A vetítést központinak nevezzük, ha a vetületi vonalak egyenesek. Kivetítés – Tudáshipermarket. Központi vetítés tulajdonságai

Téma:"A nézetek elrendezése a rajzon"

Téma: Nézetek elrendezése a rajzon.

Célok: Megértéshez vezet a forma fogalmai, nézetek elrendezése a rajzon. Szervezzen tevékenységeket a rajz nézeteinek kialakításához, a főnézet megtalálásához szükséges készségek kialakításához. Fejleszteni kell az öntevékenység iránti vágyat és a problémamegoldáshoz való kreatív hozzáállást. A tudáshoz való pozitív hozzáállás és a jóindulatú hozzáállás és a siker és a kudarc iránti empátia elősegítése egy csapatban.

Felszerelés: Tanulmányasztalok, feladatkártyák, modellek gyakorlati munkához, bemutató (diák)

Az órák alatt

1 ... Elméleti anyag ismétlése a témában: "Vetítés"

A kérdésdiákra való áttérés úgy történik, hogy a diagram téglalapjain a diaátmenet műveletet állítjuk be, a visszalépés pedig a vezérlőgombokkal történik.

Mit nevezünk projekciónak? Kivetítés Egy objektum vetületének megalkotásának folyamata.

Melyik vetületet nevezzük központinak? Példák. Ha a vetületi sugarak egy pontból származnak, a vetítést únközponti. Fényképek, mozgóképek.

Adja meg a párhuzamos vetítés definícióját! Példák. Ha a vetületi sugarak párhuzamosak egymással, akkor a vetítést únpárhuzamos. Feltételesen napfényes tárgyak árnyékai.

Melyik vetületet nevezzük ferde vetületnek? Ferde vetítés - amikor a sugarak párhuzamosak és hegyesszögben esnek a síkra.

A téglalap vetítés az

Téglalap alakú vetítés - amikor a vetületi sugarak merőlegesek a vetítési síkra.

Megismételtük az alapfogalmakat. Most egy feladatkártyán fog dolgozni két lehetőség közül. Az Ön feladata, hogy elnevezze a számokkal jelölt elemeket. A végrehajtási idő 4 perc.

A pontszám a helyes válaszok számán alapul.

A munka ellenőrzése. Kölcsönös vezérlés (5 - "5", 4 - "4", 3 - "3", ...).

Bármilyen felületre (lapos, hengeres, gömb alakú, kúpos) vetítősugarak segítségével.

A vetítés többféleképpen történhet.

Kivetítési módszerrel egy módszer a képek megszerzésére egy bizonyos, csak vele rejlő, vetítési eszközök (vetítési középpont, vetítési irány, vetítési sugarak, vetítési síkok (felületek)) segítségével, amelyek meghatározzák az eredményt - a megfelelő vetítési képeket és azok tulajdonságait.

Ahhoz, hogy bármilyen képet kapjunk egy tárgyról egy síkon, el kell helyezni azt a vetítési sík elé, és a vetítés középpontjából képzeletbeli vetületi sugarakat kell rajzolni, amelyek áthatolnak a tárgy felületének minden pontján. Ezeknek a sugaraknak a vetítési síkkal való metszéspontja egy olyan ponthalmazt ad, amelyek kombinációja az objektumról alkot egy képet, amelyet vetítésnek nevezünk. Tekintsük ezt az általános definíciót egy pont, egyenes, háromszög és háromszögprizma H vetítési síkra való vetítésének példáján.

Pontvetítés (52. ábra, a). Vegyünk egy tetszőleges A pontot a térben, és helyezzük a H vetületek síkja fölé. Rajzoljunk egy vetületi sugarat az A ponton keresztül úgy, hogy az egy pontban metszi a H síkot, ami az A pont vetülete lesz. (Itt és a következőkben a tárgyra felvett pontokat a rajz betűtípusának nagybetűivel és azok vetületeit - kisbetűvel - jelöljük.) Mint látható, a vetítési módszerrel egy nulla dimenziós objektum - egy pont - vetületét kaphatjuk meg.

Egyenes kivetítése (52. ábra, b). Képzeljünk el egy egyenest pontok gyűjteményeként. A vetítési módszerrel párhuzamos vetítési sugarak halmazát rajzoljuk át az egyenest alkotó pontokon, egészen addig, amíg nem metszik egymást a vetítési síkkal. A kapott pontok vetületei egy adott egyenes vetületét alkotják - egy egydimenziós objektum.

Háromszög vetítése (52. ábra, c). Helyezzük az ABC háromszöget a H sík elé. A háromszög csúcsait külön A, B, C pontoknak véve vetítsük mindegyiket a vetítési síkra. Megkapjuk a háromszög csúcsainak vetületeit - a, b, c. A csúcsok vetületeit (a és b; b és c; c és a) egymás után összekapcsolva megkapjuk a háromszög oldalainak vetületeit (ab, bc, ca). Az abc háromszög oldalainak képe által határolt sík része lesz az ABC háromszög vetülete a H síkra. Ebből következően a vetítési módszerrel lapos alakzat - kétdimenziós objektum - vetületét kaphatjuk meg. .

Prizma vetülete (52. ábra, d). Például vegyünk egy ferde háromszög alakú prizmát, és vetítsük a H vetítési síkra. A prizmának a H síkra való vetítése eredményeként az alapjainak képei (vetületei) keletkeznek - háromszögek - abc és a 1 b 1 c 1 és oldallapok - abb 1 a 1 és bcc 1 b 1 téglalapok. Tehát a H síkra való vetítés eredményeként egy háromszög alakú prizma vetületét kapjuk. Ezért a vetítési módszerrel bármilyen háromdimenziós objektum megjeleníthető.

Rizs. 52. Nulla-, egy-, két- és háromdimenziós objektumok vetítése: a - pont;
b - egyenes vonal; в - háromszög; d - prizma

Így a vetítési módszerrel bármilyen objektum (nulla-, egy-, két- és háromdimenziós) megjeleníthető egy síkon. Ebből a szempontból a vetítési módszer univerzális.

A vetítés lényege könnyebben megérthető, ha emlékszel a moziban történt képszerzésre: a mozi vetítőlámpa fényárama áthalad a filmen, és a képet a vászonra veti. Ebben az esetben a filmvásznon látható kép többszöröse lesz, mint a filmen.

Van központi (vagy perspektivikus) és párhuzamos vetítés. A párhuzamos vetítés lehet téglalap alakú (ortogonális) vagy ferde (5. táblázat).

5. Vetítési módszerek

Központi vetítés (perspektíva) jellemzi, hogy a vetületi sugarak egy pontból (S) erednek, ún vetítés középpontja ... Az így kapott képet ún központi vetítés .

A perspektíva egy tárgy külső formáját közvetíti, ahogyan azt látásunk érzékeli.

Központi vetítésnél, ha a tárgy a vetítés közepe és a vetítési sík között van, a vetítés méretei nagyobbak lesznek, mint az eredeti; ha a tárgy a vetületek síkja mögött helyezkedik el, akkor a vetítés méretei kisebbek lesznek, mint az ábrázolt tárgy tényleges méretei.

A párhuzamos vetítésre jellemző, hogy a vetületi sugarak párhuzamosak egymással. Ebben az esetben feltételezzük, hogy a vetítési középpont (S) a végtelenségig el van távolítva.

A párhuzamos vetítési képeket párhuzamos vetületeknek nevezzük.

Ha a vetületi sugarak párhuzamosak egymással és derékszögben esnek a vetítési síkra, akkor a vetületet téglalapnak (ortogonálisnak), az így létrejövő vetületeket téglalapnak (ortogonálisnak) nevezzük. Ha a vetületi sugarak párhuzamosak egymással, de a Vetítések síkjára az egyenestől eltérő szögben esnek, akkor a vetületet ferde, a kapott vetületet pedig ferde szögben. Kivetítéskor a tárgyat úgy helyezzük el a vetítési sík elé, hogy olyan képet kapjunk róla, amely a legnagyobb információt hordozza az alakzatról.

Az A pont vetülete a π 1 vetítési síkra a vetítési egyenes és a π vetítési sík metszéspontjának A 1 pontja. 1 áthaladva az A ponton (1.1. ábra):

Bármely geometriai alakzat vetülete az összes pontjának vetületeinek halmaza. A vetítési vonalak iránya és a π 1 síkok helyzete határozza meg a vetítőberendezést.

A központi vetítés olyan vetítés, amelyben az összes vetítési sugár egy S pontból – a vetítés középpontjából – származik (1.2. ábra).

A párhuzamos vetítés olyan vetület, amelyben minden vetületi egyenes párhuzamos egy adott S iránnyal (1.3. ábra).

.

Rizs. 1.1. Az A pont vetülete a π 1 vetítési síkra

.

Rizs. 1.2. Központi vetítési példa

.

Rizs. 1.3. Példa a párhuzamos vetítésre

A párhuzamos vetítés a központi vetítés speciális esete, amikor az S pont végtelenül nagy távolságra van a π 1 vetítési síktól.

Egy adott vetítési berendezésnél a tér minden pontja a vetítési síkon egy és csak egy pontnak felel meg.

Egy pont egy vetülete nem határozza meg ennek a pontnak a helyzetét a térben. Valójában az A1 vetület a vetületi egyenesen található végtelen számú A ', A' ', ... pontnak felelhet meg (1.4. ábra).

Egy pont térbeli helyzetének bármely vetítőeszközzel történő meghatározásához szükséges, hogy annak két vetülete két különböző vetítési irányban (vagy két különböző vetítési középpontban) legyen.

.

Rizs. 1.4. Példa a vetületi egyenes sok pontjának elhelyezkedésére

Tehát a 2. ábrából. 1.5 látható, hogy az A pont két vetülete (A1 és A2), amelyeket két S 1 és S 2 vetületi iránnyal kapunk, egyértelműen meghatározza magának az A pontnak a térbeli helyzetét - mint a megrajzolt 1 és 2 vetületi egyenesek metszéspontját. az S 1 és S 2 vetületi irányokkal párhuzamos A1 és A 2 vetületekből.

.

Rizs. 1.5. Az A pont térbeli helyzetének meghatározása

Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia által kiadott folyóiratokra

Egy tárgy térbeli ábrázolásáról lapos képére váltáshoz a vetítési módszert kell használni.

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben elhelyezkedő háromdimenziós objektum egy síkra "átkerüljön", vagyis a képét megkapja, kivetíteni kell. Ehhez a tér egy bizonyos módon kiválasztott pontjából, amelyet a vetítés középpontjának nevezünk, egyenes vonalakat (sugarakat) kell húzni az ábrázolt tárgy minden pontján keresztül. Ezeket a vonalakat vetületi vonalaknak nevezzük. Azt a síkot, amelyen a tárgy képét kaptuk, vetületi síknak nevezzük, és a tárgy képét, amelyet ezen a síkon kapunk, vetületének nevezzük.

A vetítési középpont helyzetétől és a vetítési sugarak vetítési síkhoz viszonyított irányától függően a vetítés lehet központi (kúpos) vagy párhuzamos (hengeres).

A térbeli alakzatok vetületeinek elkészítésének leggyakoribb esete a központi vetítés.

Ebben az esetben a vetítési sugarak egy pontból - a vetítés középpontjából - jönnek ki S amely véges távolságra van a vetítési síktól N 1.

A pontok központi vetületeinek megszerzése Aés B, a vetítési sugarakat a vetítés középpontjából kell végrehajtani S pontokon keresztül Aés B a vetítési síkkal való metszés előtt N 1... Átkeléskor pontokat kapunk A 1és B 1- pontok központi vetületei Aés B.

Pont pozíció Sés repülőgép N 1, amely nem halad át a vetületek közepén, a központi vetítőkészülék határozza meg. Ha meg van adva, akkor mindig meghatározhatja a tér bármely pontjának központi vetületének helyzetét a vetítési síkon, miközben minden térbeli pontnak csak egy központi vetülete lesz. Egy központi vetületből azonban lehetetlen meghatározni egy pont helyzetét a térben, mivel az a pont vetületét és a vetület középpontját összekötő egyenesen bárhol elhelyezkedhet.

Egy pont helyzetének meghatározása A a térben a központi vetületei szerint ennek a pontnak két központi vetülete szükséges A 1és A 2 két különböző központból szerezték be S 1és S 2... Ha tartja a vetületi gerendákat S 1 A 1és S 2 A 2, akkor a metszéspontjuk egyértelműen meghatározza a pont helyzetét Aűrben.

Központi vetületet építeni A 1 B 1 szegmens AB elég központi vetületeket építeni A 1és B 1 pontokat Aés V, mivel két pont egyedileg határoz meg egy egyenest.

A központi vetítés nagy tisztaságú, mivel megfelel a tárgyak vizuális észlelésének.

A vetületek tulajdonságai központi vetítéshez:

1. Egy pont vetülete pont.
2. Az egyenes vetülete egyenes.
3. Általában az egyenes vetülete egyenes. (Ha az egyenes egybeesik a vetületi sugárral, akkor a vetülete pont).
4. Ha a pont az egyeneshez tartozik, akkor a pont vetülete az egyenes vetületéhez tartozik.
5. Az egyenesek metszéspontját ezeknek az egyeneseknek a vetületeinek metszéspontjára vetítjük.
6. Általános esetben egy sík poliédert vetítünk egy azonos számú csúcsú poliéderbe.
7. Az egymással párhuzamos egyenesek vetülete egy vonalköteg.
8. Ha egy sík alakzat párhuzamos a vetítési síkkal, akkor a vetülete hasonló ehhez az ábrához.

Kivetítés(lat. Projicio - előre dobom) - egy tárgy (térbeli objektum) képének megszerzésének folyamata bármilyen felületen fény- vagy vizuális sugarak (olyan sugarak, amelyek feltételesen összekötik a megfigyelő szemét a térbeli objektum bármely pontjával) segítségével, amelyek projekciónak nevezzük.

Két ismert vetítési módszer létezik: központiés párhuzamos .

Központikivetítés minden ponton keresztül kell rajzolni ( A, B, C, ...) az ábrázolt objektumról és bizonyos módon kiválasztva vetítési központ (S) egyenes ( SA, SB, >… — vetítősugár).

1.1. ábra - Középső vetület

Vezessük be a következő elnevezéseket (1.1. ábra):

S- vetítési központ (megfigyelő szeme);

π 1 - vetületek síkja;

A, B, C

SA, SB- egyenes vonalak vetítése (sugarak vetítése).

jegyzet: bal egérgombbal a pontot vízszintes síkban mozgathatjuk, a bal egérgombbal a pontra kattintva megváltozik a mozgás iránya és függőlegesen mozgathatjuk.

Középponti vetítés a vetítés középpontján átmenő vetítési egyenes és a vetítési objektum (pont) metszéspontja a vetítési síkkal.

1. tulajdonság. A tér minden pontja egyetlen vetületnek felel meg, de a vetítési sík minden pontja a vetületi egyenesen fekvő térbeli pontok halmazának felel meg.

Bizonyítsuk be ezt az állítást.

1.1. ábra: pont A 1 - az A pont központi vetülete a π 1 vetületek síkjára. De ugyanannak a vetületnek minden pontja a vetületi egyenesen feküdhet. Vegye fel a kiálló vonalat SA pont VAL VEL... Pont középponti vetülete VAL VEL(VAL VEL 1) a vetületek síkján π 1 egybeesik a pont vetületével A(A 1):

1. VAL VEL∈ SA;
2. SC∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ A 1 .

Ebből következik, hogy egy pont vetülete nem ítélhető meg egyértelműen a térbeli helyzetéről.

Ennek a bizonytalanságnak a kiküszöbölésére, i.e. készíts rajzot megfordítható, bevezetünk még egy vetületi síkot (π 2) és még egy vetületi középpontot ( S 2) (1.2. ábra).

1.2 ábra - Az 1. és 2. tulajdonság illusztrációja

Építsük a pont vetületeit A a π 2 vetületek síkján. A tér összes pontja közül csak egy pont A megvannak a maga vetületei A 1 a π 1 síkra és A 2-től π 2-ig egyidejűleg. A vetületi sugarakon fekvő összes többi pontnak legalább egy vetülete eltérő lesz a pont vetületétől A(például pont V).

2. tulajdonság. Az egyenes vetülete egyenes.

Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot.

Összekötni a pontokat Aés V egymást (1.2. ábra). Kapunk egy szegmenst AB egyenes vonal meghatározása. Δ háromszög SAB meghatározza a σ által jelzett síkot. Ismeretes, hogy két sík metszi egymást egy egyenesben: σ∩π 1 = A 1 V 1, hol A 1 V 1 - egy szegmens által meghatározott egyenes középső vetülete AB.

A központi vetítés módszere a kép szem általi észlelésének modellje, főként épülettárgyak, belső terek perspektivikus képeinek készítésekor, valamint filmtechnikában és optikában alkalmazzák. A központi vetítés módszere nem oldja meg a mérnök fő problémáját - hogy pontosan tükrözze az objektum alakját, méretét, a különböző elemek méreteinek arányát.

1.2. Párhuzamos vetítés

Nézzük a párhuzamos vetítési módszert. Vezessünk be három korlátozást, amelyek lehetővé teszik számunkra, bár a kép tisztaságának rovására, hogy egy rajzot kényelmesebben használhassunk a gyakorlatban:

1. Távolítsuk el a vetítés mindkét középpontját a végtelenbe. Így elérjük, hogy a vetületi sugarak minden középpontból párhuzamosak legyenek, és ezért bármely egyenes szakasz valódi hosszának és vetületének hosszának aránya csak a szakasz dőlésszögétől függ. síkok, és nem függenek a vetületek középpontjának helyzetétől;
2. Rögzítsük a vetítés irányát a vetítési síkokhoz képest;
3. A vetítési síkokat egymásra merőlegesen fogjuk elrendezni, ami megkönnyíti a vetítési síkokon lévő képről valós térbeli tárgyra való mozgást.

Így, miután ezeket a korlátozásokat a központi vetítési módszerre vonatkozóan meghatároztuk, eljutottunk annak speciális esetéhez - párhuzamos vetítési módszer(1.3. ábra) Vetítés, amelyben az objektum egyes pontjain áthaladó vetületi sugarak párhuzamosak a kiválasztott vetítési iránnyal P nak, nek hívják párhuzamos .

1.3. ábra - Párhuzamos vetítés módszere

Bemutatjuk a jelölést:

R- a vetítés iránya;

π 1 - vízszintes vetítési sík;

A,B- vetítési objektumok - pontok;

A 1 és V 1 - pontok vetületei Aés V a π 1 vetületek síkjára.

Párhuzamos pont vetítés az adott vetítési iránnyal párhuzamos vetítési egyenes metszéspontja R, a π 1 vetületek síkjával.

Húzzuk végig a pontokat Aés V adott vetítési iránnyal párhuzamos sugarak vetítése R... Vetítősugár egy ponton keresztül A pontban metszi a π 1 vetületek síkját A 1 . Hasonlóképpen egy ponton keresztül húzott vetületi sugár V pontban metszi majd a vetítési síkot V 1 . A pontok összekapcsolásával A 1 és V 1 , szegmenst kapunk A 1 V 1 - az AB szakasz vetülete a π 1 síkra.

1.3. Ortogonális vetület. Monge módszer

Ha a vetítési irány R merőleges a p 1 vetületek síkjára, akkor a vetületet ún négyszögletes (1.4. ábra), ill ortogonális (Görög. ortos- egyenes, gonia- szög), ha R nem merőleges π 1-re, akkor a vetületet ún ferde .

Négyszög AA 1 V 1 V meghatározza a γ síkot, amit vetítésnek nevezünk, mivel merőleges a π 1 (γ⊥π 1) síkra. A következőkben csak téglalap vetítést használunk.

1.4. ábra – Ortogonális vetület 1.5. ábra – Monge, Gaspard (1746-1818)

Gaspard Monge francia tudóst tartják az ortogonális vetítés megalapítójának (1.5. ábra).

Monge előtt az építők, művészek és tudósok jelentős információval rendelkeztek a vetítési módszerekről, ennek ellenére egyedül Gaspard Monge a leíró geometria, mint tudomány megalkotója.

Gaspard Monge 1746. május 9-én született a kelet-franciaországi Beaune (Burgundia) kisvárosban egy helyi kereskedő családjában. Öt gyermek közül ő volt a legidősebb, akinek édesapja alacsony származása és a család viszonylagos szegénysége ellenére igyekezett az akkoriban elérhető legjobb oktatást biztosítani az alsóbb rétegek számára. Második fia, Louis a matematika és a csillagászat professzora lett, a legfiatalabb, Jean, szintén matematika, vízrajz és hajózás professzora. Gaspard Monge az Oratóriumi Rend városi iskolájában tanult. 1762-ben, mint a legjobb diák, bekerült a szintén az oratóriumok tulajdonában lévő lyoni kollégiumba. Hamarosan Gáspárt bízták meg a fizika tanításával. 1764 nyarán Monge figyelemre méltó tervet készített Beaune szülővárosáról. A szögméréshez, vonalvezetéshez szükséges módszereket és eszközöket maga a fordító találta ki.

Lyoni tanulmányai során ajánlatot kapott, hogy csatlakozzon a rendhez és maradjon főiskolai tanár, azonban ehelyett a matematikához, rajzhoz és rajzhoz nagy rátermettséget mutatva sikerült bekerülnie a Mezieres hadmérnöki iskolába, de (esedékes) származásához) csak segédőrmester tiszti osztály és fizetés nélkül. Ennek ellenére az egzakt tudományokban elért sikerek és az erődítés egyik fontos feladatának eredeti megoldása (az erődítmények elhelyezése az ellenséges tüzérség elhelyezkedésétől függően) lehetővé tette számára, hogy 1769-ben matematika segéd (segédtanár) legyen, ill. aztán fizika, és már tisztességes fizetés mellett évi 1800 livre.

1770-ben, 24 évesen Monge egyidejűleg két tanszéken - matematika és fizika - professzori posztot tölt be, és emellett kővágási órákat is tanít. Az építészettel és erődítéssel kapcsolatos adott vázlatok szerinti kövek precíz kivágásának feladatától kezdve Monge eljutott olyan módszerek megalkotásáig, amelyeket később egy új tudományban – a leíró geometriában – általánosított, amelynek alkotójának joggal tekinthető. Tekintettel a leíró geometria módszereinek katonai célú alkalmazásának lehetőségére az erődítmények építésénél, a Mezieres iskola vezetése 1799-ig nem tette lehetővé a nyílt megjelenést, a könyv címmel jelent meg. ábrázoló geometria (Géométrie leíró) (az előadások gyorsírása 1795-ben készült). A tudomány előadásának és a benne felvázolt gyakorlatok végrehajtásának szemlélete a mai napig fennmaradt. Monge másik jelentős munkája - Elemzés alkalmazása a geometriára (L'application de l'analyse à la géometrie, 1795) - az analitikus geometria tankönyve, amelyben különös hangsúlyt fektetnek a differenciális kapcsolatokra.

1780-ban a Párizsi Tudományos Akadémia tagjává választották, 1794-ben az Ecole Polytechnique igazgatója lett. Nyolc hónapig haditengerészeti miniszterként szolgált Napóleon kormányában, irányította a köztársaság puskapor- és ágyúgyárait, kísérte Napóleont egyiptomi expedícióján (1798-1801). Napóleon grófi címet adományozott neki, és számos egyéb kitüntetésben részesítette.

Monge tárgyak ábrázolási módszere két fő pontból áll:

1. Egy geometriai objektum helyzete a térben, ebben a példában egy pont A, két egymásra merőleges π 1 és π 2 síkra vonatkoztatva tekintjük(1.6. ábra).

Feltételesen osztják a teret négy kvadránsra. Pont A az első kvadránsban található. A derékszögű koordinátarendszer szolgált a Monge-vetületek alapjául. Monge a vetületi tengelyek fogalmát a vetítési síkok (koordinátatengelyek) metszésvonalára cserélte, és javasolta a koordinátasíkok egyesítését a koordinátatengelyek körüli elforgatásával.

1.6 ábra - Modell egy pont vetületeinek megalkotásához

π 1 - vízszintes (első) vetítési sík

π 2 - frontális (második) vetítési sík

π 1 ∩π 2 – vetítési tengely (jelölje π 2 / π 1)

Vegyünk egy példát a pontvetítésre A két egymásra merőleges π 1 és π 2 vetületi síkra.

Hagyjuk a lényeget A merőlegeseket (kivetítő sugarakat) a π 1 és π 2 síkon, és jelölje meg azok alapjait, vagyis ezeknek a merőlegeseknek (kivetítő sugarak) metszéspontjait a vetítési síkokkal. A 1 - a pont vízszintes (első) vetülete A;A 2 - a pont frontális (második) vetülete A;AA 1 és AA 2 - kiálló vonalak. A nyilak mutatják a vetítés irányát a π 1 és π 2 vetületek síkjára. Egy ilyen rendszer lehetővé teszi egy pont helyzetének egyértelmű meghatározását a π 1 és π 2 vetítési síkokhoz képest:

AA 1 ⊥π 1

A 2 A 0 ⊥π 2 / π 1 AA 1 = A 2 A 0 - távolság az A ponttól a π 1 síkhoz

AA 2 ⊥π 2

A 1 A 0 ⊥π 2 / π 1 AA 2 = А 1 А 0 - távolság az А ponttól a π 2 síkhoz

2. Kompatibilis a vetítési sík π 2 / π 1 vetítési tengelye körüli elforgatással egy síkban(π 1 π 2-vel), de hogy a képek ne fedjék egymást, (α irányban, 1.6. ábra), egy négyszögletes rajznak nevezett képet kapunk (1.7. ábra):

1.7 ábra - Ortogonális rajz

Téglalapnak vagy merőlegesnek nevezzük Monge telkek .

Egyenes A 2 A 1 hívják vetítési csatlakozás vonala , amely a pont ellentétes vetületeit köti össze ( A 2 - frontális és A 1 - vízszintes) mindig merőleges a vetítési tengelyre (koordináta tengelyre) A 2 A 1 ⊥π 2 / π 1. A diagramon a kapcsos zárójelekkel jelölt szegmensek a következőket jelentik:

• A 0 A 1 - távolság a ponttól A az y A koordinátának megfelelő π 2 síkra;
• A 0 A 2 - távolság a ponttól A a z A koordinátának megfelelő π 1 síkra.

1.4. Egy pont téglalap vetületei. Az ortogonális rajz tulajdonságai

1. Egy pont két négyszögletes vetülete a vetítési kapcsolat egyik egyenesén fekszik, merőleges a vetítési tengelyre.

2. Egy pont két téglalap alakú vetülete egyértelműen meghatározza a térbeli helyzetét a vetítési síkokhoz képest.

Ellenőrizzük az utolsó állítás érvényességét, amelyhez a π 1 síkot eredeti helyzetébe forgatjuk (amikor π 1 ⊥ π 2). Egy pontot ábrázolni A pontokból szükséges A 1 és A 2, hogy visszaállítsa a kiálló sugarakat, és valójában - a merőlegeseket a π 1 és π 2 síkra. Ezeknek a merőlegeseknek a metszéspontja rögzíti a kívánt térbeli pontot A... Tekintsünk egy pont ortogonális rajzát A(1.8. ábra).

1.8. ábra - Egy pont diagramjának felépítése

Vezessük be a π 3 vetületek harmadik (profil) síkját, amely merőleges a π 1-re és π 2-re (a π 2 / π 3 vetítési tengely adja meg).

Egy pont profilvetületének távolsága a függőleges vetítési tengelytől A‘ 0 A 3 lehetővé teszi a ponttól való távolság meghatározását A a π 2 vetületek frontális síkjára. Ismeretes, hogy egy pont helyzete a térben három szám (koordináta) segítségével rögzíthető a derékszögű koordinátarendszerhez képest. A(x A; Y A; Z A) vagy a vetítési síkokhoz viszonyítva annak két merőleges vetületével ( A 1 =(x A; Y A); A 2 =(x A; Z A)). Egy merőleges rajzon egy pont két vetületével meghatározhatja annak három koordinátáját, és fordítva, egy pont három koordinátájával megszerkesztheti a vetületeit (1.9. ábra, a és b).

1.9. ábra - Egy pont diagramjának elkészítése a koordinátái alapján

A pont elhelyezkedése alapján a vetületi diagramon meg lehet ítélni annak helyét a térben:

• A — A 1 a koordinátatengely alatt található x, és elülső - A 2 - a tengely felett x, akkor azt mondhatjuk, hogy a lényeg A az 1. kvadránsba tartozik;
• ha a telken a pont vízszintes vetülete A — A 1 a koordinátatengely felett helyezkedik el x, és elülső - A 2 - a tengely alatt x majd pont A a 3. kvadránshoz tartozik;
• A — A 1 és A 2 feküdjön a tengely felett x majd pont A a 2. kvadránshoz tartozik;
• ha a telken a pont vízszintes és frontális vetülete A — A 1 és A 2 a tengely alatt fekszik x majd pont A a 4. kvadránshoz tartozik;
• ha a diagramon egy pont vetülete magával a ponttal esik egybe, akkor a pont a vetületek síkjába tartozik;
• a vetítési síkhoz vagy vetítési tengelyhez (koordinátatengelyhez) tartozó pontot nevezzük adott pozíció pontja.

Annak meghatározásához, hogy egy pont melyik térnegyedben található, elegendő meghatározni a pont koordinátáinak előjelét.

A pont helyzete kvadránsának és a koordináták előjeleinek függőségei

	x	Y	Z
én	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

A feladat

Készítsen egy pont ortográfiai vetületeit koordinátákkal A(60, 20, 40), és határozzuk meg, hogy a pont melyik kvadránsban található.

Problémamegoldás: a tengely mentén ÖKÖR elhalasztja a koordináta értékét X A = 60, majd a tengely ezen pontján keresztül ÖKÖRállítsa vissza a vetületi kapcsolat vonalát merőlegesen ÖKÖR, amely mentén a koordináta értékét felfelé toljuk Z A = 40, és le - a koordináta értéke Y A = 20(1.10. ábra). Minden koordináta pozitív, így a pont az I kvadránsban található.

1.10. ábra - A probléma megoldása

1.5. Önálló megoldási feladatok

1. A diagram segítségével határozza meg a pont helyzetét a vetítési síkokhoz képest (1.11. ábra).

1.11. ábra

2. Egészítse ki a pontok hiányzó ortogonális vetületeit! A, V, VAL VEL a π 1, π 2, π 3 vetületek síkján (1.12. ábra).

1.12. ábra

3. Építsd ki a pont vetületeit:

• E, szimmetrikus pont A a vetületek síkjához képest π 1;
• F, szimmetrikus pont V a π 2 vetületek síkjához viszonyítva;
• G, szimmetrikus pont VAL VEL a vetítési tengelyhez képest π 2 / π 1;
• H, szimmetrikus pont D a második és negyedik kvadráns felező síkjához képest.

4. Szerkessze meg a pont ortográfiai vetületeit! NAK NEK a második kvadránsban található, és eltávolítjuk a π 1 vetületi síkokból 40 mm-rel, a π 2 -től 15 mm-rel.

Facebook

Twitter

Kapcsolatban áll

osztálytársak

Google+