībām un to varbūtībām.

Sadales likumus var norādīt trīs veidos: tabulas, grafiski, analītiski. Iestatīšanas veids ir atkarīgs no nejaušā lieluma veida.

Pastāv divi galvenie nejaušo mainīgo veidi: diskrēti un nepārtraukti sadalīti gadījuma mainīgie.

2.2. Diskrēti un nepārtraukti gadījuma lielumi

Ja vērtības, kuras dotais gadījuma mainīgais var iegūt no diskrētas (galīgas vai bezgalīgas) skaitļu sērijas
tad tiek izsaukts pats gadījuma mainīgais diskrēts.

Ja vērtības, ko var iegūt šis nejaušais mainīgais, aizpilda skaitliskās ass ierobežotu vai bezgalīgu atstarpi (a, c) Ak, tad tiek izsaukts nejaušais mainīgais nepārtraukts.

Katra diskrēta tipa gadījuma lieluma vērtība atbilst noteiktai varbūtībai ; katrs intervāls (a, c) no nepārtraukta tipa gadījuma lieluma diapazona arī atbilst noteiktai varbūtībai
fakts, ka nejaušā mainīgā pieņemtā vērtība ietilpst šajā intervālā.

2.3. Gadījuma lieluma sadalījuma likums

Sakarību, kas vienā vai otrā veidā izveido saikni starp gadījuma lieluma iespējamām vērtībām un to varbūtībām, sauc. sadales likums nejaušais mainīgais.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu parasti nosaka ar tuvu izplatīšanai:

Kurā
, kur summēšana attiecas uz visu (galīgo vai bezgalīgo) dotā gadījuma lieluma iespējamo vērtību kopu.

Nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir ērti norādīts, izmantojot varbūtības blīvuma funkcijas
.

Varbūtību, ka nejaušā lieluma ņemtā vērtība iekrīt intervālā (a, c), nosaka vienādība

Funkcijas grafiku sauc sadalījuma līkne . Ģeometriski varbūtība, ka gadījuma lielums nonāks intervālā (a, c), ir vienāda ar atbilstošās līknes trapeces laukumu, ko ierobežo sadalījuma līkne ar asi Ak un tieši x=a, x=b.

1. uzdevums. Ir dotas nejaušā lieluma vērtību varbūtības: vērtībai 10 ir varbūtība 0,3; vērtība 2 - varbūtība 0,4; vērtība 8 - varbūtība 0,1; vērtība 4 – varbūtība 0,2. Izveidojiet nejauša lieluma sadalījuma sēriju.

Risinājums. Sakārtojot gadījuma lieluma vērtības augošā secībā, iegūstam sadalījuma sēriju:

Iekāpsim lidmašīnā koris punkti (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) un (10; 0,3). Savienojot secīgus punktus ar taisnu līniju segmentiem, mēs iegūstam daudzstūris (vai daudzstūris ) nejaušā lieluma sadalījums

2. uzdevums. Tiek izspēlēti divi priekšmeti katra 5000 rubļu vērtībā un viens vienums 30 000 rubļu vērtībā. Sastādiet laimestu sadales likumu personai, kura iegādājās vienu biļeti no 50.

Risinājums. Vēlamais nejaušais mainīgais ir laimests, un tam var būt trīs vērtības: 0, 5000 un 30 000 rubļu. Pirmajam rezultātam labvēlīgi ir 47 gadījumi, otrajam rezultātam divi gadījumi un trešajam viens gadījums. Noskaidrosim to varbūtības:

; ; .

Gadījuma lieluma sadalījuma likumam ir šāda forma:

Kā pārbaudi mēs atrodam

3. uzdevums. Nejaušais lielums ir pakļauts sadalījuma likumam ar blīvumu , un

Nepieciešams: 1) Atrast koeficientu a; 2) uzzīmējiet blīvuma sadalījumu
; 3) atrast varbūtību iekrist intervālā (1; 2).

Risinājums. 1) Tā kā visas šī nejaušā lieluma vērtības ir iekļautas intervālā, tad

, kur

, vai

, t.i.
.

2) Funkcijas grafiks intervālā ir parabola, un ārpus šī intervāla pati abscisa kalpo kā grafiks.

3) No vienādības var atrast varbūtību, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā (1; 2)

2.4. Binomiālais sadalījums

Ļaujiet iegūt noteiktu skaitu n neatkarīgi eksperimenti, un katrā no tiem ar vienādu varbūtību var notikt kāds notikums R. Apsveriet nejaušu mainīgo lielumu, kas ir notikumu gadījumu skaits A iekšā n eksperimentiem. Tā izplatīšanas likumam ir forma

Vērtības
Varbūtības

Kur
, aprēķina pēc Bernulli formulas.

Tiek saukts sadales likums, kuru raksturo šāda tabula binomiāls .

Uzdevums. Monēta tiek izmesta 5 reizes. Sastādiet gadījuma lieluma sadalījuma likumu - ģerboņa zaudējuma skaitu.

Risinājums. Iespējamas šādas gadījuma lieluma vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Zinot, ka ģerboņa izkrišanas varbūtība vienā izmēģinājumā ir , mēs atrodam vērtību varbūtības nejaušais mainīgais, izmantojot Bernulli formulu:

Izplatīšanas likumam ir forma

Vērtības
Varbūtības

Pārbaudīsim:

III. NEJAUŠAS VĒRTĪBAS GAIDĪBAS UN VARIACIJA

3.1. Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība

Izsmeļošākā gadījuma lieluma īpašība ir tā varbūtības sadalījuma likums. Tomēr ne vienmēr ir jāzina viss izplatīšanas likums. Dažreiz jūs varat iztikt ar vienu vai vairākiem skaitļiem, kas atspoguļo sadales likuma svarīgākās pazīmes, piemēram, skaitli, kam ir nejauša mainīgā lieluma "vidējā vērtība", vai skaitli, kas parāda vidējo lielumu. nejauša lieluma novirze no tā vidējās vērtības. Tādus numurus sauc skaitliskās īpašības nejaušais mainīgais. Izmantojot skaitliskos raksturlielumus, ir iespējams atrisināt daudzas problēmas, neizmantojot sadalījuma likumu.

Viens no svarīgākajiem gadījuma lieluma skaitliskiem raksturlielumiem ir matemātiskā cerība.

Ja ir zināms diskrēts gadījuma mainīgais, kura sadalījuma likumam ir forma

Vērtības
Varbūtības

tad matemātiskās cerības (vai vidējo vērtību) diskrētam daudzumam sauc par skaitli

Tādējādi diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir vienāda ar šī mainīgā iespējamo vērtību un to varbūtību reizinājumu summu.

1. piemērs. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību, zinot tā sadalījuma likumu

Risinājums.

Matemātiskās gaidīšanas īpašības.

Pastāvīgo faktoru var izņemt no gaidīšanas zīmes:

Konstantas vērtības matemātiskā cerība NO ir vienāds ar šo vērtību:

Divu nejaušo mainīgo summas matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu summu:

Neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar šo mainīgo matemātisko gaidu reizinājumu:

3.2. Gadījuma lieluma standartnovirze un dispersija.

2. piemērs Atrodiet nejaušo mainīgo matemātisko cerību un zinot to izplatīšanas likumus

P

Mēs saņēmām kuriozu rezultātu: daudzumu un sadalījuma likumi ir atšķirīgi, taču to matemātiskās cerības ir vienādas.

No zīmēšanas b var redzēt, ka daudzuma vērtība ir vairāk koncentrēta ap matemātisko cerību
nekā daudzuma vērtības, kas ir izkaisītas (izkliedētas) attiecībā pret tā matemātisko cerību
(bilde a).

Galvenais skaitliskais raksturlielums gadījuma lieluma vērtību izkliedes pakāpei attiecībā pret tā matemātisko cerību
ir dispersija, ko apzīmē ar
.

Definīcija. novirze sauc par starpību starp nejaušo mainīgo un tā matemātisko gaidu, t.i.
.

Novirze un tās kvadrāts
ir arī nejauši mainīgie.

Definīcija. Diskrēta dispersija gadījuma lielumu sauc par tā novirzes kvadrāta matemātisko cerību:

Izkliedes īpašības.

Dispersijas konstante NO ir 0:

.

.

Lai aprēķinātu novirzes, formula ir ērtāka

3. piemērs Diskrēts gadījuma lielums tiek sadalīts saskaņā ar likumu:

Risinājums. Vispirms mēs atrodam.

un tad
.

Pēc formulas, kas mums ir

Gadījuma lieluma standartnovirze sauc par tās dispersijas kvadrātsakni:

.

IV. PRAKTISKIE UZDEVUMI PAŠKONTROLEI

Kombinatorika

Cik dažādus piecciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1, 3, 5, 7, 9, ja cipars neatkārtojas?

Cik iespējas ir trīs balvu sadalei, ja izlozē piedalās 7 komandas?

Cik daudzos veidos var izvēlēties divus studentus konferencei, ja grupā ir 33 cilvēki?

Atrisiniet vienādojumus

a)
. b)
.

Cik četrciparu skaitļus, kas dalās ar 5, var izveidot no cipariem 0, 1, 2, 5, 7, ja katrā ciparā nedrīkst būt vienādi cipari?

No 15 cilvēku grupas jāizvēlas brigadieris un 4 brigādes dalībnieki. Cik daudzos veidos to var izdarīt?

Morzes koda burti sastāv no simboliem (punktiem un domuzīmēm). Cik burtus var attēlot, ja katrā burtā ir jāsatur ne vairāk kā piecas rakstzīmes?

Cik daudzos veidos četru krāsu lentes var veidot no septiņām dažādu krāsu lentēm?

Cik daudzos veidos no deviņiem kandidātiem var izvēlēties četras personas četriem dažādiem amatiem?

Cik daudzos veidos jūs varat izvēlēties 3 no 6 kartēm?

Pirms izlaiduma 30 studentu grupa apmainījās ar fotogrāfijām. Cik fotogrāfiju tika izdalītas.

Cik daudzos veidos pie svētku galda var sasēdināt 10 viesus desmit vietās?

Cik spēles ir jāaizvada 20 futbola komandām viena apļa čempionātā?

Cik daudzos veidos 12 cilvēkus var sadalīt komandās, ja katrā komandā ir 6 cilvēki?

Varbūtību teorija

Urnā ir 7 sarkanas un 6 zilas bumbiņas. No urnas vienlaikus tiek izņemtas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir sarkanas (notikums A)?

Vienā plauktā nejauši izkārtotas deviņas dažādas grāmatas. Atrodiet varbūtību, ka četras noteiktas grāmatas tiks novietotas blakus (notikums C).

No 10 biļetēm uzvar 2. Nosaki varbūtību, ka no 5 nejauši paņemtajām biļetēm uzvar viena.

No kāršu klāja (52 kārtis) pēc nejaušības principa tiek izvilktas 3 kārtis. Atrodiet varbūtību, ka tas ir trīs, septiņi, dūzis.

Bērns spēlējas ar pieciem dalītā alfabēta burtiem A, K, R, W, Y. Kāda ir varbūtība, ka ar nejaušu burtu izkārtojumu pēc kārtas viņš saņems vārdu "Jumts".

Kastītē ir 6 baltas un 4 sarkanas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek paņemtas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka tie ir vienā krāsā?

Pirmajā urnā ir 6 melnas un 4 baltas bumbiņas, otrajā urnā ir 5 melnas un 7 baltas bumbiņas. No katras urnas tiek izvilkta viena bumbiņa. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir baltas?

Nejaušais mainīgais, gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un dispersija

Pierakstiet sadales likumu trāpījumu skaitam mērķī ar sešiem šāvieniem, ja varbūtība trāpīt ar vienu šāvienu ir 0,4.

Varbūtība, ka skolēns bibliotēkā atradīs sev nepieciešamo grāmatu, ir 0,3. Sastādiet izplatīšanas likumu par bibliotēku skaitu, kuras viņš apmeklēs, ja pilsētā ir četras bibliotēkas.

Mednieks izšauj medījumu pirms pirmā sitiena, bet izdodas izdarīt ne vairāk kā četrus šāvienus. Atrodiet garām sitienu skaita dispersiju, ja varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,7.

Atrodiet nejauša lieluma X matemātisko cerību, ja tā sadalījuma likums ir dots tabulā:

Iekārtai ir četras automātiskās līnijas. Varbūtība, ka darba maiņas laikā pirmā rinda nebūs jāpielāgo, ir 0,9, otrā - 0,8, trešā - 0,75, ceturtā - 0,7. atrodiet to rindu skaita matemātisko cerību, kurām darba maiņas laikā nav nepieciešama pielāgošana.

Atrodiet nejauša lieluma X dispersiju, zinot tā sadalījuma likumu:

Danko P.E. Augstākā matemātika vingrinājumos un uzdevumos. Divās daļās. II daļa / P.E. Danko, A.G. Popovs, T.Ja. Koževņikovs. - M.: Augstskola, 1986. - 415 lpp. Vigodskis M.Ya. Augstākās matemātikas rokasgrāmata. – M.: Nauka, 1975. – 872 lpp. Papildus: Griguletskis V.G. Matemātika ekonomikas specialitāšu studentiem. 2. daļa / V.G. Griguletskis, I.V. Lukjanova, I.A. Petuņina. - Krasnodara, 2002. - 348 lpp. Malikhins V.I. Matemātika ekonomikā. – M.: Infra-M, 1999. – 356 lpp. Gusak A.A. Augstākā matemātika. 2 sējumos, V.2. - Mācību grāmata augstskolu studentiem. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 lpp. Griguletskis V.G. Augstākā matemātika / V.G. Griguletskis, Z.V. Jaščenko. – Krasnodara, 1998.-186 lpp. Gmurmans V.E. Rokasgrāmata problēmu risināšanai varbūtību teorijā un matemātiskajā statistikā. - M.: Augstskola, 2000. - 400 lpp.

Facebook

Twitter

Saskarsmē ar

Klasesbiedriem

Google Plus