समान घातांक वाले लघुगणक की तुलना कैसे करें। लघुगणक: उदाहरण और समाधान। लघुगणक से घातांक निकालना

प्रश्न के अनुभाग में लघुगणक की तुलना कैसे करें जब....(+)? लेखक द्वारा दिया गया छान-बीन करनासबसे अच्छा उत्तर है या आप इसे एक आधार तक कम नहीं कर सकते, बल्कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
यदि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का आधार 1 से अधिक है, तो फ़ंक्शन बढ़ता है, और x > 1 के लिए, आधार जितना छोटा होगा, ग्राफ़ उतना ही ऊंचा स्थित होगा,
0 के लिए< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
यदि लघुगणक का आधार शून्य से अधिक और 1 से कम है, तो फलन घट रहा है,
इसके अलावा, x > 1 के लिए, आधार जितना छोटा होगा, ग्राफ़ उतना ही ऊँचा होगा,
0 के लिए< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
यह इस प्रकार निकलेगा:

उत्तर से पतला-दुबला[गुरु]
लघुगणक को समान आधार पर कम करें (उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या तक), और फिर तुलना करें।
1. ए=एलएन(16)/एलएन(7); बी=एलएन(16)/एलएन(3); बी>ए;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); ए>बी;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); ए>बी;
4. ए=एलएन(16)/एलएन(7); बी=एलएन(16)/एलएन(3); बी>ए.

उत्तर से न्यूरोपैथोलॉजिस्ट[गुरु]
नए आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करें: log(a)b=1/log(b)a.
फिर लघुगणक जैसे भिन्नों के हरों की समान आधार से तुलना करें।
समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।
उदाहरण के लिए, लॉग(7)16 और लॉग(3)16
1/लॉग(16)7 और 1/लॉग(16)3
चूंकि लॉग(16)7>लॉग(16)3, तो 1/लॉग(16)7< 1/log(16)3.

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉग ए एक्सऔर लॉग करें ए य. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स+ लॉग ए य= लॉग ए (एक्स · य);
2. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स− लॉग ए य= लॉग ए (एक्स : य).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी≠ 1, समानता सत्य है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

दरअसल, नंबर से क्या होगा बीइतनी घात तक बढ़ाएँ कि संख्या बीइस शक्ति को संख्या देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलेगा ए. इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा ए ए= 1 एक लघुगणकीय इकाई है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणक एइसी से आधार एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

समीकरणों और असमानताओं, साथ ही मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करते समय, आपको पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, पाई जाने वाली जड़ें भिन्न हो सकती हैं। वे इस प्रकार हो सकते हैं: , या वे इस प्रकार हो सकते हैं: , .

तदनुसार, यदि संख्याएँ तर्कसंगत नहीं बल्कि अपरिमेय हैं (यदि आप भूल गए हैं कि वे क्या हैं, तो विषय में देखें), या जटिल गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं, तो उन्हें संख्या रेखा पर रखना बहुत समस्याग्रस्त है। इसके अलावा, आप परीक्षा के दौरान कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, और अनुमानित गणना 100% गारंटी नहीं देती है कि एक संख्या दूसरे से कम है (यदि तुलना की जा रही संख्याओं के बीच कोई अंतर है तो क्या होगा?)।

बेशक, आप जानते हैं कि सकारात्मक संख्याएँ हमेशा नकारात्मक से बड़ी होती हैं, और यदि हम एक संख्या अक्ष की कल्पना करते हैं, तो तुलना करते समय, सबसे बड़ी संख्या सबसे छोटी की तुलना में दाईं ओर होगी: ; ; वगैरह।

लेकिन क्या सब कुछ हमेशा इतना आसान होता है? जहां संख्या रेखा पर हम अंकित करते हैं, .

उदाहरण के लिए, उनकी तुलना किसी संख्या से कैसे की जा सकती है? यह रगड़ है...)

सबसे पहले, आइए सामान्य शब्दों में बात करें कि कैसे और किसकी तुलना की जाए।

महत्वपूर्ण: ऐसे परिवर्तन करने की सलाह दी जाती है ताकि असमानता का चिह्न न बदले!अर्थात्, परिवर्तनों के दौरान ऋणात्मक संख्या से गुणा करना अवांछनीय है, और यह वर्जित हैयदि एक भाग ऋणात्मक है तो वर्गाकार।

भिन्नों की तुलना

इसलिए, हमें दो भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है: और।

इसे कैसे करें इस पर कई विकल्प हैं।

विकल्प 1. भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ।

आइए इसे साधारण भिन्न के रूप में लिखें:

- (जैसा कि आप देख सकते हैं, मैंने अंश और हर को भी कम कर दिया है)।

अब हमें भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है:

अब हम दो तरह से तुलना करना जारी रख सकते हैं. हम कर सकते हैं:

1. बस सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ, दोनों भिन्नों को अनुचित के रूप में प्रस्तुत करें (अंश हर से बड़ा है):

   कौन सी संख्या बड़ी है? यह सही है, बड़े अंश वाला, यानी पहला वाला।

2. "आइए त्यागें" (मान लें कि हमने प्रत्येक भिन्न में से एक घटा दिया है, और तदनुसार, भिन्नों का एक-दूसरे से अनुपात नहीं बदला है) और भिन्नों की तुलना करें:

   हम उन्हें एक सामान्य विभाजक में भी लाते हैं:

   हमें पिछले मामले जैसा ही परिणाम मिला - पहली संख्या दूसरी से बड़ी है:

   आइए यह भी देखें कि क्या हमने एक सही घटाया है? आइए पहली गणना और दूसरी गणना में अंश के अंतर की गणना करें:
   1)
   2)

इसलिए, हमने देखा कि भिन्नों की तुलना कैसे की जाए, उन्हें एक सामान्य हर में लाया जाए। आइए दूसरी विधि पर चलते हैं - भिन्नों की तुलना करना, उन्हें एक सामान्य... अंश में लाना।

विकल्प 2. भिन्नों को एक सामान्य अंश में घटाकर उनकी तुलना करना।

हां हां। यह कोई टाइपो नहीं है. यह विधि स्कूल में शायद ही किसी को सिखाई जाती है, लेकिन अक्सर यह बहुत सुविधाजनक होती है। ताकि आप इसका सार जल्दी से समझ सकें, मैं आपसे केवल एक प्रश्न पूछूंगा - "किन मामलों में भिन्न का मान सबसे बड़ा होता है?" निःसंदेह, आप कहेंगे "जब अंश यथासंभव बड़ा हो और हर यथासंभव छोटा हो।"

उदाहरण के लिए, आप निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह सच है? यदि हमें निम्नलिखित भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा: ? मुझे लगता है कि आप भी तुरंत संकेत सही ढंग से डाल देंगे, क्योंकि पहले मामले में वे भागों में विभाजित होते हैं, और दूसरे में पूरे में, जिसका अर्थ है कि दूसरे मामले में टुकड़े बहुत छोटे हो जाते हैं, और तदनुसार:। जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां हर अलग-अलग हैं, लेकिन अंश समान हैं। हालाँकि, इन दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको एक सामान्य हर की तलाश करने की ज़रूरत नहीं है। हालाँकि... इसे ढूंढें और देखें कि क्या तुलना चिह्न अभी भी ग़लत है?

लेकिन संकेत वही है.

आइए अपने मूल कार्य पर वापस जाएँ - तुलना करें और... हम तुलना करेंगे और... आइए हम इन भिन्नों को एक सामान्य हर में नहीं, बल्कि एक सामान्य अंश में घटाएँ। ऐसा करना सरल है मीटर और विभाजकपहले भिन्न को इससे गुणा करें. हम पाते हैं:

और। कौन सा अंश बड़ा है? यह सही है, पहला वाला।

विकल्प 3: घटाव का उपयोग करके भिन्नों की तुलना करना।

घटाव का उपयोग करके भिन्नों की तुलना कैसे करें? हाँ, बहुत सरल. हम एक भिन्न से दूसरा घटा देते हैं। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो पहला अंश (न्यूएंड) दूसरे (सबट्रेंड) से बड़ा है, और यदि नकारात्मक है, तो इसके विपरीत।

हमारे मामले में, आइए पहले भिन्न को दूसरे से घटाने का प्रयास करें:।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम भी एक साधारण भिन्न में परिवर्तित होते हैं और वही परिणाम प्राप्त करते हैं -। हमारी अभिव्यक्ति इस प्रकार होती है:

इसके बाद, हमें अभी भी एक सामान्य भाजक में कमी का सहारा लेना होगा। सवाल यह है: पहले तरीके से, भिन्नों को अनुचित में परिवर्तित करना, या दूसरे तरीके से, जैसे कि इकाई को "हटाना"? वैसे, इस कार्रवाई का पूरी तरह से गणितीय औचित्य है। देखना:

मुझे दूसरा विकल्प बेहतर लगता है, क्योंकि जब अंश को सामान्य हर में घटा दिया जाता है तो अंश में गुणा करना बहुत आसान हो जाता है।

आइए इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

यहां मुख्य बात यह है कि इस भ्रम में न पड़ें कि हमने कौन सी संख्या कहां से घटाई है। समाधान की प्रगति को ध्यान से देखें और संकेतों को गलती से भ्रमित न करें। हमने पहली संख्या को दूसरी संख्या से घटा दिया और नकारात्मक उत्तर मिला, तो?.. यह सही है, पहली संख्या दूसरी से बड़ी है।

समझ गया? भिन्नों की तुलना करने का प्रयास करें:

बंद करो बंद करो। एक सामान्य हर लाने या घटाने में जल्दबाजी न करें। देखिए: आप इसे आसानी से दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं। कितनी देर हो जाएगी? सही। आखिर में और क्या है?

यह एक अन्य विकल्प है - भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करके तुलना करना।

विकल्प 4: भाग का उपयोग करके भिन्नों की तुलना करना।

हां हां। और ये संभव भी है. तर्क सरल है: जब हम किसी बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें जो उत्तर मिलता है वह एक से बड़ी संख्या होती है, और यदि हम छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, तो उत्तर से के अंतराल पर आता है।

इस नियम को याद रखने के लिए, तुलना के लिए कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, और। तुम्हें पता है और क्या है? अब विभाजित करते हैं. हमारा उत्तर है. तदनुसार, सिद्धांत सही है. यदि हम विभाजित करते हैं, तो हमें जो मिलता है वह एक से कम होता है, जो बदले में पुष्टि करता है कि यह वास्तव में कम है।

आइए इस नियम को साधारण भिन्नों पर लागू करने का प्रयास करें। आइए तुलना करें:

पहले भिन्न को दूसरे से विभाजित करें:

आइए धीरे-धीरे छोटा करें।

प्राप्त परिणाम कम है, जिसका अर्थ है कि लाभांश भाजक से कम है, अर्थात:

हमने भिन्नों की तुलना के लिए सभी संभावित विकल्पों पर गौर किया है। आप उन्हें कैसे देखते हैं 5:

• एक सामान्य भाजक में कमी;
• एक सामान्य अंश में कमी;
• दशमलव अंश के रूप में कमी;
• घटाव;
• विभाजन।

प्रशिक्षण के लिए तैयार हैं? भिन्नों की तुलना सर्वोत्तम तरीके से करें:

आइए उत्तरों की तुलना करें:

1. (- दशमलव में बदलें)
2. (एक भिन्न को दूसरे से भाग दें और अंश तथा हर से घटाएँ)
3. (संपूर्ण भाग का चयन करें और समान अंश के सिद्धांत के आधार पर भिन्नों की तुलना करें)
4. (एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करें और अंश तथा हर से घटाएं)।

2. डिग्रियों की तुलना

अब कल्पना करें कि हमें न केवल संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है, बल्कि उन अभिव्यक्तियों की भी तुलना करनी है जहां डिग्री () है।

बेशक, आप आसानी से एक संकेत लगा सकते हैं:

आख़िरकार, यदि हम घात को गुणन से प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता है:

इस छोटे और आदिम उदाहरण से नियम इस प्रकार है:

अब निम्नलिखित की तुलना करने का प्रयास करें: . आप आसानी से एक चिन्ह भी लगा सकते हैं:

क्योंकि यदि हम घातांक को गुणन से बदल दें...

सामान्य तौर पर, आप सब कुछ समझते हैं, और यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

कठिनाइयाँ तभी उत्पन्न होती हैं, जब तुलना करने पर डिग्रियों के आधार और संकेतक अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, आम सहमति बनाने का प्रयास करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:

बेशक, आप जानते हैं कि यह, तदनुसार, अभिव्यक्ति का रूप लेता है:

आइए कोष्ठक खोलें और तुलना करें कि हमें क्या मिलता है:

कुछ हद तक विशेष मामला तब होता है जब डिग्री का आधार () एक से कम होता है।

यदि, तो दो डिग्री का और अधिक वाला वह है जिसका सूचकांक कम है।

आइए इस नियम को सिद्ध करने का प्रयास करें। रहने दो।

आइए और के बीच अंतर के रूप में कुछ प्राकृतिक संख्या का परिचय दें।

तार्किक, है ना?

और अब आइए एक बार फिर हालत पर ध्यान दें- .

क्रमश: । इस तरह, ।

उदाहरण के लिए:

जैसा कि आप समझते हैं, हमने उस मामले पर विचार किया जब डिग्रियों के आधार बराबर होते हैं। अब देखते हैं कि आधार कब से के अंतराल में है, लेकिन घातांक बराबर हैं। यहां सब कुछ बहुत सरल है.

आइए याद रखें कि एक उदाहरण का उपयोग करके इसकी तुलना कैसे करें:

बेशक, आपने गणित जल्दी कर लिया:

इसलिए, जब आप तुलना के लिए समान समस्याओं का सामना करते हैं, तो कुछ सरल समान उदाहरणों को ध्यान में रखें, जिनकी आप तुरंत गणना कर सकते हैं, और इस उदाहरण के आधार पर, संकेतों को अधिक जटिल तरीके से लिखें।

परिवर्तन करते समय, याद रखें कि यदि आप गुणा, जोड़, घटाव या भाग करते हैं, तो सभी क्रियाएं बाएं और दाएं दोनों पक्षों से की जानी चाहिए (यदि आप गुणा करते हैं, तो आपको दोनों से गुणा करना होगा)।

इसके अलावा, ऐसे मामले भी होते हैं जब कोई भी हेरफेर करना लाभहीन होता है। उदाहरण के लिए, आपको तुलना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, किसी शक्ति को बढ़ाना और इसके आधार पर चिन्ह को व्यवस्थित करना इतना कठिन नहीं है:

का अभ्यास करते हैं। डिग्री की तुलना करें:

उत्तरों की तुलना करने के लिए तैयार हैं? यहाँ मुझे क्या मिला:

1. - बराबर
2. - बराबर
3. - बराबर
4. - बराबर

3. संख्याओं की जड़ों से तुलना करना

सबसे पहले, आइए याद करें कि जड़ें क्या हैं? क्या आपको यह रिकॉर्डिंग याद है?

किसी वास्तविक संख्या की घात का मूल वह संख्या है जिसके लिए समानता होती है।

जड़ोंऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के लिए विषम डिग्री मौजूद होती है, और यहां तक ​​कि जड़ें भी- केवल सकारात्मक लोगों के लिए.

मूल मान अक्सर अनंत दशमलव होता है, जिससे सटीक गणना करना मुश्किल हो जाता है, इसलिए मूलों की तुलना करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

अगर आप भूल गए हैं कि यह क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - . यदि आपको सब कुछ याद है, तो आइए चरण दर चरण जड़ों की तुलना करना सीखें।

मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है:

इन दोनों जड़ों की तुलना करने के लिए, आपको कोई गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बस "रूट" की अवधारणा का विश्लेषण करें। क्या आप समझ रहे हैं कि मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? हां, इसके बारे में: अन्यथा इसे मूल अभिव्यक्ति के बराबर किसी संख्या की तीसरी शक्ति के रूप में लिखा जा सकता है।

इससे ज्यादा और क्या? या? निःसंदेह, आप इसकी तुलना बिना किसी कठिनाई के कर सकते हैं। हम जितनी बड़ी संख्या को घात तक बढ़ाएंगे, मूल्य उतना ही अधिक होगा।

इसलिए। आइए एक नियम निकालें.

यदि मूलों के घातांक समान हैं (हमारे मामले में यह है), तो मूल अभिव्यक्तियों की तुलना करना आवश्यक है (और) - मूल संख्या जितनी बड़ी होगी, समान घातांक वाले मूल का मान उतना अधिक होगा।

याद रखना मुश्किल है? तो बस एक उदाहरण अपने दिमाग में रखें और... की अधिक?

मूल के घातांक समान हैं, क्योंकि मूल वर्गाकार है। एक संख्या () की मूल अभिव्यक्ति दूसरे () से बड़ी है, जिसका अर्थ है कि नियम वास्तव में सत्य है।

क्या होगा यदि मूल अभिव्यक्तियाँ समान हैं, लेकिन मूलों की डिग्री अलग-अलग हैं? उदाहरण के लिए: ।

यह भी बिल्कुल स्पष्ट है कि बड़ी डिग्री का मूल निकालने पर छोटी संख्या प्राप्त होगी। आइए उदाहरण के लिए लें:

आइए हम पहले मूल का मान इस रूप में और दूसरे का मान इस रूप में निरूपित करें, फिर:

आप आसानी से देख सकते हैं कि इन समीकरणों में और भी कुछ होना चाहिए, इसलिए:

यदि मूल भाव समान हैं(हमारे मामले में), और जड़ों के घातांक अलग-अलग हैं(हमारे मामले में यह है और), तो घातांकों की तुलना करना आवश्यक है(और) - सूचक जितना अधिक होगा, यह अभिव्यक्ति उतनी ही छोटी होगी.

निम्नलिखित जड़ों की तुलना करने का प्रयास करें:

आइए परिणामों की तुलना करें?

हमने इसे सफलतापूर्वक सुलझा लिया :)। एक और सवाल उठता है: क्या होगा अगर हम सभी अलग-अलग हों? डिग्री और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति दोनों? सब कुछ इतना जटिल नहीं है, हमें बस... जड़ से "छुटकारा पाने" की जरूरत है। हां हां। बस इससे छुटकारा पाएं)

यदि हमारे पास अलग-अलग डिग्री और कट्टरपंथी अभिव्यक्तियां हैं, तो हमें जड़ों के घातांक के लिए सबसे कम सामान्य गुणक (इसके बारे में अनुभाग पढ़ें) खोजने की जरूरत है और दोनों अभिव्यक्तियों को कम से कम सामान्य एकाधिक के बराबर घात तक बढ़ाना होगा।

कि हम सब शब्दों और शब्दों में हैं। यहाँ एक उदाहरण है:

1. हम जड़ों के संकेतकों को देखते हैं - और। उनका लघुत्तम समापवर्त्य है।
2. आइए दोनों अभिव्यक्तियों को एक घात तक बढ़ाएं:
3. आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और कोष्ठक खोलें (अध्याय में अधिक विवरण):
4. आइए गिनें कि हमने क्या किया है और एक चिन्ह लगाएं:

4. लघुगणक की तुलना

तो, धीरे-धीरे लेकिन निश्चित रूप से, हम इस सवाल पर पहुंचे कि लघुगणक की तुलना कैसे करें। यदि आपको याद नहीं है कि यह किस प्रकार का जानवर है, तो मैं आपको पहले अनुभाग से सिद्धांत पढ़ने की सलाह देता हूं। क्या आपने इसे पढ़ा है? फिर कुछ महत्वपूर्ण प्रश्नों के उत्तर दें:

1. लघुगणक का तर्क क्या है और इसका आधार क्या है?
2. यह क्या निर्धारित करता है कि कोई फ़ंक्शन बढ़ता है या घटता है?

यदि आपको सब कुछ याद है और आपने इसमें पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो चलिए शुरू करते हैं!

लघुगणक की एक दूसरे से तुलना करने के लिए, आपको केवल 3 तकनीकों को जानना होगा:

• उसी आधार पर कमी;
• उसी तर्क में कमी;
• तीसरे नंबर से तुलना.

प्रारंभ में लघुगणक के आधार पर ध्यान दें। क्या आपको याद है कि यदि यह कम हो तो कार्य कम हो जाता है और यदि अधिक हो तो कार्य बढ़ जाता है। इसी पर हमारे निर्णय आधारित होंगे।

आइए लघुगणक की तुलना पर विचार करें जिन्हें पहले ही उसी आधार या तर्क पर घटा दिया गया है।

आरंभ करने के लिए, आइए समस्या को सरल बनाएं: तुलना किए गए लघुगणक को शामिल करें समान आधार. तब:

1. फ़ंक्शन, के लिए, से अंतराल पर बढ़ता है, जिसका अर्थ है, परिभाषा के अनुसार, फिर ("प्रत्यक्ष तुलना")।
2. उदाहरण:- आधार समान हैं, हम तदनुसार तर्कों की तुलना करते हैं: इसलिए:
3. फ़ंक्शन, पर, से अंतराल पर घटता है, जिसका अर्थ है, परिभाषा के अनुसार, फिर ("रिवर्स तुलना")। - आधार समान हैं, हम तदनुसार तर्कों की तुलना करते हैं: हालाँकि, लघुगणक का चिह्न "रिवर्स" होगा, क्योंकि फ़ंक्शन घट रहा है:।

अब उन मामलों पर विचार करें जहां कारण अलग-अलग हैं, लेकिन तर्क समान हैं।

1. आधार बड़ा है.
   • . इस मामले में हम "रिवर्स तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:- तर्क समान हैं, और। आइए आधारों की तुलना करें: हालाँकि, लघुगणक का चिह्न "उलटा" होगा:
2. आधार a अंतराल में है।
   • . इस मामले में हम "प्रत्यक्ष तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:
   • . इस मामले में हम "रिवर्स तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:

आइए सब कुछ सामान्य सारणीबद्ध रूप में लिखें:

, जिसमें	, जिसमें

तदनुसार, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, लघुगणक की तुलना करते समय, हमें एक ही आधार या तर्क पर ले जाना होगा। हम एक आधार से दूसरे पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करके एक ही आधार पर पहुंचते हैं।

आप लघुगणक की तुलना तीसरी संख्या से भी कर सकते हैं और इसके आधार पर यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्या कम है और क्या अधिक है। उदाहरण के लिए, सोचें कि इन दोनों लघुगणक की तुलना कैसे करें?

एक छोटा सा संकेत - तुलना के लिए एक लघुगणक आपकी बहुत मदद करेगा, जिसका तर्क बराबर होगा।

सोचा? आइए मिलकर निर्णय लें.

हम आपके साथ इन दोनों लघुगणक की तुलना आसानी से कर सकते हैं:

पता नहीं कैसे? ऊपर देखें। हमने अभी इसे सुलझा लिया है. कौन सा चिन्ह होगा? सही:

सहमत होना?

आइए एक दूसरे से तुलना करें:

आपको निम्नलिखित मिलना चाहिए:

अब हमारे सभी निष्कर्षों को एक में मिला दें। घटित?

5. त्रिकोणमितीय व्यंजकों की तुलना।

साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट क्या है? हमें एक इकाई वृत्त की आवश्यकता क्यों है और इस पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान कैसे ज्ञात करें? यदि आप इन सवालों के जवाब नहीं जानते हैं, तो मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि आप इस विषय पर सिद्धांत पढ़ें। और यदि आप जानते हैं, तो त्रिकोणमितीय व्यंजकों की एक दूसरे से तुलना करना आपके लिए कठिन नहीं है!

आइए अपनी याददाश्त को थोड़ा ताज़ा करें। आइए एक इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त और उसमें अंकित एक त्रिभुज बनाएं। क्या आप संभाल पाओगे? अब त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग करके चिह्नित करें कि हम किस तरफ कोज्या और किस तरफ ज्या खींचते हैं। (बेशक, आपको याद है कि ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है, और कोज्या आसन्न भुजा है?)। क्या आपने इसे चित्रित किया? महान! अंतिम स्पर्श यह लिखना है कि हमारे पास यह कहां होगा, कहां इत्यादि। क्या आपने इसे नीचे रख दिया? ओफ़्फ़) आइए तुलना करें कि आपके और मेरे साथ क्या हुआ।

ओह! अब तुलना शुरू करते हैं!

मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है और। इकाई वृत्त पर बिंदु रखकर बक्सों में दिए संकेतों का उपयोग करके (जहां हमने कहां चिह्नित किया है) इन कोणों को बनाएं। क्या आप संभाल पाओगे? मुझे यही मिला।

आइए अब वृत्त पर हमारे द्वारा चिह्नित बिंदुओं से अक्ष पर एक लंब गिराएं... कौन सा? कौन सा अक्ष ज्या का मान दर्शाता है? सही, । आपको यही मिलना चाहिए:

इस चित्र को देखकर, कौन बड़ा है: या? बेशक, क्योंकि बिंदु बिंदु से ऊपर है।

इसी प्रकार, हम कोज्या के मान की तुलना करते हैं। हम केवल अक्ष पर लंब को नीचे करते हैं... यह सही है, . तदनुसार, हम देखते हैं कि कौन सा बिंदु दाईं ओर है (या उच्चतर, जैसा कि साइन के मामले में होता है), तो मान अधिक होता है।

आप शायद पहले से ही जानते हैं कि स्पर्शरेखाओं की तुलना कैसे की जाती है, है ना? आपको बस इतना जानना है कि स्पर्शरेखा क्या है। तो स्पर्श रेखा क्या है?) यह सही है, ज्या से कोज्या का अनुपात।

स्पर्शरेखाओं की तुलना करने के लिए, हम पिछले मामले की तरह ही एक कोण बनाते हैं। मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है:

क्या आपने इसे चित्रित किया? अब हम निर्देशांक अक्ष पर ज्या मान भी अंकित करते हैं। क्या तुमने ध्यान दिया? अब निर्देशांक रेखा पर कोज्या का मान अंकित करें। घटित? आइए तुलना करें:

अब आपने जो लिखा उसका विश्लेषण करें। - हम एक बड़े खंड को एक छोटे खंड में विभाजित करते हैं। उत्तर में एक मान होगा जो निश्चित रूप से एक से अधिक होगा। सही?

और जब हम छोटे को बड़े से विभाजित करते हैं। उत्तर एक ऐसी संख्या होगी जो बिल्कुल एक से कम है।

तो किस त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति का मूल्य अधिक है?

सही:

जैसा कि आप अब समझते हैं, कोटैंजेंट की तुलना करना एक ही बात है, केवल विपरीत में: हम देखते हैं कि कोसाइन और साइन को परिभाषित करने वाले खंड एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय व्यंजकों की स्वयं तुलना करने का प्रयास करें:

उदाहरण।

उत्तर.

संख्याओं की तुलना. औसत स्तर।

कौन सी संख्या बड़ी है: या? उत्तर स्पष्ट है. और अब: या? अब इतना स्पष्ट नहीं है, है ना? तो: या?

अक्सर आपको यह जानने की आवश्यकता होती है कि कौन सा संख्यात्मक अभिव्यक्ति बड़ा है। उदाहरण के लिए, किसी असमानता को हल करते समय बिंदुओं को अक्ष पर सही क्रम में रखने के लिए।

अब मैं तुम्हें ऐसी संख्याओं की तुलना करना सिखाऊंगा।

यदि आपको संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है, तो हम उनके बीच एक चिन्ह लगाते हैं (लैटिन शब्द वर्सस या संक्षिप्त बनाम - विरुद्ध से लिया गया है): . यह चिन्ह अज्ञात असमानता चिन्ह () का स्थान लेता है। इसके बाद, हम समान परिवर्तन करेंगे जब तक कि यह स्पष्ट न हो जाए कि संख्याओं के बीच कौन सा चिह्न लगाने की आवश्यकता है।

संख्याओं की तुलना करने का सार यह है: हम संकेत को ऐसे मानते हैं जैसे कि यह किसी प्रकार की असमानता का संकेत हो। और इस अभिव्यक्ति के साथ हम वह सब कुछ कर सकते हैं जो हम आमतौर पर असमानताओं के साथ करते हैं:

• दोनों पक्षों में कोई भी संख्या जोड़ें (और, निश्चित रूप से, हम घटा भी सकते हैं)
• "हर चीज़ को एक तरफ ले जाएँ", यानी, दोनों हिस्सों से तुलना किए गए भावों में से एक को घटाएँ। घटाए गए व्यंजक के स्थान पर रहेगा: .
• एक ही संख्या से गुणा या भाग करना। यदि यह संख्या ऋणात्मक है, तो असमानता चिह्न उलट दिया जाता है:।
• दोनों पक्षों को समान शक्ति तक उठाएँ। यदि यह शक्ति सम है, तो आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों भागों का चिह्न समान हो; यदि दोनों भाग सकारात्मक हैं, तो घात तक बढ़ाए जाने पर संकेत नहीं बदलता है, लेकिन यदि वे नकारात्मक हैं, तो यह विपरीत में बदल जाता है।
• दोनों भागों से समान डिग्री की जड़ निकालें। यदि हम एक सम डिग्री का मूल निकाल रहे हैं, तो हमें पहले यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों अभिव्यक्तियाँ गैर-नकारात्मक हैं।
• कोई अन्य समकक्ष परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: ऐसे परिवर्तन करने की सलाह दी जाती है ताकि असमानता का चिह्न न बदले! अर्थात्, परिवर्तनों के दौरान, किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करना अवांछनीय है, और यदि कोई एक भाग ऋणात्मक है तो आप उसका वर्ग नहीं कर सकते।

आइए कुछ विशिष्ट स्थितियों पर नजर डालें।

1. घातांक।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

चूँकि असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक हैं, हम मूल से छुटकारा पाने के लिए इसका वर्ग कर सकते हैं:

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

यहां हम इसका वर्ग भी कर सकते हैं, लेकिन इससे हमें केवल वर्गमूल से छुटकारा पाने में मदद मिलेगी। यहां इसे इस हद तक बढ़ाना जरूरी है कि दोनों जड़ें गायब हो जाएं। इसका मतलब यह है कि इस डिग्री का घातांक दोनों (पहली जड़ की डिग्री) और से विभाज्य होना चाहिए। इसलिए, इस संख्या को वें घात तक बढ़ा दिया गया है:

2. इसके संयुग्म द्वारा गुणन।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

आइए प्रत्येक अंतर को संयुग्म योग से गुणा और विभाजित करें:

जाहिर है, दाहिनी ओर का हर बायीं ओर के हर से बड़ा है। इसलिए, दायां अंश बाएं अंश से छोटा है:

3. घटाव

आइए इसे याद रखें.

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

निःसंदेह, हम हर चीज़ को वर्गाकार कर सकते हैं, पुनः समूहित कर सकते हैं, और इसे फिर से वर्गाकार कर सकते हैं। लेकिन आप कुछ बेहतर कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद दाईं ओर के प्रत्येक पद से छोटा है।

तदनुसार, बायीं ओर के सभी पदों का योग दाहिनी ओर के सभी पदों के योग से कम है।

लेकिन सावधान रहना! हमसे पूछा गया कि और क्या...

दाहिना भाग बड़ा है.

उदाहरण।

संख्याओं की तुलना करें और...

समाधान।

आइए त्रिकोणमिति सूत्र याद रखें:

आइए देखें कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर कौन से क्वार्टर में बिंदु हैं और झूठ बोलते हैं।

4. प्रभाग.

यहां हम एक सरल नियम का भी उपयोग करते हैं: .

पर या, वह है।

जब चिन्ह बदलता है: .

उदाहरण।

तुलना करना: ।

समाधान।

5. संख्याओं की तुलना तीसरी संख्या से करें

यदि और, तो (परिवर्तनशीलता का नियम)।

उदाहरण।

तुलना करना।

समाधान।

आइए संख्याओं की तुलना एक दूसरे से नहीं, बल्कि संख्या से करें।

यह तो स्पष्ट है.

दूसरी ओर, ।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

दोनों संख्याएँ बड़ी हैं, लेकिन छोटी हैं। आइए एक ऐसी संख्या चुनें जो एक से बड़ी हो, लेकिन दूसरे से छोटी हो। उदाहरण के लिए, । की जाँच करें:

6. लघुगणक का क्या करें?

कुछ भी खास नहीं। लघुगणक से कैसे छुटकारा पाया जाए, इसका विषय में विस्तार से वर्णन किया गया है। बुनियादी नियम हैं:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \वेज (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \वेज y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

हम विभिन्न आधारों और समान तर्क वाले लघुगणक के बारे में एक नियम भी जोड़ सकते हैं:

इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है: आधार जितना बड़ा होगा, समान चीज़ प्राप्त करने के लिए उसे उतनी ही कम डिग्री बढ़ानी होगी। यदि आधार छोटा है, तो विपरीत सत्य है, क्योंकि संबंधित फ़ंक्शन नीरस रूप से घट रहा है।

उदाहरण।

संख्याओं की तुलना करें: और।

समाधान।

उपरोक्त नियमों के अनुसार:

और अब उन्नत के लिए सूत्र.

लघुगणक की तुलना करने का नियम अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

उदाहरण।

तुलना करें कि कौन सी संख्या अधिक है: .

समाधान।

संख्याओं की तुलना. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. घातांक

यदि असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक हैं, तो मूल से छुटकारा पाने के लिए उन्हें वर्गित किया जा सकता है

2. इसके संयुग्म द्वारा गुणन

संयुग्म एक ऐसा कारक है जो वर्ग सूत्र के अंतर की अभिव्यक्ति को पूरक करता है: - के लिए संयुग्म और इसके विपरीत, क्योंकि .

3. घटाव

4. प्रभाग

कब या वह है

जब चिन्ह बदलता है:

5. तीसरे नंबर से तुलना

यदि और तब

6. लघुगणक की तुलना

बुनियादी नियम:

विभिन्न आधारों और समान तर्क वाले लघुगणक:

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

यह खेलों की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको इसे कई बार दोहराना होगा।

आप जहां चाहें संग्रह ढूंढें, आवश्यक रूप से समाधान, विस्तृत विश्लेषण के साथऔर निर्णय करो, निर्णय करो, निर्णय करो!

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।

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लघुगणक की एकरसता के गुण। लघुगणक की तुलना. बीजगणित 11वीं कक्षा. गणित शिक्षक द्वारा पूरा किया गया: लिलिया अनासोव्ना किंज्याबुलतोवा, नोयाब्रस्क, 2014।

y= लॉग ए एक्स, जहां ए>0; a≠1. ए) यदि ए> 1, तो वाई= लॉग ए एक्स - बढ़ते हुए बी) यदि 0

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ① एकरसता गुण तुलना करें लॉग ए बी लॉग ए सी आधार ए हैं यदि ए> 1, तो वाई = लॉग ए टी बढ़ रहा है, फिर बी> सी = > लॉग ए बी > लॉग ए सी से; यदि 0 सी => लॉग ए बी लॉग 1/3 8;

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ② ग्राफ़िकल विधि लॉग की तुलना करें a b लॉग के साथ b आधार भिन्न हैं, संख्याएँ b के बराबर हैं 1) यदि a> 1; с > 1, तो y=log a t, y=log с t – आयु। ए) यदि ए> सी, बी>1, तो लॉग ए बी लॉग सी बी

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ② ग्राफ़िकल विधि लॉग ए बी की तुलना करें बी के साथ लॉग अलग-अलग हैं, संख्याएं बी के बराबर हैं 2) यदि 0 सी, बी>1, तो लॉग ए बी > लॉग सी बी बी) यदि ए

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ② ग्राफ़िकल विधि लॉग की तुलना करें a b लॉग के साथ b आधार भिन्न हैं, संख्याएँ b के बराबर हैं उदाहरण लॉग 2 3 > लॉग 4 3 2 1 लॉग 3 1/4 0.25; 3>1 लॉग 0.3 0.6

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ③ विभिन्न एकरसता के कार्य a>1 y=log a x - 0 बढ़ता है 1, फिर लॉग ए सी > लॉग बी डी बी) यदि 0 1) लॉग 0.5 1/3 > लॉग 5 1/2

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ⑤ मूल्यांकन विधि लॉग 3 5 लॉग 4 17 1 > > > >

लघुगणक की तुलना करने की विधियाँ। ⑦ खंड के मध्य के साथ तुलना लॉग 2 3 लॉग 5 8 1 3/2 लॉग 5 8 2* 3/2 2*लॉग 5 8 2 लॉग 5 64 लॉग 2 8 लॉग 5 64

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