Снежинка коха построение. Программы на Pascal (Паскаль): снежинка и кривая Коха, фракталы. Определение терминологии «фракталы»

Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Написание функции, которая рекурсивно вызывает себя, является одним из способов генерации фрактальной диаграммы на экране. Однако, что, если вы хотите, чтобы строки в вышеуказанном Канторе устанавливались как отдельные объекты, которые можно было перемещать независимо? Рекурсивная функция проста и изящна, но это не позволяет вам многое сделать, кроме простого создания самого шаблона.

Вот правила. Кривую Коха и другие фрактальные узоры часто называют «математическими монстрами». Это связано с нечетным парадоксом, который возникает, когда вы применяете рекурсивное определение бесконечно много раз. Если длина исходной стартовой линии равна единице, первая итерация кривой Коха даст длину линии четыре трети. Сделайте это снова, и вы получите шестнадцать-девятый. По мере того как вы итерируете в бесконечность, длина кривой Коха приближается к бесконечности. Тем не менее, он вписывается в крошечное конечное пространство, предоставленное прямо здесь, на этой бумаге!

Первые этапы построения кривой Коха

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Поскольку мы работаем на Земле обработки конечных пикселей, этот теоретический парадокс не будет для нас фактором. Мы могли бы действовать так же, как и с канторским множеством, и писать рекурсивную функцию, которая итеративно применяет правила Коха снова и снова. Тем не менее, мы будем решать эту проблему по-другому, рассматривая каждый отрезок кривой Коха как отдельный объект. Это откроет некоторые возможности дизайна. Например, если каждый сегмент является объектом, мы можем позволить каждому сегменту двигаться независимо от его исходного местоположения и участвовать в физическом моделировании.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

Кроме того, мы могли бы использовать случайный цвет, толщину линии и т.д. Чтобы отображать каждый сегмент по-разному. Чтобы выполнить нашу задачу обработки каждого сегмента как отдельного объекта, мы должны сначала решить, что должен делать этот объект. Какие функции он должен иметь?

Давайте рассмотрим, что у нас есть. С приведенными выше элементами, как и где мы применяем правила Коха и принципы рекурсии? В этом симуляции мы всегда следили за двумя поколениями: текущими и последующими. Когда мы закончили вычислять следующее поколение, теперь стало актуальным, и мы перешли к вычислению нового следующего поколения.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Мы будем применять подобную технику здесь. Вот как выглядит код. Разумеется, вышеприведенное исключает настоящую «работу» здесь, которая определяет эти правила. Как мы разбиваем один сегмент линии на четыре, как описано правилами? Построение фрактала основано на концепции бесконечности. Шаг 2: Мы разделим этот сегмент на три равные части, а на центральной части поднят равносторонний треугольник. Шаг 3: На четырех новых сегментах мы выполним шаг.

Пересеките инструмент между двумя объектами, щелкните по окружности. Снежинка Коха - это особая фрактальная кривая, построенная математиком Коха, начиная с кружева Коха. Это кривая, построенная по сторонам равностороннего треугольника. Кружева Коха построены на каждой из сторон треугольника.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь. Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равенT n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна.

В следующей таблице приведены первые шаги построения кривой. Чтобы получить фрактал, вам просто нужно вставить три копии кривой вдоль сторон треугольника. Обратите внимание, что вторая фигура - звезда Давида. Конечным результатом является замкнутая кривая, построенная на равностороннем треугольнике. Можно отметить, что фритта содержит шестиконечную звезду. Конструкция очень похожа на фрактальную пятиугольную.

Существует еще один способ построить снежинки. Конструкцию, описанную выше, можно определить как конструкцию путем добавления, поскольку стартовая фигура, треугольник, добавляет другие элементы. Существует подструктура, которая вместо исходной фигуры удаляет элементы.

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ)D, где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, D - размерность, получаем, что D = log 1/δ N. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на левом рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Справа квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро . Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант . Тут достраиваются квадраты.

Трехмерные аналоги . Пространство Коха.

Кривая Коха

Снежинки Коха

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции. Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний треугольник.

Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Она была так названа в честь шведского математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее, нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом.

Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в качестве длины стороны исходного треугольника l = 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждой длины 1/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или и т. д. От сюда следует, что фрактальная размерность равна

Эта величина больше единицы (топологической размерности линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2, на которой расположена кривая. Обратим внимание на то, что кривая, получаемая в результате n-й итерации при любом конечном n, называется предфракталом, и лишь при n, стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фракталом. Таким образом, снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

В Бостоне была необыкновенно теплая зима, но мы все-таки дождались первого снегопада. Наблюдая за снегопадом в окно, я задумался о снежинках и о том, что их структуру совсем непросто описать математически. Существует однако одна, особого рода снежинка, известная как снежинка Коха, которая может быть описана сравнительно просто. Сегодня мы рассмотрим, как её форма может быть построена с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics.

Создание снежинки Коха

Как мы уже упоминали в нашем блоге, фракталы могут быть использованы в . Снежинка Коха является фракталом, который примечателен тем, что для его построения существует очень простой итерационный процесс:

1. Начнем с равностороннего треугольника, который фактически является нулевой итерации снежинки Коха.
2. Найдем центральную точку на каждом ребре текущей снежинки.
3. В центре каждого ребра, добавим выступающий наружу равносторонний треугольник со стороной равной 1/3 длины текущего ребра.
4. Определим следующую итерацию снежинки Коха, чтобы оказаться снаружи с внешней стороны предыдущей снежинки и всех добавленных треугольников.
5. Повторим шаги 2-4 столько раз, сколько потребуется.

Данная процедура иллюстрируется на рисунке ниже для первых четырех итераций отрисовки снежинки.

Первые четыре итерации снежинки Коха. Изображение от Wxs — собственная работа. Лицензия CC BY-SA 3.0 , в Wikimedia Commons .

Построение геометрии снежинки Коха

Поскольку теперь мы знаем, какой алгоритм использовать, то давайте посмотрим, как создать такую структуру с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics. Мы откроем новый файл и создадим двумерный объект геометрическая часть (geometry part) в узле Глобальные определения . Для этого объекта зададим пять входных параметров: длина стороны равностороннего треугольника; х – и y – координаты средней точки основания; и компоненты вектора нормали, направленной от середины основания к противолежащей вершине, как показано на рисунках ниже.

Пять параметров, используемых для задания размера, положения и ориентации равностороннего треугольника.

Задание входных параметров геометрической части.
Полигональный примитив используется для построения равностороннего треугольника.

Объект может поворачиваться вокруг центра нижнего ребра.

Объект можно переместить относительно начала отсчета.

Теперь, когда мы определили геометрическую часть, используем его один раз в разделе Геометрия . Этот одиночный треугольник эквивалентен нулевой итерации снежинки Коха, и теперь давайте используем Среду разработки приложений для создания снежинок более сложной формы.

Разметка пользовательского интерфейса приложения в Среде разработки приложений

Приложение имеет очень простой пользовательский интерфейс. Оно содержит только два компонента, с которыми пользователь может взаимодействовать: Ползунок (Слайдер) (отмеченный как 1 на рисунке ниже), с помощью которого можно задавать число итераций нужных для создания снежинки, и Кнопка (метка 2), по нажатию которой создается и отображается получившаяся геометрия. Имеются также Текстовая надпись (метка 3) и Отображение (Показ) данных (метка 4), которые показывают число заданных итераций, а также окно Графики (метка 5), в котором выводится итоговая геометрия.

Приложение имеет одну единственную форму с пятью компонентами.

В приложении есть два Определения (Declarations) , одно из которых определяет целое значение, называемое Iterations , и, по умолчанию, равное нулю, но которое может быть изменено пользователем. Определяется также 1D-массив чисел двойной точности с именем Center . Единственный элемент в массиве имеет значение 0.5, которое используется для нахождения центральной точки каждого ребра. Это значение никогда не изменяется.

Настройки для двух Определений.

Компонент "Слайдер" в пользовательском интерфейсе контролирует значение целого числа, параметра Iterations . Скриншот ниже показывает настройки "Слайдера" и значений, которые задаются как целые числа в диапазоне между 0 и 5. Тот же источник (как и для слайдера) также выбран для компонента Отображение данных (Data Display) для отображения на экране приложения числа заданных итераций. Мы ограничиваем потенциального пользователя пятью итерациями, поскольку используемый алгоритм неоптимальный и является не очень эффективным, но достаточно простым для реализации и демонстрации.

Настройки для компонента "Слайдер".

Далее, посмотрим на настройки для нашей кнопки, показанные на скриншоте ниже. При нажатии кнопки запускаются на исполнение две команды. Сначала вызывается метод CreateSnowFlake . Затем в графическом окне выводится получившаяся геометрия.

Настройки кнопки.

Мы сейчас посмотрели на пользовательский интерфейс нашего приложения и могли заметить, что создание любой геометрии снежинки должно произойти посредством вызываемого метода. Давайте посмотрим на программный код этого метода, с добавленной слева нумерацией строк и строковыми константами, выделенными красным цветом:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 for (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 for (int edge = 1; edge "geom1" ).getNEdges(); edge++) { 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" ); 10 with(model.geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 14 setEntry("inputexpr" , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(edge, Center)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(edge, Center)); 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 } 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22 }

Давайте пройдемся по коду "построчно", чтобы понять, какую функцию выполняет каждая строка:

1. Очищаем все существующие геометрические последовательности, так чтобы мы смогли начать с нуля.
2. Создаем один экземпляр объекта — нашего "треугольника", используя размер, ориентацию и расположение по умолчанию. Это наша снежинка нулевого порядка с меткой-идентификатором pi1 .
3. Финализируем геометрию. Данная операция требуется для обновления всех индексов геометрии.
4. Начнем процесс перебора всех заданных итераций снежинки, используя определение Iterations , как условие для остановки.
5. Определяем пустой массив строк, UnionList . Каждый элемент массива содержит метку-идентификатор различных геометрических объектов. Длина этого массива равна числу ребер в последней итерации плюс один.
6. Определяем первый элемент в массиве UnionList . Он является меткой-идентификатором результата предыдущей итерации. Имейте в виду, что нулевая итерация уже создана в строках 1-3. Целочисленное значение iter автоматически преобразуется в строку и добавится в конец строки "pi" .
7. Перебираем число ребер в ранее сгененрированной снежинке.
8. Задаем метку идентификатора для нового экземпляра объекта, обращающегося с геометрической части (part instance) "треугольник", который создается на этом ребре. Заметьте, что целочисленные значения iter и edge последовательно добавляются в конец строки pi , метки-идентификатора экземпляра объекта.
9. Создаем экземпляр объекта "треугольник" и присваиваем ему метку-идентификатор, которая только что была задана.
10. Указываем, что строки 11-15 относятся к текущему экземпляру объекта (part instance), используя оператор with()/endwith() .
11. Определяем длину стороны треугольника. Нулевой порядок имеет длину стороны равную единице, так что n- я итерация имеет длину стороны (1/3) n . Функция toString() требуется для приведения (преобразования) типов данных — числа с плавающей точкой в строку.
12. Задаем x -координату нового треугольника, как центральную точку стороны последней итерации. Метод edgeX задокументирован в . Напомним, что Center устанавливается равным 0.5.
13. Задаем y -координату.
14. Задаем x -компоненту вектора нормали треугольника. Метод edgeNormal также задокументирован в Справочном руководстве по программированию в среде COMSOL (COMSOL Programming Reference Manual) .
15. Задаем y -компоненту вектора нормали.
16. Закрываем оператор with()/endwith() .
17. Добавляем метку-идентификатор текущего треугольника к списку всех объектов.
18. Закрываем перебор всех ребер.
19. Создаем Boolean Union (логическое объединение) всех объектов в геометрическую последовательность. Присваиваем метке новое значение piN , где N есть номер следующей итерации. Вокруг (iter+1) требуются круглые скобки, так чтобы увеличенное значение iter преобразовалось в строку.
20. Указываем, что внутренние границы конечного объекта не сохраняются.
21. Финализируем геометрию. Последняя операция обновляет все индексы геометрии для следующей итерации снежинки.
22. Закрываем цикл итераций создания снежинки.

Таким образом, мы охватили все аспекты и элементы нашего приложения. Давайте посмотрим на результаты!

Наше простое приложение для построения снежинки Коха.

Мы могли бы расширить наше приложение для записи геометрии в файл, или даже для выполнения дополнительных анализов напрямую. Например, мы могли бы спроектировать фрактальную антенну . Если вас заинтересовала конструкция антенны, познакомьтесь с нашим примером , или даже сделайте ее макет с нуля .

Попробуйте Самостоятельно

Если вы хотите построить это приложение самостоятельно, но еще не до конца Среды разработки приложений, то следующие ресурсы могут оказаться вам полезными:

• Скачайте руководство Введение в Среду разработки приложений на английском языке
• Просмотрите эти видеоролики и узнайте, как использовать
• Прочитайте эти топики, чтобы познакомиться с тем, как приложения моделирования используются в

После того как вы преодолели этот материал, вы увидите, как функционал приложения может быть расширен для изменения размера снежинки, экспорта созданной геометрии, оценки площади и периметра и многого другого.

Какое приложение вы бы хотели создать в среде COMSOL Multiphysics? за помощью.

Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n –1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n –1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N (δ ) ~ (1/δ ) D , где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, а D - размерность, получаем, что D = log 1/ δ N . Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности . Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть - начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 2.3. Назовем полученное множество . Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через фигуру, получившуюся после n-го шага.

Рис. 2.2. Снежинка Коха

Интуитивно ясно, что последовательность кривых сходится к некоторой предельной кривой К. Мы проведем строгое математическое исследование сходимости таких последовательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.3. Пока что предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства.

Рис. 2.3. а) , б) , в) , г)

Если взять копию К, уменьшенную в три раза то все множество К можно составить из таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных N и , а размерность фрактала будет:

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха - ее бесконечная длина (см. теорему 2.1.1). Это может показаться удивительным читателю, привыкшему иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие, они всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерения длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.