Projekciju sauc par centrālo, ja projekcijas ir taisnas līnijas. Projekcija – zināšanu hipermārkets. Projekcijas rekvizīti centra projekcijā

Temats:“Skatu atrašanās vieta zīmējumā”

Temats: Skatu izvietojums zīmējumā.

Mērķi: Novest pie saprašanas formas jēdzieni, skatu izkārtojums uz zīmējuma. Organizēt aktivitātes prasmju veidošanai zīmējuma skatu konstruēšanai, galvenā skata atrašanai. Attīstīt vēlmi pēc patstāvīgas darbības un radošu attieksmi pret problēmu risināšanu. Pozitīvas attieksmes pret zināšanām un draudzīgas attieksmes un empātiju pret veiksmēm un neveiksmēm kolektīvā izkopšana.

Aprīkojums: Apmācību galdi, uzdevumu kartes, maketi praktiskajam darbam, prezentācija (slaidi)

Nodarbību laikā

1 . Teorētiskā materiāla atkārtojums par tēmu: “Projekcija”

Pāreja uz jautājumu slaidiem tiek veikta, diagrammas taisnstūros iestatot slaidu pārejas darbību, un atgriešanās notiek, izmantojot vadības pogas.

Ko sauc par projekciju? projekcija ir objekta projekcijas konstruēšanas process.

Kādu projekciju sauc par centrālo? Piemēri. Ja projicējošie stari nāk no viena punkta, projekciju sauccentrālais. Fotogrāfijas, filmu kadri.

Definējiet paralēlo projekciju. Piemēri. Ja projicējošie stari ir paralēli viens otram, tad projekciju saucparalēli. Nosacīti objektu saules ēnas.

Kādu projekciju sauc par slīpi? slīpā projekcija - kad stari ir paralēli un krīt uz plaknes akūtā leņķī.

Taisnstūra projekcija ir

Taisnstūra projekcija – kad izvirzītie stari ir perpendikulāri projekcijas plaknei.

Mēs esam pārskatījuši pamatjēdzienus. Tagad jūs strādāsit pie uzdevuma kartes divām iespējām. Tavs uzdevums ir nosaukt elementus, kas norādīti ar cipariem. Pabeigšanas laiks - 4 minūtes.

Rezultāts tiks noteikts, pamatojoties uz pareizo atbilžu skaitu.

Pārbauda darbu. Savstarpēja kontrole (5 - "5", 4 - "4", 3 - "3", ...).

Uz jebkuras virsmas (plakanas, cilindriskas, sfēriskas, koniskas), izmantojot projicējošus starus.

Projekciju var veikt dažādos veidos.

projekcijas metode ir attēlu iegūšanas metode, izmantojot konkrētu tikai tai raksturīgu projekcijas līdzekļu kopu (projicēšanas centrs, projekcijas virziens, projicējošie stari, projekcijas plaknes (virsmas)), kas nosaka rezultātu - atbilstošos projekcijas attēlus un to īpašības.

Lai iegūtu jebkādu objekta attēlu plaknē, nepieciešams to novietot projekcijas plaknes priekšā un no projekcijas centra vilkt iedomātus projicējošus starus, kas iekļūst katrā objekta virsmas punktā. Šo staru krustošanās ar projekcijas plakni dod punktu kopumu, kuru kopums rada objekta attēlu, ko sauc par tā projekciju. Mēs apsvērsim šo vispārīgo definīciju, izmantojot punkta, taisnes, trijstūra un trīsstūra prizmas projekcijas piemēru projekcijas plaknē H.

Punkta projekcija (52. att., a). Ņemsim telpā patvaļīgu punktu A un novietosim to virs projekcijas plaknes H. Caur punktu A ievelkam projicējošu staru tā, lai tas krustotu plakni H kādā punktā a, kas būs punkta A projekcija. (Šeit un turpmāk uz objekta uzņemtos punktus apzīmēsim ar zīmēšanas fonta lielajiem burtiem un to projekcijas - ar mazajiem burtiem.) Kā redzat, projekcijas metodi var izmantot, lai iegūtu nulles dimensijas projekciju. objekts - punkts.

Taisnas līnijas projekcija (52. att., b). Iedomājieties līniju kā punktu kopumu. Izmantojot projekcijas metodi, caur punktiem, kas veido līniju, velkam paralēlu projicējošu staru kopu, līdz tie krustojas ar projekcijas plakni. Iegūtās punktu projekcijas veidos dotas taisnes – viendimensijas objekta – projekciju.

Trijstūra projekcija (52. att., c). Novietosim trijstūri ABC pirms plaknes H. Ņemot trijstūra virsotnes kā atsevišķus punktus A, B, C, katru no tiem projicējam uz projekcijas plakni. Iegūstam trijstūra virsotņu projekcijas - a, b, c. Konsekventi savienojot virsotņu (a un b; b un c; c un a) projekcijas, iegūstam trijstūra malu projekcijas (ab, bc, ca). Plaknes daļa, ko ierobežo trijstūra abc malu attēls, būs trijstūra ABC projekcija uz plaknes H Tāpēc ar projekcijas metodi var iegūt plakanas figūras - divdimensiju objekta projekciju. .

Prizmas projekcija (52. att., d). Piemēram, ņemsim slīpu trīsstūrveida prizmu un projicējam to uz projekcijas plakni H. Prismas projicēšanas rezultātā uz plakni H iegūstam tās pamatu - trīsstūru - abc un a 1 b 1 c 1 attēlus (projekcijas). un sānu skaldnes — taisnstūri abb 1 a 1 un bcc 1 b 1 . Tātad projekcijas rezultātā H plaknē tiek iegūta trīsstūra prizmas projekcija. Tāpēc, izmantojot projicēšanas metodi, jūs varat parādīt jebkuru trīsdimensiju objektu.

Rīsi. 52. Nulles, vienas, divu un trīsdimensiju objektu projekcija: a - punkts;
b - taisna līnija; c - trīsstūris; g - prizma

Tādējādi jebkuru objektu (nulles, vienas, divu un trīsdimensiju) var attēlot plaknē, izmantojot projekcijas metodi. Šajā ziņā projekcijas metode ir universāla.

Projekcijas būtība ir vieglāk saprotama, ja atceramies attēla veidošanu kinoteātrī: filmas projektora lampas gaismas plūsma iziet cauri filmai un izmet attēlu uz audekla. Šādā gadījumā attēls uz filmas ekrāna būs vairākas reizes lielāks nekā attēls uz filmas.

Ir centrālā (jeb perspektīvā) un paralēlā projekcija. Paralēlā projekcija var būt taisnstūrveida (ortogonāla) vai slīpa (5. tabula).

5. Projicēšanas metodes

centrālā projekcija (perspektīvu) raksturo tas, ka izvirzītie stari nāk no viena punkta (S), ko sauc projekcijas centrs . Iegūtais attēls tiek saukts centrālā projekcija .

Perspektīva atspoguļo objekta ārējo formu tādā veidā, kādā to uztver mūsu redze.

Centra projekcijā, ja objekts atrodas starp projekcijas centru un projekcijas plakni, projekcijas izmēri būs lielāki par oriģinālu; ja objekts atrodas aiz projekcijas plaknes, tad projekcijas izmēri kļūs mazāki par attēlotā objekta faktiskajiem izmēriem.

Paralēlo projekciju raksturo tas, ka izvirzītie stari ir paralēli viens otram. Šajā gadījumā tiek pieņemts, ka projekcijas centrs (S) ir noņemts līdz bezgalībai.

Attēlus, kas iegūti no paralēlās projekcijas, sauc par paralēlām projekcijām.

Ja projicējošie stari ir paralēli viens otram un krīt uz projekcijas plakni taisnā leņķī, tad projekciju sauc par taisnstūrveida (ortogonālu), un iegūtās projekcijas sauc par taisnstūrveida (ortogonālu). Ja projicējošie stari ir paralēli viens otram, bet krīt uz projekcijas plakni leņķī, kas nav tiešs, tad projekciju sauc par slīpi, un iegūto projekciju sauc par slīpi. Projicējot, objekts tiek novietots projekcijas plaknes priekšā tā, lai uz tā tiktu iegūts attēls, kas nes visvairāk informācijas par formu.

Punkta A projekcija uz projekcijas plakni π 1 ir projekcijas taisnes un projekcijas plaknes π krustpunkta punkts A 1. 1 iet caur punktu A (1.1. att.):

Jebkuras ģeometriskas figūras projekcija ir visu tās punktu projekciju kopa. Projicēšanas līniju virziens un plakņu novietojums π 1 nosaka projekcijas aparātu.

Centrālā projekcija ir tāda projekcija, kurā visi izvirzītie stari nāk no viena punkta S - projekcijas centra (1.2. att.).

Paralēlā projekcija ir projekcija, kurā visas izvirzītās taisnes ir paralēlas noteiktam virzienam S (1.3. att.).

.

Rīsi. 1.1. Punkta A projekcija uz projekciju plakni π 1

.

Rīsi. 1.2. Centra projekcijas piemērs

.

Rīsi. 1.3. Paralēlās projekcijas piemērs

Paralēlā projekcija ir īpašs centrālās projekcijas gadījums, kad punkts S atrodas bezgalīgā attālumā no projekcijas plaknes π 1 .

Ar doto projekcijas aparātu katrs punkts telpā atbilst vienam un tikai vienam punktam projekcijas plaknē.

Viena punkta projekcija nenosaka šī punkta atrašanās vietu telpā. Patiešām, projekcija A 1 var atbilst neskaitāmai punktu kopai A ’, A ’’, ..., kas atrodas uz projicēšanas taisnes (1.4. att.).

Lai noteiktu punkta pozīciju telpā ar jebkuru projekcijas aparātu, ir jāiegūst divas tā projekcijas ar diviem dažādiem projekcijas virzieniem (vai ar diviem dažādiem projekcijas centriem).

.

Rīsi. 1.4. Punktu kopas atrašanās vietas piemērs uz projicēšanas līnijas

Tātad, no att. 1.5 redzams, ka divas punkta A projekcijas (A 1 un A 2), kas iegūtas ar diviem projekcijas virzieniem S 1 un S 2, unikālā veidā nosaka paša punkta A pozīciju telpā - kā krustpunktu izvirzītās līnijas 1 un 2, kas novilktas no projekcijām A 1 un A 2, kas ir paralēlas projekcijas virzieniem S 1 un S 2 .

.

Rīsi. 1.5. Punkta A atrašanās vietas noteikšana telpā

Jūsu uzmanībai piedāvājam izdevniecības "Dabas vēstures akadēmija" izdotos žurnālus

Lai pārietu no objekta telpiskā attēlojuma uz tā plakano attēlu, tiek izmantota projicēšanas metode.

Lai trīsdimensiju objektu, kas atrodas trīsdimensiju telpā, “pārnestu” uz plakni, tas ir, iegūtu tā attēlu, nepieciešams to projicēt. Lai to izdarītu, no noteiktā veidā izvēlēta telpas punkta, ko sauc par projekcijas centru, caur katru attēlotā objekta punktu jāvelk taisnas līnijas (starus). Šīs līnijas sauc par projicējošām līnijām. Plakni, uz kuras mēs ieguvām objekta attēlu, sauc par projekcijas plakni, un objekta attēlu, ko iegūstam šajā plaknē, sauc par tā projekciju.

Atkarībā no projekcijas centra stāvokļa un projicējamo staru virziena attiecībā pret projekcijas plakni, projekcija var būt vai nu centrāla (koniska), vai paralēla (cilindriska).

Vispārīgākais telpisko figūru projekciju iegūšanas gadījums ir centrālā projekcija.

Šajā gadījumā izvirzītie stari iziet no viena punkta - projekcijas centra S, kas atrodas ierobežotā attālumā no projekcijas plaknes P 1.

Lai iegūtu centrālā punkta projekcijas A un B, ir nepieciešams vadīt projicējošus starus no projekcijas centra S caur punktiem A un B līdz krustojumam ar projekcijas plakni P 1. Šķērsojot tiek iegūti punkti A 1 un B1- punktu centrālās projekcijas A un B.

Punkta pozīcija S un lidmašīna P 1, kas neiet cauri projekciju centram, nosaka centrālās projekcijas aparātu. Ja tas ir iestatīts, tad vienmēr ir iespējams noteikt jebkura telpas punkta centrālās projekcijas pozīciju uz projekcijas plakni, savukārt katram telpas punktam būs tikai viena centrālā projekcija. Taču pēc vienas centrālās projekcijas punkta atrašanās vietu telpā noteikt nav iespējams, jo tas var atrasties jebkur līnijā, kas savieno punkta projekciju un projekcijas centru.

Lai noteiktu punkta pozīciju A telpā gar tā centrālajām projekcijām ir nepieciešamas divas šī punkta centrālās projekcijas A 1 un A 2 iegūti no diviem dažādiem centriem S1 un S2. Ja palaižam garām izvirzītajiem stariem S 1 A 1 un S 2 A 2, tad to krustošanās punkts unikāli nosaka punkta pozīciju A kosmosā.

Lai izveidotu centrālo projekciju A 1 B 1 segmentu AB pietiek ar centrālo projekciju konstruēšanu A 1 un B 1 punktus A un V, jo divi punkti definē līniju unikāli.

Centrālajai projekcijai ir lieliska redzamība, jo tā atbilst objektu vizuālajai uztverei.

Centrālās projekcijas projekcijas īpašības:

1. Punkta projekcija ir punkts.
2. Līnijas projekcija ir līnija.
3. Taisnas līnijas projekcija parasti ir taisna līnija. (Ja taisne sakrīt ar projicējamo staru, tad tās projekcija ir punkts).
4. Ja punkts pieder līnijai, tad punkta projekcija pieder līnijas projekcijai.
5. Līniju krustpunkts tiek projicēts šo līniju projekciju krustpunktā.
6. Kopumā plakans daudzskaldnis tiek projicēts uz daudzskaldni ar vienādu virsotņu skaitu.
7. Savstarpēji paralēlu līniju projekcija ir līniju zīmulis.
8. Ja plaknes figūra ir paralēla projekciju plaknei, tad tās projekcija ir līdzīga šim skaitlim.

projekcija(lat. Projicio - es metu uz priekšu) - objekta (telpiskā objekta) attēla iegūšanas process uz jebkuras virsmas, izmantojot gaismas vai vizuālos starus (starus, kas nosacīti savieno novērotāja aci ar jebkuru telpiskā objekta punktu), kas ir sauc par projicēšanu.

Ir divas projekcijas metodes: centrālais un paralēli .

Centrālāprojekcija ir iziet cauri katram punktam ( A, B, C,…) no attēlotā objekta un noteiktā veidā atlasīts projekcijas centrs (S) taisne ( SA, SB, >… — projicējošs stars).

Attēls 1.1 - Centrālā projekcija

Ieviesīsim šādu apzīmējumu (1.1. attēls):

S– projekcijas centrs (vērotāja acs);

π 1 - projekcijas plakne;

A, B, C

SA, SB- taisnu līniju projicēšana (staru projicēšana).

Piezīme: ar peles kreiso pogu var pārvietot punktu horizontālā plaknē, noklikšķinot uz punkta ar peles kreiso pogu, kustības virziens mainīsies un to var pārvietot vertikāli.

Centrālais projekcijas punkts izsauc projekcijas centru ejošās projekcijas taisnes un projekcijas objekta (punkta) krustošanās punktu ar projekcijas plakni.

Īpašums 1 . Katrs telpas punkts atbilst vienai projekcijai, bet katrs punkts projekcijas plaknē atbilst telpu punktu kopai, kas atrodas uz projicēšanas līnijas.

Pierādīsim šo apgalvojumu.

1.1. attēls: punkts A 1 ir punkta A centrālā projekcija projekciju π 1 plaknē. Bet visiem punktiem, kas atrodas uz izvirzītās līnijas, var būt vienāda projekcija. Uzņemieties izvirzīto līniju SA punktu AR. Centrālais projekcijas punkts AR(AR 1) projekciju plaknē π 1 sakrīt ar punkta projekciju A(A 1):

1. AR∈ SA;
2. SC∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ A 1 .

No tā izriet, ka pēc punkta projekcijas nav iespējams viennozīmīgi spriest par tā atrašanās vietu telpā.

Lai novērstu šo nenoteiktību, t.i. uztaisi zīmējumu atgriezenisks, mēs ieviešam vēl vienu projekcijas plakni (π 2) un vēl vienu projekcijas centru ( S 2) (1.2. attēls).

1.2. attēls - 1. un 2. rekvizītu ilustrācija

Konstruēsim punkta projekcijas A projekciju plaknē π 2 . No visiem telpas punktiem tikai punkts A ir savas prognozes A 1 uz plakni π 1 un A 2 līdz π 2 vienlaikus. Visiem pārējiem punktiem, kas atrodas uz izvirzītajiem stariem, būs vismaz viena projekcija, kas atšķiras no punkta projekcijām A(piem., punkts V).

2. īpašums. Taisnas līnijas projekcija ir taisna līnija.

Pierādīsim šo īpašību.

Savienojiet punktus A un V savā starpā (1.2. attēls). Mēs iegūstam segmentu AB definējot taisnu līniju. trīsstūris SAB definē plakni, ko apzīmē ar σ. Ir zināms, ka divas plaknes krustojas taisnā līnijā: σ∩π 1 = A 1 V 1, kur A 1 V 1 - taisnas līnijas centrālā projekcija, ko dod segments AB.

Centrālās projekcijas metode ir attēla uztveres ar aci modelis, to galvenokārt izmanto, veidojot perspektīvus attēlus būvobjektiem, interjeriem, kā arī filmu tehnikā un optikā. Centrālās projekcijas metode neatrisina galveno inženiera uzdevumu - precīzi atspoguļot objekta formu, izmērus, dažādu elementu izmēru attiecību.

1.2. Paralēlā projekcija

Apsveriet paralēlās projekcijas metodi. Mēs noteiksim trīs ierobežojumus, kas ļaus mums, lai arī kaitējot attēla redzamībai, iegūt zīmējumu ērtāku tā izmantošanai praksē:

1. Izdzēsīsim abus projekcijas centrus līdz bezgalībai. Tādējādi mēs nodrošināsim, ka projicējošie stari no katra centra kļūst paralēli, un tāpēc jebkura līnijas atzara patiesā garuma un tā projekcijas garuma attiecība būs atkarīga tikai no šī segmenta slīpuma leņķa pret projekcijas plaknēm. un nav atkarīgi no projekcijas centra stāvokļa;
2. Fiksēsim projekcijas virzienu attiecībā pret projekcijas plaknēm;
3. Sakārtosim projicēšanas plaknes vienu pret otru perpendikulāri, kas ļaus ērti pārvietoties no attēla uz projekcijas plaknēm uz reālo objektu telpā.

Tādējādi, uzliekot šos ierobežojumus centrālās projekcijas metodei, esam nonākuši pie tās īpašā gadījuma - paralēlās projekcijas metode(1.3. attēls) Projekcija, kurā projicējošie stari, kas iet caur katru objekta punktu, ir paralēli izvēlētajam projekcijas virzienam P, tiek saukts paralēli .

Attēls 1.3 - Paralēlās projekcijas metode

Iepazīstinām ar apzīmējumu:

R– projekcijas virziens;

π 1 - projekciju horizontālā plakne;

A,B– projekcijas objekti – punkti;

A 1 un V 1 - punktu projekcijas A un V uz projekcijas plakni π 1 .

Paralēlā punkta projekcija ir projekcijas taisnes krustpunkts, kas ir paralēls dotajam projekcijas virzienam R, ar projekcijas plakni π 1 .

Iziet cauri punktiem A un V projicējot starus paralēli noteiktajam projekcijas virzienam R. Projicējošais stars, kas iet caur punktu A punktā krusto projekcijas plakni π 1 A viens . Līdzīgi projicējams stars caur punktu Všķērso projekcijas plakni punktā V viens . Savienojot punktus A 1 un V 1 , mēs iegūstam segmentu A 1 V 1 ir segmenta AB projekcija uz plakni π 1 .

1.3. Ortogrāfiskā projekcija. Monge metode

Ja projekcijas virziens R perpendikulāri projekciju plaknei p 1, tad projekciju sauc taisnstūrveida (1.4. attēls), vai ortogonāls (gr. ortoss- taisni, gonija- leņķis), ja R nav perpendikulāra π 1, tad projekciju sauc slīps .

četrstūris AA 1 V 1 V definē plakni γ, ko sauc par projicēšanas plakni, jo tā ir perpendikulāra plaknei π 1 (γ⊥π 1). Tālāk mēs izmantosim tikai taisnstūra projekciju.

1.4. attēls — ortogrāfiskā projekcija 1.5. attēls — Monge, Gaspard (1746–1818)

Franču zinātnieks Gaspard Monge tiek uzskatīts par ortogonālās projekcijas pamatlicēju (1.5. attēls).

Pirms Monža celtniekiem, māksliniekiem un zinātniekiem bija diezgan nozīmīga informācija par projekcijas metodēm, un tomēr tikai Gaspards Monge ir aprakstošās ģeometrijas kā zinātnes radītājs.

Gaspard Monge dzimis 1746. gada 9. maijā mazā pilsētiņā Bonē (Burgundija) Francijas austrumos vietējā tirgotāja ģimenē. Viņš bija vecākais no pieciem bērniem, kuram viņa tēvs, neskatoties uz ģimenes zemo izcelsmi un relatīvo nabadzību, centās nodrošināt labāko tajā laikā pieejamo izglītību cilvēkiem no pazemīgās šķiras. Viņa otrais dēls Luiss kļuva par matemātikas un astronomijas profesoru, jaunākais Žans, arī matemātikas, hidrogrāfijas un navigācijas profesors. Gaspards Monge ieguva sākotnējo izglītību Oratorijas ordeņa pilsētas skolā. Pēc absolvēšanas 1762. gadā kā labākais students viņš iestājās Lionas koledžā, kas arī piederēja oratoriem. Drīz vien Gaspardam tika uzticēts tur mācīt fiziku. 1764. gada vasarā Monge izstrādāja savas dzimtās pilsētas Bounas plānu, kas bija ārkārtīgi precīzs. Nepieciešamās metodes un instrumentus leņķu mērīšanai un līniju vilkšanai izdomājis pats sastādītājs.

Studējot Lionā, viņš saņēma piedāvājumu iestāties ordenī un palikt par koledžas skolotāju, tomēr tā vietā, parādījis lieliskas spējas matemātikā, rasēšanā un zīmēšanā, izdevās iestāties Mézieres militāro inženieru skolā, bet (izcelsmes dēļ) ) tikai kā palīgvirsnieku nodaļu un bez algas. Neskatoties uz to, panākumi eksaktajās zinātnēs un oriģināls risinājums vienai no svarīgajām fortifikācijas problēmām (nocietinājumu izvietošana atkarībā no ienaidnieka artilērijas atrašanās vietas) ļāva viņam 1769. gadā kļūt par asistentu (skolotāja asistentu) matemātikā, bet pēc tam 1769. fizika, un jau ar pieklājīgu algu uz 1800 livriem gadā.

1770. gadā 24 gadu vecumā Monge vienlaikus ieņēma profesora amatu divās katedrās - matemātikas un fizikas, un papildus vada nodarbības akmeņu griešanai. Sākot ar uzdevumu precīzi cirst akmeņus pēc dotajām skicēm saistībā ar arhitektūru un nocietinājumu, Monge nonāca pie metožu radīšanas, kuras viņš vēlāk vispārināja jaunā zinātnē - aprakstošajā ģeometrijā, par kuras radītāju viņš pamatoti tiek uzskatīts. Ņemot vērā iespēju izmantot aprakstošās ģeometrijas metodes militāriem nolūkiem nocietinājumu būvniecībā, Mézjēra skolas vadība neļāva atklāti izdot līdz 1799. gadam, grāmata tika izdota ar nosaukumu aprakstošā ģeometrija (Aprakstoša ģeometrija) (1795. gadā tika veikts šo lekciju burtisks ieraksts). Pieeja lekciju lasīšanai par šo zinātni un tajā izklāstīto vingrinājumu veikšanai ir saglabājusies līdz mūsdienām. Vēl viens nozīmīgs Monge darbs - Analīzes pielietošana ģeometrijā (L'application de l'analyse à la geometrie, 1795) - ir analītiskās ģeometrijas mācību grāmata, kurā īpašs uzsvars likts uz diferenciālām attiecībām.

1780. gadā ievēlēts par Parīzes Zinātņu akadēmijas locekli, 1794. gadā kļuva par Politehniskās skolas direktoru. Astoņus mēnešus viņš bija Napoleona valdības jūras ministrs, vadīja republikas šaujampulvera un lielgabalu rūpnīcas un pavadīja Napoleonu viņa ekspedīcijā uz Ēģipti (1798–1801). Napoleons viņam piešķīra grāfa titulu, pagodināja ar daudzām citām atzinībām.

Objektu attēlošanas metode saskaņā ar Monge sastāv no diviem galvenajiem punktiem:

1. Ģeometriskā objekta pozīcija telpā, šajā piemērā punkts A, tiek uzskatīts attiecībā pret divām savstarpēji perpendikulārām plaknēm π 1 un π 2(1.6. attēls).

Viņi nosacīti sadala telpu četros kvadrantos. Punkts A atrodas pirmajā kvadrantā. Dekarta koordinātu sistēma kalpoja par pamatu Monge projekcijām. Monge aizstāja projekcijas asu jēdzienu ar projekcijas plakņu (koordinātu asu) krustošanās līniju un ierosināja koordinātu plaknes apvienot vienā, pagriežot tās ap koordinātu asīm.

Attēls 1.6 - Modelis punktu projekciju konstruēšanai

π 1 - horizontālā (pirmā) projekcijas plakne

π 2 - frontālā (otrā) projekcijas plakne

π 1 ∩ π 2 ir projekciju ass (apzīmējam π 2 / π 1)

Apsveriet punkta projicēšanas piemēru A uz divām savstarpēji perpendikulārām projekcijas plaknēm π 1 un π 2 .

Nometiet no punkta A perpendikulus (projicējamos starus) uz plaknēm π 1 un π 2 un atzīmējiet to pamatus, tas ir, šo perpendikulu (projicējamo staru) krustošanās punktus ar projekcijas plaknēm. A 1 - punkta horizontālā (pirmā) projekcija A;A 2 - punkta frontālā (otrā) projekcija A;AA 1 un AA 2 - izvirzītās līnijas. Bultiņas parāda projekcijas virzienu uz projekciju π 1 un π 2 plakni. Šāda sistēma ļauj unikāli noteikt punkta pozīciju attiecībā pret projekcijas plaknēm π 1 un π 2:

AA 1 ⊥π 1

A 2 A 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = A 2 A 0 - attālums no punkta A līdz plaknei π 1

AA 2 ⊥π 2

A 1 A 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 \u003d A 1 A 0 - attālums no punkta A līdz plaknei π 2

2. Apvienosim rotāciju ap projekcijas plaknes projekciju asi π 2 / π 1 vienā plaknē.(π 1 ar π 2), bet, lai attēli nepārklātos viens ar otru (α virzienā, 1.6. attēls), iegūstam attēlu, ko sauc par taisnstūra zīmējumu (1.7. attēls):

Attēls 1.7 - Ortogonāls zīmējums

Tiek saukts taisnstūrveida vai ortogonāls Monge diagramma .

Taisni A 2 A 1 zvanīja projekcijas saite , kas savieno punkta pretējās projekcijas ( A 2 - frontālā un A 1 — horizontāli) vienmēr ir perpendikulāra projekcijas asij (koordinātu asij) A 2 A 1 ⊥π 2 /π 1 . Diagrammā segmenti, kas norādīti ar iekavām, ir:

• A 0 A 1 - attālums no punkta A uz plakni π 2, kas atbilst koordinātei y A;
• A 0 A 2 - attālums no punkta A uz plakni π 1, kas atbilst koordinātei z A.

1.4. Taisnstūra punktu projekcijas. Ortogrāfiskā zīmējuma īpašības

1. Divas punkta taisnstūra projekcijas atrodas uz vienas projekcijas savienojuma līnijas, kas ir perpendikulāra projekcijas asij.

2. Divas punkta taisnstūra projekcijas unikāli nosaka tā pozīciju telpā attiecībā pret projekcijas plaknēm.

Pārbaudīsim pēdējā apgalvojuma derīgumu, kuram pagriežam plakni π 1 sākotnējā stāvoklī (kad π 1 ⊥ π 2). Lai izveidotu punktu A nepieciešams no punktiem A 1 un A 2, lai atjaunotu izvirzītos starus, un faktiski - perpendikulus plaknēm π 1 un π 2 attiecīgi. Šo perpendikulu krustpunkts fiksē vēlamo vietu telpā A. Apsveriet punkta ortogonālu zīmējumu A(1.8. attēls).

1.8. attēls – punkta uzzīmēšana

Ieviesīsim projekciju π 3 trešo (profila) plakni, kas ir perpendikulāra π 1 un π 2 (kas dota ar projekciju ass π 2 /π 3).

Attālums no punkta profila projekcijas līdz izvirzījumu vertikālajai asij A‘ 0 A 3 ļauj noteikt attālumu no punkta A uz frontālās projekcijas plakni π 2 . Ir zināms, ka punkta atrašanās vietu telpā var fiksēt attiecībā pret Dekarta koordinātu sistēmu, izmantojot trīs skaitļus (koordinātas) A(X A ; Y A ; Z A) vai attiecībā pret projekcijas plaknēm, izmantojot tās divas ortogonālās projekcijas ( A 1 =(X A ; Y A); A 2 =(X A ; Z A)). Ortogonālā zīmējumā, izmantojot divas punkta projekcijas, var noteikt tā trīs koordinātas un, tieši otrādi, izmantojot trīs punkta koordinātas, izveidot tā projekcijas (1.9. attēls, a un b).

Attēls 1.9 - Punkta uzzīmēšana pēc tā koordinātām

Pēc atrašanās vietas punkta projekcijas diagrammā var spriest par tā atrašanās vietu telpā:

• A — A 1 atrodas zem koordinātu ass X, un priekšpuse A 2 - virs ass X, tad mēs varam teikt, ka punkts A ietilpst 1. kvadrantā;
• ja uz zemes gabala punkta horizontālā projekcija A — A 1 atrodas virs koordinātu ass X, un priekšpuse A 2 - zem ass X, tad punkts A ietilpst 3. kvadrantā;
• A — A 1 un A 2 atrodas virs ass X, tad punkts A ietilpst 2. kvadrantā;
• ja diagrammā ir punkta horizontālās un frontālās projekcijas A — A 1 un A 2 atrodas zem ass X, tad punkts A ietilpst 4. kvadrantā;
• ja diagrammā punkta projekcija sakrīt ar pašu punktu, tad tas nozīmē, ka punkts pieder projekciju plaknei;
• tiek izsaukts punkts, kas pieder projekcijas plaknei vai projekcijas asij (koordinātu asis). privātais punkts.

Lai noteiktu, kurā telpas kvadrantā atrodas punkts, pietiek noteikt punkta koordinātu zīmi.

Punkta stāvokļa kvadranta un koordinātu zīmju atkarības

	X	Y	Z
es	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Vingrinājums

Izveidojiet punkta ortogonālās projekcijas ar koordinātām A(60, 20, 40) un nosaka, kurā kvadrantā punkts atrodas.

Problēmas risinājums: pa asi VĒRSIS atstājiet malā koordinātas vērtību XA=60, tad caur šo punktu uz ass VĒRSIS atjaunot projekcijas savienojuma līniju perpendikulāri VĒRSIS, pa kuru atstāt malā koordinātas vērtību ZA=40, un uz leju - koordinātas vērtība YA=20(1.10. attēls). Visas koordinātas ir pozitīvas, kas nozīmē, ka punkts atrodas I kvadrantā.

1.10. attēls - uzdevuma risinājums

1.5. Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Pamatojoties uz diagrammu, nosakiet punkta pozīciju attiecībā pret projekcijas plaknēm (1.11. attēls).

1.11.attēls

2. Pabeidz trūkstošās punktu ortogonālās projekcijas A, V, AR projekcijas plaknē π 1, π 2, π 3 (1.12. attēls).

1.12. attēls

3. Izveidojiet punktu projekcijas:

• E, simetrisks punkts A attiecībā pret projekcijas plakni π 1 ;
• F, simetrisks punkts V attiecībā pret projekciju plakni π 2 ;
• G, simetrisks punkts AR attiecībā pret projekcijas asi π 2 /π 1 ;
• H, simetrisks punkts D attiecībā pret otrā un ceturtā kvadranta bisektoru plakni.

4. Konstruēt punkta ortogonālās projekcijas UZ, kas atrodas otrajā kvadrantā un tālu no projekcijas plaknēm π 1 par 40 mm, no π 2 - par 15 mm.

Facebook

Twitter

Saskarsmē ar

klasesbiedriem

Google+