Grafikon korijena x. X korijen od x je jednak. Primjer. Korijen korijena

Date su osnovne osobine funkcije stepena, uključujući formule i svojstva korijena. Prikazani su derivacija, integral, proširenje niza stepena i prikaz kompleksnog broja funkcije stepena.

Sadržaj

Funkcija stepena, y = x p, sa eksponentom p ima sljedeća svojstva:
(1.1) definisano i kontinuirano na setu
u ,
at ;
(1.2) ima mnogo značenja
u ,
at ;
(1.3) striktno raste sa ,
striktno opada kao ;
(1.4) at ;
at ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz svojstava je dat na stranici “Funkcija snage (dokaz kontinuiteta i svojstva)”

Korijeni - definicija, formule, svojstva

Koren broja x stepena n je broj koji kada se podigne na stepen n daje x:
.
Ovdje n = 2, 3, 4, ... - prirodni broj veći od jedan.

Također možete reći da je korijen broja x stepena n korijen (tj. rješenje) jednačine
.
Imajte na umu da je funkcija inverzna funkciji.

Kvadratni korijen od x je korijen od 2: .
Kubni korijen od x je 3. korijen: .

Čak i stepen

Za parne snage n = 2 m, korijen je definiran za x ≥ 0 . Formula koja se često koristi vrijedi i za pozitivan i za negativan x:
.
Za kvadratni korijen:
.

Ovdje je važan redoslijed izvođenja operacija – to jest, prvo se izvodi kvadrat, što rezultira nenegativnim brojem, a zatim se iz njega uzima korijen (kvadratni korijen se može uzeti iz nenegativnog broja ). Ako bismo promijenili redoslijed: , tada bi za negativan x korijen bio nedefiniran, a time bi i cijeli izraz bio nedefiniran.

Neparni stepen

Za neparne stepene, korijen je definiran za sve x:
;
.

Svojstva i formule korijena

Koren od x je funkcija stepena:
.
Kada je x ≥ 0 primjenjuju se sljedeće formule:
;
;
, ;
.

Ove formule se mogu primijeniti i za negativne vrijednosti varijabli. Samo treba da budete sigurni da radikalni izraz parnih moći nije negativan.

Privatne vrijednosti

Korijen od 0 je 0: .
Korijen 1 je jednak 1: .
Kvadratni korijen od 0 je 0: .
Kvadratni korijen od 1 je 1: .

Primjer. Korijen korijena

Pogledajmo primjer kvadratnog korijena:
.
Transformirajmo unutrašnji kvadratni korijen koristeći gornju formulu:
.
Sada transformirajmo originalni korijen:
.
dakle,
.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Ovdje su grafovi funkcije za nenegativne vrijednosti argumenta x. Grafovi funkcije snage definirane za negativne vrijednosti x dati su na stranici "Funkcija snage, njena svojstva i grafovi"

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija stepena sa eksponentom p je funkcija stepena sa eksponentom 1/p.

Ako onda.

Derivat funkcije stepena

Derivat n-tog reda:
;

Izvođenje formula > > >

Integral funkcije snage

P ≠ - 1 ;
.

Proširenje serije snaga

u - 1 < x < 1 odvija se sljedeća dekompozicija:

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
f (z) = z t.
Izrazimo kompleksnu varijablu z u terminima modula r i argumenta φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kompleksni broj t predstavljamo u obliku realnih i imaginarnih dijelova:
t = p + i q .
Imamo:

Zatim, uzimamo u obzir da argument φ nije jednoznačno definiran:
,

Razmotrimo slučaj kada je q = 0 , odnosno eksponent je realan broj, t = p. Onda
.

Ako je p cijeli broj, tada je kp cijeli broj. Zatim, zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija:
.
To jest, eksponencijalna funkcija s eksponentom cijelog broja, za dati z, ima samo jednu vrijednost i stoga je nedvosmislena.

Ako je p iracionalno, onda proizvodi kp za bilo koji k ne proizvode cijeli broj. Pošto k prolazi kroz beskonačan niz vrijednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p ima beskonačno mnogo vrijednosti. Kad god se povećava argument z 2π(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije.

Ako je p racionalno, onda se može predstaviti kao:
, Gdje m, n- cijeli brojevi koji ne sadrže zajedničke djelitelje. Onda
.
Prvih n vrijednosti, sa k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dati n različitih vrijednosti kp:
.
Međutim, sljedeće vrijednosti daju vrijednosti koje se razlikuju od prethodnih za cijeli broj. Na primjer, kada je k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrijske funkcije čiji se argumenti razlikuju za višekratnike 2π, imaju jednake vrijednosti. Stoga, daljim povećanjem k, dobijamo iste vrijednosti z p kao za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Dakle, eksponencijalna funkcija s racionalnim eksponentom je višeznačna i ima n vrijednosti (grana). Kad god se povećava argument z 2π(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije. Nakon n takvih okretaja vraćamo se na prvu granu od koje je počelo odbrojavanje.

Konkretno, korijen stepena n ima n vrijednosti. Kao primjer, razmotrite n-ti korijen realnog pozitivnog broja z = x. U ovom slučaju φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Dakle, za kvadratni korijen, n = 2 ,
.
Za parno k, (- 1 ) k = 1. Za neparan k, (- 1 ) k = - 1.
To jest, kvadratni korijen ima dva značenja: + i -.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Vidi također:

Kvadratni korijen kao elementarna funkcija.

Kvadratni korijen je elementarna funkcija i poseban slučaj funkcije snage za . Aritmetički kvadratni korijen je gladak na , a na nuli je pravo kontinuiran, ali nije diferenciran.

Kao funkcija, korijen kompleksne varijable je dvovrijedna funkcija čiji listovi konvergiraju na nulu.

Grafički prikaz funkcije kvadratnog korijena.

1. Popunjavanje tabele sa podacima:

X
at

2. Tačke koje smo dobili iscrtavamo na koordinatnu ravan.

3. Povežite ove tačke i dobijte graf funkcije kvadratnog korijena:

Transformacija grafa funkcije kvadratnog korijena.

Odredimo koje transformacije funkcija treba napraviti da bi se konstruirali grafovi funkcija. Hajde da definišemo vrste transformacija.

	Vrsta konverzije	Konverzija
		Prijenos funkcije duž ose OY za 4 jedinice gore.
	interni	Prijenos funkcije duž ose OX za 1 jedinicu nadesno.
	interni	Grafikon se približava osi OY 3 puta i komprimuje duž ose OH.
		Grafikon se pomiče od ose OX OY.
	interni	Grafikon se pomiče od ose OY 2 puta i rastegnuti duž ose OH.

Često se kombiniraju transformacije funkcija.

Na primjer, trebate iscrtati funkciju . Ovo je graf kvadratnog korijena koji treba pomaknuti za jednu jedinicu niz os OY i jedna jedinica desno duž ose OH i istovremeno ga istezanje 3 puta duž ose OY.

Dešava se da su neposredno prije konstruiranja grafa funkcije potrebne preliminarne transformacije identiteta ili pojednostavljenja funkcija.

Jeste li tražili x korijen od x jednako? . Detaljno rješenje s opisom i objašnjenjima pomoći će vam da se nosite čak i sa najsloženijim problemom, a x je korijen y, bez izuzetka. Pomoći ćemo vam da se pripremite za domaće zadatke, testove, olimpijade, kao i za upis na fakultet. I bez obzira koji primjer, bez obzira koji matematički upit unesete, već imamo rješenje. Na primjer, "x je korijen od x jednako."

Upotreba raznih matematičkih zadataka, kalkulatora, jednadžbi i funkcija je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek koristi matematiku od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Međutim, sada nauka ne miruje i možemo uživati ​​u plodovima njenih aktivnosti, kao što je onlajn kalkulator koji može da reši probleme kao što su x koren od x je jednak, x koren od y, koren x, koren x je jednak x, korijen od x je jednak x, korijen od x je jednak x, funkcija y je korijen od minus x, funkcija y minus korijen od x, x je korijen od y, x je korijen od x je jednak. Na ovoj stranici ćete pronaći kalkulator koji će vam pomoći da riješite bilo koje pitanje, uključujući x korijen od x jednako. (na primjer, korijen od x).

Gdje možete riješiti bilo koji problem iz matematike, kao i da je x korijen od x jednako online?

Na našoj web stranici možete riješiti problem x korijen od x jednako. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online problem bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako pravilno unijeti svoj zadatak na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u chatu u donjem lijevom dijelu stranice kalkulatora.

Lekcija i prezentacija na temu: "Graf funkcije kvadratnog korijena. Područje definicije i konstrukcije grafa"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Elektronski udžbenik za udžbenik Mordkovich A.G.
Radna sveska iz elektronske algebre za 8. razred

Grafikon funkcije kvadratnog korijena

Ljudi, već smo se susreli s konstruiranjem grafova funkcija, i to više puta. Konstruirali smo mnoge linearne funkcije i parabole. Općenito, zgodno je bilo koju funkciju napisati kao $y=f(x)$. Ovo je jednadžba sa dvije varijable - za svaku vrijednost x dobijamo y. Nakon izvršenja neke zadate operacije f, preslikavamo skup svih mogućih x u skup y. Gotovo svaku matematičku operaciju možemo zapisati kao funkciju f.

Obično, kada crtamo funkcije, koristimo tablicu u koju bilježimo vrijednosti x i y. Na primjer, za funkciju $y=5x^2$ zgodno je koristiti sljedeću tabelu: Označite rezultirajuće tačke na Dekartovom koordinatnom sistemu i pažljivo ih povežite glatkom krivom. Naša funkcija nije ograničena. Samo sa ovim tačkama možemo zameniti apsolutno bilo koju vrednost x iz datog domena definicije, odnosno one x za koje izraz ima smisla.

U jednoj od prethodnih lekcija naučili smo novu operaciju ekstrakcije kvadratni korijen. Postavlja se pitanje: možemo li pomoću ove operacije definirati neku funkciju i izgraditi njen graf? Koristimo opći oblik funkcije $y=f(x)$. Ostavimo y i x na njihovom mjestu, a umjesto f uvodimo operaciju kvadratnog korijena: $y=\sqrt(x)$.
Poznavajući matematičku operaciju, mogli smo definirati funkciju.

Grafički prikaz funkcije kvadratnog korijena

Hajde da grafički prikažemo ovu funkciju. Na osnovu definicije kvadratnog korijena, možemo ga izračunati samo iz nenegativnih brojeva, odnosno $x≥0$.
Napravimo tabelu:
Označimo naše tačke na koordinatnoj ravni.

Sve što treba da uradimo je da pažljivo povežemo dobijene tačke.

Ljudi, obratite pažnju: ako se graf naše funkcije okrene na stranu, dobićemo lijevu granu parabole. U stvari, ako se linije u tablici vrijednosti zamijene (gornja linija sa donjom), onda ćemo dobiti vrijednosti samo za parabolu.

Domen funkcije $y=\sqrt(x)$

Koristeći graf funkcije, prilično je lako opisati svojstva.
1. Opseg definicije: $$.
b) $$.

Rješenje.
Naš primjer možemo riješiti na dva načina. U svakom pismu ćemo opisati različite metode.

A) Vratimo se na grafik funkcije koji je gore konstruisan i označimo tražene tačke segmenta. Jasno se vidi da je za $x=9$ funkcija veća od svih ostalih vrijednosti. To znači da u ovom trenutku dostiže svoju najveću vrijednost. Kada je $x=4$ vrijednost funkcije je niža od svih ostalih tačaka, što znači da je ovo najmanja vrijednost.

$y_(most)=\sqrt(9)=3$, $y_(most)=\sqrt(4)=2$.

B) Znamo da se naša funkcija povećava. To znači da svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Najviše i najniže vrijednosti se postižu na krajevima segmenta:

$y_(most)=\sqrt(11)$, $y_(most)=\sqrt(2)$.

Primjer 2.
Riješite jednačinu:

$\sqrt(x)=12-x$.

Rješenje.
Najlakši način je konstruirati dva grafika funkcije i pronaći njihovu točku presjeka.
Tačka presjeka sa koordinatama $(9;3)$ je jasno vidljiva na grafu. To znači da je $x=9$ rješenje naše jednačine.
Odgovor: $x=9$.

Ljudi, možemo li biti sigurni da ovaj primjer nema više rješenja? Jedna od funkcija se povećava, druga smanjuje. Općenito, one ili nemaju zajedničke tačke ili se sijeku samo u jednoj.

Primjer 3.

Konstruirajte i pročitajte graf funkcije:

$\begin (slučajevi) -x, x 9. \end (slučajevi)$

Moramo konstruirati tri parcijalna grafika funkcije, svaki na svom intervalu.

Hajde da opišemo svojstva naše funkcije:
1. Domen definicije: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ za $x=0$ i $x=12$; $u>0$ za $hϵ(-∞;12)$; $y 3. Funkcija opada na intervalima $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funkcija raste na intervalu $(0;9)$.
4. Funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije.
5. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
6. Raspon vrijednosti: $(-∞;+∞)$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije kvadratnog korijena na segmentu:
a) $$;
b) $$.
2. Riješite jednačinu: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Konstruirajte i pročitajte graf funkcije: $\begin (slučajevi) 2-x, x 4. \end (slučajevi)$
4. Konstruirajte i pročitajte graf funkcije: $y=\sqrt(-x)$.

Facebook

Twitter

U kontaktu sa

Drugovi iz razreda

Google+