Главная Травмы

В чем состояла проблема которую решал галуа. Биография. Образ в художественной литературе

Галуа родился в предместье Парижа. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант. Отец был убеждённым республиканцем.

В возрасте 12 лет Эварист покинул родительский дом и поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран (ныне лицей Луи-ле Гран), где читал серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. Тема захватила Галуа, и он начинает собственные исследования.

В 1827-1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: отец кончает жизнь самоубийством, сам он дважды проваливает экзамен в Политехническую школу, а отправленная им в Парижскую Академию работа, на которую он возлагал большие надежды, попала Коши. Коши так и не дал никакого заключения; он потерял рукопись Галуа так же, как раньше потерял рукопись Абеля. К этому времени Эварист Галуа уже сделал свои самые выдающиеся открытия в алгебре уравнений.

В 1829 году Галуа всё же удаётся поступить в Высшую нормальную школу, в которой проучился всего год и был исключён за участие в политических выступлениях республиканского направления.

1830: июльская революция во Франции. Король Карл X свергнут, но левым не удалось добиться своего - провозгласить республику, и дело закончилось заменой короля на более либерального Луи Филиппа Орлеанского.

Роковое невезение продолжается. Галуа посылает Фурье, для участия в конкурсе на приз Академии, мемуар о своих открытиях - но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель. Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории.

Галуа продолжает участвовать в выступлениях республиканцев, ведёт себя вызывающе. Дважды был заключён в тюрьму Сент-Пелажи. Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его заболевшего перевели в больницу, помещавшуюся в доме №86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь еще некоторое время после того как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница - его последнее известное место жительства.

Рано утром 30 мая около пруда Гласьер в Жантийи Галуа был смертельно ранен на дуэли, формально связанной с любовной интригой, хотя имеются также подозрения, что конфликт был спровоцирован роялистами. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвез его в больницу Кошен. Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался. Похоронен 2 июня 1832 года на Монпарнасском кладбище. В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара для Академии, где кратко изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье.

Лучшие дня

Научные достижения

За 20 лет жизни Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Решая задачи по теории алгебраических уравнений, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле (конечные поля носят название полей Галуа).

Галуа исследовал старую проблему, решение которой с XVI века не давалась лучшим математикам: найти общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.

Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы. Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить.

Работы Галуа, немногочисленные и написанные сжато, поначалу остались непоняты современниками. Огюст Шевалье и младший брат Галуа, Альфред, послали последние работы Галуа Гауссу и Якоби, но ответа не дождались. Только в 1843 году открытия Галуа заинтересовали Лиувилля, который опубликовал и прокомментировал их (1846).

Открытия Галуа произвели огромное впечатление и положили начало новому направлению - теории абстрактных алгебраических структур. Следующие 20 лет Кэли и Жордан развивали и обобщали идеи Галуа, которые совершенно преобразили облик всей математики.

(1811-10-25 )

В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран . В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства коллежа из-за слухов о возможном преобразовании коллежа в иезуитское училище (коим он был до революции). Заговор был раскрыт, и более ста учащихся коллежа были с позором исключены .

Лишь с 16 лет Галуа начал читать серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. По мнению преподавателей, именно математика превратила его из послушного ученика в выдающегося . Тема захватила Галуа, он начал собственные исследования и уже в 17 лет опубликовал свою первую работу в журнале «Annales de Gergonne ». Однако талант Галуа не способствовал его признанию, так как его решения часто превосходили уровень понимания преподавателей, прояснению его умозаключений не способствовало также то, что он не трудился ясно излагать их на бумаге и часто опускал очевидные для него вещи .

В 1828-1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу . В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год на устном экзамене он оказался в той же ситуации и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в Политехническую школу было важно для него и потому, что она была центром республиканцев . Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях, отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ . В 1829 году священник-иезуит, вновь прибывший в родной город Галуа, издал написанные якобы отцом Эвариста злобные памфлеты (за Николя-Габриэлем Галуа закрепилась слава остроумного писателя сатирических памфлетов). Не выдержав позора, отец Галуа не увидел иного выхода, кроме самоубийства .

В 1829 году Галуа всё же удалось поступить в Высшую нормальную школу , в которой он проучился всего год и был исключён за участие в политических выступлениях республиканского направления.

Во всяком случае, мы сделали всё от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на Галуа. Его рассуждения не обладают ни достаточной ясностью, ни достаточной полнотой для того, чтобы мы могли судить об их точности, поэтому мы не в состоянии дать о них представление в этом докладе.

Галуа продолжает участвовать в выступлениях республиканцев, ведёт себя вызывающе. Дважды был заключён в (фр. ) . Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его, заболевшего, перевели в больницу, помещавшуюся в доме № 86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь ещё некоторое время после того, как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница - его последнее известное место жительства. Здесь он встретил Стефани, дочь Жана-Луи, одного из врачей. Возможно, отказ с её стороны стал главной причиной трагической гибели молодого революционера .

Рано утром 30 мая около пруда Гласьер в Галуа был смертельно ранен на дуэли , формально связанной с любовной интригой, хотя имеются также подозрения, что конфликт был спровоцирован роялистами. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвёз его в (фр. ) . Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался. Похоронен 2 июня 1832 года на Монпарнасском кладбище .

В ночь перед дуэлью Галуа написал несколько коротких писем и длинное письмо своему другу Огюсту Шевалье, в котором кратко изложил итоги своих исследований .

Научные достижения [ | ]

За 20 лет жизни и 4 года увлечения математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века .

Галуа исследовал проблему нахождения общего решения уравнения произвольной степени, то есть задачу, как выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы .

В своём предсмертном письме Галуа также упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «многозначности функций» (фр. ambiguïté des functions );

ЭВАРИСТ ГАЛУА

Эварист Галуа, будущий гениальный математик, родился 26 октября 1811 года в городке Бур-ля-Рен, в десяти километрах от Парижа. Его отцом был Никола Габриэль Галуа, занимавший в то время должность директора школы-интерната при Императорском университете; матерью - Аделаида Мари Деманд Галуа. Впоследствии Никола Галуа стал мэром Бур-ля-Рена и оставался на этом посту на протяжении пятнадцати лет.

1811 год - пик расцвета наполеоновской империи, период, когда Франция главенствовала среди европейских держав - и в политике, и в военной мощи, и в науке. Это время, когда подходила к концу жизнь Лагранжа (1736-1813), создателя "Аналитической механики", увенчавшей классическую механику Ньютона; время, когда другой великий математик - Лаплас (1749-1827), творец "Небесной механики" - в возрасте шестидесяти двух лет удостоился графского титула. Тут уместно упомянуть еще одно имя - Коши (1789 - 1857). В 1811 году Огюстену Коши было только двадцать два, и он, в качестве инженера-строителя, трудился на службе императора, возводя укрепления на западном побережье. Слава его - как и слава лежавшего в младенческой колыбели Эвариста - была еще впереди.

Напомню кратко о грядущих событиях, ибо недолгая жизнь Эвариста Галуа оказалась неразрывно связанной с судьбами Франции в ближайшие два десятилетия.

Итак, после неудачного вторжения в Россию в 1812 году, мощь императорской армии была подорвана, Наполеон отрекся от престола, возвращенного в 1814 году Бурбонам; во Франции воцарился Людовик XVIII. Последовала расправа с верными прежнему режиму людьми, которая не обошла стороной и математиков: в 1816 году выдающийся ученый и педагог Гаспар Монж (1746-1818), престарелый изобретатель начертательной геометрии, был изгнан из Академии и Политехнической школы и вскоре умер. Место его унаследовал Коши - человек набожный и вполне лояльный к произошедшей Реставрации. Он мирился с усиливавшимся с каждым днем влиянием реакционного духовенства, он не возражал ни против перестройки Политехнической школы, ни против уничтожения Нормальной школы, еще одного центра французского образования и науки, закрытого на целых четыре года, с 1822 по 1826. Король, в союзе с аристократией и иезуитами, стремился уничтожить любой рассадник республиканских идей, сломить бонапартистскую оппозицию.

Вернемся теперь к юному Эваристу. О детстве его почти ничего не известно, и первой серьезной вехой на его жизненном пути является 1823 год, когда он, в возрасте двенадцати лет, поступает в лицей Луи-ле-Гран. Здесь, спустя три года, Эварист и открыл для себя математику. Быстрота, с которой мальчик продвигался в этой новой области знания, поистине поразительна. Практически с самого начала он отказался от школьных учебников; он изучал основы математической науки по классическим трудам Лежандра - "Элементам геометрии", "Решениям численных уравнений" и "Теории аналитических функций". В 1827 году, будучи учащимся класса риторики Луи-ле-Гран, он был уже знаком и с работами Эйлера, Гаусса и Якоби. К концу учебного года Эварист самостоятельно подготовился к экзаменам в Политехническую школу, самое престижное из французских учебных заведений того времени. Экзаменов он не выдержал, однако в октябре 1828 года ему удалось попасть в математический класс лицея Луи-ле-Гран, который вел профессор Ришар, молодой блестящий преподаватель (его учениками, кроме Эвариста Галуа, были астроном Урбан Леверрье и математик Шарль Эрмит).

Сохранились записи Ришара, в которых он характеризует юного Галуа как самого способного из своих студентов. Ришар помог ему опубликовать первую работу, увидевшую свет в мартовском номере "Математических Анналов" - первого математического французского журнала, основанного в 1818 году. Состоялось и заседание Академии, на котором Пуансо и Коши должны были рассмотреть работу Галуа, однако закончилось оно безрезультатно: Коши потерял присланную рукопись.

Тем не менее, публикация работы в специальном журнале была большим успехом для молодого ученого, и никто - ни Ришар, ни соученики Галуа по математическому классу - не сомневались, что он поступит в Политехническую школу. Тем неожиданней был его второй провал на экзаменах в 1829 году. Одаренность Галуа была несомненной, и причины провала до сих пор неясны. Считается, что один из экзаменаторов (ими были Бине и де Фурси, специалисты весьма ординарные) посмеялся над Эваристом, когда тот излагал свои математические идеи - что вызвало вспышку гнева у несостоявшегося кандидата в студенты Политехнической школы.

Галуа пришлось продолжить образование в не столь престижном учебном заведении - в бывшей Нормальной школе, восстановленной в 1826 году под названием Приготовительной. В октябре 1829 года он был зачислен в Школу условно, и лишь в начале 1830 года стал ее полноправным студентом, подписав обязательство отслужить несколько лет на государственной службе. В первый год обучения в Нормальной Галуа познакомился с Огюстом Шевалье, который до конца жизни оставался его единственным близким другом. Под влиянием Шевалье он начал интересоваться политикой; постепенно стали складываться его республиканские убеждения.

Июльская революция 1830 года привела к власти во Франции правительство Луи-Филиппа, ставленника крупной буржуазии, которая использовала республиканские настроения парижан для свержения предыдущего монарха, но отнюдь не собиралась поощрять такие настроения в дальнейшем. Однако молодой Эварист искренне верил революционным республиканским лозунгам. В ноябре 1830 года он вступил в Общество друзей народа и записался в артиллерию Национальной гвардии; отметим, что к этому времени у него было уже подготовлено несколько оригинальных математических работ.

Эварист не скрывал своих политических пристрастий - более того, он отстаивал их со всем пылом юности. В результате он вступил в конфликт с директором Нормальной школы Гиньо, реакционером и убежденным сторонником той политической партии, которой в данный момент принадлежит власть. Некогда Гиньо придерживался идеи конституционной монархии, теперь же, после Июльской революции, он стал вернейшим из приверженцев режима Луи-Филиппа. Гиньо постарался избавиться от беспокойного студента; по его навету Галуа в начале 1831 был исключен из Школы, проучившись в ней немногим более года. Лишенный стипендии и пансиона, потерявший летом 1829 отца, Эварист Галуа остался фактически без средств к существованию; он мог жить лишь за счет репетиторства.

Он в очередной раз направляет свои работы в Академию, сопроводив их резким письмом - его рукописи терялись в Академии с завидным постоянством. Его настойчивость остается, однако, безрезультатной. (Это письмо Галуа приведено в разделе 5.)

Тем временем политическая ситуация в Париже накалялась с каждой неделей. Правительство Луи-Филиппа распустило отряды Национальной гвардии, но ряд ее бойцов отказался сложить оружие. В апреле 1831 года начался процесс над непокорными, однако их адвокатам удалось добиться оправдательного приговора. В честь этого события Общество друзей народа организовало банкет, на котором Галуа произнес свой знаменитый тост: "За Луи-Филиппа!" Но при этом он сжимал в руке нож.

На следущее утро его арестовали, поместив в тюрьму Сент-Пелажи; он был обвинен в подстрекательстве к покушению на жизнь монарха Франции. Правда, благодаря стараниям адвоката и помощи соратников из Общества друзей народа, Галуа был оправдан и отпущен на свободу, но не надолго: летом 1831 года его вновь схватили во время разгрома манифестации республиканцев. На сей раз Эваристу пришлось провести в Сент-Пелажи восемь месяцев, с 14 июля 1831 по 16 марта 1832; здесь же он отпраздновал свое двадцатилетие. И здесь он узнал, что 11 июля, на очередном заседании Академии, была отвергнута его работа, переданная им на рассмотрение еще в январе 1831, за полгода до того, как он попал в заключение в Сент-Пелажи. Пуассон, известный математик, рецензировавший его рукопись, не смог или не захотел разобраться в ней.

Тюрьма являлась совсем неподходящим местом для молодого Галуа, не отличавшегося крепким здоровьем, и столь же не подходила ему буйная компания уголовников и политических заключенных всех мастей, бонапартистов, республиканцев и легитимистов (сторонников монархического режима). Однако он продолжал работать и в тюрьме. В документах, которые Огюст Шевалье разбирал после его смерти, обнаружился ряд заметок, служивших, видимо, предисловиями к нескольким математическим работам.

За участие в манифестации и "незаконное" ношение мундира Национальной гвардии Галуа был приговорен к девятимесячному заключению, но 16 марта 1832 его, заболевшего, перевели в больницу, где он оставался до 29 апреля, до истечения срока тюремного заключения. Этот период его жизни описан Огюстом Шевалье; согласно мнению верного друга Галуа, он испытывал лишь два чувства: безмерную усталость и ненависть. Несмотря на юный возраст, Эварист Галуа являлся уже сложившимся математиком - гениальным математиком! - однако работы его были отвергнуты, а для него самого во Франции Луи-Филиппа не нашлось лучшего пристанища, чем тюрьма.

Наконец он вышел на свободу. Он хотел уехать из Парижа, но судьба рассудила иначе: он встретил девушку, которая стала причиной дуэли 30 мая. Противники стрелялись из пистолетов с расстояния нескольких метров; пуля попала Эваристу в живот, рана была смертельной, и в десять часов утра 31 мая 1832 года Эварист Галуа, самый молодой и самый талантливый из математиков Франции, скончался.

История с девушкой неясна до сих пор. Возможно, ее подставила полиция; возможно, встречу с ней сулил несчастный рок Галуа. Более того, достоверно неизвестно имя его противника: возможно, им был Пеше д"Эрбенвиль (как утверждал писатель Александр Дюма), возможно - некий Дюшатле, соратник Эвариста по республиканской партии. Более интересным представляется то, как Галуа провел ночь перед дуэлью, то, чем занимался в последние часы своей жизни.

Он написал три письма - в том числе и своему другу Огюсту Шевалье; этот последний документ во многом посвящен математическим вопросам и частично приведен в разделе 5. Эварист, видимо, правил перед дуэлью свои научные работы - на его столе нашли две записки, сохранившиеся до наших дней. В одной из них значится: "Это доказательство надо дополнить. Нет времени. 1832".

Смерть Галуа была отмечена в парижской прессе короткими скупыми заметками. Провинциальные газеты посвятили ему более щедрые некрологи; так, лионская газета "Прекюрсер" писала:

"Париж, 1 июня. Вчера злосчастная дуэль отняла у науки юношу, подававшего самые блестящие надежды. Увы, его преждевременная известность связана только с политикой. Молодой Эварист Галуа, подвергшийся год тому назад судебному преследованию за тост, произнесенный во время банкета в "Ванданж де Бургонь", дрался на дуэли с одним из своих юных друзей. Оба молодых человека - члены Общества друзей народа, и оба фигурировали в одном и том же политическом процессе. Есть сведения, что дуэль была вызвана какой-то любовной историей. Противники избрали в качестве оружия пистолеты. Когда-то они были друзьями, поэтому сочли недостойным целиться друг в друга и решили положиться на судьбу. Стреляли в упор, но из двух пистолетов заряженным был только один. Пуля ранила Галуа навылет. Его перенесли в больницу Кошен, где он умер спустя несколько часов. Галуа исполнилось двадцать лет, его противнику - чуть меньше".

После своей трагической смерти Галуа был надолго предан забвению. Все его математические рукописи, около шестидесяти страниц текста, хранились у Огюста Шевалье, но тот не мог найти никого, кто согласился бы их издать. Только в 1846 году Жозеф Лиувилль впервые опубликовал работы Галуа в основанном им "Журнале чистой и прикладной математики", открыв миру забытого гения. И с этого момента имя Эвариста Галуа навечно утвердилось в математической науке.

2. РАЗРЕШИМОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ

Перед тем, как перейти к научным достижениям Эвариста Галуа, рассмотрим историю и суть проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Для этого мне придется исхитряться, так как в моем компьютерном редакторе нет возможности указать верхние и нижние индексы переменных. Поэтому я запишу частное уравнение или полином четвертой степени в виде:

P\4 (x) = a"x\4 + a""x\3 + a"""x\2 + a""""x + a""""" = 0 (1) где a", a"", a""", a"""", a""""" - рациональные числа, а \4, \3 и так далее представляет степень (верхний индекс) переменной x и обозначение соответствующего полинома. По этой записи легко представить общий случай - полином степени n.

Как гласит основная теорема алгебры, всякое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет n корней (т.е. всякий полином n-ой степени может быть разложен на n линейных множителей). Среди корней такого полинома могут встречаться как вещественные, так и попарно сопряженные комплексные числа. Общеизвестными частными случаями являются уравнения первой, второй и третьей степени (линейное, квадратное и кубическое), которые принято записывать следующим традиционным образом:

P\1 (x) = ax + b = 0 (2)
P\2 (x) = ax\2 + bx + c = 0 (3)
P\3 (x) = ax\3 + bx\2 + cx + d = 0 (4)

Как известно, существуют формулы, позволяющие выразить корни линейного и квадратного уравнений через коэффициенты. Для линейного уравнения это совсем просто:

Я не могу записать в этом тексте формулу для корней уравнения второй степени, так как в нее входит символ квадратного корня, но любой человек, обучавшийся в школе, легко ее вспомнит (во всяком случае, вспомнит, что такая формула есть и ее дают в восьмом или девятом классе). Для корней кубического уравнения формула также имеется (формула Кардано), но она весьма громоздкая.

Если для алгебраического уравнения существуют формулы, непосредственно выражающие корни уравнения через коэффициенты, то говорят, что оно разрешимо в радикалах. Уже в древности было ясно, сколь важно научиться решать алгебраические уравнения, ибо к ним сводятся разнообразные проблемы естествознания, инженерии и практических вычислений. С линейными и квадратными уравнениями были знакомы уже в Двуречье, за две тысячи лет до н.э. В IX веке н.э. в сочинении Мухаммеда аль-Хорезми "Аль-джебр аль-мукабала" излагаются общие правила решения линейных и квадратных уравнений, которые фактически эквивалентны известным нам формулам в их современной записи. Разумеется, многим математикам приходила мысль найти аналогичные формулы для уравнения общего вида (т.е. степени n). Однако даже для кубического уравнения задача оказалась весьма непростой, и лишь в XVI веке итальянским математикам удалось добиться успеха и построить формулы для уравнений с n = 3 и n = 4. Затем, вплоть до начала XIX века, математики упорно искали методы разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой, однако на протяжении почти трех столетий проблема не поддавалась их усилиям. Истина открылась лишь тогда, когда этим вопросом занялись два юных гения - француз Эварист Галуа и норвежец Нильс Генрик Абель (1802 - 1829).

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ГАЛУА

Надежды на получение общей формулы, позволяющей находить корни уравнения степени n не оправдались; самые изощренные попытки разрешить его в радикалах при n>4 терпели неудачу. В конце концов в среде математиков возникло мнение, что всеобъемлющей формулы вообще не существует и, следовательно, задача не имеет решения. Однако подобный подход ставил проблему на совершенно иной уровень: требовалось не найти некоторый способ решения, но доказать, что его не имеется в принципе.

Итак, задача нуждалась в совершенно новом подходе, и он не замедлил появиться. В 1824 году молодой норвежский математик Нильс Абель, опираясь на некоторые идеи Лагранжа, доказал, что алгебраические уравнения степени выше четвертой в общем случае неразрешимы в радикалах. Эта теорема Абеля стимулировала работы юного Галуа, к описанию которых я перехожу.

Дело в том, что теорема Абеля дала отрицательный ответ только для уравнений общего вида, в котором присутствуют все степени неизвестного x от нулевой до n-ой. Разумеется, многие уравнения высоких степеней частного вида могут разрешаться в радикалах, поэтому Галуа сформулировал проблему следующим образом: найти критерий разрешимости уравнений в радикалах - т.е. определить необходимые и достаточные условия, которые позволяли бы судить, решается ли данное уравнение в радикалах или нет.

Ему удалось найти нужный критерий, но, чтобы описать это выдающееся достижение Галуа, необходимо ввести целый ряд новых алгебраических понятий - таких, как перестановка, группа, поле. Ими мы тоже обязаны Эваристу Галуа.

ПЕРЕСТАНОВКА. Пусть имеется множество из n объектов, которым поставлены во взаимно-однозначное соответствие числа натурального ряда 1, 2, 3... n. Их перестановкой называется преобразование этого множества, записываемое в виде таблицы:

1 2 3 и так далее до n (6)
i" i"" i""" и так далее до i-энного где в нижней строке записаны те же самые числа 1, 2, 3 ... n, но в общем случае в другом порядке. Таблица (6) фактически показывает, что 1 переходит в i", 2 - в i"", и так далее.

Приведу пример возникновения перестановок в кристаллофизике. Представим кристалл с простейшей кубической решеткой, и будем преобразовывать (вращать, отражать и т.д.) его элементарную ячейку (куб) таким образом, чтобы после преобразования она совмещалась сама с собой. Пронумеруем вершины куба в исходном состоянии цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; тогда после преобразования каждая вершина перейдет в какую-то другую, что удобно указать с помощью перестановки. При этом каждому преобразованию - например, повороту вокруг пространственной диагонали (ось третьего порядка) или отражению в плоскости, проходящей через середины четырех вертикальных ребер куба - будет соответствовать своя перестановка.

Обозначим преобразования и соответствующие им перестановки буквами A, B, C и так далее. Назовем композицией или произведением двух преобразований A и B такое третье преобразование C = AB, которое равносильно последовательному выполнению сначала операции A, а затем - B. Строго говоря, композиция AB может не удовлетворять коммутирующему закону, т.е. AB не равно BA. Но если мы вернемся к кубу, то легко выясним, что он переходит сам в себя при сорока восьми преобразованиях (считая с отражением в центре инверсии), что каждому такому преобразованию соответствует определенная перестановка, и что композиции всех этих преобразований подчиняются закону коммутации.

ГРУППА. Дадим современное определение группы:

Группой называется множество G, на котором задана двуместная алгебраическая операция - т.е. некое правило, сопоставляющее каждым двум элементам из G третий элемент, также принадлежащий G, причем выполняются следущие требования:

1. операция ассоциативна, т.е. (AB)C = A(BC);
2. множество G содержит единичный элемент E: AE = EA = A;
3. для всякого A из G существует такой обратный элемент A" (т.е. A в минус первой степени), что AA" = A"A = E.

Легко заметить, что сорок восемь преобразований куба образуют группу. Также образует группу и множество всех перестановок из n символов - с учетом операции умножения, рассмотренной выше. Если данная операция удовлетворяет еще и коммутативному закону, то такая группа называется коммутативной.

Часть H группы G называется ее подгруппой, если H замкнута относительно умножения и взятия обратных элементов, т.е. вместе с элементами A, B содержит и элементы AB и A". Естественно, сама H является группой относительно определенной в G операции. Очевидно, в каждой группе есть наибольшая подгруппа - сама G, и наименьшая - E, включающая только единичный элемент. Таким образом, можно рассматривать расположенные между G и E последовательности вложенных друг в друга подгрупп, называемых матрешками подгрупп группы G:

M: G, H", H""... E (7)

ПОЛЕ. Под полем в алгебре понимается множество K с двумя двуместными операциями, называемыми сложением и умножением, причем относительно сложения оно является коммутативной группой, а относительно умножения его элементы, отличные от нулевого, также состаляют коммутативную группы. Кроме того, в K выполняется обычное правило раскрытия скобок: (A + B)C = AC + BC. В качестве примера укажу, что множества рациональных чисел, вещественных чисел и комплексных чисел являются полями.

Преобразование Ф поля K называется его автоморфизмом, если оно переводит сумму в сумму, а произведение в произведение:

Ф(A + B) = A + B, Ф(AB) = AB для любых A, B из K. В качестве примера автоморфизма можно рассмотреть такое преобразование поля комплексных чисел, которое переводит каждое число (u + iv) в сопряженное с ним (u - iv).

ТЕОРЕМА ГАЛУА. Итак, определив необходимые базовые понятия, попытаюсь дать представление о методе, разработанном Галуа. Надо отметить, что его работа в рассматриваемой области не поддается элементарной трактовке и доступна лишь специалистам; поэтому не стану вдаваться в детальное объяснение того, что именно и как сделал Галуа, а остановлюсь на изложении его основных идей.

Главной из них явилась мысль связать с каждым алгебраическим уравнением группу всех автоморфизмов его "поля корней", которые оставляют неподвижным "поле коэффициентов". Совокупность таких автоморфизмов образует группу, с которой связаны определенные перестановки корней уравнения, тоже образующие группу. Она называется группой симметрии или группой Галуа этого алгебраического уравнения P\n (x) = 0 и обозначается как Gal(P\n). Cвойства этой группы и дают ответ на вопрос о разрешимости данного конкретного уравнения в радикалах.

Сформулированный Галуа критерий выглядит следующим образом:

Уравнение P\n (x) = 0 тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(P\n) обладает полициклической матрешкой.

Не буду пытаться наметить пути доказательства этой теоремы или пересказывать работу Галуа, посвященную данному вопросу. С точки зрения истории науки, как и с точки зрения математической практики, важным является следствие из приведенного выше критерия: группы Галуа для конкретных уравнений можно вычислять и анализировать, н е з н а я корней рассматриваемых уравнений, а пользуясь лишь соображениями симметрии. Таким образом, теорема Галуа не только включает в себя упомянутую в начале этого раздела теорему Абеля, но и позволяет выяснить саму возможность решения любого конкретного уравнения в радикалах.

Однако что же важнее - проблема решения алгебраических уравнений как таковая или математический аппарат, разработанный Галуа с этой целью? Коснемся этого вопроса в следущем разделе.

4. ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДОСТИЖЕНИЙ ГАЛУА

Попытаемся осмыслить проблему, поставленную в конце предыдущего раздела, с современной точки зрения. Мы с удивлением убедимся, что на практике вопрос о разрешимости конкретных алгебраических уравнений в радикалах не столь уж существенен. Разумеется, существует великое множество экономических, инженерных, физических задач, которые сводятся к решению уравнений высоких степеней, но во всех этих случаях нас, как правило, интересует не возможность построения общей формулы и даже не сама такая формула, а корни. Получение же корней - с некоторой точностью, вполне устраивающей в практических ситуациях - обеспечивается в наши дни стандартным набором средств: компьютером, компьютерной программой и алгоритмом, разработанным в соответствии с одним из методов вычислительной математики. Методов для приближенного решения алгебраических уравнений создано немало; упомяну такие, как обособление корней, графическое решение, метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), итерационный метод и так далее.

Означает ли появление компьютеров, позволивших быстро производить огромный объем рутинных вычислений, что достижения Галуа в наше время не актуальны? Ни в коем случае! Во-первых, сформулированный им критерий закончил построение одной из частей математической науки, придав ей стройность и необходимую завершенность. Во-вторых, понятия и методы, разработанные им при решении конкретной алгебраической проблемы, оказались более важными, чем само решение и приведенный в предыдущем разделе критерий. Трудно переоценить значение аппарата теории групп для современной математики и физики; основоположником же этой отрасли математической науки стал именно Эварист Галуа. Понятие группы, введенное им, играет огромную роль в современной физике - прежде всего в кристаллофизике, квантовой механике и ее важнейших разделах - квантовой химии и теории твердого тела.

Итак, можно высказать мнение, что теория разрешимости уравнений в радикалах важна не столько сама по себе (и уж во всяком случае не для практического решения уравнений), сколько как конкретное воплощение общей идеи симметрии. Вероятно, сам Галуа понимал это и, выдвигая на первый план критерий разрешимости уравнений в радикалах (задачу древнюю, почтенную и потому освященную традицией), на самом деле рассчитывал, что его современникам будет легче оценить революционное значение его идей на примере конкретной проблемы.

Отмечу, что дальнейшее развитие теория групп получила в конце XIX - начале XX веков в работах Феликса Клейна (1849-1925), Мариуса Ли (1842-1899), Камилла Жордана (1838-1922) и Анри Пуанкаре (1854-1912). В России этой проблемой занимался О.Ю.Шмидт (1891-1956), опубликовавший в 1916 году монографию "Абстрактная теория групп".

5. НЕКОТОРЫЕ ОБРАЗЦЫ ЭПИСТОЛЯРНОГО ТВОРЧЕСТВА ЭВАРИСТА ГАЛУА

В настоящем разделе приведены два образца эпистолярного наследия Эвариста Галуа, иллюстрирующие биографический очерк: письмо, посланное в Академию наук в марте 1831, и предсмертное послание Огюсту Шевалье (дано с сокращениями).

"Президенту Французской Академии наук

Господин президент,

я смею надеяться, что г-да Лакруа и Пуассон не сочтут для себя неприятным мое напоминание о мемуаре, касающемся теории уравнений, который три месяца тому назад им было поручено рассмотреть.

Результаты исследования, изложенные в этом мемуаре, составляют часть труда, представленного в прошлом году на соискание награды за лучшую работу по математике. В нем я изучал правила, с помощью которых можно в любом случае определить, разрешимо ли данное уравнение в радикалах. Так как до сих пор математики считали эту задачу если не совершенно недоступной, то во всяком случае очень трудной, комиссия заранее решила, что я не в состоянии этого сделать: во-первых, потому, что меня зовут Галуа, а во-вторых потому, что я студент. В комиссии мой мемуар затеряли. И мне сообщили, что он потерян.

Это могло бы послужить мне достаточным уроком. Тем не менеее, по совету одного почтенного члена Академии, я частично восстановил рукопись и представил ее Вам.

Вы видите, господин президент, что пока к моим работам относятся почти так же, как к очередным решениям задачи о квадратуре круга. Будет ли аналогия доведена до конца?

Соблаговолите, господин президент, избавить меня от беспокойства и предложить господам Лакруа и Пуассону сообщить, потеряна ли моя рукопись вновь, или они собираются доложить о ней в Академии. Примите, господин президент, искренние уверения в глубочайшем к Вам почтении от Вашего покорного слуги

Подпись: Э.Галуа".

Дорогой мой друг!

Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений, другие - функций, определяемых интегралами.

В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.

Из этого можно сделать три мемуара. Первый написан, и, после сделанных исправлений, я твердо убежден в его правильности, несмотря на то, что сказал о нем Пуассон.

Ты знаешь, дорогой мой Огюст, что я занимался исследованием не только этих вопросов. С некоторого времени я больше всего размышлял о приложении теории неопределенности к трансцендентному анализу. Речь идет о том, чтобы предвидеть заранее, какие замены можно произвести в соотношении между трансцендентными величинами или функциями, т.е. какие величины можно подставить вместо данных, с тем, чтобы соотношение осталось в силе. Это заставляет признать невозможность многих выражений, которые иначе надо было бы исследовать. Но у меня нет времени, и мои представления в этой необъятной области еще не очень ясны.

Дай напечатать это письмо в "Ревю Энсиклопедик". За свою жизнь я не раз позволял себе высказывать предположения, в которых не был уверен. Но обо всем, что здесь написано, я думаю уже около года, и слишком уж в моих собственных интересах не ошибиться - ведь иначе меня заподозрят в том, что я указываю теоремы, полные доказательства которых мне неизвестны.

Обратись публично к Якоби и Гауссу и попроси их высказать свое мнение, но не о верности теорем, а об их значении.

Я надеюсь, что после этого найдутся люди, которые сочтут для себя полезным навести порядок во всей этой неразберихе.

Горячо обнимаю тебя.

Подпись: Э.Галуа".

Михаил Ахманов

Он прожил двадцать лет, всего пять из них занимался математикой.
Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц.

В 15 лет Галуа открыл для себя математику и с тех пор, по словам одного из преподавателей, "был одержим демоном математики".
Юноша отличался страстностью, неукротимым темпераментом, что постоянно приводил его к конфликтам с окружающими, да и с самим собой.

Галуа не задержался на элементарной математике и мгновенно оказался на уровне современной науки.
Ему было 17 лет, когда его учитель Ришар констатировал:
"Галуа работает только в высших областях математики".
Ему было неполных 18 лет, когда была опубликована его первая работа. И в те же годы Галуа два раза подряд не удается сдать экзамены в Политехническую школу, самое престижное учебное заведение того времени.
В 1830 г. он был принят в привилегированную Высшую нормальную школу, готовившую преподавателей.
За год учебы в этой школе Галуа написал несколько работ; одна из них, посвящена теории чисел, представляла исключительный интерес.

Бурные июльские дни 1830 г. застали Галуа в стенах Нормальной школы.
Его все более захватывает новая страсть - политика.
Галуа присоединяется к набиравшей силы республиканской партии - Обществу друзей народа, - недовольной политикой Луи-Филиппа.
Возникает конфликт с директором школы, всеми силами противодействовавшим росту политических интересов у учащихся, и в январе 1831 г. Галуа исключают из школы.
В январе 1831 г. Галуа передал в Парижскую академию наук рукопись своего исследования о решении уравнений в радикалах.
Однако академия отвергла работу Галуа - слишком новы были изложенные там идеи.
В это время Галуа находился в тюрьме Сент-Пелажи после попытки организовать манифестацию 14 июля (в годовщину взятия Бастилии), на сей раз Галуа приговорен к 9 месяцам тюрьмы. За месяц до окончания срока заключения Галуа переводят в больницу. В тюрьме он встретил свое двадцатилетие.

29 апреля он выходит на свободу, но ему было суждено прожить лишь только один месяц. 30 мая он был тяжело ранен на дуэли. На следующий день он умер. В день перед дуэлью Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье письмо: "Публично обратись к Якоби или Гауссу с просьбой дать мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю, и тогда, надеюсь, кто-нибудь сочтет полезным разобраться во всей этой путанице".

Работы Галуа содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, то, что сегодня называется теорией Галуа и составляет одну из самых глубоких глав алгебры.
Другое направление в его исследованиях связано с так называемыми абелевыми интегралами и сыграло важную роль в математическом анализе XIX века.
Работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 г. Ж. Лиувиллем, а признание к ним пришло еще позже, когда с 70-х годов понятие группы постепенно становится одним из основных математических объектов.

План
Введение
1 Биография
2 Научные достижения

Список литературы

Введение

Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois ; 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция - 31 мая 1832, Париж, Франция) - выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли при неоднозначных обстоятельствах в возрасте двадцати лет.

1. Биография

Галуа родился в Бур-ля-Рене (Bourg-la-Reine ), предместье к югу от Парижа. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант . Отец был убеждённым республиканцем, и когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города, сохранив этот пост при реставрации монархии и далее, вплоть до 1829 года.

В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран. В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из-за слухов о возможном переформировании колледжа в иезуитское училище (коим он был до этого). Такое переформирование предположительно могло упрочить позиции сторонников Людовика XVIII. Заговор был раскрыт и более ста учащихся колледжа были с позором исключены.

Лишь с 16 лет Галуа начал читать серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. По мнению преподавателей, именно математика превратила его из послушного ученика в выдающегося. Тема захватила Галуа, он начал собственные исследования и уже в 17 лет опубликовал свою первую работу в журнале «Annales de Gergonne ». Однако талант Галуа не способствовал его признанию, так как его решения часто превосходили уровень понимания преподавателей, прояснению его умозаключений не способствовало также то, что он не трудился ясно излагать их на бумаге и часто опускал очевидные для него вещи.

В 1828-1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу (École Polytechnique). В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год, на устном экзамене он оказался в той же ситуации, и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в политехническую школу было важно для него и потому, что она была центром республиканцев. Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ. В 1829 году священник иезуит, вновь прибывший в родной город Галуа, доводит отца Эвариста до самоубийства написанием от его имени нескольких злобных памфлетов (за Николя-Габриэль Галуа закрепилась слава остроумного писателя сатирических памфлетов). Не выдержав позора отец Галуа не увидел иного выхода кроме самоубийства.

Во всяком случае, мы сделали все от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на Галуа. Его рассуждения не обладают ни достаточной ясностью, ни достаточной полнотой для того, чтобы мы могли судить об их точности, поэтому мы не в состоянии дать о них представление в этом докладе.

2. Научные достижения

Галуа исследовал старую проблему, решение которой с XVI века не давалось лучшим математикам: найти общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.

Список литературы:

1. Саймон Сингх с. 201-216

2. Стиллвелл Д. Математика и её история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 361-365.

3. Инфельд, Л. Эварист Галуа. Избранник богов. М.: Молодая гвардия (Жизнь замечательных людей), 1965, С. 259-260.

Статьи по теме