В каких средах возникают стоячие волны. Стоячие волны и резонанс. Виды стоячих волн
Любая волна представляет собой колебание. Колебаться может жидкость, электромагнитное поле или любая другая среда. В повседневной жизни каждый человек ежедневно сталкивается с тем или иным проявлением колебаний. Но что такое стоячая волна?
Представьте себе вместительную емкость, в которую налита вода - это может быть тазик, ведро или ванна. Если теперь по жидкости похлопать ладонью, то от центра соударения во все стороны побегут волнообразные гребни. Кстати, они так и называются - бегущие волны. Их характерный признак - перенос энергии. Однако, изменяя частоту хлопков, можно добиться практически полного видимого их исчезновения. Возникает впечатление, что масса воды становится желеобразной, а движение происходит только вниз и вверх. Стоячая волна - это и есть данное смещение. Данное явление возникает потому, что каждая ушедшая от центра удара волна достигает стенок емкости и отражается обратно, где пересекается (интерферирует) с основными волнами, идущими в противоположном направлении. Стоячая волна появляется лишь в том случае, если отраженные и прямые совпадают по фазе, но различны по амплитуде. В противном случае вышеуказанной интерференции не происходит, так как одно из свойств волновых возмущений с разными характеристиками - это способность сосуществовать в одном и том же объеме пространства, не искажая друг друга. Можно утверждать, что стоячая волна является суммой двух встречно направленных бегущих, что приводит к падению их скоростей до нуля.
Почему же в приведенном примере вода продолжает колебаться в вертикальном направлении? Очень просто! При наложении волн с одинаковыми параметрами в определенные моменты времени колебания достигают своего максимального значения, называемые пучностями, а в другие полностью гасятся (узлы). Изменяя частоту хлопков, можно как полностью погасить горизонтальные волны, так и усилить вертикальные смещения.
Стоячие волны представляют интерес не только для практиков, но и для теоретиков. В частности, одна из моделей гласит, что любая материальная частица характеризуется какой-то определенной (вибрацией): электрон колеблется (дрожит), нейтрино колеблется и т.д. Далее, в рамках гипотезы, предположили, что упомянутая вибрация - следствие интерференции каких-то, пока еще не открытых возмущений среды. Другими словами, авторы утверждают, что там, где те удивительные волны формируют стоячую, возникает материя.
Не менее интересно явление Резонанса Шумана. Оно заключается в том, что при некоторых условиях (ни одна из предложенных гипотез пока не принята за единственно верную) в пространстве между земной поверхностью и нижней границей ионосферы возникают стоячие электромагнитные волны, частоты которых лежат в низком и сверхнизком диапазонах (от 7 до 32 герц). Если образовавшаяся в промежутке «поверхность - ионосфера» волна обогнет планету и попадет в резонанс (совпадение фаз), то сможет существовать продолжительное время без затухания, самоподдерживаясь. Резонанс Шумана представляет особый интерес потому, что частота волн практически совпадает с естественными альфа-ритмами человеческого мозга. К примеру, исследованиями данного явления в России занимаются не только физики, но и такая крупная организация, как «Институт мозга человека».
На стоячие обратил внимание еще гениальный изобретатель Никола Тесла. Считается, что он мог использовать это явлене в некоторых своих устройствах. Одним из источников их появления в атмосфере принято считать грозы. Электрические разряды возбуждают электромагнитное поле и генерируют волны.
Стоячие волны образуются при наложении двух одина-ковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, ви-дели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны на-чинают разбегаться упругие поперечные волны, которые за-тем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит?
При сложе-нии двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и ам-плитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией
F(x, t) = f 0 sin(ωt — kx + φ 1) + f 0 sin(ωt + kx + φ 2) = 2 f 0 cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2) + (φ 1 + φ 2) / 2).
Это и есть уравнение стоячей волны . В каждой точке стоя-чей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:
F(x, t) = F 0 sin (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.
Амплитуда колеба-ний
| F 0 | = 2 f 0 | cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2)|
зависит от координа-ты x . В точках, где kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n — целое чис-ло, Δφ = φ 1 — φ 2), амплитуда F 0 = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны , колебания в них отсутствуют. Точ-ки, для которых амплитуда колебаний | F 0 | = 2 f 0 максималь-на, называют пучностями стоячей волны . Расстояние Δx между соседними узлами (или соседними пучностями) рав-но половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна:
Δx = π / k = λ / 2.
В точках между двумя соседними узлами колебания проис-ходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посереди-не между узлами) и опять до нуля. Материал с сайта
При переходе через узел фаза колебаний изменяется на π, так как меняется знак F 0 . В стоячей волне возмущение сре-ды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одно-временно во всех точках возмущение достигает максималь-ного по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть перио-да после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.
Если наблюдать колебания только в одной точке, то невозможно сказать, какая волна — бегущая или стоя-чая — вызвала эти колеба-ния. Но если следить за ко-лебаниями в нескольких точках, то картины колеба-ний в бегущей и стоячей волнах будут совершенно различны. В плоской бегу-щей волне колебания в разных точках происхо-дят с одинаковой амплиту-дой, но в различных фазах. В стоячей волне колебания в разных точках происхо-дят с разными амплитуда-ми, но в одинаковой фазе. Поэтому при наблюдении «целой картины» спутать бегущую и стоячую волны, конечно, невозможно.
Рассмотрим более подробно отражение волн.В частности, отражение волн от среды с большим волновым сопротивлением. По существу, вторая средаявляется преградой. Например, воздух и стена здания.
Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде
| s 1 = А cos ( w t - kx) , s 2 = А cos ( w t + kx + j 0 ) . |
(7.47) |
В отраженной волне y 2 записана начальная фаза j 0 , равная разности фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или p , т.к. при отражении фаза результирующейволны может изменяться.
Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (7.47) взят знак “+” При отражении от преграды происходит сложение волн (наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение которой имеет вид
Из уравнения (7.48) заключаем, что в каждой точке стоячей волны наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны зависит от координаты х.
Проведем анализ уравнения (7.49).
1. Условие максимума
Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу p , т.е.
Где m =0, 1, 2, ...или
.
Найдем координату максимума(пучности ):
|
(7.50) |
Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна: , т.к.cos (m p ) =1.
2. Условие минимума
Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу p /2:
или
.
С учетом того, что j 0 /2=0,для координаты минимума (узел) имеем
 ;
|
(7.51) |
Свойства стоячих волн
1. Расстояние между узлом и пучностью равно l /4:x пуч - х узел = l /4.
2. Расстояние между соседними узлами или пучностями -l /2, т.е. длина стоячей волны l ст = l /2.
Читателю предлагается самостоятельно проверить результаты выводов по пп.1 и2.
3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты Х, рассматриваемой колеблющейся частицы среды. В стоячей же волне все частицы среды между двумя узламисовершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (сифазны), потому что аргумент cos (w t + j 0 /2) в уравнении стоячей волны (7.48) не зависит от координаты Х. При переходе через узел фаза колебаний (j = w t + j 0 /2) изменяется скачком на p , т.к.при этом в амплитуде стоячей волны сомножитель cos (kx + j 0 /2) изменяет свой знак на противоположный.
4. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением (неверно говорить “при отражении от более плотной среды”, как это пишут иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины волны, фаза изменяется на ± p . Поэтому после подстановки в уравнение стоячей волны (7.48), например, при значении j = - p будем иметь
s =2 А sin (kx) sin(w t).
Можно найти координаты узлов и пучностей. Предоставляем проделать это читателю самостоятельно.
Поскольку механические волны являются следствием возникновения деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная деформация среды изменяется по закону
| e = = - 2Aksin(kx+ j /2) с os( w t+ j /2), |
(7.52) |
где s - смещение волны; e - относительная деформация среды.
При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне
| v = = - 2A w cos(kx+ j /2)sin( w t+ j /2). |
(7.53) |
Следовательно, в стоячей волне e опережаетскорость по фазе на p /2. Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная деформация e обращается в нуль, и наоборот, когда скорость обращается в нуль, относительная деформация e достигаетмаксимума.
Причем амплитуда скорости v a = ½ 2 A w cos ( kx + j 0 /2) ½
и амплитуда относительной деформации смещения e a = ½ 2 Aksin ( kx + j 0 /2) ½
зависят от координаты х по-разному, т.е. в пучностях стоячей волны размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей волны - узлы скорости и пучности деформаций.
В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностейскорости и, наоборот.
Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к узлам и, наоборот от узлов к пучностям. Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю. Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, т.к. две бегущие навстречу друг другу волны, образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в противоположных направлениях.
Собственные (резонансные) частоты стоячих волн
На практике в случае свободных колебаний некоторыхфизических систем, например, струн, столбов газа и др. устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т.е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами данной колебательной системы.
Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней - пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность давления, а у открытого - узел давления.
В качестве примера рассмотрим возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся струны (параметрический резонанс).
Частоты стоячих волн называют собственными или резонансными , т.к. такие колебания сопровождаются резонансными явлениями.
В отличие от пружинного, математического, или физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много резонансных частот. Эти частоты в свою очередь кратны низшей частоте. Более продолжительное время сохраняются те волны, которым соответствуют резонансные частоты. В точках закрепления струны возникают узлы(рис. 7.12).
Рис. 7.12
Для нахождения резонансных частот воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны:
гдеm = 1, 2, 3, ... и определяет число гармоник.
Например, основной тон (мода) - первая гармоника соответствует пучности, а длина струны ,(m =1; l 1 - длина волны первой гармоники).Для второй гармоники - 2 = l 2 ( m =2; l 2 - длина волны второй гармоники), для третьей - 3 = 2 l 3 /3 (m =3; l 3 - длина волны третьей гармоники) и т.д.
Частоты колебания стоячей волны можно найти по формуле
Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний.
Действительно по условию при отсутствии колебаний на правом конце закрепленной струны, где координата х =, а амплитуда обращается в нуль и фаза равна j = p ,
А
ст
=2
А
½
cos(kx-
p
/2)
½
Общий
вывод:
Полученный результат является
необычным для классической физики, потому что k и
w
, .
Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на разгадку квантовых явлений.
Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты обладают корпускулярными и волновыми свойствами.
Стоячие волны
Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
Уравнение стоячей волны
Складываем волны
(учли, что k = 2π/λ)-уравнение стоячей волны.
Пучности стоячей волны
Точки, в которых амплитуда максимальна (A ст = 2Аcos(2πx/λ)) . Это точки среды, для которых
2πx/λ= (m=0,1,2,….)
Координаты пучностей
(m = 0,1, 2,:..).
Узлы стоячей волны
Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст = 0). Это точки среды, для которых
(m = 0,1, 2,:..).
Координаты узлов
(m = 0,1, 2,...).
Расстояния пучность-пучность и узел-узел равны λ/2, а расстояние пучность-узел равно λ/4.
Образование стоячих волн наблюдают при
интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная - узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - получается пучность.
Уравнение стоячей волны и его анализ
Частным случаем интерференции волн, являются стоячие волны.
Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.
Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.
При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида
И где α-разность фаз волн в точках плоскости x=0, образуется плоская синусоидальная стоячая волна, описываемая уравнением
Амплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущих волн является периодической функцией координаты x.
Аст.=2А
Точки,в которых амплитуда стоячей волны равна 0, называются узлами, а точки где амплитуда двойная –пучности.
Положение узлов и пучностей находится из условий
k*x+α/2=(2m+1)π/2 (узлы)
k*x+α/2=m*n (пучности) ,где m=0,1,2…
Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн.
В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты x рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты x. При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачком на π,так как при этом cos(k*x+α/2) изменяет свой знак на противоположный.
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн по отдельности. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн .
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.
Стоячая волна - это волна, которая образуется при наложении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, когда волны движутся навстречу друг другу.
Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:
Сложив эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим:
Чтобы упростить это уравнение, выберем начало отсчета x так, чтобы разность стала равной нулю, а начало отсчета t - так, чтобы оказалась равной нулю сумма .Тогда
- уравнение стоячей волны .
Заменив волновое число к его значением , получим уравнение стоячей волны, удобное для анализа колебаний частиц в стоячей волне:
.
Из этого уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда колебаний зависит от x :
.
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
,
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей равны:
.
В точках, координаты которых удовлетворяют условию:
,
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения:
.
Из этих формул следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.
 |
На рисунке представлен график отклонений точек от положения равновесия для момента времени t (сплошная кривая) и график отклонений точек для момента времени (пунктирная кривая). Как видно из рисунка точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т.е. в одинаковой фазе).
Стоячая волна не переносит энергию. Дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны, то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.
Статьи по теме
